1. 1
DERET PANGKAT DAN METODE DERET PANGKAT
1. DERET PANGKAT
Deret Pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga.
∞
Σ 푎푛(푥 − 푥0)푛 = 푎0 + 푎1(푥 − 푥0) + 푎2(푥 − 푥0)2 + 푎3(푥 − 푥0)3 + ⋯
푛=0
Perhatikan Deret Geometri
∞
Σ 푥 푛 = 1 + 푥 + 푥 2 + 푥 3 + ⋯
푛=0
Jika koefisien dari suku - suku deret geometri tersebut tidak tetap, maka diperoleh:
∞
Σ 푎푛푥 푛 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥 2 + 푎3 푥 3 + ⋯
푛=0
Deret ini dinamakan deret pangkat dalam x yang berpusat di 0.
Dimana 푎0, 푎1, 푎2 …: Koefisien deret (yang berupa konstanta)
Deret pangkat ini dapat digunakan untuk memperoleh nilai numerik, mencirikan
berbagai sifat umum solusi dan memperoleh jenis representasi lain bagi solusi.
Berikut ini adalah bentuk contoh fungsi elementer yang dipresentasikan oleh
deret pangkat :
1.
1
1−푥
= Σ 푥푛 = 1 + 푥 + 푥2 + 푥3 +⋯ ∞푛
=0
2. 푒푥 = Σ 푥푛
=0 + 푥3
푛!
= 1 + 푥 + 푥2
2!
∞푛
3!
+ ⋯
3. cos 푥 = Σ (−1)푛푥2푛
= 0 = 1 − 푥2
(2푛) !
∞푛
2!
+ 푥4
4!
− 푥6
6 !
+ ⋯
4. sin 푥 = Σ (−1)푛푥2푛 +1
=0 = 1 − 푥3
(2푛+1)!
∞푛
3!
+ 푥5
5!
− 푥7
7!
+ ⋯
5. ln(1 + 푥) = Σ (−1)푛+1 푥푛
+ ⋯ ∞푛
=1
푛
= 푥 − 푥2
2
+ 푥4
4
− 푥6
6

2. 2
2. Metode Deret Pangkat
Metode deret pangkat merupakan suatu metode umum untuk
memecahkan persamaan diferensial linier, termasuk persamaan 푦" + 푝(푥)푦′ +
푞(푥)푦 = 0 dengan 푝(푥) dan 푞(푥) fungsi terhadap x . Metode ini menghasilkan
solusi yang berbentuk deret pangkat, oleh karenanya metode ini dinamai metode
deret pangkat.
Langkah – langkah memecahkan persamaan diferensial dengan metode
deret pangkat :
1. Asumsikan sebuah solusi bagi persamaan diferensial dalam bentuk
deret pangkat.
2. Substitusikan persamaan solusi atau langkah satu dan turunannya ke
dalam persamaan diferensial semula.
3. Kumpulkan x yang berpangkat sama dan samakan jumlah koefien
masing – masing x sama dengan 0.
4. Tentukan koefisien deret berdasarkan hubungan yang dihasilkan dari
langkah 3.
5. Substitusikan koefisien deret yang diperoleh dari langkah 4 ke dalam
persamaan solusi yang diasumsikan ke awal.
Contoh 1 :
Selesaikan persamaan diferensial 푦′ − 푦 = 0
Jawab :
Asumsikan :
∞
푦 = Σ 푎푛푥 푛 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥 2 + 푎3푥 3 + ⋯
푛=0
(1)
Adalah persamaan solusi untuk persamaan diferensial 푦′ − 푦 = 0. Maka turunanya
adalah :

3. 3
∞
푦′ = Σ 푛푎푛 푥 푛−1 = 푎1 + 2푎2푥 + 3푎3푥 2 + ⋯ (2)
푛=0
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan diferensial awal yaitu :
푦′ − 푦 = (푎1 + 2푎2푥 + 3푎3푥 2 + ⋯ ) − (푎0 + 푎1푥 + 푎2푥 2 + ⋯ ) = 0
Kumpulkan x yang berpangkat sama, lalu samakan jumlah koefisien masing – masing x
sama dengan 0.
(푎1 − 푎0 ) + (2푎2 − 푎1)푥 + (3푎3 − 푎2)푥 2 + ⋯ = 0
(푎1 − 푎0) = 0 (2푎2 − 푎1 ) = 0 (3푎3 − 푎2 ) = 0
푎1 = 푎0 2푎2 = 푎1 3푎3 = 푎2
푎2 = 푎1
2
푎3 =
푎2
3
푎2 =
푎0
2 !
푎3 =
푎0
6
푎3 = 푎0
3!
Substitusikan nilai 푎0 , 푎1 , 푎2 , 푎3 , ke persamaan (1), diperoleh :
푦 = 푎0 + 푎1 푥 + 푎2 푥2 + 푎3 푥3 + ⋯ = 푎0 + 푎0 푥 +
푎0
2!
푥2 +
푎0
3!
푥3 + ⋯
푦 = 푎0 (1 + 푥 + 푥2
2!
+ 푥3
3 !
+ ⋯) = 푎0 (푒푥 )
Jadi, diperoleh solusi umum bagi persamaan diferensial, yaitu 푦 = 푎0(푒푥 )

4. 4
Contoh 2 :
Selesaikan persamaan diferensial berikut : 푦" + 푦 = 0
Jawab :
Asumsikan :
∞
푦 = Σ 푎푛푥푛
푛=0
= 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + ⋯ (1)
Adalah persamaan solusi untuk persamaan differensial 푦" + 푦 = 0 maka diturunkan
sebanyak dua kali :
∞
푦′ = Σ 푛푎푛푥푛−1
푛=0
= 푎1 + 2푎2푥 + 3푎3푥2 + ⋯ (2)
∞
푦" = Σ 푛(푛 − 1)푎푛푥푛−2
푛=0
= 2푎2 + 6푎3푥 + 12푎4푥2 + ⋯ (3)
Substitusikan persamaan (1) dan (3) ke persamaan diferensial awal pada soal, yaitu :
푦" + 푦 = (2푎2 + 6푎3푥 + 12푎4푥2 + ⋯ ) + (푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + ⋯ )
Kumpulkan x yang berpangkat sama, lalu samakan jumlah koefisien masing-masing x
sama dengan nol.
(2푎2 + 푎0) + (6푎3 + 푎1)푥 + (12푎4 + 푎2)푥2 + ⋯ = 0
(2푎2 + 푎0) = 0 ; (6푎3 + 푎1) = 0 ; (12푎4 + 푎2) = 0
푎2 = −
푎0
2
= −
푎0
2!
, 푎3 = −
푎1
6
= −
푎1
3!
, 12푎4 = −푎2
12푎4 = (
푎0
2
)
푎4 =
푎0
24
=
푎0
4!
Dengan 푎0, 푎1 sembarang.
Substitusikan 푎0, 푎1, 푎2, 푎3 ke persamaan (1) maka diperoleh :
푦 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + ⋯
푦 = 푎0 + 푎1푥−
푎0
2!
푥2 −
푎1
3!
푥3 +
푎0
4!
푥4 + ⋯

5. 5
푦 = 푎0 ( 1 −
푥2
2!
+
푥4
4!
− ⋯ ) + 푎1 ( 푥 −
푥3
3!
+ ⋯ )
푦 = 푎0 푐표푠 푥+푎1 푠푖푛 푥
Contoh 3 :
Selesaikan MNA berikut dengan menggunakan metode deret pangkat ( kuasa ) :
(1 − 푥)푦" − 푦′ + 푥푦 = 0 푦(0) = 1, 푦(0) = 1
Jawab :
Asumsikan :
∞
푦 = Σ 푎푛푥푛
푛=0
= 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + ⋯ (1)
∞
푦′ = Σ 푛푎푛푥푛−1
푛=0
= 푎1 + 2푎2푥 + 3푎3푥2 + ⋯ (2)
∞
푦" = Σ 푛(푛 − 1)푎푛푥푛−2
푛=0
= 2푎2 + 6푎3푥 + 12푎4푥2 + ⋯ (3)
Substitusikan persamaan (1), (2)dan (3)ke PD awal pada soal. Untuk mempermudah
kita dapat membuat bentuknya seperti :
(1 − 푥)푦′′ = (2푎2 + 6푎3푥 + 12푎4푥2 + ⋯ ) + (−2푎2푥 − 6푎3푥2 − 12푎4푥3 − ⋯ )
−푦′ = −푎1 − 2푎2푥 − 3푎3푥2 − ⋯
푥푦 = 푎0푥 + 푎1푥2 + 푎2푥3 + ⋯
Dengan syarat awal 푎0 = 1 , 푎1 = 1
Kumpulkan x yang berpangkat sama, lalu samakan jumlah koefisien masing-masing x
sama dengan nol.
(2푎2−푎1) = 0 (6푎3 − 2푎2 − 2푎2+푎0)푥 = 0 (12푎4 − 6푎3 − 3푎3+푎1)푥2 = 0
 푎2 =
푎1
2
=
1
2!
1
2
6푎3−4푎2+푎0 = 0 , 6푎3−4푎2 + 1 = 0 , 6푎3 − 4 (
) + 1 = 0 , 6푎3 = 1
 푎3 =
1
6 = 1
3!

6. 6
12푎4 − 9푎3+푎1 = 0 , 12푎4 − 9푎3 + 1 = 0 , 12푎4 − 9(
1
6
) + 1 = 0
12푎4 −
1
2
= 0 , 푎4 =
1
2
1
12
(
) , 푎4 =
1
24 ,
 푎4 =
1
4!
Substitusikan nilai-nilai koefisien deret diatas ke persamaan solusi yang telah di
asumsikan maka diperoleh solusi dari MNA diatas :
푦 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + ⋯
푦 = 1 + 푥 +
1
2!
푥2 +
1
3!
푥3 +
1
4!
푥4 …
푦 = Σ
1
푛
∞
푛=0
푥푛 = 푒푥
Contoh 4 :
Hitung lima koefisien pertama dari penyelesaian deret dari MNA berikut :
푦" − 2푥2푦′ + 8푦 = 0 , 푦(0) = 0 , 푦(0) = 1
Penyelesaian :
∞
푦 = Σ 푎푛푥푛
푛=0
= 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + ⋯
∞
푦′ = Σ 푛푎푛푥푛−1
푛=0
= 푎1 + 2푎2푥 + 3푎3푥2 + ⋯
∞
푦" = Σ 푛(푛 − 1)푎푛푥푛−2
푛=0
= 2푎2 + 6푎3푥 + 12푎4푥2 + ⋯
Substitusikan 푦, 푦′ , 푦" ke PD awal pada soal. Untuk mempermudah kita dapat membuat
bentuknya seperti :
푦" = 2푎2 + 6푎3푥 + 12푎4푥2 + ⋯
−2푥2푦′ = −2푥2(푎1 + 2푎2푥 + 3푎3푥2 + ⋯ ) = −2푎1푥2 − 4푎2푥3 − 6푎3푥4 + ⋯
8푦 = 8푎0 + 8푎1푥 + 8푎2푥2 + 8푎3푥3 + ⋯
Dengan syarat awal 푎0 = 0 , 푎1 = 1

7. Kumpulkan x yang berpangkat sama, lalu samakan jumlah koefisien masing-masing x
sama dengan nol.
7
(2푎2 + 8푎0) = 0 , (6푎3 + 8푎1)푥 = 0 , (12푎4 + −2푎1+8푎2)푥2 = 0
2푎2 = −8(0) , 푎2 = 0
6푎3 = −8(1) , 푎3 = −
8
6
= −
4
3
12푎4 = 2푎1−8푎2 , 12푎4 = 2(1) − 8(0) = 2 , 푎4 =
2
12
=
1
6
Substitusikan nilai-nilai koefisien deret diatas ke persamaan solusi yang telah di
asumsikan maka diperoleh solusi dari MNA diatas :
푦 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + 푎4푥4 + ⋯
푦 = 0 + 푥 + 0 −
4
3
푥3 +
1
6
푥4 + ⋯
푦 = 푥 −
4
3
푥3 +
1
6
푥4 + ⋯

8. 8
Soal – soal latihan :
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan menggunakan deret pangkat
푎. 푦′ = 2푥푦
푏. 푦′ = 푦 + 푥
2.Selesaikan MNA berikut dengan menggunakan deret pangkat
푦′′ − 3푦′ + 2푦 = 0 푦(0) = 1 , 푦′ (0) = 1
3.Hitunglah lima koefisien pertama dari penyelesaian deret pangkat MNA berikut
푦′′ − 2푥푦′ + 푦 = 0 푦(0) = 2 , 푦′ (0) = 1

9. 9
DAFTAR PUSTAKA
Lestariningsih, Yunika. 2013. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Palembang
Radiks. 2010. Teorema Deret Pangkat. Online.
(http://radiks.files.wordpress.com/2010/09/teorema-deret-pangkat.pdf ) Diakses 16
oktober 2014