siip

1. BAB 1 ANALISIS VEKTOR
1.1 SKALAR DAN VEKTOR
 Skalar
• Hanya mempunyai besar
• Contoh : massa, volume, temperatur, energi
Vektor
• Mempunyai besar dan arah
• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan
Medan skalar
• Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang
• Contoh : EP = m g h
Medan vektor
• Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang
• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

2. 1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR
 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
• Metoda jajaran genjang
• Metoda poligon
A
B
C = A + B
B
A
C = A + B
A
- B
D = A - B
D = A – B = A + (- B)

3.  Perkalian titik
Hasilnya skalar
A
Proyeksi B pada A
AB
B
Proyeksi A pada B
A
B
cos
A
B
cos
B
A
B
A
AB
AB








4.  Perkalian Silang
Hasilnya vektor
A
B
a
sin
B
A
B
A N
AB 





A
AB
A  B
B
aN = vektor satuan yang tegak lurus
pada bidang yang dibentuk oleh
vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai
dengan aturan ulir tangan kanan)

5. 1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
 Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z
P(x, y, z)
• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

6.  Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az
• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az
• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

7. • Vektor Posisi
z
y
x
P
z
y
x
P
a
a
2
a
2
r
a
3
a
2
a
r






• Vektor antara 2 titik
z
y
x
z
y
x
Q
P
PQ
a
2
a
4
a
a
)
3
1
(
a
)
2
2
(
a
)
1
2
(
r
r
R













8. • Titik asal  O(0, 0, 0)
• Bidang  x = 0 (bidang ZOY)
y = 0 (bidang ZOX)
z = 0 (bidang XOY)

9. Elemen Luas (vektor)
 dy dz ax  dx dz ay  dx dy az
Elemen Volume (skalar)
dx dy dz

10.  Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian
z
z
y
y
x
x
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
z
z
y
y
x
x
o
o
B
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
B
A
B
A
B
A
B
A
0
a
a
a
a
0
a
a
a
a
0
a
a
a
a
1
a
a
1
a
a
1
a
a
0
90
cos
1
0
cos
B
B
a
B
B
B
B
A
A
A
A
B
,
A
cos
B
A
B
A
a
B
a
B
a
B
B
a
A
a
A
a
A
A









































11. • Proyeksi vektor A pada vektor B
B
A
AB
Proyeksi A pada B
B
B a
)
a
A
( 

12. Contoh Soal 1.1
Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan :
a). RAB  RAC
b). Sudut antara RAB dan RAC
c). Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :
899
,
4
4
4
16
R
660
,
8
25
49
1
R
20
)
2
)(
5
(
)
2
)(
7
(
)
4
)(
1
(
R
R
a
2
a
2
a
4
R
a
5
a
7
a
R
AC
AB
AC
AB
z
y
x
AC
z
y
x
AB























z
y
x
z
y
x
AC
AC
AC a
408
,
0
a
408
,
0
a
816
,
0
899
,
4
a
2
a
2
a
4
R
R
a 








o
AC
AB
AC
AB
9
,
61
471
,
0
)
899
,
4
)(
660
,
8
(
20
R
R
R
R
cos 







Proyeksi RAB pada RAC :
)
a
665
,
1
a
665
,
1
a
330
,
3
)
a
408
,
0
a
408
,
0
a
816
,
0
(
08
,
4
a
)]
408
,
0
)(
5
(
)
408
,
0
)(
7
(
)
816
,
0
)(
1
[(
a
)
a
R
(
z
y
x
z
y
x
AC
AC
AC
AB
















13.  Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian
A
AB
A  B
B
z
y
x
z
y
x
z
y
x
B
B
B
A
A
A
a
a
a
B
A 

z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x a
B
a
B
a
B
B
a
A
a
A
a
A
A 





1
90
sin
0
0
sin
A
B
a
sin
B
A
B
A
o
o
N
AB









y
z
x
z
y
x
z
y
z
x
x
y
z
y
x
z
z
y
y
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a





















z
x
y
y
x
y
z
x
x
z
x
y
z
z
y a
)
B
A
B
A
(
a
)
B
A
B
A
(
a
)
B
A
B
A
(
B
A 







14. Contoh Soal 1.2 :
Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1). Tentukan :
a). RBC  RBA
b). Luas segitiga ABC
c). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga
Jawab :
899
,
4
4
4
16
R
660
,
8
25
49
1
R AC
AB 







z
y
x
z
y
x
z
y
x
BA
BC
a
26
a
6
a
24
a
)]
5
)(
1
(
)
7
)(
3
[(
a
)]
5
)(
3
(
)
3
)(
3
[(
a
)]
7
)(
3
(
)
3
)(
1
[(
3
7
5
3
1
3
a
a
a
R
R





















944
,
17
2
888
,
35
2
26
6
24
2
R
R
ABC
2
2
2
BA
BC








z
y
x
z
y
x
N a
725
,
0
a
167
,
0
a
669
,
0
888
,
35
a
16
a
6
a
24
a 








15. 1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER
 Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat ,  dan z
P(, , z)
 Transformasi sistem koordinat
z
z
z
z
x
y
tg
sin
y
y
x
cos
x
Silinder
Kartesian
Kartesian
Silinder
1
2
2

















16. Contoh Soal 1.3 :
Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak dari A ke B.
Jawab :
Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih dahulu
dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.
x =  cos  = 4 cos (–50o) = 2,571
y =  sin  = 4 sin (–50o) = - 3,064
z = z = 2
79
,
6
3
)
064
,
6
(
)
571
,
0
(
R
a
3
a
064
,
6
a
571
,
0
a
)
1
2
(
a
)
3
064
,
3
(
a
)
2
571
,
2
(
R
2
2
2
AB
z
y
x
z
y
x
AB
















17.  Vektor
dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan
Vektor satuan dalam arah  dan  tergantung pada posisinya di dalam ruang
z
z
z a
A
a
A
a
A
A
a
,
a
,
a 


 





 Transformasi vektor
a a az
ax cos  - sin  0
ay sin  cos  0
az 0 0 1
Silinder  Kartesian
Silinder  Kartesian
y
x
x
a
sin
a
cos
a
:
Vertikal
a
sin
a
cos
a
:
Horisontal












18. Contoh Soal 1.4 :
Nyatakan vektor
dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5).
Jawab :
Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk
menghitung sudut  di titik A, yaitu :
z
y
x a
4
a
2
a
4
R 


o
1
1
3
,
56
2
3
tg
x
y
tg 


 

a a az
ax cos  = 0,555 - sin  = - 0,832 0
ay sin  = 0,832 cos  = 0,555 0
az 0 0 1
z
z
a
4
a
438
,
4
a
556
,
0
a
4
)
a
555
,
0
a
832
,
0
(
2
)
a
832
,
0
a
555
,
0
(
4
R















19. Bidang   = konstan (permukaan silinder)
 = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)
z = konstan (bidang datar tegak lurus sumbu-z)

20. 1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA
 Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan  :
P(r, , )
x
y
tg
cos
r
z
z
y
x
z
cos
sin
sin
r
y
z
y
x
r
cos
sin
r
x
Bola
Kartesian
Kartesian
Bola
1
2
2
2
1
2
2
2





















 Transformasi Koordinat

21. • Contoh Soal 1.5 :
• Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola.
Jawab :
o
1
1
o
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
6
,
71
1
3
tg
x
y
tg
3
,
38
099
,
5
4
cos
z
y
x
z
cos
099
,
5
4
3
1
z
y
x
r





















4
z
3
y
1
x
)
4
,
3
,
1
(
B 



)
6
,
71
,
3
,
38
,
099
.
5
(
B
6
,
71
3
,
38
099
,
5
r
o
o
o
o






22.  Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :
• Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang





 


 a
A
a
A
a
A
A
a
,
a
,
a r
r
r
ar a a
ax sin  cos  cos  cos  - sin 
ay sin  sin  cos  sin  cos 
az cos  - sin  0
Bola  Kartesian
 Transformasi Vektor
z
y
x
r
x
a
cos
a
sin
sin
a
cos
sin
a
:
Vertikal
a
sin
a
cos
cos
a
cos
sin
a
:
Horisontal















 



23. Contoh Soal 1.6 :
Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4).
Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.
Jawab :
B(1, 3, 4)   = 38,3o  = 71, 6o
ar a a
ax sin  cos 
sin 38,3o cos 71,6o
(0,620)(0,316) = 0,196
cos  cos 
cos 38,3o cos 71,6o
(0,785)(0,316) = 0,248
- sin 
- sin 71,6o
- 0,949
ay sin  sin 
sin 38,3o sin 71,6o
(0,620)(0,949) = 0,588
cos  sin 
cos 38,3o sin 71,6o
(0,785)(0,949) = 0,745
cos 
cos 71,6o
0,316
az cos 
cos 38,3o
0,785
- sin 
- sin 38,3o
- 0,620
0
z
r
z
r
z
y
x
AB
a
213
,
2
a
608
,
1
a
651
,
7
a
)]
0
(
7
)
316
,
0
(
4
)
949
,
0
(
[
a
)]
629
,
0
(
7
)
745
,
0
(
4
248
,
0
[
a
)]
785
,
0
(
7
)
588
,
0
(
4
196
,
0
[
a
7
a
4
a
R
























24. • Bidang  r = konstan (kulit bola)
 = konstan (selubung kerucut)
 = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)