Vektor merupakan kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan tentang penjumlahan vektor, komponen vektor, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta contoh soal latihan tentang vektor.

1. Vektor

2. Penjumlahan Vektor
r
r r
s = a +b

3. Mengikuti hukum :
• Komutatif
:
r r r
r
a +b = b + a

4. Assosiatif :
r r r
r r
r
( a + b ) + c = a + (b + c )

5. r
Vektor b adalah vektor yang memiliki
r
besaran yang sama dengan vektor−b
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
r
r
(b ) + (− b ) = 0

6. Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
r
Komponen vektor : a ax = a cos θ dan a y = a sin θ
disebut komponen skalar atau komponen

7. Penjumlahan vektor dengan komponen
r
r
r
r
s = a + b , setiap komponen s sama dengan
r
r
b
komponen a +
sx = x + x
a
b
sy = y + y
a
b
sz = z + z
a
b

8. r
Besar vektor a:
a = a +a
2
x
2
y
dan
ax
tan θ =
ay
r
r
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b),
r
besar vektors
dapat dicari dengan rumus :
s = a 2 + b 2 + 2ab cos θ
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus : a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ
Dalil sinus :
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ

9. Vektor satuan:
Koordinat Kartesius
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
ˆ
ˆ j
diberi tanda : i , ˆ dan k

10. r
r
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :
r
ˆ
a = ax i + a y ˆ
j
r
ˆ
b = bxi + by ˆ
j
disebut komponen vektor

11. Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
r
Jika vektor a
dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
r
absolute s dengan arah a jika s positif,rdan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi
r
dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
 Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product

12. Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor
satuan dalam koordinat kartesius :
i.i=j.j=k.k=1
i.j=j.k=I.k=0
ixi=jxj=kxk=0
ixj=k; jxi=-k
ixk=-j;kxi=j
kxj=-i;jxk=i

13. r r
a.b =ab cos φ

14. Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
rr
a.b = (a cos φ )(b) = (a)(b cos φ )
Scalar product berlaku hukum komutatif
rr rr
a.b = b .a
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
rr
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a.b = (ax i + a y ˆ + a z k ).(bxi + by ˆ + bz k )
j
j
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
rr
a.b = ax bx + a y by + az bz

15. Menghasilkan vector : Vector Product
Dikenal sebagai : Cross Product
r r r
a xb =c
Dengan besar c adalah :
c = ab sin φ
r r
Besaran a x b
r r
ditulis a x b = 0 jika
r r
dan maksimum jika a ⊥ b
r r
a // b

16. r
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor
r
r
a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan.
r r
r r
b x a = −(a x b )

17. Penulisan dalam vektor satuan :
r r
ˆ
ˆ
a x b = (axiˆ + a y ˆ + az k ) x (bxiˆ + by ˆ + bz k )
j
j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ax i x bx i =a x bx (i x i ) =0
ˆ
ˆ
ax i x by ˆ = axby (iˆ x ˆ) = a xby k
j
j
Hasil akhir :
r r
a x b = (a ybz − by az )iˆ + (azbx − bz ax ) ˆ + (axby − bx a y )kˆ
j

18. Cara mudah untuk perkalian silang dengan
mengunakan metode determinan
i
j
k
a x b = ax ay az
bx by by

19. Cara lain : reduksi matrix 3x3
2x2

20. Latihan soal : r
r
1 Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama
r
saling mengapit dengan sudut α . Jika besar vektor a
r
a +b = 3 a −b
b
a+b
a2 +
dua kali vektor = dan b 2 + 2 ab cosα
, hitung
Jawab :
a − b = a 2 + b 2 − 2 ab cosα
α
!
a 2 + b 2 + 2 ab cos α = 3 a 2 + b 2 − 2 ab cos α
16 b 2 cos α=
10 b 2
α = 51, 320

21. 2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
2
2
r = v1 + v2 + 2 v1v2 cos 450
r = 458, 7
r = 21, 4 satuan
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus :
2
v2 = v12 + r 2 − 2v1r cos α
297, 7 = 342, 4 cos α ⇒ α =29,60
Dalil Sinus :
v2
r
=
sin α sin 1350
15(0, 707)
sin α =
⇒ α =29,7 0
21, 4

22. 3 Diketahui 3 buah vektor
r
a = i − ˆ+ k
1 ˆ
3 j
4 ˆ
r
b = 1i − ˆ+ k
− ˆ
2 j
2 ˆ
r
c = i − ˆ− k
3 ˆ 1j
3 ˆ
r
Hitung besar vektor rr sudut antara vektor ini dengan sumbu z
r
r
r r dan
r
jika r = 2a + b −. cHitung juga sudut antara vektor a dan b!
Jawab :
r
ˆ
ˆ
r = (−2)i + ( −7) ˆ + (13) k ⇒ r = ( −2) 2 + ( −7) 2 + (13) 2 = 14,9 satuan
j
r
Sudut antara r
dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan
r r
ˆ ˆ
arah sumbu z.
r . k = ( − i .k +( − ˆ.k +(13) k .k
2) ˆ ˆ
7) j ˆ
r k
Sudut antara
cos γ =13 ⇒ cosφ=
13
⇒ φ=29.30
14.9
r
r
a dan bdiperoleh dengan men”dot”kan keduanya.
r r
a. b =1.( − +( −
1)
3).(− +4.(2)
2)
a b
cos φ =13
⇒ cosφ=
13
26 9
⇒ φ=31,80

23. 4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan
dan arahnya 2520 terhadap sumbu x positif. Vektor b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor
tersebut.
Jawab :
Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
2520 − 900 = 1620
Sehingga diperoleh :
r r
a . b = ab cos φ = (5)(4) cos162 0 =− satuan
19
r
r
a x b = ab sin φ = (5)(4) sin162 0 = 6,18 satuan

24. Soal Tugas
1. Dua buah vektor yang besarnya 5 dan 3
satuan membentuk sudut 60 sama lain.
Hitung resultan vektor-vektor tersebut!
Hitung pula selisih dua vektor tersebut!
2. Tiga buah vektor a, b dan c terletak pada
satu bidang dan mempunyai titik tangkap
yang sama. Besar vektor berturut-turut
adalah 30, 20 dan 40 satuan. Berapakah
besar sudut apit vektor a dan b agar resultan
nya besarnya sama dengan vektor c ?

25. 3. Jumlah dua vektor adalah tiga kali vektor yang
lebih kecil. Jika vektor- vektor tersebut
membentuk sudut 60, berapakah
perbandingan kedua vektor tersebut ?
4. Hitung perkalian titik dan perkalian silang dari
dua vektor berikut ini :
a = 2i – 2j + 4k
b = i – 3j + 2k
5. a = 5,1i – 2,3j ; b = i ; c = -3,1i + 6,3j
Hitung resultan ketiga vektor tersebut dan
kemana arahnya?