Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom membahas tentang barisan dan deret, termasuk definisi barisan dan deret, kekonvergensian barisan dan deret, serta contoh-contoh soal.

1. Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Barisan dan Deret

2. Barisan
Definisi
Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan
daerah asal merupakan bilangan asli.
Notasi: f: N R
n f(n ) = an
Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil
1
1
,
3
1
1,
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
2
{an} dengan an adalah suku ke-n.
Bentuk penulisan dari barisan :
1. bentuk eksplisit suku ke-n
2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku
awalnya.
3. bentuk rekursi
an =
n
  
  
, ...
4
1
,
2
n
n
a
n a
a a
+
= = + 1
1, 1 1

3. Kekonvergenan Barisan
Definisi:
Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau
berlimit L dan ditulis sebagai
=
a L n
lim
n
®¥
Jika untuk tiap bilangan positif e, ada bilangan
positif N sehingga untuk
n ³ N ⇒ a - L e n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
3
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke
suatu bilangan L yang terhingga dinamakan
divergen.

4. Catatan
Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan.
Kita akan menggunakan fakta berikut.
=
=
Jika lim f ( x ) L
f n L
x
®¥
, maka lim ( )
n
®¥
Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai
kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
4

5. Sifat Limit Barisan
Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L
dan barisan {bn} konvergen ke M, maka
1. lim(a b ) lim(a ) lim(b ) L M n
n
n
n
n n
n
± = ± = ±
®¥ ®¥ ®¥
2. lim( a .b ) lim( a ) .lim( b ) L.M n
n
n
n
n n
n
= =
®¥ ®¥ ®¥
lim a
a
n


®¥
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
5
3.
( )
L
( ) M
lim b
b
lim
n
n
n
n
n
n
= =  

 

®¥
®¥
, untuk M¹ 0
Barisan {an} dikatakan
a. Monoton naik bila an+1 ³ an
b. Monoton turun bila an+1 £ an

6. Contoh
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
n
a n -
2n 1
1. =
Jawab:
Ambil
( )
=
x
f x , Dalam hal ini menurut kaidah
x
-
2 x
1
lim ( ) lim =
-
f x
I’Hospital,
1
2
n
lim =
n
®¥ 2 n -
1
Jadi,
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
6
1
2
2 1
=
®¥ ®¥ x
x x
artinya barisan an konvergen menuju ½.

7. Contoh
2.
n
1
 = +
a n 1 n



Jawab:
Ambil
x
 = + 1
f x x



( ) 1 , Dalam hal ini menurut kaidah
exp lim . 1
 
 
I’Hospital,
 


 
 
 = x
+
1
 
 



 +


= x
1
1
ln 1
exp lim
x
 
 
+
1
 lim 1

®¥ x



e
1
n

n
x

lim 1
n


2
= 
 -

®¥
Jadi,
 -


2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
e e
7
x
x
x

= = 


+
=
®¥
1
1
exp lim


artinya barisan an konvergen menuju e.
 


®¥
x
x     

    





+

  -
=
®¥ 2
1
1
.
1
exp lim
x
x
x
x
x
x x


®¥

8. Latihan
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
2
= +
4n 1
a 2
1. ) , a1=2
n - +
n 2n 3
= +
3n 2
n 1
a
2
n +
n
2
n a
  
an+1 =
  
1
(an +
...
4
,
4
5
2
2
,
2
3
,
3
1
 
 
5
,
4
,
3
,
2
1,
- - - ...
2.
7.
8.
9.
=
( )
a n +
a = - p
ln(n)
1
an , a1=1 11.
3.
4.
5.
2/11/2010 [MA 1124]

KALKULUS II
8
n 1
n
n
n 4
n
a n =
  9
7
5
3

 

 

- - -
...
3
4
1
1
,
2
3
1
1
,
2
1
1
1
1,

 


 

- - - -
...
1
5
5
4
,
4
1
4
3
,
3
1
3
2
,
2
1
2
1
an+1 = 1 +
2
10.
6.

9. Deret Tak Hingga
Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi
sigma, sebagai berikut:
Σ ¥
n=0
n a = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an + …
dengan a adalah suku ke-n.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
9
n

10. Barisan Jumlah Parsial
Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret
¥
Σ a
i , maka i=0
S1 = a1
S2 = a1 + a2
.
.
.
n
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = Σ=
i a
Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deretΣ ¥
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
10
i=0
i a
i 0
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

11. Kekonvergenan Deret Tak Hingga
Deret tak hingga Σ ¥
i=0
i a konvergen dan mempunyai
jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn}
konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}
divergen maka deret divergen.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
11

12. Deret Geometri
Bentuk umum deret geometri adalah
Σ ¥ =
-
n 1
ar n 1 = a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...
dengan a ¹ 0.
Jumlah parsial deret ini adalah
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
12
Sn = Σ=
-
n
i 1
ar i 1 = a +ar +a r2 + ... + a rn-1
a dan dapat ditulis sebagai Sn = ( 1 r n
)
- , r ¹ 1.
-
1 r

13. Sifat Deret Geometri
1. Jika
r 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena
n
lim r
®¥
n
= 0, maka deretnya konvergen ke
a
-
1 r
r 1 n
2. Jika maka barisan {rn} divergen karena
maka deretnya juga divergen
lim r
®¥
n
= ¥ ,
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
13

14. Contoh
(Selidiki kekonvergenannya)
. . .
1 1
1. + + + + +
32
1
16
1
8
1
4
2
Jawab:
Kalau kita perhatikan
1 S1 =
= 1 -
2
1 S2 =
2
1 1
+ =
4
2
3 = 1 – (
4
1 )2
2
1 1
1
+ + =
7 = 1 – (
1 )3
1 )n
lim S
®¥
lim (1 – (
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
14
S3 =
8
4
2
8
2
Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya
Sn = 1 – (
2
Dan
n
n
=
n®¥
1 )n) = 1
2
Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya
konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

15. Contoh (2)
Σ ¥
1 2.
= + i 1 i(i 1)
(Deret Kolaps)
Jawab:
Kalau kita perhatikan
1
+
i(i 1)
1 -
=
i
1
+
i 1
Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya



+ + / 


+ /  - /
/

+ / 
- /
/


- /
1
1
1
1
1
1
1
Sn = 

1
1 = 

/

/

/
. . .
4
3
3
2
2
lim S
®¥
1
1 = 1
-
n 1
lim 
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
15
Dan

+
-
/
n 1
n
-
n 1
Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1,
maka deret di atas juga konvergen.


+
1
n
n
=
n®¥

 
+

16. Contoh (3)
3.
Σ ¥
1
i=1 i
(Deret Harmonik)
Jawab:
Dari sini kita dapatkan
Sn = 1 +
1 1
1
1
1
1
1
1
+ + + + + + + . . .
+
2
3
4
5
6
7
8
n
1  1
1

 1
1
1
1

1
Sn = 1 +
+ + + + 

+ +

8
7
6
5
4
3
2
³ 1 +
1  1
1
 1
+ +
+ + + + + + 2
4
4

8




= 1 +
1 1
+ + + + . . .
+
2
1
2
1
2
2
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
16
n
+ . . .
+ 
1
n
. . .
1
8
1
8
1
8

1
n
Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n
menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga.
Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

17. Uji kedivergenan dengan suku ke-n.
ApabilaΣ ¥
n=0
n a konvergenmaka n
lim a
®¥
n
= 0, ekivalen
n
lim a
®¥
n
¹ 0 maka deret divergen.
Contoh: Buktikan bahwaΣ ¥
2
2
n
= + + n 1
3n 3n 4
divergen.
Bukti
n
lim 2
2
n®¥ + +
4
3
2
2
n
2/11/2010 [MA 1124]
= (Tidak Nol)
KALKULUS II
17
3n 3n 4
=
2
n
n
n
3
1
lim
1
+ + ®¥ 3
Jadi terbukti bahwa divergen. Σ ¥
= + + n 1
3n 3n 4

18. Masalah Baru
lim a
®¥
Dalam banyak kasus bahwa n
n
= 0, tetapi dari sini
kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut
konvergen atau divergen.
Sebagai contoh deret harmonik,
Σ ¥
1
=1 +
1 1
1
1
1
1
1
1
+ + + + + + + . . .
+ + . . .
lim a
®¥
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
18
=1 n n
n
8
7
6
5
4
3
2
Jelas bahwa n
n
= 0, tetapi deret harmonik adalah
deret yang divergen.
Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

19. Uji Deret Positif
1. Tes Integral
Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) 0
pada selang [1,µ)
a. Jika integral tak wajar ∫¥
1
f (x) dx konvergen, maka deret
Σ ¥
f (n) konvergen.
=1 n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
19
b. Jika integral tak wajar
divergen, maka deret
Σ ¥
n=1
f (n) divergen.
∫¥
1
f (x) dx

20. Contoh
1. Selidiki kekonvergenan dari Σ ¥
=
-
n 1
n2
n e
Jawab. Kita ambil
x2 f (x) = x e - , sehingga
¥ ∫ x e - x2
dx
lim x e dx
1
1 2
x2
-
®¥ ∫ ∫ b
= =
b 1
-
lim e d(x )
2
®¥
b
1
x 2
b
1 b
1
1
1
= = =
¥ ¥
- x2
∫ konvergen, maka Σ 2/11/2010 [MA 1124]
lim
2
KALKULUS II
20
1
x
b
2
lim e
2
-
®¥
-
2 -
b eb e1
-
®¥ 2 e
Jadi karena x e dx
1
=
-
n 1
n2
n e
juga konvergen.

21. Contoh
2. Selidiki kekonvergenan dari
Σ ¥
1
n=2 n ln n
1
Jawab. Kita ambil , sehingga
x x
f x
ln
( ) =
dx
ln ∫ ¥
¥ = b
∫ ∫ ®¥
dx
2 2 ln
b x x
x x
lim
®¥
=
(ln )
d x
2 ln
lim
x
b
= ( )- ( ) = ¥
limln ln b ln ln 2
b
®¥
∫¥
2 x ln x
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
21
Jadi karena divergen, maka
juga divergen.
dx Σ ¥
1
n=2 n ln n

22. Latihan
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
( ) Σ ¥
Σ ¥
1
n 2 2
1
Σ ¥
1
n=1 2n +1
Σ ¥
1
1. 4.
n=3 -
2. 5.
3
1
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
22
=
n 2
n ln 2 n
+ n 1
=
4n 2 1
( )
Σ ¥
n=1 4 + 3n
2
3.

23. Uji Deret Positif
2. Uji Deret -p
Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum
Σ ¥
=1
1
i
p i
Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan
¥
1
1 p
t 
x
-

t1- p
-
1
lim
t 1 p ∫®¥
lim
lim t -
®¥
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
23
dx
x
=
1
t 1 p
 
 
-
®¥
t lim
1 = 1 p
t ®¥
-
Kalau kita perhatikan, untuk
1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1
deret divergen.
2. p 1 maka
1 p
t
= 0, sehingga diperoleh deret
yang konvergen.

24. Uji Deret Positif
3. p 1 maka
lim t -
®¥
1 p
t
=∞, sehingga diperoleh deret yang
divergen.
n
4. p 0, suku ke-n deret Σi
=
1
P i 1
1
, yaitu, P tidak menuju 0. n
Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n
Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:
1. Deret-p konvergen apabila p 1
2. Deret-p divergen apabila 0 £ p £ 1
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
24

25. Contoh
Apakah deret berikut konvergen atau divergen?
1. Σ ¥
=1
1
1,001
n n
Berdasarkan uji deret-p, deret Σ ¥
n n konvergen
=1
1
1,001
karena p=1,001 1
Σ ¥
1
1
n n
=1 2
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
25
2.
Σ ¥
1
Berdasarkan uji deret-p, deret 1
n =1 n
2
divergen
karena p= ½ 1

26. Uji Deret Positif
3. Tes Perbandingan dengan deret lain
Andaikan Σ ¥
n=1`
n a Σ ¥
dan bn deret positif, jika an £ bn maka
n=1`
1. Jika konvergen, maka
¥
Σ ¥
n=1`
n b Σ ¥
n=1`
a n konvergen
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
26
Σ ¥
n=1`
bn
Σ ¥
n=1`
a n
2. Jika divergen, maka divergen

27. Contoh
¥
Selidiki Kekonvergenan deret berikut:
n
1.Σ n 2 5
= - n 3
Jawab:
Akan kita bandingkan deret ini dengan an =
1 dan bn=
n
n
2 -
n 5
kita tahu bahwa
,
Σ ¥
1
n
adalah deret harmonik dan
n
2 - n
n
n 2 5
2/11/2010 [MA 1124]
1
KALKULUS II
27
=1 n n 5
1 ³ , Sehingga karena Σ ¥
n=1 n
Σ ¥
= - n 2
deret divergen, maka
deret yang divergen.

28. Contoh
2. Σ ¥
1
n 2 5
= + n 1
Jawab:
Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= dan an=
kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan
1
n 2 2 +
n 5
1
Σ ¥ n 2
1
p = 2 1 dan Σ ¥
1
2 +
1
n 2 5
1
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
28
³ , Sehingga karena
1
konvergen, maka deret yang konvergen. Σ ¥
= + n 1
n 2
n 5
=1 n
n=1
n 2
deret

29. Latihan
Selidiki kekonvergenan deret berikut
Σ ¥
n
n 2 5
= + n 1
Σ ¥
1
n 2 - 5
¥
1
Σ ( ) n 2 2
n=3 -
Σ ¥
1
2n -1
2.
4.
5.
1.
1
2n 1
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
29
=
n 3
Σ ¥
= + n 1
=
n 1 3.

30. 4. Tes Banding limit
Andaikan an dan bn deret positif dan
n
n
a
lim
®¥
n b
Uji Deret Positif
= L
1. Jika 0 L ¥ maka Σ ¥
n=1`
n a Σ ¥
n dan b sama-sama
n=1`
konvergen atau divergen
n konvergen maka a konvergen.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
30
2. Jika L = 0 dan Σ ¥ = ` n 1
n b Σ ¥
n=1`

31. Contoh
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
Σ ¥
+
2n 3
= - +
n 1
n3 5n2 7
1.
Jawab:
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b =
1
n
a
lim¥
®
+
2n 3
3 2
1
5 7
1
n n
2/11/2010 [MA 1124]
= +
KALKULUS II
31
sehingga
nn
n b
Σ ¥
= - +
n 1
n3 5n2 7
konvergen.
= 2
Jadi karena L=2 dan Σ ¥
=1
2
n n
2
n
2
2 3
lim
n
n
n
- +
+
=
3 2
- +
2 3
n n
lim 3 2
®¥ n
®¥ n 5 n
7
konvergen, maka deret

32. Contoh
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
2.
Σ ¥
1
n=1 +
n2 4
Jawab:
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b =
1
n
a
lim¥
®
1
n 4
lim 2
= = n®¥ +
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
32
sehingga
nn
n b
divergen.
= 1
n
2
Jadi karena L=1 dan divergen, maka deret
Σ ¥
n=1 +
n2 4
n
n
1
1
lim
2
n
+
®¥ n 4
Σ ¥
=1
1
n n

33. Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
Σ ¥
n Σ ¥
n=1 + +
n2 2n 3
+
3n 1
= -
n 1
n3 4
Σ ¥
1 Σ ¥
n =1 n n +1
n=1
ln n
n2
2.
4.
5.
1.
2n 3
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
33
=
Σ ¥
=
+
n 1
n2
n
3.

34. Uji Deret Positif
5. Tes Hasil Bagi
Σ ¥
Diketahui merupakan suatu deret dengan
ak
k=1
+ = r
k 1
a
lim
k a
®¥ k
suku-suku yang positif, misalkan
Σ ¥
1. Jika 1 maka deret ak konvergen
2. Jika 1 maka deret ak divergen
3. Jika r = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
34
r k=1
r Σ ¥
k=1

35. Contoh
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
¥
3
1.Σ =1 !
n
n
n
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
, maka suku ke-n+1
!
3
n
adalah a 3
1 n+
sehingga
Jawab:
( ) = 0 3 1 !
= +
n
n
a lim n
+1
®¥
n a
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
35
n!
n+1= ( n +
1)!
3
( 1)
Karena nilai limit r=0 ( 1), maka deret Σ ¥
3
=1 !
n
n
n konvergen
lim
+
=
n®¥ n
3 !
lim
1
+
=
+
®¥ n
n
n
n
n
( )
!
3
1 !
3
lim
1
n
n
n
+
®¥
n

36. Contoh
2.Σ ¥
=1
2
3
n
n
n
3
n
n
, maka suku ke-n+1
Misalkan suku ke-n adalah an = 2
adalah a
3n+1
sehingga
Jawab:
3
n +
= +
n
n
a lim n
+1
®¥
n a
2/11/2010 [MA 1124]
3
KALKULUS II
36
n+1= ( )2 1
= 3 ( )2
1 2
Karena nilai limit r=3 ( 1), maka deret Σ ¥
=1
2
3
n
n
n
divergen
2
1
3
lim
+
=
®¥ n
n
( )2 n
3 1
lim
+
=
+
®¥ n
n
n
n
n
( )
2
2
1
3
1
3
lim
n
n
n
+
®¥
n

37. Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
Σ ¥
=1
n !
¥
Σ n
nn
=
+
5
1 !
n n
n
¥
n
n
Σ ( n
) 2 !
3
2 ! n n
¥
n
Σ =1
( ) 2.
4.
5.
1.
4
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
37
=1 n Σ ¥
=
+
1 !
n
n
n
n
3.

38. Uji Deret Positif
6. Tes Akar
Σ ¥
Diketahui ak
merupakan suatu deret dengan
k=1
suku-suku yang positif, misalkan k a a
Σ ¥
k
lim
k
=
®¥
1. Jika a 1 maka deret konvergen
2. Jika a 1 maka deret
3. Jika a
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
38
k=1
ak
Σ ¥
k=1
ak
divergen
= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

39. Contoh
Selidiki kekonvergenan deret
1.Σ ¥
=

 


 

+
2 n
2
-
1 1
n
n
n
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
2 n
2
n

 


 

+
1
-
, maka nilai
limitnya adalah
= +
2 n
2
lim a
lim =
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
39
2
1
-
®¥ n
®¥ n
n
n
n
Karena nilai limit r = 2 ( 1), maka deret Σ ¥
=




+
2 2
-
n
1 1
n
n
n
divergen

40. Contoh
2. Σ ¥
=

 


 

+
2
-
n
1 2 1
n
n
n
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
n
+
2 n
1

 


 

-
2
, maka nilai
limitnya adalah
n
= +
lim lim =
-
a
2/11/2010 [MA 1124]
2
KALKULUS II
40
2n 1
2
2 1
®¥ n
®¥ n
n
n
n
Karena nilai limit r = ½ ( 1), maka deretΣ ¥
=




+
2 2
-
n
1 1
n
n
n
konvergen

41. Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
Σ ¥
1. 3.
=




1
1 ln
n
n
n
1
 +
1
Σ ¥

n
3 2 
n



+
2 1
-
n Σ ¥
 
n

3 + 2

n
n 1 3n n
Σ ¥
=


1
2
n
n
n
2. 4.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
41
n 1 2n =
=

42. Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan
Mutlak
Deret Ganti Tanda
Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut
1 n + - + - = - Σ ¥
=
( 1) a a1 a2 a3 a4 ...
n 1
n
+
dengan an 0, untuk semua n.
Contoh penting adalah deret harmonik berganti
¥
n 1 1
1
Σ - = - + - + =
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
42
tanda, yaitu
1
1
( ) ...
4
3
2
1
n
1
n 1
+

43. Uji Deret Ganti Tanda
Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan
konvergen jika
1. an+1 an
lim = 0
®¥ n
2. a
n
1
1
1
1. 1- + - +
1
1
1
1- + - +
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
43
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut
...
4
3
2
2. ...
4!
3!
2!

44. Contoh
1. Jawab (uji ganti tanda)
1
, dan an+1 =
Dari soal diatas kita punya an= n
1
1
n +
tersebut konvergen jika
, deret
1
n
a
n Û an an+1
a. 1
1
1
1
1
1
1
= + = +
+
=
+ n n
n
n
a
n
1
lim = lim =
®¥ ®¥ n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
44
b. a
0
n
n
n
Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

45. Contoh
2. Jawab (uji ganti tanda)
Dari soal diatas kita punya an=
1
n
!
1
n +
, dan an+1 = ( 1)!
tersebut konvergen jika
, deret
a.
n Û an an+1
( )
1 1
1 !
1
!
1
1
= +
+
=
+
n
n
n
a
a
n
1
lim = lim =
®¥ ®¥ n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
45
b. 0
!
a
n
n
n
Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

46. Latihan
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:
( ) Σ ¥
=
+
2
+
-
1
1
3 1
1
n
n
n
¥
Σ ( -
1
) =
n n
1 3
n
n
4.
n ( ) Σ ¥
- + 2
( ) Σ ¥
3
+
1 n
n n
-
1
1
= +
1 ( 1)
n
n
5.
1.
2. n n
n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
46
=
1
n ( ) Σ ¥
=
- +
1
1
!
1
n
n
n
n
n(3.

47. Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga
mutlak deret tersebut konvergen.
Σ ¥
n=1
bn
Atau dengan kata lain
dikatakan konvergen mutlak jika Σ ¥
n=1
bn konvergen.
Σ ¥
n=1
bn divergen,
Dan dikatakan konvergen bersyarat jika
Σ ¥
tetapi bn konvergen.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
47
n=1

48. Pengujian Kekonvergenan Mutlak
MisalkanΣ ¥
n=1
an dengan an¹ 0 dan
a lim n
+
1 ®¥ = r. Maka
n
n a
1. bila r 1 maka deret konvergen mutlak
2. bila r 1 maka deret divergen
3. bila r = 1 maka tes gagal.
Bisa digunakan uji deret positif lainnya
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
48

49. Contoh
Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen
mutlak atau divergen
1. ( ) Σ ¥
=
- +
1
1
!
2
1
n
n
n
n
Jawab:
Dari soal diatas kita punya an= ( )
2
1
1
n
2
- n+ , dan an+1 = ( 1
) ( )
1
2
+
-
+
+
n
n
2 1
- n
+
sehingga
a
n n
= n
= n +
2 ( 1 )!
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
= 0
49
( ) ( )
( 1 ) 2
( )!
1 !
1 2
lim lim
1
1
n
a
r
n n
n
n
+ +
®¥
+
®¥ -
2 !
lim
1
+
=
+
®¥ n
n
n
n
2
lim
+
=
n n®¥ n
1
!
n
! 1
n
Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak

50. Contoh
2. ( ) Σ ¥
=
- +
1
1 1
1
n
n
n
Jawab:
Dengan uji deret ganti tanda deret ( ) Σ ¥
=
- +
1
1 1
1
n
n
n
¥ ¥
=
1
Σ a
Σ adalah deret divergen
konvergen
(buktikan!!),
sedangkan
n n
(karena merupakan deret-p dengan p= ½ 1)
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
50
( ) Σ ¥
=
- +
1
1 1
1
n
n
n
= =
1 1
n n
Jadi deret
adalah konvergen bersyarat.

51. Latihan
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen
bersyarat atau divergen:
( ) Σ ¥
=



n n

-
1
1 5
n
n
¥
¥
( n
1
Σ -
1
) n
= 1 n ( n
+
1
) ¥ ( - 1)
n
+
1
1.
4.
( 4)
-
( 1)
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
51
Σ ¥
=
-
1
2
n
n
n
Σ ¥
= +
1 3 2
n
n
n
Σ ¥
=
1
ln
n
n n
Σ ¥
=
+
+
-
1
1
1
( 1)
n
n
n n
2.
3.
5.
6.

52. Deret Pangkat
Deret pangkat secara umum ada dua bentuk
1. Deret pangkat dalam x didefinisikan
Σ ¥
n=0
n
an x = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
52
2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan
¥
Σ ( -
) n =
0
n
an x b = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .
Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk
harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.

53. Selang Kekonvergenan
Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi
mutlak sebagai berikut:
Misalkan ( ) Σ ¥
=
-
n 0
n
= -
a x b
( )
n a x b dan n
n
n
n
n a x b
L
( )
lim
1
1
-
+
+
®¥
1. Jika L 1, maka deret konvergen.
2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakan
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
53
uji deret sebelumnya.

54. Soal
Tentukan selang kekonvergenan deret
Σ ¥
= + n 0 ( 1)2
n
n
n
x
Σ ¥
x
n
n
( + 1)!
1.
2.
n x n 3.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
54
=
0 n Σ ¥
=
+
0
( 1)!
n

55. Jawab
1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki
kekonvergenan mutlak.
n
n
= +
lim n
1
n
x
1
:
+ +
+
x =
x n
= +
( 1)
lim
+
®¥ 2
n n
x
2 ( n
2)
L
( 1)2
®¥ n
( 2)
2
n
Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L 1, yaitu
¥
=
2
n
n
n n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
55
–2 x 2
Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu
x = 2 atau x = -2 .
Pada x = 2
1
Σ( ) Σ=
( )
¥
= +
1 + 1 2
1 1
n n
deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

56. Jawab
Pada x = –2
( )
( )
( )
¥
= -
¥
-
1
2
n
n
Σ n
Σ= 1 n +
1 2
n
=
1 ( n
+
1
)
n
deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang
konvergen.
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
56
Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 £ x 2

57. Jawab(2)
2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk
menyelidiki kekonvergenan mutlak.
:
x
( 2 ) !
( 1)!
lim
1
+ +
=
+
®¥ n
x
n
L
n n
n
( ) = 0 2
lim
+
=
®¥ n
x
n
Karena L = 0 1, maka deret selalu konvergen untuk
semua nilai x.
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-¥,¥)
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
57

58. Jawab(3)
3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk
menyelidiki kekonvergenan mutlak.
( )
n
n x
( ) n
L
2 !
lim
1
= +
+
(n )x
= lim + 2
n ®¥
n +
1 !
x
n
®¥ ¥ ®   
=
0, jika x
0
¥ ¹
=
, jika x
0
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
58
Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

59. Teorema 1
Himpunan kekonvergenan deret pangkat Σ ¥
n=0
n
an x
selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
1. satu titik x = 0
2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya.
berbentuk
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
59
3. seluruh himpunan bilangan riil

60. Teorema 2
Himpunan kekonvergenan deret pangkat Σ ¥
=
-
n 0
n
an (x b)
berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga
jenis berikut :
1. satu titik x = b
2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
60
keduanya titik ujungnya.
3. seluruh himpunan bilangan riil

61. Latihan
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:
¥
( Σ -
1)
= 0
( +
) 1 2
n
n
x
n
( ) ( ) ( 2 ) ln 4
...
4.81
2 ln 3
3.27
2 ln 2
2.9
3
2 2 3 4
x + + x + + x + + x + +
1.
2.
2
2
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
61
...
( ) ( ) ( ) ...
3!
2!
2
2 3
+ + + + + + x x
3. x

62. Operasi deret pangkat
Dalam pasal sebelumnya untuk -1 x 1 deret
x
a
ax
n
n
-
= Σ ¥
= 1 1
Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di
Σ ¥
atas (misal S(x)= axn )
misalkan bagaimana jika S(x)
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
62
n=1
didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

63. Teorema
Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada
sebuah selang I; jadi
S(x)= Σ ¥ =0 n
n
an x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .
[ ] Σ ¥
Maka
1. S’(x) = D an x
n
= D[a + a x + a x2 + a x3+ . . .]
( ) Σ∫
= a1 + 2a2 x + 3a3 x2+ . . .
=
= a0x + a1 x2 + a2 x3 + a3 2. x4+ . . .
a
1
2
n x n
n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
63
=
n 0
Σ ¥
=
-
1
1
n
n
an n x
∫x
S t dt
0
¥
=0
0
n
x
n
ant dt
Σ ¥
=
+
+ 0
1
1 n
1
3
1
4
0 1 2 3 =
=

64. Contoh
Sesuai teorema di atas
1
1- x
= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1 x 1, tentukan
a.
1
- x
(1 )2
b. ln(1 – x)
Jawab:
1
- x
1


= = 1 + 2x + 3x2 + 4 x3 + . . .
- 
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
64
a. (1 )2
Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh
( )2 1
1
1
x x
Dx -

, -1 x 1 1
1
-
¥
= Σ
= n
n
n x

65. Contoh
a. ln (1 – x)
Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku,
kita peroleh juga
∫ = ∫ + + + +
-
- =
x x
dt t t t dt
t
x
0
2 3
0
1 ...
1
1
ln(1 )
x
1 1
1
2 3 4
= t + t 2 + t 3 + t 4 + = x + x + x + x +
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
65
...
1
4
1
3
1
2
...
4
3
2
0
, -1 x 1 n
n
x
n
Σ ¥
=
=
1
1

66. Latihan
Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)
x
f x
+
=
1
1
( )


5. f(x)=tan-1(x)
1
= -

+

x
x
f x
1
( ) ln
1
( )2 1
( )
x
f x
+
=
1.
2. 6.
( ) 2
1
2/11/2010 [MA 1124]
f x
KALKULUS II
66
x
x
x
x
f x
+
=
+
=
1
1
1
2
1
3. ( 2 3
x)
( )
+
7. =
1 2
( )
x
f x
+
4. =

67. Deret Taylor dan Deret Maclurin
Deret Taylor
Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali
pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret
kuasa dalam bentuk
( ) Σ ¥
( ) ( ) n
-
n
x b
f b
f ''(b) (x-b)2
f(x) = = f(b) + f ’(b)(x-b)+ + . . .
0 ! n
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
67
f (0) x2
2!
=
n 2 !
deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.
Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu
¥
( )
(0)
Σ ( ) n
=0
!
n
n
x
n
f
f(x) = = f(0) + f ’(0)(x)+ + . . .

68. Contoh
Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:
1. f(x)= sin x
Jawab:
f(x) = sin x
f(0) = 0
f ’(x) = cos x
f’(0) = 1
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
68
f ’’(x) = - sin x f’’(0) = 0
f ’’’(x) = - cos x f’’’(0) = -1
f lV (x) = sin x f lV(0) = 0
Sehingga,
. . .
3! 5! 7!
( ) sin
3 5 7
= = - + - + x x x
¥
f x x x Σ ( ) =
( ) +
+
= -
0
2 1
2 1 !
1
n
n
n
x
n

69. Contoh
2. f(x)= ex
Jawab:
f(x) = ex
f(0) = 1
f ’(x) = ex
f’(0) = 1
f ’’(x) = ex f’’(0) = 1
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
69
f ’’’(x) = ex f’’’(0) = 1
f lV (x) = ex f lV(0) = 1
Sehingga,
. . .
2! 3! 4!
( ) 1
2 3 4
= = + + + + + x x x
f x ex x Σ ¥
=
=
n
n
x
n 0 !

70. Contoh
3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat
di x=1
Jawab:
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex
f(1) = e
f’(1) = e
1
¥
f x ex e e x e Σ ( ) 2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
1
70
f’’(1) = e
f ’’’(x) = ex f’’’(1) = e
f lV (x) = ex f lV(1) = e
Sehingga,
( ) ( 1
) . . .
3!
2!
( ) ( 1)
2 3
x
x
= = + - + - + - e
+ = -
=
0 !
n
n
n
x
e

71. Latihan
1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin
a. f(x) = cos x
b. f(x) = cos x2
c. f(x) = cos2 x
e. f(x) = sin2 x
f. f(x) = sec x
g. f(x) = tan x
d. f(x) = ex + sin x h. f(x) = sec x
2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan
pusat x = a
2/11/2010 [MA 1124]
KALKULUS II
71
a. f(x) = cos x, a = p/3 a. f(x) = ex, a = 2
b. f(x) = sin x, a = p/3