vektor

1. BAB V VEKTOR DAN GEOMETRI RUANG
oleh
sutrima
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKADAN ILMUPENGETAHUANALAM
UNIVERSITASSEBELASMARET
TAHUN2016

2. Istilah vektor digunakan oleh para ilmuwan untuk menunjukkan kuantitas
(seperti perpindahan atau kecepatan atau gaya) yang memiliki baik besar
dan arah. Sebuah vektor sering diwakili oleh panah atau segmen garis
berarah. Panjang panah mewakili besarnya vektor dan arah panah
menunjukkan arah vektor. Vektor dinotasikan dengan huruf tebal (v) atau
huruf dengan panah diatasnya ( ).
v
Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel
bergerak sepanjang ruas garis dari titik A ke
titik B. Vektor perpindahan yang sesuai,
yang ditunjukkan pada Gambar 1, memiliki
titik awal A (ekor) dan titik terminal B (ujung)
dan dituliskan dengan .
.
AB

v
Gambar 1

3. Vektor memiliki panjang dan arah yang sama dengan v meskipun
dalam posisi yang berbeda. Dalam hal ini dikatakan bahwa u dan v dan
ekuivalen (atau sama ) dan ditulis u = v. Vektor nol, dinotasikan dengan 0,
memiliki panjang 0. Ini adalah satu-satunya vektor tanpa arah tertentu.
CD

u
Untuk beberapa tujuan tertentu, pendekatan aljabar dan sistem koordinat
akan memberikan kemudahan. Jika titik awal dari vektor a pada pusat
sistem koordinat Cartesius, maka titik terminal memiliki koordinat (a1,a2)
(pada bidang atau dimensi 2) atau (a1, a2, a3) (pada ruang atau dimensi 3).
Komponen vektor
Gambar 2

4. Koordinat (a1, a2, dan a3) ini disebut komponen-komponen dari a
dan dituliskan dengan
a = a1, a2 atau a = a1, a2, a3.
Vektor a disebut vektor posisi dari P(a1, a2) atau P(a1, a2, a3).
Perhatikan bahwa vektor a = a1, a2 dapat pula disajikan sebagai
ruas garis dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a1, y + a2).
O x
P(a1, a2)
B(x+a1, y+ a2)
A(x, y)
y CONTOH 1
Carilah vektor yang dinyatakan oleh
ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0)
dan titik akhir B(-3, 1, 1).

5. Panjang vektor a = a1, a2 adalah
Panjang vektor a = a1, a2, a3
2 2
1 2
a a
 
a
2 2 2
1 2 3
a a a
  
a
Penjumlahan Vektor
Jika a = a1, a2 dan b = b1, b2, maka a + b
didefinisikan oleh
1 1 2 2
,
a b a b
  
a+b
Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara
serupa. O x
a
y
a + b b

6. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika c skalar dan a = a1, a2, maka vektor ca didefinisikan oleh
1 2
,
c ca ca

a
Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa.
CONTOH 2
Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b,
dan .
2 5
a+ b

7. Sifat-Sifat Vektor
Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l
adalah skalar, maka
1. a + b = b + a 5. k(a + b) = ka + kb
2. a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la
3. a + 0 = a 7. (kl)a = k(la)
4. a + (-a) = 0 8. 1a = a
Vektor Basis baku
Ruang R2 : i = 1, 0, j = 0,1
x
y
z
i
j
k
Ruang R3 : i = 1, 0, 0, j = 0,1, 0. k= 0, 0, 1
x
y
i
j

8. Jika a = a1, a2, a3, maka dapat kita tuliskan
a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3
= a1 1, 0, 0 + a2 0, 1, 0 + a3 0, 0, 1 
a = a1i + a2 j + a3 k
CONTOH 3
Jika a = i + 2j – 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j,
dan k.
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1.
Misalnya, i, j dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan
yang searah a adalah
1 a
u = a =
a a

9. CONTOH 5
Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j – 2k.
Hasil kali Titik
DEFINISI 1
Jika dan , maka hasil kali titik dari a dan b
adalah bilangan ab yang diberikan oleh
1 2 3
, ,
a a a

a 1 2 3
, ,
b b b

b
1 1 2 2 3 3
a b a b a b
   
a b

10. Sifat Hasilkali Titik
Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k skalar,
maka
1. a  a = 4. (ka)  b) = k(a  b) = a  (kb)
2. a  b = b  a 5. 0  a = 0
3. a  (b + c) = a  b +a  c
2
a
TEOREMA 1
Jika  adalah sudut antara vektor a dan b, maka
atau
cos
 
a b a b cos


a b
a b

11. CONTOH 7
1. Perlihatkan bahwa 2i – 2j + k tegak lurus terhadap 5i + 4j – 2k.
2. Carilah nilai x sehingga vektor a = 1,2,1 dan b = 1,0, x 
membentuk sudut 60.
Vektor a dan b ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika a  b = 0.
CONTOH 6
1. Jika vektor a dan b mempunyai panjang 3 dan 8, dan sudut
kedua vektor adalah /3, carilah ab.
2. Carilah sudut antara vektor a = 2,2,-1 dan b = 5,-3,2.

12. Proyeksi
a
b
v
Vektor v disebut proyeksi vektor b
pada a.
Panjang vektor v disebut proyeksi
skalar b pada a.


a b
v
a
proyeksi skalar :
2
 
  
  
 
  
 
a b a a b a b
a a
a a a a
a
proyeksi vektor

CONTOH 8
Carilah proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari b = 1, 1, 2 pada
a = -2, 3, 1

13. F

Kerja
Gaya konstan F menggerakkan benda
dari P ke Q, mempunyai vektor
simpangan adalah . Kerja yang
dilakukan oleh gaya ini didefinisikan
sebagai perkalian antara komponen
gaya tersebut di sepanjang d dengan
jarak perpindahan
P Q
R
S
PQ

d
 
cos
W 
  
F d F d
CONTOH 9
Suatu gaya F = 3i + 4j +5k menggerakkan sebuah partikel dari titik
P(2,1,0) ke titik Q(4,6,2). Tentukan besar kerja yang dilakukan F.

14. Hasil kali Silang
DEFINISI 2
Jika dan , maka hasil kali silang dari a dan
b adalah vektor
1 2 3
, ,
a a a

a 1 2 3
, ,
b b b

b
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ,
a b a b a b a b a b a b
    
a b
Notasi bantuan :
2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
a a a a a a
a a a
b b b b b b
b b b
    
i j k
a b i j k
CONTOH 10
Jika a = 1,3,4 dan b = 2,4,-3, carilah vektor a  b.

15. TEOREMA 2
Vektor a  b ortogonal terhadap a maupun b.
b
a
a  b

TEOREMA 3
Jika  sudut antara vektor a dan b (0   ),
maka
sin
 
a b a b

a
b sin
b
CONTOH 11
Carilah luas segitiga dgn titik sudut A(1,2,4), B(-2,6,-1), dan C(1, 0, 5).
Panjang dari hasilkali silang a  b sama dengan luas dari jajaran
genjang yang ditentukan oleh vektor a dan b.

16. TEOREMA 4
Jika a, b dan c vektor dan k skalar, maka
1. a  b = -b  a
2. (ka)  b = k(a  b) = a  (kb)
3. a  (b + c) = a  b + a  c
4. (a + b)  c = a  c + b  c
5. a  (b  c) = (a  b)c
6. a ( b  c) = (ac)b – (ab)c
AKBAT 1
Dua vektor taknol a dan b sejajar jika dan hanya jika jika a  b = 0.

17. 1 2 3
1 2 3
1 2 3
( )
a a a
b b b
c c c
  
a b c
Hasilkali rangkap-tiga skalar :
Volume paralelepipedum yang ditentukan oleh vektor a, b dan c
adalah besar dari hasilkali rangkap-tiga skalar
( )
V   
a b c
b
c
a
b  c

18. CONTOH 12
1. Carilah volume paralelepipedum dengan rusuk berdampingan
PQ, PR, dan PS dengan P(0,1,2), Q(2,4,5), R(-1,0,1), S(6,-1,4).
2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor a = 1,4,-7, b = 2,-1,4 dan
c = 0,-9,18 sebidang.

19. Penerapan dalam Fisika
Torsi  (relatif terhadap titik asal) adalah hasilkali vektor posisi dan
vektor gaya
Gaya F yang bekerja pada sebuah benda pejal di titik yang diberikan
oleh vektor posisi r. Misalkan, ketika kita mengencangkan baut
dengan menerapkan gaya pada kunci Inggris, yang menghasilkan
efek putar (torsi).
 = r  F
Vektor ini mengukur kecenderungan benda pejal tersebut untuk
berputar mengelilingi titik asal.

20. CONTOH 13
Sebuah baut dikencangkan dengan cara menerapkan gaya sebesar
40N terhadap sebuah kunci Inggris sepanjang 0,25 m. Jika sudut
antara F dan kunci adalah 60o, carilah besar torsi disekitar pusat
sekrup.

21. Persamaan Garis
Bagaimana menentukan persamaan garis l yang melalui titik P(x0,y0,z0)
yang sejajar suatu vektor v?
Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang
titik pada l, misalkan r0 dan r adalah
vektor-vektor posisi dari P dan Q.
Jika a adalah vektor representasi
,lihat gambar samping. Hukum
penjumlahan vektor memberikan
PQ
x
y
z
v
a
r0 r
P(x0,y0,z0)
Q(x,y,z)
r = r0 + a
Karena a dan v sejajar, maka terdapat t sehingga a = tv, sehingga
r = r0 + tv
l
Persamaan vektor
dari garis
 

22. Jika v = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di
atas memberikan
x= x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc
yang disebut persamaan parametrik dari garis melalui titik P(x0, y0, z0)
dengan bilangan arah v = a, b, c.
Dengan menyelesaikan t dari persamaan parametrik, memberikan
0 0 0
x x y y z z
a b c
  
 
yang disebut persamaan simetri dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dgn
bilangan arah v = a, b, c.

23. CONTOH 14
1. Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v =
3i – 5j + 2k. Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut.
2. Carilah persamaan garis melalui titik (2, 4, -3) dan (3, -1, 1).
Dimanakah garis ini memotong bidang-xy? Dimanakah memotong
bidang x – 2y + 3z = 5.
3. Tunjukkan bahwa dua garis berikut bersilangan (tidak berpotongan):
x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t
x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s

24. Persamaan Bidang
Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebuah titik P(x0, y0, z0) dan
sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal).
Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang
titik pada bidang, misalkan r0 dan r
adalah vektor-vektor posisi dari P
dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh
. Vektor normal n tegak lurus
thd setiap vektor pada bidang,
khususnya r – r0 sehingga
PQ
x
y
z n
n  (r – r0) = 0
P(x0,y0,z0)
Q(x,y,z)
r0
r
r – r0
Persamaan vektor dari
bidang

25. Jika n = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di
atas menjadi
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
Persamaan ini disebut persamaan skalar dari bidang yang melalui
titik P(x0, y0, z0) dengan vektor normal n = a, b, c.
Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai persamaan linear
ax + by + cz + d = 0

26. CONTOH 15
1. Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,4,-1) dengan
vektor normal n = 2,3,4. Kemudian tentukan titik potongnya
dengan sumbu koordinat.
2. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(1,3,2), Q(3,-1,6),
dan R(5,2,0).
3. Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong
bidang 4x + 5y – 2z = 18.

27. 4. Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1.
Kemudian carilah persamaan garis perpotongan antara kedua
bidang ini.

28. 5. Carilah rumus untuk jarak dari titik Q(x1,y1,z1) ke bidang ax + by +
cz + d = 0.
6. Carilah jarak antara dua bidang sejajar 10x + 2y – 2z = 5 dan
5x + y – z =1.
7. Carilah jarak antara dua garis
x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t
x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s
P(x0,y0,z0)
Q(x1,y1,z1)
b
n

29. Silinder dan Permukaan-permukaan Kuadratik
Untuk mensketsakan grafik sebuah permukaan, akan mudah jika kita
tentukan kurva jejak atau penampang melintangnya, yaitu kurva-kurva
perpotongan antara permukaan itu dengan bidang-bidang yang sejajar
bidang-bidang koordinat.
Silinder
Silinder adalah permukaan yang terdiri atas semua garis yang sejajar
terhadap suatu garis yang diberikan dan menembus kurva bidang yang
diberikan.

30. CONTOH 1
1. Sketsakan grafik dari permukaan z = x2.
2. Identifikasi dan sketsakan permukaan x2 + y2 =1.
3. Identikasi dan sketsakan permukaan y2 + z2 = 1.

31. Permukaan Kuadratik
Permukaan kudratik adalah grafik dari persamaan derajat-dua dalam tiga
variabel x, y, dan z. Bentuk umumnya adalah
A x2 + B y2 + C z2 + J = 0 atau A x2 + B y2 + Iz = 0
CONTOH 2
1. Sketsakan permukaan
2. Sketsakan permukaan z = 4x2 + y2 .
3. Sketsakan permukaan z = y2 – x2 .
4. Sketsakan permukaan
2 2
2
1
9 4
y z
x   
2 2
2
1
4 4
x z
y
  