Analisa Vektor

1. 1
ANALISIS VEKTOR
Simon Patabang, MT.
http://spatabang.blogspot.com

2. 2
ANALISIS VEKTOR
• SKALAR DAN VEKTOR
• ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR
• SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
• KOMPONEN VEKTOR DAN VEKTOR SATUAN
• SISTEM KOORDINAT SILINDER
• TRANSFORMASI KOORDINAT
• TRANSFORMASI VEKTOR
• SISTEM KOORDINAT BOLA

3. 3
SKALAR DAN VEKTOR
• Skalar
– Hanya mempunyai besar
– Massa, volume, temperatur, energi
• Vektor
– Mempunyai besar dan arah
– Gaya, kecepatan, percepatan

4. Notasi Vektor
• Vektor dilambangkan dengan tanda panah
di atas simbolnya.
Misalnya Vektor A dilambangkan dengan
notasi
• Skalar dinyatakan dengan huruf biasa.
Misalnya Skalar B dilambangkan dengan
notasi B
A


5. • Besar (nilai) dari suatu vektor digambarkan
dengan diagram anak panah sbb :
A

Diagram Vektor
• Vektor berlawanan arah dengan
vektor tetapi besarnya sama.
A

A


6. Vektor dalam Bidang Kartesian
• Sebuah vektor dapat digambarkan dalam bidang
kartesian berdasarkan titik koordinat.
• Misalnya vektor A berpangkal pada titik O(0,0) dan
ujungnya pada titik P(6,7) digambarkan sebagai
berikut :

7. • Ujung vektor A terletak pada titik P(x,y,z) dan
berpangkal di titik 0 dalam ruang 3 dimensi
dengan sumbu X, Y dan Z positif.

8. Komponen Vektor
• Komponen vektor dapat ditentukan dalam
koordinat kartesian dengan arah i , j , dan k.
• Komponen i, j, k adalah vektor satuan yang
sejajar dengan sumbu- x, y, dan z.

9. Vektor satuan (unit vector)
• Vektor satuan adalah vektor dengan panjang
nya 1 satuan panjang.
• Besarnya vektor satuan dari A adalah :
A
a
A

a adalah vektor satuan dari A

10. Vektor Basis
• Vektor Basis adalah komponen i, j, dan k yang
menyatakan arah vektor pada sumbu kartesian.
• Sebuah vektor A(x,y,z) dinyatakan dalam vektor
basis i, j, k seperti pada gambar berikut :

11. 11 Analisis Vektor
• Medan skalar
–Besarnya tergantung pada
posisinya dalam ruang
–EP = m g h
• Medan vektor
–Besar dan arahnya tergantung
pada posisinya dalam ruang
–F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

12. 12 Analisis Vektor
ALJABAR VEKTOR
• Penjumlahan vektor
1. Metoda jajaran genjang
A
B
C = A + B

13. 13
2. Metoda poligon
A
B
• Penjumlahan beberapa vektor dengan cara
memindahkan dan meletakkan vektor ke
ujung vektor yang lain hingga habis.
• Contoh :

15. • Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan
sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu
nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.

16. 16
• Pengurangan vektor
Pengurangan dilakukan dengan membalik
arah vektor B.
C = A – B = A + (- B)

17. Analisis Vektor
PERKALIAN VEKTOR
• Perkalian titik (Dot Product)
– Hasilnya skalar
ABcosBABA 
ABcosABAB 
ABBA 

18. 18
• Perkalian Silang
– Hasilnya vektor
aN = vektor satuan yang tegak
lurus pada bidang yang
dibentuk oleh vektor-vektor
A dan B (arahnya sesuai
dengan aturan ulir tangan
kanan)
NAB asinBABA 
A  B
A
AB B
B  A
ABBA 

19. 19
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
• Titik
– Dinyatakan dengan
3 buah koordinat x,
y dan z  P(x, y, z)
– P(1, 2, 3)
– Q(2, -2, 1)

20. 20
• Vektor
 Dinyatakan dengan
tiga buah vektor
satuan ax, ay dan az
 r = x + y + z
 r = x ax + y ay + z az
 r = vektor posisi dari
sebuah titik dalam
ruang

21. 21
Vektor posisi
• Adalah vektor yang berpangkal pada titik asal
(0,0,0) dan ujungnya pada titik tertentu,
misalnya titik pada titik P(x,y,z).
• Vektor A pada gambar menunjukkan vektor
posisi dari titik P

22. Contoh :
Gambarkan vektor posisi dari titik P(1,2,3) dan Q(2,-2,1)
vektor posisi titik P adalah rP = i + 2 j + 3 k
vektor posisi titik Q adalah rQ = 2 i - 2 j + k
22

23. 23
• Jarak antara 2 buah titik P dan Q
RPQ = rQ – rP
= [2 - 1] i + [- 2 - (2)] j + [1 - 3] k
= i - 4 j – 2 k

24. Contoh :
Diketahui titik A (1,2,3) m, titik B (4,6,8)m dan titik C
(3,3,5) m, Tentukan :
(a). r AB’
(b). rAC’
(c). sudut antara r AB’ dan rAC’

25. Penyelesaian :
a. Vektor rAB = (4-1)i + (16-2)j+ (8-3)k
= 3i+ 4j+ 5k
| rAB | = (9+16+25)1/2 =7,05 m
b. Vektor rAC = (3-1)i + (3-2)j+ (5-3)k
rAC = 2i + j + 2k m
| rAC | = (2²+1²+2²)1/2 = 3 m

26. rAB . rAC =| rAB | | rAC | cos 
(3i+ 4j + 5k )(2i + j + 2k ) = 7,03 x 5 cos 

5,219302,0cos
305,7
2.51.42.3
cos
1
1














c. Sudut antara vektor rAB dan vektor rAC’, dapat
diperoleh dari penurunan rumus perkalian
titik antara vektor rAB dan rAC, yaitu :

27. 1. Penjumlahan dua vektor:
2. Perkalian skalar h dengan vektor A:
Operasi Vektor:
Vektor A= ai + bj + ck dan vektor B= pi + qj + rk, maka :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B a p i b q j c r k
A B a p i b q j c r k
      
      
 
 
( ) ( ) ( )hA ha i hb j hc k  


28. • Perkalian dot pada arah yang sama (i.i = j.j = k.k)
membentuk sudut 0o, maka cos 0 = 1.
• Perkalian dot pada arah saling tegak lurus (i.j = j.k =
i.k) membentuk sudut 90o, maka cos 90 = 0.
3. Perkalian dot (titik)
. . . 1
. . . 0
i i j j k k
i j i k j k
  
  
2 2 2
2 2 2
2 2 2
.
.
A B ap bq cr
A A a b c
A a b c
B p q r
  
  
  
  
 
 



29. 29 Analisis Vektor
• Perkalian titik dalam sistem koordinat
kartesian
A = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A  B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A  B = ABcos AB
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
BBBB
AAAA


222
zyx
B
BBB
B
B
B
a



30. 30
Contoh
Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1)
Tentukan :
a. RAB  RAC
b. Sudut antara RAB dan RAC
c. Vektor satuan RAB pada RAC
Jawab :
Vektor posisi A, B, dan C
RA = 2i + 5j – k
RB = 3i - 2j + 4k
RC = -2i + 3j + k

31. 31
RAB = (3-2)i + (- 2 - 5)j + (4 –(-1)) k
RAB = i – 7 j + 5 k
RAC = (-2-2)i + (3-5)j + (1-(-1)) k
RAC = - 4 i – 2 j + 2 k
a). RAB  RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20
899,44416660,825491  ACAB RRb).
o
ACAB
ACAB
9,61471,0
)899,4)(660,8(
20
RR
RR
cos 



32. Proyeksi RAB pada RAC :
|RAB  aAC|aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC
= 4,08 (- 0,816 i – 0,408 j + 0,408 k)
= - 3,330 i – 1,665 j + 1,665 k
4 2 2
0,816 0,408 0,408
4,899
AC
AC
AC
R i j k
a i j k
R
  
     
c). Vektor Satuan

33. 4. Perkalian Silang (Cross)
• Perkalian silang pada arah yang sama (ixi = jxj = kxk)
membentuk sudut 0o, jadi diputar dengan sudut 0o
maka sin 0 = 0.
0ixi jxj kxk  
ixj jxi k
jxk kxj i
kxi ixk j
  
  
  
• Perkalian silang pada arah saling tegak lurus
menempuh sudut putar 90o, maka :

34. Maka A x B adalah :
i j k
AxB a b c
p q r

 

35. 35
• Perkalian silang dalam
sistem koordinat
kartesian
A = Ax i + Ay i + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
A x B = ABsin AB aN
A  B
A
AB B
A  B = (AyBz – AzBy-) i +
(AzBx – AxBz-) j +
(AxBy – AyBx-) k
x y z
x y z
i j k
A B A A A
B B B
 

36. 36
a. RBC  RBA
b. Luas segitiga ABC
c. Vektor satuan yang tegak lurus pada
bidang segitiga
Contoh.2
Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3,
2, 4) dan C(0, 3, 1)
Tentukan :
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
Jawab :

37. 37 Analisis Vektor
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
3 1 3
5 7 3
[(1)( 3) ( 3)( 7)]
[(3)( 3) ( 3)(5)]
[(3)( 7) (1)(5)]
24 6 26
BC BA
i j k
R R
i
j
k
i j k
  
 
    
   
  
   
a)

38. 38
b).
A
AB
C
B
D
RBC  RBA
24 6 26BC BAR R i j k    
sin
( )( sin )
( )( )
2
BC BA BC BAR R R R
BC BA
BC AD
Luas ABC


 


 
a).
2 2 2
2
24 6 26 35,888
17,944
2 2
BC BAR R
ABC

 
 
  

39. 39 Analisis Vektor
A
AB
C
B
D
RBC  RBA
24 6 16
35,888
0,669 0,167 0,725
BC BA
N
BC BA
x y z
R R
a
R R
i j k
a a a



  

   
c).

40. Soal Latihan :
Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2),
B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1).
Carilah
a. Vektor RAB dan RAC
b. Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC
c. Luas Segitiga tersebut

41. Vektor Perpindahan
• Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering
berhadapan dengan permasalahan yang melibatkan
dua titik, yatu sebuah titik sumber r’ (tempat sumber
medan berada) dan titik medan r yang sedang
ditinjau besar medannya.
• Posisi relatif dari titik sumber r’ ke titik medan r
dinyatakan dengan ṝ = r – r’

42. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik
medan digambarkan sbb :

43. Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah
'r r r 
 
dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):
'
'
r r r
r
r r r

 

  
  

44. Contoh :
Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11,
8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di
titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari
titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor
perpindahan tersebut.
Penyelesaian :
Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,
8).
Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah:
rP = 3i + 2j
rQ = 11i + 8j

45. • Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang
diperoleh sebagai berikut
Δr = rQ – rP
Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j)
Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δr = 8i + 6j
Besar vektor perpindahan :
ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j |
r = √(8² + 6²) = 10
8 6
10
0,8 0, 6
r i j
r
r
r i j

 
 


Vektor satuan :

46. 46 Analisis Vektor
• Elemen Luas (vektor)
–  dy dz ax
–  dx dz ay
–  dx dy az

47. 47 Analisis Vektor
• Elemen Volume (skalar)
– dx dy dz

48. Sekian