Vektor

1. Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.

2. Vektor 2
B E S A R A N
Skalar Vektor
massa, waktu, kecepatan, percepatan,
jarak gaya
Arah
Besar
Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah
Penulisan vektor
F = |F| atau F = F
F̂ F̂
Vektor vektor satuan besar vektor

3. Penjumlahan Vektor
s a b
 

4. Mengikuti hukum :
• Komutatif :
a b b a
  

5. Assosiatif :
( ) ( )
a b c a b c
    

6. Vektor adalah vektor yang memiliki
besaran yang sama dengan vektor
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
b

( ) ( ) 0
b b
  
b

7. PENJUMLAHAN VEKTOR
DENGAN JJ. GENJANG
A
-A
B
A
B
-A+B ? -A
B
A+B=?

8. PENJUMLAHAN VEKTOR
DENGAN POLIGON
A
B
C
A+B+C ? A
B
C
A+(-B)+C ?
A
-B
C
-A+B-C=?

9. CONTOH LAIN

10. SIFAT VEKTOR

12. PENJUMLAHAN DENGAN
GRAFIS
30O
F2=10 N Y
120O
F1=10 N
X
30O
1 cm mewakili 2 N

13. PENJUMLAHAN DENGAN
COSINUS

cos
.
.
.
2 2
1
2
2
2
1 V
V
V
V 
  HASIL RESULTAN DAPAT
DIHITUNG DENGAN RUMUS
COSINUS:
θ
V1
V2 R

cos
.
.
.
2 2
1
2
2
2
1 V
V
V
V 


cos
.
.
.
2 2
1
2
2
2
1 V
V
V
V 

R=

14. KOMPONEN VEKTOR
aO
F
FY
FX
Contoh: F= 10 N, ao= 30
Maka komponen vektor F adalah
FX= F COS ao
= 10. COS 30O=
FY= F SIN ao
= 10. SIN 30O
= 10. (1/2)=5 N
N
3
5
3
2
1
.
10 

15. F3
F2
F1
1
2
3
y
x
F1cos1
F1sin1
F2cos2
F2sin2
F3cos3
F3sin3
X Y
F1  F1cos F1sin
F2  F2cos F2sin
F3  F3cos F3sin
RX =….. RY = ….
Jumlah
Komponen pd sumbu
Vektor Sudut
R = RX
2 + RY
2
MENJUMLAH VEKTOR
SECARA
ANALITIS

16. CONTOH PENJUMLAHAN
VEKTOR SECARA ANALISIS
. KONSEP PENTING:
- URAIKAN SETIAP
VEKTOR MENJADI
KOMPONENNYA
- BUAT TABEL DAN ISI
- JUMLAHKAN
KOMPONEN VEKTOR
YANG KEARAH
SUMBU-X(DEMIKIAN
PADA SUMBU-Y)
- HITUNG RESULTAN
(R), DAN ARAHNYA
X
Y
A
B
C
30O
60O
45O
R=
2
2
X
Y R
R 
ARAH VEKTOR R:
Tan θ=Ry/Rx

17. ANALISIS PADA TABEL
VEKTOR
NILAI
VEKTOR
(SATUAN)
SUDUT
KOMP.
VEKTOR -X
KOMP.
VEKTOR - Y
A 20 30O
B 20 120O
C 40 225O
RX=……. RY= …….
10√3 10
-10 10√3
-20√2 -20√2
JIKA √2=1,4 DAN √3=1,7
MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB
RX=-21 RY=-1

18. HITUNG BESAR R
DAN ARAHNYA?
BESAR R=√(-21)2+(-1)2 ARAH R
=√441+1 TAN AO=RY/RX
=√442 = (-1/-21)
= 21,…. SATUAN = …..
AO=…..

19. EXERCISE
1. Tentukan Resultante dari :
a. – A – B (Jajaran genjang)
b. – A – B + C (Poligon)
c. – A + B (Grafis)
2. Tiga buah vektor gaya masing-masing 20 N, 5 N, dan 20 N
membentuk sudut 60o, 150o, dan 315o terhadap sumbu X
positif, tentukan:
a. gambarnya
b. komponen-komponen vektornya
c. tabel analisis vektornya
d. Resultante dan arahnya

20. Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a cos dan sin
x y
a a a a
 
 
disebut komponen skalar atau komponen

21. Besar vektor :
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ),
besar vektor dapat dicari dengan rumus :
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus :
Dalil sinus :
a 2 2
dan tan x
x y
y
a
a a a
a

  
s
2 2
2 cos
s a b ab 
  
dan
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab



  
  
  
sin sin sin
a b c
  
 

22. Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
diberi tanda : ˆ
ˆ ˆ
, dan
i j k

23. Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :
a b
disebut komponen vektor
ˆ ˆ
x y
a a i a j
 
ˆ ˆ
x y
b b i b j
 

24. Penjumlahan vektor dengan komponen
, setiap komponen sama dengan
komponen
s a b
  s
a b

x x x
y y y
z z z
s a b
s a b
s a b
 
 
 

25. Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
absolute s dengan arah jika s positif, dan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi
dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
a
a
a
a

26. . cos
a b ab 


27. Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
Scalar product berlaku hukum komutatif
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
. ( cos )( ) ( )( cos )
a b a b a b
 
 
. .
a b b a

ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
. ( ).( )
x y z x y z
a b a i a j a k b i b j b k
    
. x x y y z z
a b a b a b a b
  

28. Menghasilkan vector : Vector Product
Dikenal sebagai : Cross Product
Dengan besar c adalah :
sin
c ab 

x
a b c

Besaran x
a b ditulis x 0
a b  jika //
a b
dan maksimum jika
a b


29. Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor
c
dan
a b dikenal sebagai hukum tangan kana
x ( x )
b a a b
 

30. Penulisan dalam vektor satuan :
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x ( ) x ( )
x y z x y z
a b a i a j a k b i b j b k
    
ˆ ˆ ˆ ˆ
x ( x ) 0
x x x x
a i b i a b i i
 
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x ( x )
x y x y x y
a i b j a b i j a b k
 
Hasil akhir :
ˆ
ˆ ˆ
x ( ) ( ) ( )
y z y z z x z x x y x y
a b a b b a i a b b a j a b b a k
     

31. Latihan soal :
• Dua buah vektor bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor
dua kali vektor dan , hitung !
Jawab :
dan
a b
 a
b 3
a b a b
   
2 2
2 2
2 cos
2 cos
a b a b ab
a b a b ab


   
   
2 2 2 2
2 cos 3 2 cos
a b ab a b ab
 
    
2 2
16 cos 10
b b
 
0
51,32
 

32. • Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus :
Dalil Sinus :
2 2 0
1 2 1 2
2 cos 45
458,7
21, 4 satuan
r v v v v
r
r
  


2 2 2
2 1 1
0
2 cos
297,7 342,4 cos =29,6
v v r v r 
 
  
 
2
0
0
sin sin 135
15(0,707)
sin =29,7
21,4
v r

 

 

33. • Diketahui 3 buah vektor
Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z
jika . Hitung juga sudut antara vektor !
Jawab :
ˆ
ˆ ˆ
1 3 4
ˆ
ˆ ˆ
1 2 2
ˆ
ˆ ˆ
3 1 3
a i j k
b i j k
c i j k
  
   
  
r
2
r a b c
   dan
a b
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuan
r i j k r
           

34. • Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5
satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor
b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua
vektor tersebut.
Jawab :
Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
Sehingga diperoleh :
0
252
0 0 0
252 90 162
 
0
. cos (5)(4) cos162 19 satuan
a b ab 
   
0
x sin (5)(4) sin162 6,18 satuan
a b ab 
  

35. VEKTOR SATUAN
Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah
vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya
sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem
koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling
tegaklurus.
x
y
z
i
j
k
Vektor A dapat ditulis:
A
A
A
dan
A
A
A
atau
k
A
j
A
i
A
A
z
y
x
z
y
x









ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k
j
i
A
A

36. PERKALIAN VEKTOR
• Perkalian titik
A.B = AB cos 
A.B = AxBx + AyBy + AzBz
• Perkalian Silang
C = A x B
C = AB sin 
Cx = AyBz – AzBy
Cy = AzBx – AxBz
Cz = AxBy – AyBz
C
B
A

B
A


37. ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real

38. Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b3

39. Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....

40. Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a = b
1 = x - y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

41. Penjumlahan Vektor
a
a
a
a
3
2
1











b
b
b
b
3
2
1











Misalka
n:
da
n
Jika: a + b = c , maka
vektor














3
3
2
2
1
1
c
b
a
b
a
b
a

42. Contoh
1
-
2p
-
3
a











3
6
p
b











Diketah
ui:
Jika a + b = c , maka p –
q =....
da
n
2
4q
5
-
c












43. 


























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
jawab: a + b
= c
































2
4
5
3
6
p
1
-
2p
-
3
q

44. 

























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
3 + p = -5  p = -
8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q =
5½;
Jadi p – q = -8 –
5½
= -13½

45. Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j
+ (a3 - b3)k
Misalkan:
a = a1i + a2j +
a3k dan
b = b1i + b2j +
b3k

46. X
Y
O
A(4,1
)
B(2,
4)
a
b
Perhatikan
gambar:








3
2
-
vektor
posisi:
titik A(4,1)
adalah:









1
4
a
titik B(2,4)
adalah:









4
2
b
vektor AB
=

47. Jadi secara
umum:
a
b
AB 





















1
4
4
2
a
b








3
2
-









1
4
a 








4
2
b








3
2
-
AB

vektor AB
=

48. Contoh 1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2)
dan
B(1,2,4). Tentukan
komponen-
komponen vektor AB

































2
3
2
2
5
3
-
4
2
1
a
b
AB 














2
3
2
AB
Jadi

49. Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-
1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang
vektor PQ
(atau jarak P ke Q)

50. Jawab:
P(1,2,-2)
Q(-
1,3,0)
PQ = q – p = 






























2
1
2
2
-
2
1
-
0
3
1
-













2
2
1
p












0
3
1
q

51. 












2
1
2
PQ
2
2
2
)
2
(
)
1
(
2
PQ 




3
9
PQ
Jadi 


52. Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
a
a
a
a
3
2
1











Misalka
n:
Jika: c = m.a,
maka






















3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
a
m
a
m
a
m
a
a
a
m
dan
m = bilangan
real

53. Contoh
Diketah
ui:
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal


































4
1
2
3
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
6
1
-
2
a











4
1
-
2
b











da
n












x
3
2
1
x
x
x