Makalah ini membahas tentang persamaan diferensial parsial, yang merupakan persamaan diferensial yang memuat derivatif dari suatu variabel terhadap dua atau lebih variabel bebas. Persamaan ini berperan penting dalam menggambarkan fenomena fisis yang melibatkan besaran yang berubah terhadap ruang dan waktu, seperti gelombang elektromagnetik dan hidrodinamika. Makalah ini menjelaskan konsep dasar persamaan diferensial parsial, jenis-

1. DOSEN PENGAMPU
PUTRI NAWANGSARI, S.T., M.ENG
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PARSIAL

2. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti kuliah dengan Pokok Bahasan
Persamaan Defferensial Parsial: Konsep dasar,
persamaan gelombang satu dimensi, mahasiswa akan
dapat menunjukkan, memisahkan, membandingkan
Persamaan Differensial Parsial secara benar

3. PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PARSIAL
 Persamaan Differensial Parsial memegang peranan
penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana
besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah
terhadap ruang dan waktu, contohnya : mekanika klasik
lanjut yang membicarakan tentang gelombang
elektromagnetik, hidrodinamik, mekanika kuantum.
Persamaan Differensial Parsial digunakan untuk
menggambarkan fenomena fisis yang berkaitan dengan
masalah-masalah tersebut.PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL :
1. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ELIPTIK

4. 2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL HIPERBOLIK
3. PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARABOLIK

5. PENGERTIAN DIFFERENSIAL
PARSIAL
 Persamaan defferensial yang memuat derivatif-
derivatif dari variabel tak bebas terhadap dua atau
lebih variabel bebas
 Pers Differensial Parsial mengandung sejumlah
tertentu turunan dari paling tidak satu variabel tak
bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas
x
f
y
f
adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x
dengan memperlakukan y sebagai suatu
tetapan, yang disebut turunan parsial
fungsi f(x,y) terhadap x
adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x
dengan memperlakukan y sebagai suatu
tetapan, yang disebut turunan parsial
fungsi f(x,y) terhadap y

6. Lambang lain :
y
f
x
f
= fx (x,y) = fy (x,y)
Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakan fungsi dari
x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut, disebut turunan parsial
kedua.
xxf
x
f
x
f
x 2
2
yyf
y
f
y
f
y 2
2 yxf
yx
f
y
f
x
2

7. y
f
x
f
Misalkan f(x,y)=xy2 – sin (xy). Maka ..,
CONTOH :
1. Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan
parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan
f(x,y)= x2y + 5x +4. Selanjutnya tentukan turunan
parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y
di titik (2,3)
2. Tentukan turunan parsial terhadap x dan y fungsi
yang dirumuskan dengan f (x,y) = 3x4y2 + xy2 +4y
3

8. 4. Tentukan dan untuk fungsi berikut :
a.
b.
c.

9. DIFFERENSIAL TOTAL
 Adalah perubahan fungsi f(x,y) terhadap pertambahan
salah satu variabelnya x atau y. Misalkan fungsi f(x,y)
mempunyai tururan parsial di (x,y) . Pertambahan fungsi
f(x,y) jika x ditambah menjadi
dan y menjadi adalah
Jika ditambah dan dikurangi ruas kanan
diperoleh
Sehingga diperoleh turunan total fungsi f(x,y)
Untuk f(x,y,z,...), turunan totalnya adalah

10. Contoh :
1. Hitunglah Deffferensial total fungsi

11. ATURAN RANTAI
 Jika y= f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat
didiferensialkan maka
y= f(u) dan u = Q(x) , y =f(Q(x)), composite
fungsi
1. Fungsi
2.
Fungsi

12. ATURAN RANTAI
 RUMUS 1
Andaikan x=x(t) dan y=y(t) dapat didiferensialkan di t
dan andaikan z=f(x,y) dapat didiferensialkan di
(x(t),y(t)). Maka z = f(x(t)) dapat didiferensialkan di t
maka
• RUMUS 2
Misalkan x= x(s,t) dan y= y(s,t) mempunyai turunan
pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) dapat
didiferensialkan di (x(s,t),y(s,t)) mempunyai turunan
parsial pertama yang diberikan oleh, jika z = f(x,y),
x=x(s,t), y= y(s,t), maka
1.

13.  RUMUS 3
Jika w = f(x,y,z), x= x(r,s,t) , y=y(r,s,t), z=z(r,s,t) maka
1.
2.
3.
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI
1. Misalnya u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y)
dan v = v(x,y) dengan u dan v kontinu mempunyai turunan
parsial pertama di (x,y). F fungsi dari u dan v yang
mempunyai turunan pertama yang kontinyu dalam daerah
terbuka D yang memuat (u,v), maka :
atau

14.  Kasus khusus :
z = f(x, y) ; y = f(x) ; x bebas
ds
dy
y
f
x
f
ds
dz
Secara umum untuk n > 2 variabel, f = f(x, y, z, . . . )
dengan x = x ( u, v, w, . . . )
y = y ( u, v, w, . . . )
z = z ( u, v, w, . . . )
...dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
df

15. ...dw
w
x
dv
v
x
du
u
x
dx
...dw
w
y
dv
v
y
du
u
y
dy
...dw
w
z
dv
v
z
du
u
z
dz
......... dv
v
z
z
f
v
y
y
f
v
x
x
f
du
u
z
z
f
u
y
y
f
u
x
x
f
df
Karena masing-masing variabel x, y, z, . . . adalah juga fungsi
dari u, v, w, . . . , maka ;
Sehingga, turunan total fungsi f(x,y,z,...) adalah

16. Contoh 5.
Jika f = x2 + 2xy – y ln z, dengan x = u + v2, y = u – v2, dan z = 2u,
tentukanlah
v
f
dan
u
f
,

17.  Jika z = f(x, y), maka :
 Jika z = f(x, y, w), maka :
y
y
z
x
x
z
z
w
w
z
y
y
z
x
x
z
z

18. MINGGU DEPAN DILANJUTKAN
DENGAN MATERI “ PERSAMAAN
DIFFERENSIAL BESSEL DAN
LEGENDRE”
TERIMAKASIH