Dokumen ini membahas analisis vektor, mencakup konsep skalar dan vektor, aljabar vektor, serta sistem koordinat. Selain itu, dijelaskan pula tentang medan skalar dan vektor, serta operasi yaitu hasil kali titik dan silang. Terdapat juga contoh soal untuk menerapkan konsep-konsep yang dibahas.

1. Analisis Vektor

2. Lingkup Bahasan
 Skalar dan Vektor
 Aljabar Vektor
 Sistem Koordinat Persegi
 Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan
 Medan Vektor
 Hasil Kali Titik/Dot Product
 Hasil Kali Silang/Cross Product
 Sistem Koordinat Silinder
 Sistem Koordinat Bola

3. Skalar dan Vektor
Perbedaan mendasar
Aspek Skalar Vektor
Besaran Ada Ada
Arah Tidak ada Ada

4. Skalar dan Vektor
 Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk
panah. Panjang panah menyatakan
besarnya vektor dan arah panah
menunjukkan arah vektor
 Ekor panah disebut titik awal dan ujung
panah disebut titik terminal

5.  Jika titik awal suatu vektor v
adalah P dan titik terminalnya
adalah Q, maka dapat
dituliskan sbb:
v PQ 
 Besaran vektor tersebut ditulis
dalam bentuk:
v  PQ
 Vektor yang mempunyai
panjang dan arah yang sama
disebut vektor ekivalen (sama)
misalnya
t  x
 Vektor nol merupakan vektor
yang mempunyai besar 0
P
Q
v
t
x
t
x
v

6. Aljabar vektor
Jika A,B,C adalah vektor-vektor dan m,n skalar-skalar,maka:
 A+B=B+A Hukum komutatif penjumlahan
 A+(B+C)=(A+B)+C Hukum asosiatif penjumlahan
 mA=Am Hukum komutatif perkalian
 m(nA)=(mn)A Hukum asosiatif perkalian
 (m+n)A=mA+nA Hukum distributif
 m(A+B)=mA+mB Hukum distributif
 Hasil penjumlahan vektor juga merupakan vektor (sifat
tertutup)
 1A =A Sifat identitas
 0A = 0, m0 = 0.
 Jika mA = 0, maka m=0 atau A = 0

7. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor
dapat ditentukan dengan hukum
jajargenjang seperti di bawah ini:
v
u
u+v
| | | | | | 2 | || | cos 2 2 u  v  u  v  u v

8. Pengurangan Vektor
 Apabila pengurangan vektor maka caranya
sama seperti penjumlahan namun vektor
yang mengurangi dibalik arahnya
B
-B
A
A-B
| | | | | | 2 | || | cos 2 2 u v  u  v  u v

9. Besar Vektor Hasil Penjumlahan
dan Pengurangan
c
d

  

a 
c
b d
dan v
c
d
Pengurangan


a
b
Jika u
u v
a
b





  


| u  v |  (a  c) 2  (b 
d)
2  

 


  

 


 

 
 

 


 

c
d

  

a 
c
b d
dan v
c
d
Penjumlahan


a
b
Jika u
u v
a
b





  


| u  v |  (a  c) 2  (b 
d)
2  

 


  

 


 

 
 

 


 


10. Komponen-komponen Vektor
dan Vektor Satuan
 Vektor komponen adalah vektor yang
memiliki arah yang sama dengan salah
satu sumbu koordinat
 Magnitudo/ besar vektor komponen
ditentukan oleh vektor yang
bersangkutan namun arahnya selalu
diketahui dan bersifat konstan

11.  Vektor x, y, dan z merupakan
komponen dari vektor r berturut-turut
dalam arah x, y, z seperti yang terlihat
pada gambar ini

12. z
r
y y
z
x
x
r=x+y+z

13.  Jumlah dari vektor-vektor komponen
yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z
membentuk suatu vektor sehingga
dapat disimpulkan bahwa vektor
komponen merupakan penyusun suatu
vektor

14. Vektor satuan
 Vektor satuan merupakan sebuah vektor
yang besarnya satu dan arahnya sejajar
sumbu koordinat
 Arah vektor satuan sejajar dengan arah
sumbu koordinat pada arah bertambahnya
harga koordinat
 Jika A adalah sebuah vektor yang besarnya A
K0 maka A/A adalah sebuah vektor satuan
yang arahnya sama dengan A

15.  Besar vektor A yang dinyatakan dalam |A|
dapat dihitung dengan persamaan:
| A| Ax2  Ay2  Az2
 Sehingga vektor satuan a dinyatakan:
a= A
|A|

16. Terminologi:
1. Vektor posisi
2. Fungsi vektor berdasar posisi
3. Fungsi skalar berdasar posisi
Vektor posisi dengan titik awal di pusat koordinat O dan posisi di (x,y,z),
dapat ditulis sebagai:
r  xi  y j  zk
dengan magnitude sebesar:
2 2 2 r  x  y  z

17. Contoh Soal
1. Cari sebuah vektor satuan yang sejajar resultan
dari vektor-vektor r1=2i+4j-5k, r2=i+2j+3k
 Jawab:
 Resultan=r1+r2=(2i+4j-5k)+(i+2j+3k)
=3i+6j-2k
| |  | 3  6  2 |  3 2  6 2  (  2) 2 
7
R i j k
3 6 2 3 6 2
R i j k
 
Vektorsatuan    i  j 
k
R
| | 7 7 7 7

18. Medan Skalar:
Jika di masing-2 titik (x,y,z) di region R koresponding terhadap Φ(x,y,z),
maka Φ disebut fungsi skalar terhadap posisi.
Contoh:
(1) Temperatur pada setiap titik di muka bumi pada waktu tertentu
merupakan fungsi medan skalar.
(1) Φ(x,y,z)= x3y-z2 adalah medan skalar

19. Medan Vektor
 Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari
daerah R dalam ruang dikaitkan dengan
sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut
fungsi vektor dari kedudukan.
 Medan vektor V merupakan fungsi
vektor dari vektor kedudukan yang
telah didefenisikan dalam R.

20. Dot product
 A . B = |A| |B| cos 
Hukum-hukum yang berlaku:
1. A.B=B.A hukum komutatif
2. A.(B+C)=A.B+A.C hukum distributif
3. n(A.B) = (nA).B = A.(nB) = (A.B).n
4. i.i=j.j=k.k=1, i.j=j.k=k.i=0
5. Jika A.B=0, A dan B bukan vektor nol maka
A dan B tegak lurus

21. Cross product
 A X B = |A| |B| sin 
Hukum-hukum yang berlaku:
1. AxB=-BxA komutatif tak berlaku
2. Ax(B+C)=AxB+AxC distributif
3. m(AxB)= (mA)xB= Ax(mB)= (AxB)m
4. ixi=jxj=kxk=0, ixj=k, jxk=i, kxi=j
5. Jika AxB=0, A dan B bukan vektor nol maka
A dan B sejajar

23. Perbedaan Dot dan Cross
Aspek Dot Cross
Fungsi
trigonometri
cos sin
Hukum
komutatif
berlaku Tidak berlaku
AxB=0
A dan B tegak
lurus
A dan B sejajar

24. Contoh Soal
 Diketahui F=2ax-5ay-4az dan G=3ax+5ay+2az. Carilah:
(a)F.G (b)sudut antara F dan G
 Jawab
 a)F.G=(2ax-5ay-4az)(3ax+5ay+2az)
=6-25-8
=-27
b)Sudut antara F dan G
F.G = |F||G| cos 
2 2 2 2 2 2
1
27
cos
2 ( 5) ( 4) . 3 5 2
27

cos 0,65
45. 38

cos 0,65 130,54o
 


     

  
  

25. Sistem Koordinat dalam
Analisis Vektor
 Ada 3 jenis koordinat yang digunakan
dalam analisis vektor yaitu:
1. Koordinat Cartesius/Cartesian
2. Koordinat silinder
3. Koordinat bola

26. Sistem Koordinat Cartesian
 Koordinat Cartesian digunakan untuk
menyatakan benda yang mempunyai bentuk
siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan
ruang siku-siku
 Koordinat Cartesian yang digunakan dapat
berupa:
1. 2 dimensi (terdiri dari sumbu x dan y
saja)
2. 3 dimensi (terdiri dari sumbu x, y, z)

27. Sistem Koordinat Cartesian 2
Dimensi
 Koordinat Cartesian 2 dimensi digunakan untuk
menggambarkan objek 1 dimensi dan 2 dimensi
 Obyek 1 dimensi dapat berupa garis lurus ataupun
garis lengkung
 Obyek 2 dimensi berupa bidang datar
y
0 x

28. Sistem Koordinat Cartesian 3
dimensi
 Memakai tiga sumbu koordinat yang
saling tegak lurus, dan menamakannya
Z
sumbu X,Y dan Z.
Y
X

29. Sistem Koordinat Cartesian 3
Dimensi
 Biasanya dipakai sistem koordinat putar
kanan: perputaran sumbu x menuju sumbu y
akan mengakibatkan sebuah sekrup
berorientasi tangan kanan bergerak ke arah
yang ditunjukkan oleh sumbu z positif
 Koordinat Cartesian 3 dimensi digunakan
untuk menggambar obyek berupa 1 dimensi,
2 dimensi, atau 3 dimensi

31. Sistem Koordinat Silinder
 Koordinat silinder atau koordinat tabung
digunakan untuk menggambarkan obyek
yang berbentuk lingkaran dengan simetri
yang khas
 Terdapat 3 sumbu koordinat pada koordinat
tabung:
1. sumbu 
2. sumbu 
3. sumbu z

32. Sistem Koordinat Silinder (cont’d)
 Berikut ini gambar vektor pada
koordinat silinder

33. Sistem Koordinat Silinder
(cont’d)
 Peubah dalam koordinat Cartesian dan koordinat
tabung dapat ditemukan hubungan sebagai
berikut:
 x= cos 
 y=  sin 
 z=z
 Atau sebaliknya:
2 2
x y
   

 
1
; ( 0)
tan
y
x

z 
z

34. Sistem Koordinat Silinder
(cont’d)

35. Sistem Koordinat Bola
 Koordinat bola digunakan untuk menyatakan suatu objek yang
mempunyai bentuk simetri bola. Contoh adalah medan listrik yang
ditimbulkan oleh sebuah muatan titik.
Berdasarkan rumus:
E=1/4πε0 qr2
Maka titik-titik yang berjari-jari sama akan mempunyai medan listrik
yang sama.
 Posisi medan yang berada di sekitar muatan titik akan sulit dijelaskan
dengan koordinat Cartesius maupun tabung karena bentuk medan
yang bundar. Oleh karena itu digunakan sistem koordinat bola agar
mudah dibayangkan.
 Untuk menyatakan besaran vektor, koordinat bola menggunakan 3
sumbu koordinat yaitu r, ø dan 

36. Sistem Koordinat Bola (cont’d)
 Penggambaran sistem koordinat bola

37. Mengubah Koordinat Kartesius
ke Bola dan Sebaliknya
 Dari kartesius ke bola:
 X=r sin  cos 
 Y=r sin  sin 
 Z=r cos 
 Dari bola ke kartesius
 r=x2+y2+z2 (r>0)
1
2 2 2
cos
z
x y z
  
 
(0o  1800 )
1 tan
y
x
  

40. Contoh Soal
 Tanya: Nyatakan medan temperatur
T=240+z2-2xy dalam koordinat tabung
 Jawab:
Hubungan cartesian dan koordinat tabung
X= cos 
Y=  sin 
maka T=240+z2-2 ( cos )( sin )
=240+z2- 2sin2

41. Penerapan Analisa Vektor
dalam Kehidupan Sehari-hari
 Pengukuran yang lebih efektif dari
sinyal RF seperti Bluetooth, GSM, or
802.11 wireless networking
 Air traffic control untuk membantu
navigasi pesawat terbang
 Pembedahan cacat mata astigmatisma

42. Referensi
 Hayt,William.H.”Elektromagnetika Edisi
ke-7”.Erlangga
 Spiegel, Murray R.1994.”Analisis
Vektor”.Erlangga

43. SOAL PR, Tugas Individu, Kumpul 10 Februari 2011
 Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1)
carilah komponen vektor x yang memenuhi :
2u – v + x = 7x + w
 Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah
skalar c1, c2 dan c3 sehingga :
c1u + c2v + c3w = (6,14,-2)
 Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0)
 Carilah semua skalar sehingga
dimana v = (1,2,4)
kv  3