2. 1. Pengertian Skalar dan Vektor
Skalar adalah besaran (kwantitas) yang
hanya mempunyai besar saja, misalnya
panjang dan suhu.
Vektor adalah besaran yang mempunyai
besar dan arah, misalnya; gaya,
percepatan, kecepatan.
3. Secara geometri sebuah vektor diwakili oleh
sebuah ruas garis berarah dimana panjang
ruas garis tersebut menunjukkan besar,
sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor
itu.
B
A
Titik A disebut titik pangkal vektor
Titik B disebut titik ujung vektor
Notasi vektor: a dllaaAB ,,,,
4. 2. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
a.Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua buah vektor dapat
dilakukan dengan dua cara, yaitu:
1)Cara grafis
• Menggunakan aturan segitiga
b
a b
a
a + b
5. • aturan jajar genjang
a a + b
b
Caranya: pangkal vektor b digeser ke
pangkal vektor a.
6. b. Cara analitis
Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen
maka penjumlahan dapat dilakukan dengan
menjumlahkan komponennya.
Contoh:
+
+
=+
=
=
21
21
2
2
1
1
yy
xx
bamaka
y
x
b
y
x
a
7. b. Pengurangan Vektor
Mengurangkan vektor b dari a
didefenisikan sebagai menjumlahkan vektor
lawan b pada vektor a , ditulis
a - b = a + (-b)
a a
b - b
a +(-b)
8. 3. Panjang Vektor
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang
dengan koordinat (x,y) dan OR mewakili vektor
r, maka besar atau panjang vektor r dapat
ditentukan dengan rumus
Sedangkan untuk vektor dalam ruang dapat
ditentukan dengan rumus
22
yxr +=
222
zyxr ++=
9. Contoh:
Hitunglah panjang dari vektor-vektor berikut:
a.a =
b. b =
Jawab:
a.
b.
5
3
3425953 22
=+=+=a
5
4
2
4525164542 222
=++=++=b
10. 4. Vektor Satuan
Jika, vektor a = , maka vektor satuan
dari a ditentukan dengan rumus:
Sedangkan jika, vektor a =
maka vektor satuan dari
vektor a ditentukan dengan rumus:
y
x
z
y
x
+
==
y
x
yxa
a
e
22
1
++
==
z
y
x
zyxa
a
e
222
1
11. Contoh:
Hitunglah vektor satuan dari vektor-vektor
berikut:
a) a = b) b =
Jawab:
a)Maka vektor satuan dari a adalah
5
3
3425953 22
=+=+=a
5
4
2
==
5
3
34
1
a
a
e
12. b) Maka vektor satuan dari b adalah
4525164542 222
=++=++=b
==
5
4
2
45
1
a
a
e
13. 5. Perkalian Vektor
a.Perkalian vektor dengan skalar
• Vektor diberikan dalam bentuk gambar
• a 2a - a
• Vektor diberikan dalam bentuk komponen
Jika a = 3 a = 3 =
4
2
4
2
12
6
14. b. Perkalian skalar dari dua buah vektor
(pekalian titik)
Perkalian skalar dari dua buah vektor a dan
b didefenisikan dengan rumus:
a . b = | a | | b | cos θ
Dimana θ adalah sudut antara kedua vektor
a dan b (0 ≤ θ ≤ 180o
)
Jika vektor a dan b dalam bentuk
komponen
Maka a . b = x1.x2 + y1y2 + z1z2
=
=
2
2
2
1
1
1
z
y
x
b
z
y
x
a
15. Tanda pada perkalian skalar
o Jika a . b > 0 maka 0 < θ < 90o
o Jika a . b < 0 maka 90o
< θ < 180o
o Jika a . b = 0 maka θ = 90o
a tegak
lurus dengan b
Contoh:
1.Diketahui a = 2i – n j + 5 k
b = 3i + 4 j – 2k
Tentukanlah nilai n agar vektor a tegak
lurus dengan vektor b
16. Jawab:
Vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka
a . b = 0
(2i – n j + 5k)(3i + 4j -2k) = 0
6 – 4n – 10 = 0
-4n = 4
n = -1
17. 2. Diketahui | a | = 5 , | b | = 4, sudut yang
dibentuk kedua vektor 60o
Tentukanlah a . b
Jawab :
a . b = | a | | b | cos ϴ
= 5. 4 cos 60o
= 20 . ½
= 10
19. 6. Perkalian Vektor Antara Dua Vektor
(Perkalian Silang)
Jika vektor A dan B dinyatakan dalam vektor
satuan
A = a1 i + b1 j + c1 k
B = a2 i + b2 j + c2 k
Maka perkalian silang A x B dapat dituliskan
dalam bentuk determinan matriks sbb:
A x B =
222
111
cba
cba
kji
20. Contoh:
Jika P = 2i + 4j +3 k dan Q = i + 5j – 2k
Tentukanlah P x Q
Jawab:
P x Q =
kji
kjikji
kji
6723
)4415()1038(
251
342
++−=
+−−++−=
−
21. 7. Sudut Antara Dua Vektor
Dari defenisi
a . b = | a | | b | cos θ
a . b = a1. b1 + a2.b2 + a3.b3
Diperoleh:
Cos θ = ))(( 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababa
++++
++
22. Contoh:
Hitunglah besar sudut antara a = i + 2j + 2 k
dan b = 2i + 3 j – 6k
Jawab:
Cos θ =
=
θ = arc cos (-0,19)
θ = 180o
– 79o
= 101o
ba
ba
.
.
190,0
21
4
222222
)6(32)(221(
)6.(23.22.1
−=
−
=
−++++
−++
23. 8. Proyeksi Suatu Vektor pada Vektor Lain
a)Proyeksi vektor a pada vektor b adalah:
b) Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
adalah:
2
)..(
b
bba
b
ba .
24. Contoh:
Diketahui : a = 2i – 3j + 4k
b = i + 2j – k
Tentukanlah
a.Proyeksi vektor a pada vektor b
b.Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
Jawab:
a . b = (2i – 3j + 4k) . (i + 2j – k) = 2 - 6 – 4 = -8
6)1(21
294)3(2
222
222
=−++=
=+−+=
b
a
25. a. Proyeksi vektor a pada vektor b
b. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
( )
kji
kji
b
bba
3
4
3
8
3
4
22
6
)2(8
)..(
+−=
−+−
= −
6
3
4
6
8
.
−
=
−
=
b
ba
26. PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN
Bentuk umum : ax2
+ bx + c = 0
Cara menyelesaikan:
1.Memfaktorkan
2.Melengkapkan kuadrat sempurna
3.Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
4.Menggambarkan sketsa grafik fungsi
f : ax2
+ bx + c = 0
Persamaan Kuadrat
31. Pertidaksamaan Kuadrat
Rumus Dasar:
1.Jika a< b dan (x-a) (x-b)< 0, maka a<x<b
2.Jika a< b dan (x-a) (x-b) ≤ 0, maka a≤x≤b
3.Jika a< b dan (x-a) (x-b)> 0, maka x< a
atau x > b
4.Jika a< b dan (x-a) (x-b)≥ 0, maka x ≤ a
atau x ≥ b
32. Contoh:
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut ini.
1.x2
– 10x + 16 < 0
2.x2
– 3x – 10 ≥ 0
Jawab:
1.x2
– 10x + 16 < 0
Nilai nol dari bagian kiri pertidaksamaan
x2
– 10x + 16=0
(x-8)(x-2) =0
X= 8 atau x = 2 2 8
Hp= {x/ 2 < x < 8}
33. Jawab:
x2
– 3x – 10 ≥ 0
Nilai nol dari bagian kiri pertidaksamaan
x2
– 3x-10=0
(x- 5)(x+2) =0
x= 5 atau x = -2 -2 5
Hp= {x/ x ≤ -2 atau x ≥ 5}
