Belajar vektor

1. VEKTOR

2. VEKTOR
A

a
b
R
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal
A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini
sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.
Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar
dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

3. PENJUMLAHANVEKTOR
Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke
b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c
menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke
c.
Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan
mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan
pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya,
vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama
dan ujung vektor kedua. b
c
a
R
S
T
T = R + S

4. BESARVEKTOR RESULTAN
Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besarvektor S
dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :
θ
cos
2RS
S
R
T 2
2



Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor
S
R
S
T
T = R + S
θ
(1.1)

5. PENGURANGANVEKTOR
Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan
sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari
vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan
vektor B tetapi arahnya berlawanan.
A
B
-B
D
D = A – B

6. CONTOH
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke
Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km.Tentukan
jarak perpindahan mobil itu !
40 km
S
10 km
20 km
U
B

7. CONTOH
m
17
10
10
40 2
2


Jawab :
40 km
10 km
20 km
10 km
40 km
A
B
C
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua
dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C,
maka perpindahan total dinyatakan vektor D.
Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

8. VEKTOR SATUAN
R
R
r 
Vektor satuan didefenisikan sebagai :
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu
satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat
dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan.Vektor
satuan r menyatakan arah dari vektor R.
Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana
arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor
satuan.
•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif
•Vektor satuan j menyatakan arah sumbuY positif
•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
(1.2)

9. PENULISANVEKTOR SECARAANALITIS
2
z
2
y
2
x R
R
R
R 


Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Besar vektor R adalah :
R
Ry
Rz
Rx
Vektor dalam 2 Dimensi
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam
bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu
koordinat.

10. CONTOH
Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5).Tentukan :
a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis
b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X
c. Panjang vektor
Jawab :
(2,2)
(-2,5)
x
y
Vektor perpindahan :
R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j
R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j
pangkal
ujung

Rx
Ry
a.

11. CONTOH
o
1
x
y
1
37
4
3
tan
R
R
tan 








 

(2,2)
(-2,5)
x
y
pangkal
ujung

Rx
Ry
b.
Besar vektor R = 5
4
3
R
R 2
2
2
y
2
x 



c. satuan
Sudut yang dibentuk :

12. PENJUMLAHANVEKTOR CARAANALITIS
Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj,
maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara
umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :
R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j
xA
xB
yA
yB
A
B
xA + xB
A
B
yA + yB
(1.3)

13. CONTOH
29
)
2
(
5 2
2



Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 2j
B = 2i  4j
Tentukan :
a. A + B dan A + B
b. A  B dan A  B
Jawab :
a. A + B = 3i + 2j + 2i  4j
= 5i  2j
A + B =
b. A  B = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j
A  B =
37
6
1 2
2


A
B
-B
A  B

14. SOAL
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya
60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor
satuannya!
2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m.Tentukan :
a. Vektor perpindahan benda tersebut
b. Jarak perpindahan
c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh
vektor satuannya
3. Diketahui A = 3i + 4j.Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA
= 10 satuan !
4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :
a. A + B - C
b. A + B + C

15. SOLUSI
3
R = Rxi + Ryj
Diketahui :
Rx = R cos  = 4 cos 60o = 2 satuan
Ry = R sin  = 4 sin 60o = 2 satuan
Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan
Vektor satuan :
r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j
60o
X
Y
R

3
1.
3

16. SOLUSI
m
5
2
2
4
R
R 2
2
2
y
2
x 



j
i
R
r
5
5
5
5
2
R



X
Y
R
1 5
2
a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j.Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir
(x2,y2) = (5,0).
Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.
b. R =
c.
2.

17. SOLUS
I
2
2
4
3 
4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j
b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j
-5i + 12j = = 13 satuan
3. Besar vektor A = = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan
2
2
12
5 

18. PERKALIAN SKALAR
Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah
vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :
A . B = AB cos  (1.4)
Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :
A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks
magnet, dan lain-lain.
A
B


19. PERKALIAN SKALAR
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :
i . i = j . j = k . k = 1
i . j = j . k = k . i = 0
Perhatikan animasi di
samping ini !

20. CONTOH
AB
cos
B
.
A


5
4
3 2
2


Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i  2j. Tentukan sudut
antara vektor A dan B !
Jawab :
A
B

Untuk menentukan sudut antara vektor
A dan B dapat menggunakan
persamaan (1.4).
A . B = (3i + 4j) . (4i  2j) = 3.4 + 4.(-2) =
4
Besar vektor A =
Besar vektor B = 20
)
2
(
4 2
2



125
2
AB
cos 


B
.
A
Dengan demikian  = 79,7o
AB

21. PERKALIANVEKTOR
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor
menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :
A  B = C (1.6)
Besar vektor C adalah :
C = AB sin  (1.7)
Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh
vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat
diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A  B tidak
sama dengan B  A.Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu
sama, tetapi arahnya saling berlawanan.
B
B
A
A
C = A  B
C’ = B  A


C = -C’

22. PERKALIANVEKTOR
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :
i  i = j  j = k  k = 0
i  j = k ; j  k = i; k  i = j
j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j
Perhatikan animasi di
samping ini !

23. PERKALIANVEKTOR
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor
dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari
dua vektor (misal A  B), maka empat jari menyatakan arah putaran
sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari
hasil kali kedua vektor tersebut.
Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

24. CONTOH
Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 4j B = 4i  2j + k
Tentukan : a. A  B
b. Buktikan A  B = -B  A
Jawab :
A  B = (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji)
+ 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j –
22k
a.
B  A = (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-
2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -
4i + 3j + 22k = - A  B
terbukti
b.

25. SOAL
1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B =
3 i – 4 k !
2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah
vektor B = i + 3 j – 4 k !
3. Diberikan tiga buah vektor :
A = 1 i + 2 j – k
B = 4 i + 2 j + 3 k
C = 2 j – 3 k
Tentukan :
a. A . (B  C)
b. A . (B + C)
c. A  (B + C)
4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

26. SOLUSI
6
1)
(
2
1
A 2
2
2





26
14
)
4
(
3
1
)
4
).(
1
(
3
.
2
1
.
4
B
cos
A
A
2
2
2
B 











A.B
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A
:
5
4)
(
3
B 2
2




1.
Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :
6
5
7
AB
cos 


B
.
A
Dengan demikian  = 55,1o
Besar vektor B :
2. A
B
AB

PanjangAB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang
besarnya :

27. SOLUSI
B  C = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k
 j) = 8k + 12j  12i
A . (B  C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4
3. a.
B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12
b.
A  (B + C) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k
c.
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut
persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :
R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0
R . S = RxSx + RySy + RzSz
Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :
R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
4.

28. BESARAN FISIS
Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi
matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.
S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)
S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel
yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua
partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar
muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua
partikel tersebut berada.
Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi
dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini,
ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

29. BESARAN FISIS
Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya
ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.
Dari grafik di samping
diketahui y1 = f(x1), y2 =
f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat
digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.
y
x
x1 x2 x3 x4
y1
y2
y3

30. t (detik) x (meter)
0 9
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
6 9
7 16
8 25
9 36
BESARAN FISIS
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu.
Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t
x(t)
x(t) = (t – 3)2

31. 2
r
q
E k

r (m) E (N/C)
1 9
2 2,25
3 1
4 0,5625
5 0,36
6 0,25
7 0.1837
8 0,1406
9 0,1111
10 0,09
BESARAN FISIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
E(r)
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

32. CONTOH
1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas
dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x
adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !
x
F

33. CONTO
H
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan
DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :
Q(t) = q(1 – e-At)
dengan q danA adalah konstanta.Gambarkan grafik Q terhadap t !
2.
t
Q = q(1 – e-At)
Q
q

34. h
)
c
(
f
)
h
c
(
f
lim
m
0
h




DIFERENSIAL
Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis
singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman
Archimedes sekitar abad ke 3 SM.
Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar
kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap
waktu.
f(x)
x
c c+h
f(c+h)
f(c)
Lihat gambar di samping.
Gradien dari garis singgung
pada titik P dapat ditentukan
oleh persamaan :
P
(1.9)

35. DIFERENSIAL
x
)
x
(
f
lim
x
'
x
)
x
(
f
)
'
x
(
f
lim
m
x'
x
x'
x 







dx
dy
Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :
(1.10)
Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh :
f’(x) Dxy
Berlaku untuk turunan :
1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)
2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)
3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)
4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)
5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

36. DIFERENSIAL
dC
dB
A 
waktu
Jarak
tan
Kecepa 
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan
besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :
Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari
besaran C. Sebagai contoh :
dt
dx
v 
waktu
Usaha
Daya 
dt
dW
P 
waktu
tan
Mua
Arus 
dt
dq
I 

37. CONTOH
  At
At
qAe
)
e
1
(
q
dt
d
dt
dQ
I 





Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC
bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :
Q(t) = q(1 – e-At)
dengan q danA adalah konstanta.Tentukan :
a. Fungsi arus sebagai waktu
b. Besar arus saat t = 0
c. Gambarkan grafik I(t)
Jawab :
Besar arus I :
a.
Pada saat t = 0 harga I adalah :
I = qAe-A.0 = qA
b.
qA
I(t)
t
c.

38. INTEGRAL
Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva
fungsi f(x) dan sumbu x.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x
y
x0
x
x1 x2 x3 x4 x5
x6 x7
Sebagai contoh diketahui y =
f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas
yang ditentukan pada batas
dari x = 1 sampai dengan x =
8.

39. INTEGRAL





7
0
i
i x
)
x
(
f
)
7
n
(
A
 









n
0
i
8
1
i
n
n
dx
)
x
(
f
x
)
x
(
f
lim
)
n
(
A
lim
A
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :
A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x
Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi
dengan n = 7. NilaiA(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan
persegi.
Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. NilaiA
sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

40. INTEGRAL

 dT
S
R


 dA
E
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang
merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat
masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.
Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dariT, maka
besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :
Sebagai contoh :
Usaha = Gaya  jarak
Fluks = Medan  luas

 ds
F
W

41. CONTOH

 

 2
2
1
kx
dx
kx
dx
F
W
Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas
dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x
adalah jarak.Tentukan :
a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas
b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu
Jawab :
Usaha yang dilakukan :
a.
W
x
b.

42. SOAL
Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh
persamaan F(x) = Ax  Bx2. Jika diketahui nilaiA = 103 N/m dan B =
5.103 N/m2.Tentukan :
a. Grafik F terhadap x
b. Perubahan Gaya F terhadap jarak
c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm
1.
Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.
2.
x (m)
10
8
4
V (volt) Tentukan :
a. Fungsi potensialV sebagai fungsi x
b. Jika diketahui medan listrik E adalah
turunan pertama dari potensial listrikV,
tentukan fungsi E(x)
c. Gambarkan grafik E terhadap x

43. SOAL
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s
bergerak dengan posisi awal di x = 1 m.Tentukan :
a. Gambarkan grafik v(t)
b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik
c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)
d. Gambarkan grafik a(t)
e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu
f. Posisi saat kecepatan v = 0
3.

44. SOLUSI
dx
dF
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
x (cm)
F (N)
1. a.
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
= A – 2Bx = 103 – 104x
1. b.

45. SOLUSI
   
2
2
2
2
10
.
9
10
.
3
3
3
1
2
2
1
10
.
9
10
.
3
2
x
B
x
A
dx
Bx
Ax
dx
F
W








 

Usaha yang dilakukan :
W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule
1. c.
2. a. Dari grafik diketahuiV(x) adalah fungsi linier
yang menghubungkan titik (0,4) dan titik
(10,8). Dengan menggunakan persamaan
garisV = ax + b.
Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4
Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8
10
8
4
V (volt)
x (m)
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan
demikian fungsiV(x) = 2,5x + 4

46. SOLUSI
dx
)
x
(
dV
Medan listrik E(x) =
Dengan demikian nilai E(x) konstan.
x (m)
E (V/m)
2,5
2. b.
2. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
x (m)
v (m/s)
3. a.
= 2,5

47. SOLUSI
dt
)
t
(
dv
Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s.
Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12
m/s.
3. b.
Percepatan a(t) = = 10 – 4t
3. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
x (m)
a (m/s2)
3. d.

48. SOLUSI
3
3
2
2
2
t
t
5
dt
t
2
t
10
dt
)
t
(
v 



 
Fungsi posisi x(t) =
3. e.
Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t =
0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di :
3
2
3
3
2
2
41
3
125
5
5
.
5 


Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m
3. f.
x(5) =