Besaran_vektor.pptx

Sifat besaran fisis :  Skalar
 Vektor
 Besaran Skalar
Besaran yang hanya memiliki besar ( nilai ) saja
Contoh: panjang, massa, dan waktu
Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat
 Besaran Vektor
Besaran yang memiliki besar ( nilai ) dan juga arah
z
x
y
PENGENALAN VEKTOR
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya
Catatan : vektor tergantung sistem koordinat

Adalah Himpunan ruas garis-ruas
garis berarah yang mempunyai
besar dan arah yang sama,dimana
panjang ruas garis berarah itu
disebut panjang vektor dan arah
ruas garis berarah disebut arah
vektor

Gambar :
P Q
Titik P : Titik pangkal vektor
Titik Q : Ujung vektor
Tanda panah : Arah vektor
Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor
Notasi Vektor
A Huruf tebal
Pakai tanda panah di atas
A

A Huruf miring
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI)
VEKTOR

Catatan :
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A B A = B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A B

2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A B
A B

A B

Why?
Why?
Why?

VEKTOR DI R2
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2
OA
PA
OP 

O P
i
j
X
A(x,y)
Y
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
a
x
y
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
Q OA
OQ
OP 


Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
xi
yj
zk
P
Q
S

X
Y
Z
T(x,y,z)
O
t

P
Q
R(x,y)
S
xi
yj
zk
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Jadi
OT = xi + yj + zk
atau t = xi + yj + zk

Penjumlahan Vektor
 Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan
jajaran genjang
v
u w = u + v
w = u + v
u
v

 Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2
metode hasilnya sama, yaitu :

Penjumlahan Vektor
 Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
















































d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u

Pengurangan Vektor
 Selisih dua vektor u dan
v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
 Dalam bentuk pasangan
bilangan
v
u
w = u - v -v
u
















































d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
2
2
)
(
)
(
|
| d
b
c
a
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
Jika
n
Penguranga





















































2
2
)
(
)
(
|
| d
b
c
a
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
Jika
n
Penjumlaha






















































1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor
C = k A k : Skalar
A : Vektor
Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A
Catatan :  Jika k positif arah C searah dengan A
 Jika k negatif arah C berlawanan dengan A
k = 3,
A C = 3A
PERKALIAN VEKTOR

Perkalian Titik (Dot Product)
 Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor
a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus
sudut antara keduanya.

cos
|
||
| b
a
b
a 

 Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
2
1
2
1
2
1 c
c
b
b
a
a
b
a 



 a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
 a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
 a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
 Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a






|
||
|
cos

PERKALIAN SILANG (CROSS
PRODUCT) Arah vektor hasil cross product
adalah tegak lurus pada kedua
vektor tersebut dan memenuhi
aturan tangan kanan (right-hand
rule).
a x b = ab sin  .
 = sudut antara vektor dan vektor

Dan apabila ditulis dalam determinan matriks, maka
kita dapatkan rumus sebagai berikut:

2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan
berapa
besar vektornya ?
Vektor
Jawab :
= +
+
2
2
(-3)
2
4
2
A A
= 2i – 3j + 4k
A
= = 29 satuan
3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini :
2i – 2j + 4k
A =
i – 3j + 2k
B =
Jawab :
Perkalian titik :
A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
Perkalian silang :
A x B =
2
3
1
4
2
2
-
-
k
j
i
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k
= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k
= 8i – 0j – 2j
= 8i – 2k

Sifat Perkalian skalar dan vektor

Vektor Posisi
 OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
 AB = OB – OA
 = b – a
30
X
Y
0
A
B
b
a
Vektor yang menyatakan posisi suatu titik dalam sistem
koordinat

VEKTOR SATUAN
Vektor yang besarnya satu satuan
A
A
A 
ˆ
Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak)
Z
Y
X
j
k
i
A Arah sumbu x :
Arah sumbu y :
Arah sumbu z :
Notasi 1
ˆ
ˆ 


A
A
A
A Besar Vektor
k
A
j
A
i
A
A z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ 


k̂
ĵ
iˆ

Vektor Ortogonal
 Teorema
 Hasil perkalian dot product antara dua vektor
bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-
vektor tersebut saling tegak lurus
 Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b =
0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
 Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
 Untuk vektor bukan-nol
 a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o =
π/2

Proyeksi Ortogonal
 Jika u dan a adalah vektor - vektor dalam
ruang berdimensi 2 atau 3 dan jika a ≠ 0,
maka :
a
a
a
.
u
u
oy
Pr 2
a 
Proyeksi ortogonal u pada a
atau komponen vektor u yang
sejajar dengan a
a
a
a
.
u
u
u
oy
Pr
u 2
a 


Komponen vektor u
yang ortogonal
terhadap a

 Panjang komponen vektor u sepanjang a
a
a
u
u
proya
.


Besaran_vektor.pptx

More Related Content

Similar to Besaran_vektor.pptx

Besaran_vektor.pptx