Ruang Vektor

1. 1
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
Bab 4
Vektor di R^n
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri

2. 2
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Vektor di Bidang dan Ruang

3. 3
Istilah vektor digunakan untuk mengindikasikan kuantitas
(seperti perpindahan atau kecepatan, atau gaya) yang
memiliki besar dan arah.
Vektor biasanya disajikan dalam bentuk panah:
• Panjang panah menandakan besar vektor.
• Arah panah menandakan arah vektor.
Definisi Vektor

4. 4
Penyajian vektor
Vektor dengan titik pangkal A menuju titik terminal B ditulis 𝐯 = 𝐴𝐵.

5. 5
Kesamaan Vektor
Vektor 𝒖 = 𝑪𝑫 memiliki panjang yang sama dan arah yang sama
dengan v (walaupun beda posisi).
Dikatakan u dan v ekivalen (atau sama) dan ditulis u = v.

6. 6
Vektor Nol
Vektor Nol, ditulis 0, memiliki panjang 0.

7. 7
Penjumlahan Vektor (Aturan Segitiga)

8. 8
Penjumlahan Vektor
(Aturan Jajar Genjang)

9. 9
Gambarkan jumlah dari vektor a dan b berikut:
Jawab:
Pertama, kita geser b sedemikian rupa
sehingga pangkalnya berimpit dengan
ujung vektor a.
Selanjutnya kita gambar vektor a + b
yang berpangkal di titik pangkal dari a
dan berakhir pada titik ujung dari b.
Alternatif lain, pangkal dari a berimpit
dengan b dan a+b diperoleh dengan
metoda jajar genjang
Contoh 1

10. 10
Perkalian Skalar
❑ Perkalian sebuah vektor dengan sebuah scalar yang merupakan bilangan riil.
❑ Jika c adalah skalar dan v adalah vektor, maka perkalian scalar cv adalah:
▪ Vektor dengan panjang |c| dikali panjang dari v, memiliki arah yang sama dengan v
jika c > 0 dan berlawanan arah dengan v jika c < 0.
▪ Jika c = 0 atau v = 0, maka cv = 0.

11. 11
Perkalian Skalar
▪ Bilangan riil yang terlibat menjadi faktor skala.
▪ Perhatikan bahwa setiap vektor disebelah adalah sejajar
▪ –v = (–1)v disebut negatif dari v memiliki arah yang berlawanan.

12. 12
Pengurangan Vektor
u – v = u + (–v)
-v

13. 13
Jika a dan b adalah vektor berikut, gambarlah a – 2b.
Kita gambar vektor –2b dengan arah
berlawanan b dan dua kali lebih panjang.
Kemudian, tempatkan pangkalnya dengan
ujung (terminal) dari vektor a.
Jawab:
Sehingga dengan menggunakan
Aturan Segitiga diperoleh
a + (–2b).
Contoh 2

14. 14
Komponen Vektor
• Misalkan pangkal dari vektor a ditempatkan di titik asal O, dan titik ujung dari a
memiliki koordinat (a1, a2) atau (a1, a2, a3).
• Maka vektor a ditulis dalam bentuk komponen-komponen:
a = ‹a1, a2› atau a = ‹a1, a2, a3›

15. 15
• Vektor-vektor berikut semuanya sama (ekivalen): sama-sama perpindahan tiga unit
ke kanan dan dua unit keatas.
• Sehingga semua vektor berikut adalah 𝐚 = 3, 2 .
• Khususnya untuk 𝑂𝑃 = 3, 2 disebut vektor posisi dari titik P(3, 2).
Contoh 3

16. 16
Dalam contoh berikut terdapat:
▪ Vektor 𝐚 = 3, 2 = 4 − 1, 5 − 3 , yaitu pengurangan komponen titik ujung (4, 5)
dengan komponen titik pangkal (1, 3).

17. 17
Persamaan 1
Misalkan vektor a = 𝑂𝑃 adalah vektor posisi dengan P(a1,a2,a3).
Diberikan titik A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2), maka
x1 + a1 = x2, y1 + a2 = y2, z1 + a3 = z2, sehingga
a1 = x2 - x1, a2 = y2 - y1, a3 = z2 - z1
Vektor a = 𝐴𝐵 adalah: a = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1
A(x1, y1, z1)
B(x2, y2, z2)
a
a

18. 18
Carilah vektor yang direpresentasikan oleh segmen garis dengan titik awal A(2, -3, 4)
dan titik ujung B(-2, 1, 1).
Jawab:
Berdasarkan persamaan 1, vektor terkait adalah
a = −2 − 2, 1 − −3 , 1 − 4
a = −4,4, −3
Contoh 4

19. 19
Penjumlahan (dan Pengurangan) Aljabar Vektor
Gambar berikut menunjukkan bahwa jika
a = 𝑎1, 𝑎2
b = 𝑏1, 𝑏2
maka
a + b = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2
(diasumsikan komponen-komponen
a dan b positif)
Hal tersebut berlaku pula untuk pengurangan, yaitu
dengan mengurangkan komponen-komponen yang
bersesuaian.

20. 20
Perkalian Skalar Aljabar Vektor
Dari segitiga yang kongruen, kita lihat bahwa komponen dari ca adalah ca1 dan ca2.

21. 21
Kesimpulan
Di 𝑅2
, jika a = 𝑎1, 𝑎2 dan b = 𝑏1, 𝑏2 , maka
o a + b = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2
o a – b = 𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2
o ca = 𝑐⟨𝑎1, 𝑎2 ⟩ = 𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2
Di 𝑅3, jika a = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 dan b = ⟨𝑏1, 𝑏2, 𝑏3⟩ maka
o a + b = ⟨𝑎1, 𝑎2, 𝑎3⟩ + ⟨𝑏1, 𝑏2, 𝑏3⟩ = ⟨𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3⟩
o a – b = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 − 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 = 𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2, 𝑎3 − 𝑏3
o ca = 𝑐⟨𝑎1, 𝑎2, 𝑎3⟩ = ⟨𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2, 𝑐𝑎3⟩

22. 22
Jika a = 4,0,3 dan b = −2,1,5 , tentukan:
1. 𝐚 + 𝐛 = ⟨4, 0, 3⟩ + ⟨−2, 1, 5⟩
= ⟨4 + (−2), 0 + 1, 3 + 5⟩
= ⟨2, 1, 8⟩
2. 𝐚 − 𝐛 = ⟨4, 0, 3⟩ − ⟨−2, 1, 5⟩
= ⟨4 − (−2), 0 − 1, 3 − 5⟩
= ⟨6, −1, −2⟩
1. a + b
2. a – b
3. 3b
4. 2a + 5b
Jawab:
3. 3𝐛 = 3⟨−2, 1, 5⟩
= ⟨3(−2), 3(1), 3(5)⟩
= ⟨−6, 3, 15⟩
4. 2𝐚 + 5𝐛 = 2⟨4, 0, 3⟩ + 5⟨−2, 1, 5⟩
= ⟨8, 0, 6⟩ + ⟨−10, 5, 25⟩
= ⟨−2, 5, 31⟩
Contoh 5

23. 23
Panjang Vektor
Besar atau panjang dari vektor v, disimbolkan dengan |v| atau 𝐯 , dihitung dengan
rumus jarak dari 𝑂𝑃, dan diperoleh sebagai berikut.
o Panjang vektor a di R2 dengan a = 𝑎1, 𝑎2 adalah
o Panjang vektor a di R3 dengan a = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 adalah:
|𝒂| = 𝒂𝟏
𝟐
+ 𝒂𝟐
𝟐
|𝒂| = 𝒂𝟏
𝟐
+ 𝒂𝟐
𝟐
+ 𝒂𝟑
𝟐

24. 24
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1.
i = 1,0,0 , j = 0,1,0 , k = 0,0,1
karena |i|= |j|= |k|= 1
Contoh 6

25. 25
Mencari Vektor Satuan suatu Vektor
Secara umum, jika a ≠ 0, maka vektor satuan dari a, ditulis 𝒖𝒂 , memiliki arah yang sama
dengan a yakni: 𝒖𝒂 =
1
|𝐚|
𝐚 =
𝐚
|𝐚|

26. 26
Tentukan vektor satuan dalam arah vektor 2i – j – 2k.
Jawab:
Dari definisi i, j, k vektor 2𝐢 − 𝐣 − 2𝐤 ditulis juga 2, −1, −2 sehingga
|2𝐢 − 𝐣 − 2𝐤| = 22 + (−1)2 + (−2)2 = 9 = 3
Sehingga vektor satuan adalah:
1
3
(2𝐢 − 𝐣 − 2𝐤) =
2
3
𝐢 −
1
3
𝐣 −
2
3
𝐤
Contoh 7

27. 27
Perkalian antara dua vektor dan menghasilkan bilangan skalar (bilangan riil).
Definisi 1
Jika a = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 dan b = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , maka perkalian titik a dan b
adalah bilangan a • b dengan:
a • b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Perkalian Titik (Dot Product)

28. 28
Contoh 8
Tentukan
a. 2, 4 ∙ 3, −1
b. −1,7,4 ∙ 6,2, −3
c. 𝐢 + 2𝐣 − 3𝐤 ∙ 2𝐣 − 𝐤
Jawab:
a. 2, 4 ∙ 3, −1 = 2 3 + 4 −1 = 2
b. −1,7,4 ∙ 6,2, −3 = −1 6 + 7 2 + 4 −3 = −4
𝑐. 𝐢 + 2𝐣 − 3𝐤 ∙ 2𝐣 − 𝐤 = 1 0 + 2 2 − 3 −1 = 7

29. 29
Teorema 1
Jika a, b, dan c vektor di 𝑅3
dan c skalar, maka
• 𝐚 ⋅ 𝐚 = |𝐚|2
• 𝐚 ⋅ 𝐛 = 𝐛 ⋅ 𝐚
• 𝐚 ⋅ 𝐛 + 𝐜 = 𝐚 ⋅ 𝐛 + 𝐚 ⋅ 𝐜
• 𝑐𝐚 ⋅ 𝐛 = 𝑐 𝐚 ⋅ 𝐛 = 𝐚 ⋅ 𝑐𝐛
• 𝟎 ⋅ 𝐚 = 0

30. 30
Jika θ sudut antara vektor a dan b, maka
a ∙ b = |a||b| cos θ ,
dengan 0 ≤ θ ≤ π.
Definisi 2

31. 31
Jika vektor a dan b masing-masing memiliki panjang 4 dan 6,
serta sudut antara mereka adalah
𝜋
3
, tentukanlah a ∙ b !
Jawab:
Berdasarkan Definisi 2, diperoleh:
a ∙ b = |a||b| cos (
𝜋
3
)
= 4 ∙ 6 ∙ ½
= 12
Contoh 9

32. 32
Formula pada Definisi 2 juga dapat digunakan untuk menghitung
sudut antara dua vektor tak nol dengan menulis formula tersebut
sebagai:
cos 𝜃 =
𝐚 ⋅ 𝐛
|𝐚||𝐛|
Teorema 2

33. 33
Tentukan sudut antara vektor
a = 2, 2, –1 dan b = 5, –3, 2
Jawab:
𝐚 = 22 + 22 + (−1)2 = 3
|𝐛| = 52 + (−3)2 + 22 = 38
a ∙ b = 2(5) + 2(–3) +(–1)(2) = 2
cos 𝜃 =
𝐚 ⋅ 𝐛
|𝐚||𝐛|
=
2
3 38
𝜃 = cos−1
2
3 38
≈ 1.46 (atau 84∘
)
Sehingga dari Teorema 2 diperoleh
Sehingga sudut antara a dan b adalah:
Contoh 10

34. 34
Dua vektor a dan b orthogonal (tegak lurus) jika dan hanya
jika
a ∙ b = 0
Teorema 3

35. 35
Jawab:
Tunjukkan bahwa 2i + 2j – k tegak lurus dengan 5i – 4j + 2k.
Jadi, berdasarkan Teorema 3 kedua vektor tersebut tegak
lurus.
(2i + 2j – k) ∙ (5i – 4j + 2k)= 2(5) + 2(–4) + (–1)(2)
= 0
Contoh 11

36. 36
Oleh karena jika 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
maka cos 𝜃 > 0, dan jika
𝜋
2
< 𝜃 ≤ 𝜋 maka
cos 𝜃 < 0, sehingga a ∙ b positif untuk 𝜃 <
𝜋
2
dan negatif untuk 𝜃 >
𝜋
2
.

37. 37
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Definisi Vektor di R^n

38. 38
Definisi 4.1 (Vektor di 𝑅𝑛
)
Misalkan 𝑛 bilangan bulat positif, maka 𝒗 vektor di
𝑅𝑛
dinyatakan dengan
𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 .
38
Vektor nol dinyatakan dengan
𝟎 = 0, 0, … , 0 .

39. 39
Definisi 4.2 (Kesamaan Vektor di 𝑅𝑛
)
Vektor 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 dan 𝒘 = 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 dikatakan
ekivalen/sama ( ditulis 𝒗 = 𝒘) jika
𝑣1 = 𝑤1, 𝑣2 = 𝑤2, … , 𝑣𝑛 = 𝑤𝑛.
39
Contoh 4.1.
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = (1, −4, 2, 8, 7)
jika dan hanya jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = 2, 𝑑 = 8, dan 𝑒 = 7.

40. 40
Definisi 4.3 (Operasi pada Vektor di 𝑅𝑛
)
Misalkan 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 , 𝒘 = 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 ∈ 𝑅𝑛
dan
𝑘 ∈ 𝑅, maka didefinisikan
𝒗 + 𝒘 = (𝑣1+𝑤1, 𝑣2 + 𝑤2, … , 𝑣𝑛 + 𝑤𝑛),
𝑘𝒗 = 𝑘𝑣1, 𝑘𝑣2, … , 𝑘𝑣𝑛 ,
−𝒗 = −𝑣1, −𝑣2, … , −𝑣𝑛 ,
𝒘 − 𝒗 = 𝒘 + −𝒗 = 𝑤1−𝑣1, 𝑤2 − 𝑣2, … , 𝑤𝑛 − 𝑣𝑛 .
40
Contoh 4.2. Jika 𝐯 = 1, −4, 2, 8, 7 , dan 𝑤 = (4, 2, 1, −3, 2), maka
𝒗 + 𝒘 = 5, −2, 3, 5, 9 , 𝟑𝒗 = (3, −12, 6, 24, 21),
−𝑤 = −4, −2, −1, 3, −2 , 𝒗 − 𝑤 = 𝒗 + −𝒘 = −3, −6, 1, 11, 5

41. 41
Teorema 4.1 (Sifat-Sifat Operasi Vektor di
𝑅𝑛
)
Misalkan 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑅𝑛
dan 𝑘 skalar, maka berlaku
41

42. 42
Teorema 4.2 (Sifat-Sifat Operasi Vektor di
𝑅𝑛
)
Misalkan 𝒗 ∈ 𝑅𝑛
dan 𝑘 skalar, maka berlaku
42

43. 43
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Norm dan Jarak

44. 44
Definisi 4.4 (Norm Vektor)
Misalkan 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑅𝑛
, maka norm/panjang/besar dari
𝒗, dilambangkan dengan 𝑣 , didefinisikan dengan
𝒗 = 𝑣1
2
+ 𝑣2
2
+ ⋯ + 𝑣𝑛
2
.
44
Contoh 4.3. Norm dari vektor 𝐯 = 1, −4, 2, 8, 7 ∈ 𝑅5
adalah
𝒗 = 12 + −4 2 + 22 + 82 + 72 = 134.

45. 45
Teorema 4.3 (Sifat-Sifat Norm Vektor)
Misalkan 𝒗 ∈ 𝑅𝑛
dan 𝑘 skalar, maka berlaku
a) 𝒗 ≥ 0,
b) 𝒗 = 0 jika dan hanya jika 𝒗 = 𝟎,
c) 𝑘𝒗 = 𝑘 𝒗 .
45

46. 46
Definisi 4.5 (Vektor Satuan)
Vektor dengan norm 1 disebut vektor satuan. Secara umum,
jika vektor taknol 𝒗 ∈ 𝑅𝑛
, maka
𝒖 =
1
𝒗
𝒗
adalah vektor satuan dengan arah yang sama dengan 𝒗.
46
Proses mendapatkan vektor satuan dari 𝒗 ini disebut
menormalkan 𝒗.

47. 47
Contoh 4.4.
Tentukan vektor satuan 𝒖 yang memiliki arah sama dengan
𝒗 = (2, 2, −1, 0)
47
Jawab:
𝒗 = 22 + 22 + −1 2 + 02 = 3.
Maka
𝒖 =
1
3
2, 2, −1, 0 =
2
3
,
2
3
,
−1
3
, 0 .
Bisa diperiksa bahwa 𝒖 = 1.

48. 48
Definisi 4.6 (Vektor Satuan Standar)
Dengan demikian vektor 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑅𝑛
dapat
dituliskan dalam
𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 = 𝑣1𝑒1 + 𝑣2𝑒2 + ⋯ + 𝑣𝑛𝑒𝑛
48
Vektor satuan standar di 𝑅2
:𝐢 = 1, 0 dan j=(0, 1)
Vektor satuan standar di 𝑅3
:𝐢 = 1, 0, 0 , j=(0, 0, 1) dan k=(0, 0, 1)
Vektor satuan standar di 𝑅𝑛
didefinisikan dengan
𝒆𝟏 = 1, 0, 0, … , 0 , 𝒆𝟐 = 0, 1, 0, … , 0 , … , 𝒆𝒏 = 0, 0, 0, … , 1 .

49. 49
Definisi 4.7 Jarak
Misalkan 𝒖 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 , 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑅𝑛
, maka jarak
antara u dan 𝒗, dilambangkan dengan 𝑑(𝒖, 𝒗), didefinisikan dengan
𝑑 𝒖, 𝒗 = 𝒖 − 𝒗 = (𝑢1 − 𝑣1)2+(𝑢2 − 𝑣2 )2+ ⋯ + (𝑢𝑛 − 𝑣𝑛)2.
49
Contoh 4.5. Jika 𝐮 = 1, 3, −2, 7 , 𝐯 = 0, 7, 2, 2 ∈ 𝑅4
maka jarak
antara 𝒖 dan 𝒗 adalah
𝑑(𝒖, 𝒗) = (1 − 0)2+ 3 − 7 2 + (−2 − 2)2+(7 − 2)2= 58.

50. 50
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Hasil Kali Titik

51. 51
Definisi 4.8 Hasil Kali Titik
Misalkan 𝒖 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 , 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑅𝑛
, maka hasil kali
titik antara u dan 𝒗, dilambangkan dengan 𝒖 ∙ 𝒗, didefinisikan
dengan
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + ⋯ + 𝑢𝑛𝑣𝑛.
51
Contoh 4.6. Jika 𝐮 = 1, 3, −2, 7 , 𝐯 = 0, 7, 2, 2 ∈ 𝑅4
maka hasil
kali titik antara 𝒖 dan 𝒗 adalah
𝒖 ∙ 𝒗 = 1 0 + 3 7 + −2 2 + 7 2 .

52. 52
Sifat Aljabar dari Hasil Kali Titik
Untuk 𝒖 = 𝒗,
𝒗 ∙ 𝒗 = 𝑣1
2
+ 𝑣2
2
+ ⋯ + 𝑣𝑛
2
= 𝒗 2
52
Sehingga diperoleh
𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒗
Teorema 4.4

53. 53
Teorema 4.5 Sifat Aljabar Tambahan
Jika u, v, dan w vektor di 𝑅𝑛
, dan jika k adalah skalar, maka
53

54. 54
Contoh 4.7.
54

55. 55
Sudut di 𝑅𝑛
55

56. 56
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
56
Misalkan 𝒖 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 , 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑅𝑛
, maka
𝒖 ∙ 𝒗 ≤ 𝒖 𝒗 ,
atau dalam bentuk komponen

57. 57
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Proyeksi Ortogonal

58. 58
Vektor Ortogonal
Dua vektor taknol 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑅𝑛
ortogonal (tegak lurus) jika
𝒖 ∙ 𝒗 = 0.
58
𝒖 ∙ 𝒗 = 0 ↔ 𝜽 = ൗ
𝝅
𝟐
Contoh 4.8.
Misalkan 𝐮 = −2, 3, 1, 4 , 𝐯 = 1, 2, 0, −1 ∈ 𝑅4
. Vektor 𝒖 dan 𝒗
orthogonal karena

59. 59
Proyeksi Ortogonal
𝑤1= 𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝒖 (proyeksi ortogonal 𝒖 pada 𝒂)
59
𝒖
𝒂 𝒘1
𝒖
𝒂
𝒘𝟐
𝒘1 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝒖
𝒖
𝒂
𝑤2 =𝐮 − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝒖 (komponen 𝒖 ortogonal 𝒂)
𝑃𝑟𝑜𝑦𝒂𝒖 =
𝒖 ∙ 𝒂
𝒂 2
𝒂
𝒖 − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝒖 = 𝒖 −
𝒖 ∙ 𝒂
𝒂 2
𝒂

60. 60
Proyeksi Ortogonal (Bukti)
Tujuan utama adalah menentukan
𝒘1 = 𝑘𝒂 (1)
60
𝒖 = 𝒘1 + 𝒘2 (2)
𝑘 =
𝒖 ∙ 𝒂
𝒂 2 𝒘2 = 𝒖 − 𝑤1 = 𝒖 − 𝑘𝒂 = 𝒖 −
𝒖 ∙ 𝒂
𝒂 2
𝒂
𝒖 = 𝒘1 + 𝒘2 = 𝑘𝒂 + 𝒘2
Dengan sifat hasil kali titik
𝒖 ∙ 𝒂 = 𝑘𝒂 + 𝒘2 ∙ 𝒂 = 𝑘 𝒂 𝟐 + (𝒘𝟐 ∙ 𝒂) (3)
Karena 𝒘2 ⊥ 𝒂, maka bentuk kedua pada persamaan (3) menjadi nol, sehingga
𝒖 ∙ 𝒂 = 𝑘 𝒂 𝟐 (4)

61. 61
u− proy𝒗𝒖 = 𝒖 −
𝒖 ∙ 𝒗
𝒗 2
𝒗
61
Contoh 4.9. Misalkan 𝐮 = −2, −4, 3 , 𝐯 = 1, 3, −4 ∈ 𝑅3
. Tentukan vektor
proyeksi orthogonal 𝒖 pada 𝒗 dan vektor komponen 𝒖 orthogonal 𝒗.
Proy𝒗𝒖 =
𝒖 ∙ 𝒗
𝒗 2
𝒗
=
−2
−4
3
∙
1
3
−4
12 + 32 + (−4)2
1
3
−4
=
−2 + (−12) + (−12)
26
1
3
−4
=
−26
26
1
3
−4
=
−1
−3
4
.
=
−2
−4
3
−
−1
−3
4
=
−1
−1
−1

62. 62
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Hasil Kali Silang

63. 63
Definisi 4.9
Misalkan 𝒖 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 , 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ∈ 𝑅3
. Hasil kali silang 𝒖 × 𝒗 adalah
vektor di 𝑅3
dengan definisi
63
atau

64. 64
64
Contoh 4.10.
Tentukan 𝒖 × 𝒗 dengan 𝐮 = 1, 2, −2 dan 𝐯 = 3, 0, 1 .

65. 65
Definisi 4.10 (Hasil Kali Silang dalam Bentuk Determinan)
Sebagai contoh, untuk 𝐮 = 1, 2, −2 dan 𝐯 = 3, 0, 1 , maka
65

66. 66
Teorema 4.6 (Kaitan Hasil Kali Silang dan Titik)
Jika 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑅3
, maka
66

67. 67
Dan
67
Contoh 4.11.
Dari Contoh 4. 10, dengan 𝐮 = 1, 2, −2 dan 𝐯 = 3, 0, 1 , diperoleh
𝒖 × 𝒗 = (2, −7, −6). Karena
𝒖 × 𝒗 ortogonal dengan 𝒖 dan 𝒗.

68. 68
Bukti Sifat (a)
Vektor a x b orthogonal dengan a dan b.
Ini bisa ditunjukkan dengan (a x b) · a = 0 dan (a x b) · b = 0
Bukti:
a x b = ‹𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2, 𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3, 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1›
(a x b) · a = ‹𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2, 𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3, 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1› · ‹𝑎1, 𝑎2, 𝑎3›
= 𝑎1 𝑎2𝑏3 − 𝑎1𝑎3𝑏2, +𝑎2𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑎2𝑏3, +𝑎1𝑎3𝑏2 − 𝑎2𝑎3𝑏1
= 0

69. 69
Kaidah Tangan Kanan
• Misalkan a dan b vektor dengan titik pangkal yang sama.
• Pada Sifat (a), vektor a x b tegak lurus pada bidang yang melalui
a dan b.
• Sehingga arah vektor a x b diberikan oleh kaidah tangan kanan.

70. 70
Teorema 4.7 (Sifat Utama Hasil Kali Silang)
70
Misalkan 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑅3
dan k skalar, maka

71. 71
Sifat 4.8
Dua vektor (tak-nol) a dan b adalah sejajar jika dan hanya jika
a x b = 0
Jika 𝜃 adalah sudut antara a dan b ( 0 ≤ 𝜃 ≤ π), maka
|a x b| = |a||b| sin 𝜃
Sifat 4.9

72. 72
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Luas Segitiga dan Jajar Genjang

73. 73
Bentuk Lain Teorema 4.6 (c) (Identitas
Lagrange)
73
𝑀𝑎𝑘𝑎, lj
𝑎 × ሜ
𝑏 = lj
𝑎 ሜ
𝑏 sin 𝛼 (3)
lj
𝑎 × ሜ
𝑏
2
= lj
𝑎 2 ሜ
𝑏
2
− lj
𝑎 ∙ ሜ
𝑏
2
= lj
𝑎 2 ሜ
𝑏
2
− lj
𝑎 ሜ
𝑏 cos 𝛼
2
(1)
= lj
𝑎 2 ሜ
𝑏
2
− lj
𝑎 2 ሜ
𝑏
2
cos2
𝛼
= lj
𝑎 2 ሜ
𝑏
2
1 − cos2
𝛼 (2)
= lj
𝑎 2 ሜ
𝑏
2
sin2
𝛼

74. 74
Interpretasi Geometri
74
Apakah ini?
b
a

||a|| sin
||b||
Luas Jajargenjang/Parallelogram
Luas Segitiga
sin
a b a b 
 =
sin
a b a b

= = 
1 1
sin
2 2
a b a b

= = 

75. 75
Contoh 4.12.
75
Misalkan koordinat titik A, B, dan C sbb :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Gunakan hasil kali silang untuk mencari luas segitiga ABC dan luas jajar
genjang ABCD!

76. 76
76
Jawab (A sebagai acuan):
( ) ( )
( ) ( ) ( )
B – A 4,1,0 – 1, –1, –2 (3,2,2)
– A 2,3,3 – 1, –1, –2 1,4,5
AB
AC C
= = =
= = =
A
C
B
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
3 2 2 2 13 10
1 4 5
i j k
AB AC i j k
 = = − +
1 1
4 169 100 273
2 2
= + + =
4 169 100 273
= + + =
Luas segitiga ABC
Luas jajar genjang

77. 77
77
Jawab (B sebagai acuan):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1, 1, 2 – 4,1,0 3, 2, 2
2,3,3 – 4,1,0 2,2,3
BA a b
BC c b
= − − = − − −
= −
= = −
= −
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
3 2 2 2 13 10
2 2 3
i j k
BA BC i k j
 = − − − = − + −
−
1 1 1
4 169 100 273
2 2 2
BA xBC
= = + + =
Luas segitiga ABC
Luas Jajar genjang 4 169 100 273
= + + =
B
C
A

78. 78
IEJ1F3-Matriks dan Ruang Vektor
S1 Teknik Industri – Fakultas Rekayasa Industri
Aplikasi pada Garis dan Kurva
(Opt.)

79. 79
1. Garis
• Misalkan 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 ∈ 𝑅2
• Terdapat garis
𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑦 + 𝑐3 = 0, (1)
dengan 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 tidak semua nol.
• Substitusi kedua titik pada 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑦 + 𝑐3 = 0, sehingga diperoleh SPL
𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑦1 + 𝑐3 = 0
𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑦2 + 𝑐3 = 0
(2)
• Maka diperoleh SPL Homogen berikut
79
• Karena 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 tidak semua nol, maka SPLH ini memiliki solusi tak-trivial.
Sehingga determinan
• Jadi, setiap titik pada garis memenuhi persamaan (4).

80. 80
80
Contoh 1

81. 81
81
2. Lingkaran Melalui Tiga Titik

82. 82
82
Contoh 2