Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

1 analisis vektor

3,086 views

Published on

Analisa Vektor

Published in: Education
  • Be the first to comment

1 analisis vektor

  1. 1. 1 ANALISIS VEKTOR Simon Patabang, MT. http://spatabang.blogspot.com
  2. 2. 2 ANALISIS VEKTOR • SKALAR DAN VEKTOR • ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR • SISTEM KOORDINAT KARTESIAN • KOMPONEN VEKTOR DAN VEKTOR SATUAN • SISTEM KOORDINAT SILINDER • TRANSFORMASI KOORDINAT • TRANSFORMASI VEKTOR • SISTEM KOORDINAT BOLA
  3. 3. 3 SKALAR DAN VEKTOR • Skalar – Hanya mempunyai besar – Massa, volume, temperatur, energi • Vektor – Mempunyai besar dan arah – Gaya, kecepatan, percepatan
  4. 4. Notasi Vektor • Vektor dilambangkan dengan tanda panah di atas simbolnya. Misalnya Vektor A dilambangkan dengan notasi • Skalar dinyatakan dengan huruf biasa. Misalnya Skalar B dilambangkan dengan notasi B A 
  5. 5. • Besar (nilai) dari suatu vektor digambarkan dengan diagram anak panah sbb : A  Diagram Vektor • Vektor berlawanan arah dengan vektor tetapi besarnya sama. A  A 
  6. 6. Vektor dalam Bidang Kartesian • Sebuah vektor dapat digambarkan dalam bidang kartesian berdasarkan titik koordinat. • Misalnya vektor A berpangkal pada titik O(0,0) dan ujungnya pada titik P(6,7) digambarkan sebagai berikut :
  7. 7. • Ujung vektor A terletak pada titik P(x,y,z) dan berpangkal di titik 0 dalam ruang 3 dimensi dengan sumbu X, Y dan Z positif.
  8. 8. Komponen Vektor • Komponen vektor dapat ditentukan dalam koordinat kartesian dengan arah i , j , dan k. • Komponen i, j, k adalah vektor satuan yang sejajar dengan sumbu- x, y, dan z.
  9. 9. Vektor satuan (unit vector) • Vektor satuan adalah vektor dengan panjang nya 1 satuan panjang. • Besarnya vektor satuan dari A adalah : A a A  a adalah vektor satuan dari A
  10. 10. Vektor Basis • Vektor Basis adalah komponen i, j, dan k yang menyatakan arah vektor pada sumbu kartesian. • Sebuah vektor A(x,y,z) dinyatakan dalam vektor basis i, j, k seperti pada gambar berikut :
  11. 11. 11 Analisis Vektor • Medan skalar –Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang –EP = m g h • Medan vektor –Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang –F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az
  12. 12. 12 Analisis Vektor ALJABAR VEKTOR • Penjumlahan vektor 1. Metoda jajaran genjang A B C = A + B
  13. 13. 13 2. Metoda poligon A B • Penjumlahan beberapa vektor dengan cara memindahkan dan meletakkan vektor ke ujung vektor yang lain hingga habis. • Contoh :
  14. 14. • Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.
  15. 15. 16 • Pengurangan vektor Pengurangan dilakukan dengan membalik arah vektor B. C = A – B = A + (- B)
  16. 16. Analisis Vektor PERKALIAN VEKTOR • Perkalian titik (Dot Product) – Hasilnya skalar ABcosBABA  ABcosABAB  ABBA 
  17. 17. 18 • Perkalian Silang – Hasilnya vektor aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan) NAB asinBABA  A  B A AB B B  A ABBA 
  18. 18. 19 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN • Titik – Dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z  P(x, y, z) – P(1, 2, 3) – Q(2, -2, 1)
  19. 19. 20 • Vektor  Dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az  r = x + y + z  r = x ax + y ay + z az  r = vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang
  20. 20. 21 Vektor posisi • Adalah vektor yang berpangkal pada titik asal (0,0,0) dan ujungnya pada titik tertentu, misalnya titik pada titik P(x,y,z). • Vektor A pada gambar menunjukkan vektor posisi dari titik P
  21. 21. Contoh : Gambarkan vektor posisi dari titik P(1,2,3) dan Q(2,-2,1) vektor posisi titik P adalah rP = i + 2 j + 3 k vektor posisi titik Q adalah rQ = 2 i - 2 j + k 22
  22. 22. 23 • Jarak antara 2 buah titik P dan Q RPQ = rQ – rP = [2 - 1] i + [- 2 - (2)] j + [1 - 3] k = i - 4 j – 2 k
  23. 23. Contoh : Diketahui titik A (1,2,3) m, titik B (4,6,8)m dan titik C (3,3,5) m, Tentukan : (a). r AB’ (b). rAC’ (c). sudut antara r AB’ dan rAC’
  24. 24. Penyelesaian : a. Vektor rAB = (4-1)i + (16-2)j+ (8-3)k = 3i+ 4j+ 5k | rAB | = (9+16+25)1/2 =7,05 m b. Vektor rAC = (3-1)i + (3-2)j+ (5-3)k rAC = 2i + j + 2k m | rAC | = (2²+1²+2²)1/2 = 3 m
  25. 25. rAB . rAC =| rAB | | rAC | cos  (3i+ 4j + 5k )(2i + j + 2k ) = 7,03 x 5 cos   5,219302,0cos 305,7 2.51.42.3 cos 1 1               c. Sudut antara vektor rAB dan vektor rAC’, dapat diperoleh dari penurunan rumus perkalian titik antara vektor rAB dan rAC, yaitu :
  26. 26. 1. Penjumlahan dua vektor: 2. Perkalian skalar h dengan vektor A: Operasi Vektor: Vektor A= ai + bj + ck dan vektor B= pi + qj + rk, maka : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B a p i b q j c r k A B a p i b q j c r k                   ( ) ( ) ( )hA ha i hb j hc k   
  27. 27. • Perkalian dot pada arah yang sama (i.i = j.j = k.k) membentuk sudut 0o, maka cos 0 = 1. • Perkalian dot pada arah saling tegak lurus (i.j = j.k = i.k) membentuk sudut 90o, maka cos 90 = 0. 3. Perkalian dot (titik) . . . 1 . . . 0 i i j j k k i j i k j k       2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . A B ap bq cr A A a b c A a b c B p q r                  
  28. 28. 29 Analisis Vektor • Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian A = Ax ax + Ay ay + Az az B = Bx ax + By ay + Bz az A  B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A  B = ABcos AB 2 z 2 y 2 x 2 z 2 y 2 x BBBB AAAA   222 zyx B BBB B B B a  
  29. 29. 30 Contoh Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1) Tentukan : a. RAB  RAC b. Sudut antara RAB dan RAC c. Vektor satuan RAB pada RAC Jawab : Vektor posisi A, B, dan C RA = 2i + 5j – k RB = 3i - 2j + 4k RC = -2i + 3j + k
  30. 30. 31 RAB = (3-2)i + (- 2 - 5)j + (4 –(-1)) k RAB = i – 7 j + 5 k RAC = (-2-2)i + (3-5)j + (1-(-1)) k RAC = - 4 i – 2 j + 2 k a). RAB  RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20 899,44416660,825491  ACAB RRb). o ACAB ACAB 9,61471,0 )899,4)(660,8( 20 RR RR cos   
  31. 31. Proyeksi RAB pada RAC : |RAB  aAC|aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC = 4,08 (- 0,816 i – 0,408 j + 0,408 k) = - 3,330 i – 1,665 j + 1,665 k 4 2 2 0,816 0,408 0,408 4,899 AC AC AC R i j k a i j k R          c). Vektor Satuan
  32. 32. 4. Perkalian Silang (Cross) • Perkalian silang pada arah yang sama (ixi = jxj = kxk) membentuk sudut 0o, jadi diputar dengan sudut 0o maka sin 0 = 0. 0ixi jxj kxk   ixj jxi k jxk kxj i kxi ixk j          • Perkalian silang pada arah saling tegak lurus menempuh sudut putar 90o, maka :
  33. 33. Maka A x B adalah : i j k AxB a b c p q r   
  34. 34. 35 • Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian A = Ax i + Ay i + Az k B = Bx i + By j + Bz k A x B = ABsin AB aN A  B A AB B A  B = (AyBz – AzBy-) i + (AzBx – AxBz-) j + (AxBy – AyBx-) k x y z x y z i j k A B A A A B B B  
  35. 35. 36 a. RBC  RBA b. Luas segitiga ABC c. Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Contoh.2 Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1) Tentukan : RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az Jawab :
  36. 36. 37 Analisis Vektor RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az 3 1 3 5 7 3 [(1)( 3) ( 3)( 7)] [(3)( 3) ( 3)(5)] [(3)( 7) (1)(5)] 24 6 26 BC BA i j k R R i j k i j k                      a)
  37. 37. 38 b). A AB C B D RBC  RBA 24 6 26BC BAR R i j k     sin ( )( sin ) ( )( ) 2 BC BA BC BAR R R R BC BA BC AD Luas ABC         a). 2 2 2 2 24 6 26 35,888 17,944 2 2 BC BAR R ABC        
  38. 38. 39 Analisis Vektor A AB C B D RBC  RBA 24 6 16 35,888 0,669 0,167 0,725 BC BA N BC BA x y z R R a R R i j k a a a            c).
  39. 39. Soal Latihan : Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah a. Vektor RAB dan RAC b. Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC c. Luas Segitiga tersebut
  40. 40. Vektor Perpindahan • Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering berhadapan dengan permasalahan yang melibatkan dua titik, yatu sebuah titik sumber r’ (tempat sumber medan berada) dan titik medan r yang sedang ditinjau besar medannya. • Posisi relatif dari titik sumber r’ ke titik medan r dinyatakan dengan ṝ = r – r’
  41. 41. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan digambarkan sbb :
  42. 42. Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah 'r r r    dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ): ' ' r r r r r r r          
  43. 43. Contoh : Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut. Penyelesaian : Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8). Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah: rP = 3i + 2j rQ = 11i + 8j
  44. 44. • Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut Δr = rQ – rP Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j) Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j) Δr = 8i + 6j Besar vektor perpindahan : ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j | r = √(8² + 6²) = 10 8 6 10 0,8 0, 6 r i j r r r i j        Vektor satuan :
  45. 45. 46 Analisis Vektor • Elemen Luas (vektor) –  dy dz ax –  dx dz ay –  dx dy az
  46. 46. 47 Analisis Vektor • Elemen Volume (skalar) – dx dy dz
  47. 47. Sekian

×