Dokumen tersebut membahas tentang vektor, meliputi pengertian besaran skalar dan vektor, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian titik dan silang, serta vektor satuan.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
1. Dokumen membahas penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan volume benda putar
2. Ada beberapa metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metode cakram, cincin, dan kulit tabung
3. Beberapa contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut
Bab ini membahas penggunaan integral untuk menghitung luas daerah, volume benda pejal, panjang kurva, massa dan pusat massa. Metode yang digunakan antara lain metode cincin, cakram, dan kulit tabung beserta contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas berbagai sistem koordinat termasuk koordinat Kartesius, koordinat polar, koordinat tabung, dan koordinat bola beserta konversi antara sistem-sistem koordinat tersebut. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya terkait empat sistem koordinat utama.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
1. Dokumen membahas penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan volume benda putar
2. Ada beberapa metode untuk menghitung volume benda putar yaitu metode cakram, cincin, dan kulit tabung
3. Beberapa contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut
Bab ini membahas penggunaan integral untuk menghitung luas daerah, volume benda pejal, panjang kurva, massa dan pusat massa. Metode yang digunakan antara lain metode cincin, cakram, dan kulit tabung beserta contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas berbagai sistem koordinat termasuk koordinat Kartesius, koordinat polar, koordinat tabung, dan koordinat bola beserta konversi antara sistem-sistem koordinat tersebut. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya terkait empat sistem koordinat utama.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda dengan menjelaskan langkah-langkah penyelesaiannya seperti partisi, aproksimasi luas, jumlahkan, ambil limit, dan integralkan. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan tentang penggunaan integral."
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan elips dengan pusat (h,k). Terdapat rumus-rumus dasar elips seperti persamaan, fokus, sumbu-sumbu, eksentrisitas, dan lainnya. Contoh soal ditunjukkan beserta jawabannya untuk menentukan berbagai karakteristik elips.
Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi antara dua himpunan. Relasi adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke anggota himpunan lain, sementara fungsi adalah relasi khusus dimana setiap anggota himpunan pertama dipasangkan tepat satu anggota himpunan kedua. Dokumen ini juga menjelaskan cara menyatakan relasi dan menentukan banyaknya fungsi antara dua himpunan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan parametrik, termasuk definisi, kurva parametrik, turunan pertama dan kedua, luas area dan panjang busur, serta contoh-contoh soal.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep pemetaan dalam matematika. Pemetaan adalah cara menghubungkan unsur-unsur dari satu himpunan ke himpunan lainnya. Ada beberapa jenis pemetaan seperti pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif yang dijelaskan beserta contoh-contohnya.
This document discusses trigonometric functions and their graphs. It contains:
1) Definitions and properties of sine, cosine, and tangent functions. Examples are given to find unknown sides of triangles using trigonometric ratios.
2) Graphs of y=sinx, y=cosx, y=tanx from 0 to 360 degrees are shown and their periodic properties are described.
3) Graphs of other trigonometric functions like secant, cosecant are discussed along with their vertical asymptotes. Periodic properties and transformations of trigonometric function graphs are summarized.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi bernilai vektor, termasuk definisi, notasi, contoh fungsi vektor, domain fungsi vektor, persamaan parameter garis dan kurva, grafik fungsi vektor, serta sifat-sifat fungsi vektor seperti ekivalensi dan limit fungsi vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk sifat-sifatnya, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian titik dan silang, serta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor dan skalar, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian skalar dan vektor, serta contoh soal terkait vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda dengan menjelaskan langkah-langkah penyelesaiannya seperti partisi, aproksimasi luas, jumlahkan, ambil limit, dan integralkan. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan tentang penggunaan integral."
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan elips dengan pusat (h,k). Terdapat rumus-rumus dasar elips seperti persamaan, fokus, sumbu-sumbu, eksentrisitas, dan lainnya. Contoh soal ditunjukkan beserta jawabannya untuk menentukan berbagai karakteristik elips.
Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi antara dua himpunan. Relasi adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke anggota himpunan lain, sementara fungsi adalah relasi khusus dimana setiap anggota himpunan pertama dipasangkan tepat satu anggota himpunan kedua. Dokumen ini juga menjelaskan cara menyatakan relasi dan menentukan banyaknya fungsi antara dua himpunan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan parametrik, termasuk definisi, kurva parametrik, turunan pertama dan kedua, luas area dan panjang busur, serta contoh-contoh soal.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep pemetaan dalam matematika. Pemetaan adalah cara menghubungkan unsur-unsur dari satu himpunan ke himpunan lainnya. Ada beberapa jenis pemetaan seperti pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif yang dijelaskan beserta contoh-contohnya.
This document discusses trigonometric functions and their graphs. It contains:
1) Definitions and properties of sine, cosine, and tangent functions. Examples are given to find unknown sides of triangles using trigonometric ratios.
2) Graphs of y=sinx, y=cosx, y=tanx from 0 to 360 degrees are shown and their periodic properties are described.
3) Graphs of other trigonometric functions like secant, cosecant are discussed along with their vertical asymptotes. Periodic properties and transformations of trigonometric function graphs are summarized.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi bernilai vektor, termasuk definisi, notasi, contoh fungsi vektor, domain fungsi vektor, persamaan parameter garis dan kurva, grafik fungsi vektor, serta sifat-sifat fungsi vektor seperti ekivalensi dan limit fungsi vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk sifat-sifatnya, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian titik dan silang, serta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor dan skalar, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian skalar dan vektor, serta contoh soal terkait vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk pengertian vektor, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta contoh soal terkait vektor.
1. Dokumen membahas tentang skalar dan vektor sebagai besaran matematis dan fisika. Skalar hanya memerlukan besarnya saja untuk menggambarkan suatu besaran, sedangkan vektor memerlukan besar dan arah.
2. Terdapat penjelasan tentang operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta perkalian titik dan silang antar vektor.
3. Diuraikan pula notasi vektor
Bab 1 membahas tentang sifat vektor dan skalar serta penggambaran dan notasi vektor. Vektor memiliki besar dan arah sedangkan skalar hanya memiliki besar. Terdapat empat metode operasi matematika vektor yaitu jumlah, selisih, perkalian skalar dengan vektor, dan perkalian vektor dengan vektor.
Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika seperti perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dengan vektor, sedangkan skalar hanya memiliki besaran saja seperti temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah dan dapat ditulis menggunakan vektor satuan.
1. Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat besaran fisis skalar dan vektor, serta operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, proyeksi ortogonal, dan vektor satuan.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor dan skalar, termasuk pendefinisian, penggambaran, penulisan, penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dan vektor satuan.
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
2. Sifat besaran fisis : Skalar
Vektor
Besaran Skalar
Besaran yang tidak mempunyai arah, cukup dinyatakan oleh
besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi
Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat
Besaran Vektor
Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah.
z
x
y
2.2
2.1 BESARAN SKALAR DAN VEKTOR
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya
Catatan : vektor tergantung sistem koordinat
3. Gambar :
P Q
Titik P : Titik pangkal vektor
Titik Q : Ujung vektor
Tanda panah : Arah vektor
Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor
2.3
Catatan :
Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal
Notasi Vektor
A Huruf tebal
Pakai tanda panah di atasA
A Huruf miring
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
2.2 PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR
4. Catatan :
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A B A = B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A B
2.4
A B
A B
5. 2.3 OPERASI MATEMATIK VEKTOR
1. Operasi jumlah dan selisih vektor
2. Operasi kali
2.3.1 JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Metode:
1. Jajaran Genjang
2. Segitiga
3. Poligon
4. Uraian
1. Jajaran Genjang
R = A + B+ =A
A
Besarnya vektor R = | R | = cos222
ABBA
2.5
Besarnya vektor A+B = R = |R| = θcos22 ABBA ++
Besarnya vektor A-B = S = |S| = θcos2 ABBA -+
2
22
6. 2.6
2. Segitiga
3. Poligon (Segi Banyak)
Jika vektor A dan B searah θ = 0o : R = A + B
Jika vektor A dan B berlawanan arah θ = 180o : R = A - B
Jika vektor A dan B Saling tegak lurus θ = 90o : R = 0
Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik
+ =A
A
B
+ + + =
A
D
A+B+C+D
A
B
C
D
7. Ay
By
Ax Bx
A
B
Y
X
Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y)
A = Ax.i + Ay.j ; B = Bx.i + By.j
Ax = A cos θ ; Bx = B cos θ
Ay = A sin θ ; By = B sin θ
Besar vektor A + B = |A+B| = |R|
22
yx RR |R| = |A + B| =
Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =
x
y
R
R
2.7
4. Uraian
x
y
R
R
θ = arc tg
Ry = Ay + ByRx = Ax + Bx
8. Contoh Soal :
Dua anak A dan B mendorong balok, jika A mendorong balok ke
selatan dengan kekuatan 400 N dan pada saat yang sama B
mendorong balok ke arah timur dengan kekuatan 300 N, maka
tentukan resultan gaya A dan B.
Solusi :
A = 400 Newton ke selatan
B = 300 Newton ke arah timur
2.8
9. 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :
Jawab :
Besar dan arah vektor pada gambar di samping :
Contoh Soal
Y
X
E
A
C
D
B
Vektor Gaya (N) Arah (o)
A 19 0
B 15 60
C 16 135
D 11 210
E 22 270
Vektor Gaya (N) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)
A
B
C
D
E
19
15
16
11
22
0
60
135
210
270
19
7,5
-11,3
-9.5
0
0
13
11,3
-5,5
-22
RX = 5,7 N RY = -3,2N
Hitung : Besar dan arah vektor resultan.
2.9
Besar gaya Resultan : NRRR yx 5,6
22
10. Besar gaya Resultan : NRRR yx 5,6
22
Tentukan besar sudutnya :
29
56,0
7,5
2,3
tan
Rx
Ry
R
5,7N
3,2Nθ
X
Y
Gaya Resultan sebesar 6,5N pada arah -29⁰ atau 331⁰
2.10
11. 1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor
C = k A k : Skalar
A : Vektor
Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A
Catatan : Jika k positif arah C searah dengan A
Jika k negatif arah C berlawanan dengan A
k = 3,
A C = 3A
2.11
2.3.2 PERKALIAN VEKTOR
12. 2. Perkalian Vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product) Hasilnya skalar
A B = C C = skalar
θ
B
A cos θ
2.12
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan
B
13. 2.13
1. Komutatif : A B = B A
2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot
Product)
Catatan :
1. Jika A dan B saling tegak lurus A B = 0
2. Jika A dan B searah A B = A B
3. Jika A dan B berlawanan arah A B = - A B
14. b. Perkalian Silang (Cross Product)
θ
A
B
C = A x B
θ
B
A
C = B x A
Catatan :
Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ
2.14
Hasilnya vektor
Sifat-sifat :
1. Tidak komunikatif A x B B x A
2. Jika A dan B saling tegak lurus A x B = B x A
3. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0
=
15. Perkalian Silang Pada Vektor Satuan
menggunakan metode determinan
A × B = i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz
A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
Dengan menggunakan metode determinan tersebut, maka hasil
perkalian silang antara vektor A dan vektor B di atas adalah
sebagai berikut.
2.15
16. 2.4 VEKTOR SATUAN
Vektor yang besarnya satu satuan
A
A
A ˆ
Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak)
Z
Y
X
j
k
i
A Arah sumbu x :
Arah sumbu y :
Arah sumbu z :
2.16
Notasi 1ˆˆ
A
A
AA Besar Vektor
kAjAiAA zyx
ˆˆˆ
kˆ
jˆ
iˆ
17. 2.17
i
j
k
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan
= =
= =
=
=
1
0
ii
ji
jj
kj
kk
ik
Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan
i x i j x j k x k= = = 0
i x j
j x k
k x i
=
=
=
k
j
i
18. 1. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa
besar vektornya ?
Vektor
Jawab :
= ++2
2
(-3)
2
4
2A A
= 2i – 3j + 4kA
= = 29 satuan
2. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini :
2i – 2j + 4kA =
i – 3j + 2kB =
Jawab :
Perkalian titik :
A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
Perkalian silang :
A x B =
231
422
-
-
kji
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k
= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k
= 8i – 0j – 2j
= 8i – 2k
2.18
CONTOH
SOAL
19. 3. Hitunglah hasil perkalian silang dua verktor A = i + j + k dan B = 3i + j + 2k.
Kemudian tentukan besar sudut yang dibentuk (diapit) kedua vektor tersebut.
Penyelesaian:
Hasil perkalian
A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
A × B = (1×2 – 1×1)i + (1×3 – 1×2)j + (1×1 – 1×3)k
A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k
A × B = i + j – 2k
Sudut yang dibentuk
|A × B|= AB sin α
A = √(12 + 12 + 12) = √3
B= √(32 + 12 + 22) = √14
|A × B|= √{(12 + 12 + (-22)} = √6
maka
√6= (√3)(√14) sin α
√6= √42 sin α
sin α= √6/√42
sin α= 0,378
α≈ 22,21o
2.19
20. 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :
Besar dan arah vektor pada gambar di samping :
PR
Y
X
E
A
C
D
B
Vektor Besar (N) Arah (o)
A 20 0
B 15 45
C 15 135
D 11 207
E 20 270
Hitung : Besar dan arah vektor resultan.
2.21
2. Diberikan vektor
kjiq
kjip
22
22
a. Tentukan nilai vektor p dan q
b. Tentukan hasil dari p • q
c. Tentukan hasil dari p x q
d. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor p dan q