Downloaded 264 times
![4
Vektor posisi dan vektor jarak
z2y2x22
z1y1x11
azayaxR
azayaxR
++=
++=
Vektor R12 adalah vektor dari
P1 ke P2 dan jaraknya (panjang
atau magnitude) adalah d:
( ) ( ) ( ) z12y12x12
1212
azzayyaxx
RRR
−+−+−=
−=
( ) ( ) ( )[ ] 212
12
2
12
2
12
12
zzyyxx
Rd
−+−+−=
=
](https://image.slidesharecdn.com/medanvektor-130721075152-phpapp02/75/Medan-vektor-4-2048.jpg)
Uploaded byEthelbert Phanias
Medan vektor
1. Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor dan operator-operator vektor yang digunakan dalam medan dan gelombang elektromagnetik, seperti gradien, divergensi, dan curl. 2. Dibahas pula sistem koordinat kartesian, silindris, dan bola yang digunakan untuk merepresentasikan vektor dalam ruang tiga dimensi. 3. Operator-operator vektor digunakan untuk menghitung laju perubahan medan skalar dan vektor.
More Related Content
Medan vektor
- 1. 1 Aplikasi Vektor untuk Medandan Gelombang EM
- 2. 2 Dasar-dasar Vektor ( )( ) ( ) ( ) zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA ++= Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y A A aˆora = ( )2 1 2 z 2 y 2 x AAAA ++=
- 3. 3 Penjumlahan vektor ( )zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC +++++= Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)
- 4. 4 Vektor posisi danvektor jarak z2y2x22 z1y1x11 azayaxR azayaxR ++= ++= Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d: ( ) ( ) ( ) z12y12x12 1212 azzayyaxx RRR −+−+−= −= ( ) ( ) ( )[ ] 212 12 2 12 2 12 12 zzyyxx Rd −+−+−= =
- 5. 5 Vektor posisi danvektor jarak Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az Vektor posisi OQ = rQ= 2ax - 2ay + az Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az
- 6. 6 Perkalian titik (perkalianskalar) ( )ABBABA θcos =⋅ • Selalu menghasilkan bilangan skalar • A cos(θAB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. • Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: • A·A=|A|2 =A2 0ˆˆ =⋅ yx
- 7. 7 Perkalian titik (perkalianskalar) ( ) 332211 z3y2x1 z3y2x1 AB BABABABA aBaBaBB aAaAaAA θcosBABA ++=⋅ ++= ++= =⋅
- 8. 8 Perkalian silang (perkalianvektor) Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!!
- 9. 9 Perkalian silang (ljt) Pergerakansearah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif. xa yaza yzx yxz zyx aaa aaa aaa −=× =× =× zyx zyx zyx BBB AAA aaa BA =×
- 10. 10 Triple Products Hasil operasilain yang penting: ( ) ( ) ( )BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ Scalar triple product Vector triple product (aturan bac-cab) ( ) ( ) ( )BACCABCBA ⋅−⋅=×× Menghasilkan skalar Menghasilkan vektor
- 11. 11 VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARYCOORDINATE SYSTEMS: • RECTANGULAR • CYLINDRICAL • SPHERICAL Choice is based on symmetry of problem Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL
- 12. 12 Sistem Koord. Kartesian x y z (x,y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d! yxz zyx aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd aˆdzaˆdyaˆdxld dzdydxdv === ++= = xaˆ yaˆ zaˆ
- 13.
- 14. 14 Sistem Koord. Tabungatau Silindris z y x φ ρ (ρ, φ, z) Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d! dzdddv aˆdzdsd aˆdzaˆdaˆdld z φρρ= φρ= +φρ+ρ= ρ φρ zaˆ φaˆ ρaˆ
- 15. 15 Sistem Koord. Tabungatau Silindris dzdddv aˆdzdsd aˆdzaˆdaˆdld z φρρ= φρ= +φρ+ρ= ρ φρ
- 16. 16 Sistem Koordinat Bola z y x r φ θ (r,θ, φ) nb : harga θ adalah 0 sampai π , bukan 0 sampai 2π Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d! ddθdrsinθr aˆddθsinθr aˆdsinθraˆdθraˆdrld 2 r 2 θr φ φ φ φ = = ++= dv sd θaˆ φaˆ raˆ
- 17.
- 18. 18 Transformasi Koordinat Kadang kalakita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : φ+θ−= θ−φθ+φθ= θ+φθ+φθ= φ θ cosAsinAA sinAsincosAcoscosAA cosAsinsinAcossinAA yx zyx zyxr Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan
- 19. 19 Soal2 1. Tiga titikA(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : – Vektor dari A ke C – Vektor satuan dari B ke A – Jarak dari B ke C •-ax+8ay-4az •0,762ax-0,127ay-0,635az •12,45
- 20. 20 Soal2 2. Sebuah medanvektor dinyatakan oleh W=4x2 y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2 ) az Cari : – Besar medan di P(2,-3,4) – Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P – Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan • 53,4 • -0,899ax-0,412ay+0,150az • +- 0,455
- 21. 21 Soal2 3. Diketahui F= 2ax-5ay-4az; G = 3ax+5ay+2az Cari : 3. F.G 4. Sudut antara F dan G 5. Panjang proyeksi F pada G 6. Proyeksi vektor F pada G • -27,0 • 130,8 o • -4,38 • -2,13ax-3,55ay-1,42az
- 22. 22 Soal2 4. Diketahui F= -45ax+70ay+25az; G = 4ax-3ay+2az Cari : 4. F x G 5. ax (ay x F) 6. (ay x ax ) x F 7. Vektor satuan yang tegak lurus F pada G • 215ax+190ay-145az • -45ay • -70ax-45ay • +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)
- 23. 23 Soal2 5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250 ,z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4) Cari : – Jarak dari P ke titik asal – Q tegak lurus pada sumbu z – P ke Q • 6,71 • 3,16 • 11,20
- 24. 24 Soal2 6. a. NyatakanT=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya ( )ϕρ 23 cos2 2 +−z e • 240+z2 –ρ2 sin 2φ • 8,66
- 25. 25 Soal2 7. a. Nyatakanmedan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cosφ aρ • ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ • ( )yx yaxa yx x + + 22
- 26. 26 Operator Del =∇ ( ) ( ) ( )Bolaa sinr a r a r Tabunga z aa Cartesiana z a y a x r z zyx φθ φρ φ∂θ ∂ + θ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ∂ ∂ + φ∂ ∂ + ρ∂ ∂ =∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇
- 27. 27 Grad, Div danCurl an vektormenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Curl AAA zyx aaa ACurlA skalaranmenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Div z A y A x A ADivergensiA an vektormenghasilkuntukskalarfungsipadaberoperasi:Grad a z a y a x Gradien EMmedanteoridalammendasarsangatyang halmerupakandanldiferensiaoperatoradalahKetiganya zyx zyx zyx zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ==×∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ==⋅∇ ∂ φ∂ + ∂ φ∂ + ∂ φ∂ =φ=φ∇
- 28. 28 Gradien dari medanskalar Jika ϕ(x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari ϕ, dinyatakan sbg grad ϕ atau ∇ϕ Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu- kaan yang digambarkan oleh ϕ(x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor. a z a y a x Grad zyx ∂ φ∂ + ∂ φ∂ + ∂ φ∂ ==φ∇
- 29. 29 Contoh gradien ( ) () 2 2 , , ˆ ˆ ˆMaka 2 z z z x y z x y xe x e x x y xe z ϕ ϕ = − ∇ = − + − Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan ( ) ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y zϕ∇ = − + − Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah ( ) 28 21 Pϕ − ∇ = turunan berarah
- 30. 30 Rapat fluks Operator divergensidinyatakan sbg ∇ dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan seragam medan tak seragam
- 31. 31 Divergensi Divergensi pada suatutitik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar. z E y E x E EDivergensiE zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ==⋅∇
- 32. 32 Contoh divergensi x6x x0x6E zˆzxyˆz2xˆx3E 2 2 22 += ++=⋅∇ ++= Di titik(2,-2,0) ( ) 16 0,2,2 =⋅∇ − E Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.
- 33. 33 Curl (Rotasi=Pusaran) Curl darimedan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. Medan B seragam, curl-nya nol. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol.
- 34.
- 35. 35 Operator penting lainnya () ( ) 2 2 2 2 2 2 2 z 2 y 2 x 22 2 z V y V x V V AAA 0 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ∇+∇+∇=∇ =×∇⋅∇ =φ∇×∇ ∇−⋅∇∇=×∇×∇ A A AAA Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembaha- san mendatang. Operator Laplacian
- 36. 36 Operator Laplacian (1) Ingat:ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z x y z A x A y A z ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ = + + Sekarang ( ) 2 2 2 2 2 2 yx z AA A x y z x y y ϕ ϕ ϕ ϕ ∂∂ ∂ ∇× ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ Untuk praktisnya ditulis: ( )2 ϕ ϕ∇ = ∇× ∇ baca “del kuadrat”
- 37. 37 Laplacian (2) Laplacian bisajuga ber-operasi pada vektor ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + + Jika Maka, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆx y z E E x y y x E y E z E ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ÷ ∂ ∂ ∂ = ∇ + ∇ + ∇ Dapat juga ditunjukkan bahwa: ( )2 E E E∇ = ∇ ∇× −∇×∇× “curl curl dari E”
- 38. 38 Ikhtisar: Grad, Div,dan Curl zyx zyx AAA zyx zyx z A y A x A z z y y x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =×∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ˆˆˆ ˆˆˆ A A φφφ φ
- 39. 39 Teorema integral (teorema divergensi) vS E dv E dS∇× = ×∫ ∫ Ñ Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. ( ) (teorema Stokes) S C B dS B dl∇× × = ×∫ ∫ Ñ Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup
- 40. 40 Integral garis/permukaan Contoh: teoremaStoke rn ˆˆ = ( ) (teorema Stoke) S C B dS B dl∇× × = ×∫ ∫ rrr r Ñ Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan. Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen.
- 41. 41 Permasalahan nilai batas KarenaPDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: •Syarat batas jenis Dirichlet •Syarat batas jenis Neumann •Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)
- 42. 42 Syarat batas jenisDirichlet S Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada . gV = Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.
- 43. 43 Syarat batas jenisNeumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .f dn dV = S f dn dV = Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.
- 44. 44 Contoh (1) batasbidang (planar) Hi EiEr Hr x θr θi θtHt Et ε2µ2 ε1µ1 Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus- kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0). y incidentreflected transmitted
- 45. 45 Contoh (2): bumbunggelombang ( ) 0y,xEk yx z 2 c2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) 02 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ yxHk yx zc , X Y a b ε, µ Perlu Ez=0 pada semua dinding ⇒ syarat batas Dirichlet perlu pada dinding. ⇒ syarat batas Neumann dan 0z zH H x y ∂ ∂ = ∂ ∂
- 46. 46 Syarat batas dalamEM Et1 nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Et2 E tangensial kontinyu nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Ht2 Ht1 n × (H1-H2)=Js nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Bn1 Bn2 B normal kontinyu nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 D2n D1n n·(D1-D2)=ρs Ekivalen
- 47. 47 Lihat contoh berikut Et1nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Et2 E tangensial kontinyu Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + + r Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!ˆn E× r
- 48. 48 Dan satu contohlagi nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Ht2 Ht1 n × (H1-H2) = Js Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: 1 ˆ sn H J× = r rIni berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. “permukaan”
- 49. 49 Contoh: ( ) ( ) 0 0 22 0 2 2 ˆ memenuhi 0 ˆ ˆ memenuhi 0d j z i i j z r r j z t t d E xE e E E xE e E xE e E β β β β β − + − = ∇ + = = = ∇ + = r r r r r zε0 εd Ei atau Er Et Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu. ( ) 0 1 i r t t i r d E E E E E E Z Z + = − =
Editor's Notes
- #2 Medan Elektromagnetik. Sukiswo