Dokumen tersebut membahas tentang basis, dimensi, dan teorema-teoremanya dalam aljabar linier. Definisi dimensi ruang vektor dijelaskan sebagai jumlah maksimum vektor yang bebas secara linier. Teorema utama menyatakan bahwa setiap n vektor yang bebas linier dari ruang vektor berdimensi n merupakan sistem pembentuknya. Contoh soal tentang menentukan basis dan dimensi ruang vektor diberikan

1. ALJABAR LINIER
Kelompok 16
BASIS, DIMENSI,
BASIS, DIMENSI,
dan TEOREMANYA
dan TEOREMANYA
Lizza Ulfa Fauziah (120210101002)
Amalia Warniasih Sasmito (120210101008)

2. Dimensi
De finis i :
Suatu ruang vektor V dikatakan
berdimensi n bila dapat
ditemukan suatu himpunan n
vektor-vektor ϵ V yang bebas
linier, sedangkan setiap
himpunan (n+1) vektor-vektor ϵ
V selalu bergantung linier.
Dengan kata lain, banyak
maksimum vektor-vektor ϵ V
yang bebas linier adalah n.

3. Teorema :
Setiap n vektor-vektor {u1,u2,……
un} yang bebas linier dari V ruang
vektor berdimensi n pasti
merupakan sistem pembentuk
dari V

4. Bukti :
Ambil vektor sembarang v ϵ V. Karena
dimensi V adalah n, menurut definisi
{u1,u2,……un} bergantung linier.
Sehingga pada persamaan
λ1u1+λ2u2+...+λnun+λn+1v=0 terdapat λi
yang tidak nol, dan haruslah λn+1 ≠0
karena bila demikian, persamaan
λ1u1+λ2u2+...+λnun+0v=0, berakibat
{u= −,……un− bergantung linier.
,u2 λ1 u } λ2 u − ... − λn u
v1
1
2
n
λn +1
Bertentanganλberarti : λn +1
n +1
= µ1u1 + µ 2u 2 + ... + µ n u n
Jadi, setiap v ϵ V kombinasi linier dari {u1,u2,……un
berarti {u1,u2,……un} sistem pembentuk

5. Catatan :
Suatu sistem pembentuk tidak
perlu bebas linier. Mudah
diterangkan bahwa bila {u1,u2,
……um} merupakan sistem
pembentuk yang bergantung
linier, sedang maksimum
vektor-vektor di antara u1,u2,
……un yang bebas linier adalah
{u1,u2,……up} juga sistem
pembentuk. Jadi dalam hal ini

6. Contoh
1. Tentukan dimensi dari ruang vektor yang
dibentuk: ,−2,3,1], q = [ 2,−4,5,2]
p = [1
a) u = [5,7,11,4], v = [10,14,22,8]
b)

7. Penyelesaian :
a) Kedua vektor pembentuk tidak
berkelipatan, jadi sistem pembentuk
bebas linier. Berarti dimensi = 2
b) v ≠ 0 vektor berkelipatan. Vektor u
Kedua
maupun
. Jadi baik {u} maupun {v}
merupakan sistem pembentuk yang
bebas linier. Jadi, dimensi = 1

8. Basis
De finis i :
Setiap sistem pembentuk yang bebas
linier disebut basis dari ruang vektor
tersebut. Dengan kata lain, setiap
himpunan n vektor {u1,u2,……un} yang
bebas linier dari ruang vektor berdimensi n
disebut basis dari ruang vektor tersebut.

9. Basis
Ca ta ta n :
1.Karena vektor-vektor ϵ V tak berhingga
banyaknya, kecuali ruang vektor yang
dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0},
dan misalnya dimensi V berhingga n,
maka kita dapat mencari banyak sekali
himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas
linier. Sehingga kita dapat memilih banyak
basis untuk V
2.Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n

10. Teorema :
Apabila { u1,u2,……un} basis dari ruang
vektor V berdimensi n, maka setiap vektor
v ϵ V dapat dinyatakan secara tunggal
sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,……un},
misal v=k1u1+ k2u2 + ……knun dan n-tupel
skalar [k1,k2,……kn]disebut koordinat v
relatif terhadap basis { u1,u2,……un} .

11. Bukti : Misal v=k1u1+ k2u2 + ……+kmum dan juga
v=μ1u1+ μ 2u2 + …… +μmum ,maka
0 =(k1-μ1) u1+ (k2-μ2) u2 + ……(km-μm) um
Karena { u1,u2,……un} bebas linier, maka (k1μ1)=( k2-μ2) =…..=(km-μm)=0, berarti k1=μ1 ;
k2=μ2 ;…; km=μm

12. Contoh
Tentukan basis dari ruang
vektor yang dibentuk
oleh :
1.p = [3,2,7,11] dan q =
[2,5,8,9]
2.u = [2,1,6,3], dan v =
[6,3,18,9]

13. Contoh
Jawab :
1.Kedua vektor yaitu p dan q tidak berkelipatan,
sehingga p dan q bebas linier. Jadi p dan q adalah
basis dari ruang vektor yang dibentuk. Atau dapat
dituliskan, basis dari ruang vektor yag dibentuk adalah
{p,q}
2.Kedua vektor berkelipatan (v=3u), sehingga
keduanya merupakan vektor yang saling bergantung
linier. Vektor u maupun v ≠0, jadi keduanya
merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi
basis dari ruang vektor tersebut adalah {u} atau {v}

14. Contoh
1. Diketahui S {a=[1,1,1], b=[2,1,1],
c=[3,2,2]}. S membentuk ruang vektor
L(S)=L{a,b,c}. Tentukan basis dan dimensi
dari L(S)
p =[ 0,0], =[1,1,0], r =[1,1
2. Tentukan basis1,dan qdimensi dari ,1]
ruang
vektor yang dibentuk oleh

15. Jawaban
1. c=a+b sehingga {a,b,c} bergantung linier
{a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas
linier
Jadi, dimensi dari L(S) adalah 2 dan basis
dari ,L(S)[1,1,0] + λ3 [1,1,1] = [ 0,0,0] atau :
λ1 [1,0 0] + λ2 adalah {a,b},atau{a,c}, atau {b,c}.
2. λ1 + λ2 + λ3 = 0
λ2 + λ3 = 0
λ3 = 0
jelas λ3 = λ2 = λ1 = 0, berarti bebas linier,
maka dimensinya adalah 3 dan basisnya adalah {p, q, r}

16. LATIHAN
1. Apakah himpunan vektor-vektor ini
merupakan basis ?
R3
a) [1,1,1], [1,− ,3]
2
b) [1,1,2], [1,2,5], [5,3,4]
c) [1,0,0], [1,1,0], [1,1,1]
2. Diketahui L dibentuk oleh p = [1,3,1], q =
[2,1,0], dan r = [4,x-2,2]. Tentukan nilai x
supaya L berdimensi 2.
3. Diketahui a = [1,2,1], b = [2,4,1], dan r =
[3,6,2]. Tentukan basis dan dimensinya

17. Jawab
R3
1. a) Bukan, karena dimensi
= 3, berarti
basis harus terdiri atas 3 vektor
b) kita selidiki apakah bebas linier.
λ1 [1,1,2] + λ2 [1,2,5] + λ3 [ 5,3,4] = [ 0,0,0], atau :
λ1 + λ2 + 5λ3 = 0 .........(1)
λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 0 .........( 2)
2λ1 + 5λ2 + 4λ3 = 0 .........(3)
(1) − (2) : - λ2 + 2λ3 = 0...........(4)
(3) − (2 kali)(1) : 3λ2 − 6λ3 = 0...........(5)
(4) dan (5) ekivalen, berarti λ2 = 2λ3 sebarang.
boleh kita ambil λ3 ≠ 0, jadi terdapat λ yang ≠ 0.
berarti bergantung linier. maka ketiga vektor tersebut bukan basis R 3

18. Jawab
c) kita selidiki apakah bebas linier.
λ1 [1,0,0] + λ2 [1,1,0] + λ3 [1,1,1] = [ 0,0,0], atau :
λ1 + λ2 + 5λ3 = 0 .........(1)
λ2 + λ3 = 0 .........(2)
λ3 = 0 .........(3)
karena λ1 , λ2 , λ3 = 0.
berarti bebas linier. maka ketiga vektor tersebut basis R
3

19. 2. supaya L berdimensi 2 maka {p,q,r}
bergantung linier. Maka r merupakan
[ 4, x − 2,2] = λ1[ 3,1] + λ 2,1,0], {p,q}
kombinasi1,linier2 [dari atau
4 = λ1 + 2λ2 .............(1)
x − 2 = 3λ1 + λ2 ........(2)
2 = λ1.......................(3)
Dari persamaan (3) dan (1) diperoleh λ1=2 , λ2=1, yang harus memenuhi
persamaan
(2) berarti x=9

20. 3. c merupakan kombinasi linier dari
[ 3,6,2
{a,b} ] = [1,2,1] + [2,4,1]
karena {a,b,c} bergantung linier. {a,b}
tidak berkelipatan sehingga bebas
linier. Jadi, dimensinya adalah 2 dan
basisnya adalah {a,b} atau{a,c} atau
{b,c}.

21. THANK YOU