Themata_panelladikwn_eksetasewn_me_th_nea_ylh_2016

1. Δημήτρης Πατσιμάς
Στέλιος Μιχαήλογλου
Θέματα
Πανελλαδικών εξετάσεων
Γ΄ Λυκείου με νέα ύλη
Επαναληπτικές ασκήσεις
www.askisopolis.gr

2. 2

3. [1]
www.askisopolis.gr
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Γ(2015)
Δίνεται η συνάρτηση   2
,
1
x
e
f x x
x
 

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο
τιμών της είναι το διάστημα  0,
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   
2
3 2
1
5
x e
f e x
  
έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα
Μονάδες 8
Γ3. Να αποδείξετε ότι  
4
4
2
2
17
e
f t dt  , για κάθε 0x  .
Μονάδες 4
Γ4. Να υπολογίσετε το   21
ln
ln
e x
f x dx
x
 .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ (2015)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f  για την οποία ισχύουν:
      
2
f x f x
f x e e

     για κάθε x
  0 0f 
Δ1. Να αποδείξετε ότι    2
ln 1 ,f x x x x R   
Μονάδες 5
Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και
να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
(Μονάδες 3)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες 0x  και
1x 
(Μονάδες 4)
Μονάδες 7
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
   ( ) 1
0
lim 1 ln
f x
x
e f x


 
 
Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
   
1 3
2 2
0 2
1 3 2016
0
3 2
f t dt f t dt
x x
 
 
 
 
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  2,3

4. [2]
www.askisopolis.gr
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ (επαναληπτικά 2015)
Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) lnx
f x e x
  ,  0,x  .
Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h g με   2
4g x x  , όπου
     2
1 2h x f x f x    .
Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  
1
1
2
f f x
 
  
 
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
1 2,x x .
Mονάδες 6
Γ4. Αν για τις ρίζες 1 2,x x του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι 1 2x x τότε να αποδείξετε
ότι υπάρχει μοναδικό  1,1x  τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο   , f  να διέρχεται από το σημείο
3
0,
2
 
 
 
.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικά 2015)
Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση  : 0,f   για την οποία ισχύει:
     2
1x x f ΄ x xf x   για κάθε  0,x  .
Δ1. Να αποδείξετε ότι  
ln
,0 1
1
1 , 1
x
x
f x x
x

 
 
 
.
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι  
1
0xf x f
x
 
  
 
, για κάθε    0,1 1,x   .
Μονάδες 4
Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
Μονάδες 5
Δ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
Μονάδες 4
Δ5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f και τις ευθείες 2x  , 1x e  και τον άξονα x΄x είναι ίσο με
1
2
1
ln
1
2 1
e
x
x dx
x


  
 .
Μονάδες 5

5. [3]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικά 2014)
Δίνεται η συνάρτηση
ln
, 0( )
0 , 0
x
x
e xf x
x
  
 
Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0
Μονάδες 4
Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
Μονάδες 7
Γ3. i) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία f(x) = f(4) ⟺ x4
= 4x
(μονάδες 2)
ii) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x4
= 4x
, x > 0,έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
x1 =2 και x2 = 4
(μονάδες 6)
Μονάδες 8
Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(2,4) τέτοιο, ώστε
2 1
( )
4
f 
 
 
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ (2014)
Δίνεται η συνάρτηση
1
, 0
( )
1
x
e
x
f x x

 

 

 , αν x = 0
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και, στη συνέχεια, ότι
είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 7
Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   2 1f f x   έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι
η x = 0.
(μονάδες 7)
β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο A(x0, f(x0)) με
x0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 με x = x(t), y = y(t), t ≥
0. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του
σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν
υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t ≥ 0.
(μονάδες 4)
Μονάδες 11
Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση         
2 2
1 2 , 0,g x xf x e x x      . Να
αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση
τοπικού μεγίστου.
Μονάδες 7

6. [4]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικές 2013)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:
  2
2 ( ) ( ) 3 ( )xf x x f x f x     για κάθε x∈ℝ

1
(1)
2
f 
Γ1. Να αποδείξετε ότι
3
2
( ) ,
1
x
f x x
x
 

και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του
ερωτήματος Γ1.
Μονάδες 4
Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
   2 3 2 2
5( 1) 8 8( 1)f x f x   
Μονάδες 7
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της f τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες 0x  και 1x 
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2013)
Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη
παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:
  
2
( ) ( ) 1 ( )f x f x f x   για κάθε x > 0 ,
 ( ) ( ) 0f x f x  για κάθε x > 0 ,
 f (0) = 0,

   
2 1
1
1
1
1lim 0
1
x
x
f x x e
x
x
 

  
 

Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις:
( )
( )
( )
f x
g x
f x

 με x>0 και  
3
( ) ( )h x f x με x≥0
Δ1. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f ′ στο (0,+∞)
(μονάδες 4)
β. Να αποδείξετε ότι f ΄(0) = 1
(μονάδες 3)
Μονάδες 7
Δ2. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να αποδείξετε ότι:
α. ( ) 2g x x  για κάθε x∈(0, +∞)

7. [5]
www.askisopolis.gr
(μονάδες 2)
β.
1
0
(2 ) ( ) 1x f x dx 
(μονάδες 4)
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1
Μονάδες 8
Δ4. Να δείξετε ότι  f x x .
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2012
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:A⟶ℝ με A=(0,+∞) για την οποία ισχύουν
σχέσεις:
    ,0f   - ,
 η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞),
    1
1 1f
f e 
      2 2
2 1
f x
x f x x e   (1)
Δ1. Να αποδείξετε ότι   2
2
ln , 0
1
x
f x x
x
 

.
Μονάδες 8
Δ2.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μέγιστο Σ(x0,f(x0)), x0>0, το
οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ∈(β, x0)
με 00 x  , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο M(ξ,F(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία
ε:  x ( 1)y 2012( 1) 0f       
Μονάδες 6
Δ3.Αν β<1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
        
35
1 1 1
0
1 3
f f x x
x x
           
 
έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x, στο διάστημα (1,3)
Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι     2 2
1 1
ln 2 2 2 ln 2 2 1
e e
x x
e x x dx x e dx            
, για κάθε x>0

8. [6]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Δ(2012)
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις
σχέσεις:
 f(x) ≠ 0
    2
1
2
x f x
2x-2x
e
 
          
1
1 ln x lnf x x x f x x f x
x
        
 
Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.
Μονάδες 10
Αν είναι    ln , 0x
f x e x x x
   , x>0, τότε:
Δ2.Να υπολογίσετε το όριο:  0
lim
x
2 1
f(x) ημ - f(x)
f(x)

 
 
 
Μονάδες 5
Δ3.Με τη βοήθεια της ανισότητας 1lnx x - , που ισχύει για κάθε x>0, να
αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (μονάδες 2).
β) η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).
Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
     3 2 2f x f x f x  , για κάθε  0,1x (μονάδες 4).
Μονάδες 6
Δ4.Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός  0,1  . Να αποδείξετε ότι υπάρχει
μοναδικός ξ ∈(β,2β) τέτοιο ώστε:
     3 2f f f   
Μονάδες 4
ΘΕΜΑ Δ(2011 επαναληπτικές)
Δίνονται η συνάρτηση f : ℝ→ℝ, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέτοια,
ώστε:


x 0
=
f(x)
lim 1 f(0)
x
, f΄(0) < f(1) f(0) και f΄΄(x) ≠0 για κάθε x∈ℝ
Δ1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x0=0.
Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ℝ.
Αν επιπλέον g(x)=f(x) x∈ℝ τότε:
Δ3. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να βρείτε το :
x 0
ημx
lim
xg(x)
Δ4 .Να αποδείξετε ότι  
2
0
2f x dx  .
Δ5.Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=1 είναι

9. [7]
www.askisopolis.gr
 
5
2
E e   τότε
α) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα  
1
0
f x dx και
β) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε
   
1 2
0 0
2
0
2 1
f t dt f t dt
 

 
 
 
ΘΕΜΑ Δ (2011)
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : ℝ→ℝ, οι οποίες για κάθε x∈ℝ ικανοποιούν τις
σχέσεις:
   0f x  και   0g x 
  
 
2x
e
f x
g x
 
  
 
2x
e
g x
f x
 
      
 0
2 2 2
0
0
g
t
f
f t g t e dt  
Δ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο ℝ και ότι
   f x g x για κάθε x∈ℝ.
Μονάδες 9
Δ2. Αν
 
 0
1
lim 0
x
f x
g
x

 , να αποδείξετε ότι:   , .x
f x e x 
Μονάδες 4
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
 
0
ln
lim
1x
f x
f
x

  
 
 
.
Μονάδες 5
Δ4. Αν          
2
2
0
3 2 44f x g x x x f t g t dt    να βρείτε τον τύπο της συνεχούς
συνάρτησης g.
Μονάδες 7

10. [8]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Δ(2010 επαναληπτικές)
Έστω συνάρτηση :f  η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο με
 0 1f  και  0 0f   .
Δ.1. Να αποδείξετε ότι   1f x  για κάθε x .
Μονάδες 4
Αν επιπλέον δίνεται ότι     2
2 2 ,f΄ x x x f x x x     , τότε:
Δ.2. Να αποδείξετε ότι  
2
2
,x
f x e x x   .
Μονάδες 6
Δ.3. Nα βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης  2
ln , 0x a x a   .
Μονάδες 5
Δ.4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης    4
g x f x ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες
x=0 και x=1.
Μονάδες 5
Δ.5. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες x=0 και x=1
είναι μικρότερο από το εμβαδόν ορθογωνίου που σχηματίζεται από τους άξονες
την εφαπτομένη της f στο 0 και την ευθεία x=e-1.
Μονάδες 5

11. [9]
www.askisopolis.gr
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
Λύση
Γ1.  2
1 0 ,fx A     
 
 
 
 
 
 
 
22 2
2 2 22 2 2
1 2 2 1 1
1 1 1
     
   
  
x x x x
e x e x e x x e x
f x
x x x
( ) 0f x  για 1x  επομένως η f m στο αφού η f είναι συνεχής στο 1.
Το σύνολο τιμών της f είναι το      lim ( ), lim ( ) 0,
x x
f A f x f x
 
  
αφού 2 2
1
lim ( ) lim lim 0 0 0
1 1
x
x
x x x
e
f x e
x x  
     
 
και
2 . . . .
lim ( ) lim lim lim
1 2 2
x x x
x x D L H x D L H x
e e e
f x
x x
 
 
   
    

.
Γ2.     
2 31 1
3 2 3 2
2
2
1 (2) 1 2
5 1
f
x x
x
e e
f e x f e x
e x
 
 
          

m
3 3
2
(x)
2 1 2
x
e e e
f
x
  

Ο αριθμός  
3
2
e
f A άρα υπάρχει 0x  τέτοιο ώστε  
3
0
2
e
f x  .
Το x0 μοναδικό αφού η f είναι 1-1.
β΄τρόπος
Θεωρούμε τη συνάρτηση     
2
3 x 2 e
h x f e x 1 , x
5

     . Είναι
ΘΕΜΑ Γ(2015)
Δίνεται η συνάρτηση   2
,
1
x
e
f x x
x
 

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο
τιμών της είναι το διάστημα  0,
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   
2
3 2
1
5
x e
f e x
  
έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα
Μονάδες 8
Γ3. Να αποδείξετε ότι  
4
4
2
2
17
e
f t dt  , για κάθε 0x  .
Μονάδες 4
Γ4. Να υπολογίσετε το   21
ln
ln
e x
f x dx
x
 .
Μονάδες 7

12. [10]
www.askisopolis.gr
            
23 x 2 3 x 2 3 x 2 3x
h x f e x 1 e x 1 f e x 1 e x 1 0  
             
για κάθε x 1 και επειδή η h είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( 2 )
στο .
Έστω    3 x 2
s x e x 1
   , x  . Είναι
     
23 2 3 3
s x e 1 2e e 1 0  
        x x x
x x x για κάθε x 1 και επειδή
η s είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( 2 ) στο .
Είναι    3 x 2
x x
lim s x lim e x 1
 
       (από το Γ1) και
 
2
x 3 x 3 x 3x x DLH x DLH x
x 1 2x 2
lim s x lim lim lim 0
e e e
    
   
    
     

    (από το Γ1), άρα
   s A 0, 
Είναι          xx 0
f 0, lim f x , lim f x 1, 
   
Επειδή  
2
e
1,
5
  , υπάρχει  1x 0,  τέτοιο, ώστε   1
2
3 x 2
1
e
f e x 1
5

   και
επειδή η h είναι γνησίως φθίνουσα, το 1x είναι μοναδικό.
Γ3. Για κάθε  2,4t  είναι        
2 4
2 4 2 4
5 17
f
e e
t f f t f f t       
m
και
επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε
 2,4t  , έχουμε:
4 4
4 4 4
2 2 2
2
( ) ( )
17 17
e e
f t dt dt f t dt     .
Γ4.  
ln
2 2 21 1
ln ln
ln
ln 1
x
e ex e x x
f x dx dx
x x x
   
  2 2
ln
ln 1
x
x x

1
e
dx 
 2
21
ln ln 1ln 1 ln 2
1ln 1 2 2
e x ex
dx
x x
 
   
   


13. [11]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( ) 2f x f x f x f x
f x e e f x e f x e 
         
   ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 ,f x f x f x f x
e e x e e x c c         .(1)
0
(1) 0
x
c

  οπότε
( ) ( )
2
 f x f x
e e x
( )


f x
e
   
2 2( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1     f x f x f x f x
e xe e xe
   
2 2( ) ( ) 2 2 ( ) 2
2 1 1 0f x f x f x
e xe x x e x x         (2).
Η συνάρτηση ( )
( ) f x
a x e x  είναι συνεχής στο και ( ) 0a x  οπότε η α
διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή (0) 1 0a   η α(x)>0 οπότε
( ) 2 ( ) 2
(2) 1 1       f x f x
e x x e x x (3).
Είναι 2 2 2 2 2
1 1 1 1 0            x x x x x x x x (2)
ΘΕΜΑ Δ (2015)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f  για την οποία ισχύουν:
      
2
f x f x
f x e e

     για κάθε x
  0 0f 
Δ1. Να αποδείξετε ότι    2
ln 1 ,f x x x x R   
Μονάδες 5
Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
(Μονάδες 3)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες 0x  και
1x 
(Μονάδες 4)
Μονάδες 7
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
   ( ) 1
0
lim 1 ln
f x
x
e f x


 
 
Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
   
1 3
2 2
0 2
1 3 2016
0
3 2
f t dt f t dt
x x
 
 
 
 
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  2,3
Μονάδες 7

14. [12]
www.askisopolis.gr
Η (3) γίνεται    2
ln 1  f x x x
β΄ τρόπος
 
2( ) ( )
2 1 0  f x f x
e xe Θέτω ( )
0 f x
e  , τότε 2
2 1 0  x  . Είναι
2
4 4 0   x , άρα
2
1,2 1  x x
Από τη σχέση (1) είναι 2
1 0  x x , και επειδή ( )
0 f x
e  , είναι
   ( ) 2 2
1 ln 1       f x
e x x f x x x .
 
32 2
2 2
1
( )
1 1 1
x x
f x
x x x
     
  
.
 
3
2 2
( ) 0 0 0
1
x
f x x
x
      

.
Για κάθε 0x είναι   0 f x , άρα η f είναι κυρτή στο  ,0 και για κάθε
0x είναι   0 f x άρα η f είναι κοίλη στο  0, .Παρουσιάζει σημείο
καμπής το  0, (0)f δηλαδή την αρχή των αξόνων.
β)
1
0
( ) E x f x dx .Η εφαπτομένη της f στο 0 είναι η y x .
Επειδή η f είναι κοίλη στο [0, ) είναι ( ) ( ) 0.f x x f x x   
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
 
12
1 1 1 1
0 0 0 0
0
( ) ( ) ( )
2
x
E x f x dx xdx f x dx x f x dx
 
       
 
   
 
1 11
0 20 0
1 1 1
( ) ( ) (1)
2 2 1
xf x xf x dx f x dx
x
     

 
1
2
0
1
ln(1 2) 1
2
x    
 
1 1
ln(1 2) 2 1 2 ln(1 2)
2 2
       
Δ2. α)
2 2 2
1 1
( ) 1
1 1 1
 
     
     
x
f x
x x x x x
2
1 

x x
2 2
1
1 1

 x x
x  0 
( )f x + 
 f x 3 4
Σ.Κ.

15. [13]
www.askisopolis.gr
β΄ τρόπος:
 
   
 
 
 
02
0
0 0 0 0 0 0
2
1
1ln
lim 1 ln lim lim lim
1 1
1 1
uu f x
f x
DLH DLHx x u u u u
u u
eu ue f x
u
e e
     
   
       
      
 
     
 

 
 
0
2 1
lim 0
1
u u
x
e e


  
  
 
 
.
Δ4. Θεωρούμε  2 3
2 2
0 2
( ) ( 2) 1 3 ( ) ( 3) 2016 ( )h x x f t dt x f t dt         .
Η f συνεχής στο [2,3] σαν πράξεις συνεχών…..
3
2
2
(2) 2016 ( ) 0h f t dt    αφού
     
3 3
2 2 2
2 2
0 0 2016 0f t f t dt f t dt       
1
2
0
(3) 1 3 ( ) 0h f t dt   αφού
     
1 1
2 2 2 2
0 0
(x) , 0,f x x f t t f t dt t dt        
       
13
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
0
1
3 1 1 3 0
3 3
t
f t dt f t dt f t dt f t dt
 
        
 
   
Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον  2,3 
τέτοιο ώστε
 
:( 2)( 3)2
2 2
0 0
( ) 0 ( 2) 1 3 ( ) ( 3) 2016 ( ) 0h f t dt f t dt
 
  
 
          
2 3
2 2
0 2
1 3 ( ) 2016 ( )
0
3 2
f t dt f t dt
 
 
 
 
  .
Δ3. 0 ( ) (0) 0
f
x f x f   
[
 
   
 0 0
lim 1 ln ( ) lim 1 ln ( )
f x f x
x x
e f x e f x 
 
            
 
 0
1
lim ( )ln ( ) 1 0 0
( )
f x
x
e
f x f x
f x

 
    
 
   
0
0
. .0 0 0 0 0
1 1
lim lim lim 1
( ) 1
f x u uu f x
D L Hx x u u x
e e e
f x u    

     
 
  
   
( )
. .0 0 0 0 0 0
1
ln
lim ln ( ) ( ) lim lnu lim lim
1
u f x
D L Hx x u x x x
u u
f x f x u
u
     

 
      
    
2
1
u

  0
lim 0
x
u

  .

16. [14]
www.askisopolis.gr
Λύση
Γ1. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  0, με   x 1 1
f x e
x

   και
  x 1
2
1
f x e
x

   .
Είναι    f x 0 f 0,   1 . Παρατηρούμε ότι  f 1 0  , οπότε:
για κάθε      
f
x 1 f x f 1 0 f 1,

      
1
1 και
για κάθε      
f
0 x 1 f x f 1 0 f 0,1

      
1
2 . Η f έχει ελάχιστο το  f 1 1 .
Είναι   x 1
x 1x x
ln x
lim f x lim e 1
e

 
  
     
  
γιατί
x 1 x 1 x 1x DLH x x
1
ln x 1xlim lim lim 0
e e xe
 
 
 
    
   και    x 1
x 0 x 0
lim f x lim e ln x 

 
   
Στο διάστημα  1 0,1  η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
       1
x 0
f f 1 , lim f x 1,

   
Στο διάστημα  2 1,   η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα
       2
x
f f 1 , lim f x 1,

   

.
Το σύνολο τιμών της f είναι το        1 2f A f f 1,      .
ΘΕΜΑ Γ (επαναληπτικά 2015)
Δίνεται η συνάρτηση x 1
f (x) e ln x
  ,  x 0,  .
Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h g με   2
g x x 4  , όπου
     2
h x f x 1 f x 2    .
Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  
1
f f x 1
2
 
  
 
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
1 2x ,x .
Mονάδες 6
Γ4. Αν για τις ρίζες 1 2x ,x του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι 1 2x x τότε να
αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  1x ,1 τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο   ,f  να διέρχεται από το
σημείο
3
0,
2
 
 
 
.
Μονάδες 7

17. [15]
www.askisopolis.gr
Γ2. g : Πρέπει 2 2
4 0 4 2 2 2x x x x ή x         
h : Θεωρούμε   2
1,x x   και   2,x x   .
  /f a a fx A a x A    οπότε
2
1 0
x
x ύ 
 
 
  
δηλαδή f a 
  /f fx A x A      οπότε
2
2 0 2
x x
x
x x
    
     
     
δηλαδή  2,f a   .
 2,h f a f       .
  /h g g hx A g x A    οπότε
2 2
2
2
x ή x
x
x
   
  
 
δηλαδή  2,h g   .
Γ3. Αρχικά πρέπει    
1 1
f x 0 f x
2 2
   
Για κάθε    
f
x 1 f x f 1  
1
και για κάθε    
f
0 x 1 f x f 1   
2
, οπότε:
       
1 1 3
f f x 1 f 1 f x 1 f x
2 2 2
 
        
 
Επειδή το
3
2
βρίσκεται στο εσωτερικό του  1, , υπάρχει 1x στο εσωτερικό
του  0,1 και 2x στο εσωτερικό του  1, τέτοια, ώστε  1
3
f x
2
 και
 2
3
f x
2
 .
Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη στα αντίστοιχα διαστήματα, τα 1 2x ,x
είναι τα μοναδικά στα διαστήματα αυτά.
Γ4. Η εφαπτομένη της fC στο   ,f  έχει εξίσωση
ε:     y f f x    
Για να διέρχεται από το Μ, πρέπει:         
3 3
f f f f 0
2 2
            
Έστω        1
3
F x xf x f x , x x ,1
2
    .
Η F είναι συνεχής στο  1x ,1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
       1 1 1 1 1 1
3 3
F x x f x f x x f x
2 2
     
3
2
  1 1x f x 0  , γιατί  1x 0,1 και
 f x 0  για κάθε  x 0,1 και    F 1 f 1  
0 3 3 1
f 1 1 0
2 2 2
       .
Επειδή    1F 1 F x 0 , λόγω του θ.Bolzano, υπάρχει  1x ,1 τέτοιο , ώστε
 F 0      
3
f f 0
2
     

18. [16]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1.            2 1
x x f x xf x 1 x 1 f x f x
x
        
         x 1 f x ln x x 1 f x ln x c, c          (1)
Για x 1 η (1) γίνεται: 0 c , άρα    x 1 f x ln x  και για 0 x 1  είναι
 
ln x
f x
x 1


.
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο  0, , είναι συνεχής στο x 1 , άρα
   
0
0
x 1 x 1 DLH x 1
1
ln x xf 1 limf x lim lim 1
x 1 1
 
 
 
  
   

, άρα  
ln x
,0 x 1
f x x 1
1 ,x 1

 
 
 
.
Δ2.  
1
ln
1 ln x xln x ln xxxf x f x
1 1 xx x 1 x 11
x x
 
          
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικά 2015)
Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 0,  για την οποία ισχύει:
     2
x x f ΄ x xf x 1   για κάθε  x 0,  .
Δ1. Να αποδείξετε ότι  
ln x
,0 x 1
f x x 1
1 ,x 1

 
 
 
.
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι  
1
xf x f 0
x
 
  
 
, για κάθε    x 0,1 1,   .
Μονάδες 4
Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
Μονάδες 5
Δ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
Μονάδες 4
Δ5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f και τις ευθείες 2x  , 1x e  και τον άξονα x΄x είναι ίσο με
1
2
1
ln
1
2 1
e
x
x dx
x


  
 .
Μονάδες 5

19. [17]
www.askisopolis.gr
xln x xln x xln x xln x
0
x 1 1 x x 1 x 1
   
   
Δ3. Για κάθε 0 x 1  είναι  
 
   
2 2
1
x 1 ln x
x 1 x ln xxf x
x 1 x x 1
 
 
  
 
Έστω    x x 1 xln x, x 0,      . Είναι  x 1 ln x x   
1
x
ln x 
Για κάθε 0 x 1  είναι    x 0 0,1   1 , άρα    x 1 0    για κάθε
 x 0,1 .
Για κάθε x 1 είναι    x 0 1,    2 , οπότε    x 1 0    για κάθε
x 1 . Άρα  x 0  για κάθε    x 0,1 1,   , οπότε
 
 
 
2
x
f x 0
x x 1

  

για κάθε    x 0,1 1,   και επειδή η f είναι συνεχής
στο x 1 , είναι γνησίως φθίνουσα στο  0, .
Δ4.  0 0
ln
lim lim
1x x
x
f x
x 
 
  

οπότε η ευθεία 0x  (o άξονας y΄y) είναι
κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f .
 
ln 1
lim lim lim 0
1x x DLH x
x
f x
x x


  
  

οπότε η ευθεία 0y  (o άξονας χ΄χ) είναι
οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο  .
Δ5.      
 ln 1
2, 1 1 , 2 ,ln 2
f e
f e f e f
e
 
       
 
2
οπότε   0f x  στο  2, 1e 
και
1 1
2 2
ln
( )
1
e e x
f x dx dx
x
 
  
  .
 1 1
2 2
1
ln ln 1 ln1 1
2 1 2 1
e e
x
x xx dx E dx
x x
 

 
      
  
 1 1
2 2
ln 11 ln
2 1 1
e ex x
E dx dx E
x x
 
   
  
 2
1ln 11
22 2
ex
E
  
   
 

1 1
0 0 0 0
2 2
     ισχύει.

20. [18]
www.askisopolis.gr
Λύση
Γ1. Είναι
0 0
ln 1
lim lim ln
x x
x
x
x x 
 
    
 
γιατί
0 0
limln lim ln
x x
x x 
   και
0
1
lim
x x

  .
Άρα αν θέσουμε
lnx
u
x
 , προκύπτει:    0
lim lim 0 0u
x u
f x e f
 
   , οπότε η f
είναι συνεχής στο 0 0x  .
Γ2. Η f είναι παραγωγίσιμη στο  0, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με:
 
ln ln
2
ln 1 lnx x
x x
x x
f x e e
x x
     
 
.
  ln
ln 0
2
0
1 ln
0 0 1 ln 0 ln 1 0x
x
x x
x
e
x
f x e x x x e
x



           
Για κάθε  0,x e είναι    0 0,f x f e   1 και
για κάθε x e είναι    0 ,f x f e   2 .
Είναι
1
ln
lim lim 0
1x DLH x
x x
x
 
 
 
 
  , άρα   0
lim lim 1u
x u
f x e
 
  και  
ln 1e
e e
f e e e  .
χ 0 e 
f  + 
f [ ]
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικά 2014)
Δίνεται η συνάρτηση
ln x
x
e , x 0f (x)
0 , x 0
  
 
Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0
Μονάδες 4
Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
Μονάδες 7
Γ3. i) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία f(x) = f(4) ⟺ x4
= 4x
(μονάδες 2)
ii) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x4
= 4x
, x > 0,έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
x1 =2 και x2 = 4
(μονάδες 6)
Μονάδες 8
Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(2,4) τέτοιο, ώστε
2 1
f ( )
4
 
  
Μονάδες 6

21. [19]
www.askisopolis.gr
Στο διάστημα  1 0,e  η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα
     
1
1 0 , 0, e
f f f e e
 
      
 
Στο διάστημα  2 ,e   η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
     
1
2 lim , 1, e
x
f f x f e e

       
.
Το σύνολο τιμών της f είναι:      
1
1 2 0, e
f A f f e
 
      
 
.
Γ3.    
ln ln4
4
ln ln 4
4
4
x
x
x
f x f e e
x
     
4 4
4ln ln4 ln ln4 4x x
x x x x    
Γ4. H f είναι συνεχής στο  2,4 , παραγωγίσιμη στο  2,4 και    2 4 2f f 
οπότε ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει  1 2,4x 
τέτοιο ώστε  1 0f x  .
Επίσης ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο [0,1] οπότε υπάρχει  2 0,1x 
τέτοιο ώστε  
   
2
2 1
2 1
1
f f
f x

   
Εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την f  στο  2 1,x x οπότε υπάρχει  2 1x ,x 
τέτοιο ώστε  
   1 2
1 2 1 2
2 1f x f x
f
x x x x

   
  
 
2 20 1 1 0x x       (1) και 12 4x  (2).
Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε
 2 1 0
2 1
1 2 1 2
1 1 2 1 2 1
1 4 1
4 4
x x
x x x x
   
   
       
 

22. [20]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1.

0
0
0 0 0
. .
1
lim ( ) lim lim 1 (0)
x
x
x x x
D L H
e
f x e f
x  

   .Άρα η f είναι συνεχής στο 0
 2
1 1
( ) 0
x x x
e xe e
f x
x x
   
    
 
για 0x  και η f συνεχής στο 0 .
 Άρα η f 1 στο R
(Θεωρώ ( ) 1,x x
a x xe e x R   
( ) 0 0x
a x xe x     .Άρα η 1 στο [0, ) και2 στο( ,0]
Επομένως παρουσιάζει ελάχιστο στο x=0 και (x) (0) 0a  
Δ2.α)
   
0 0
0 0
20 0 0 0 0
1
10 1 1 1
lim lim lim lim lim
2 2 2
x
x x x
x x x DLH x DLH x
e
f x f e x e ex
x x x x    

   
    
οπότε  0 1f  
ΘΕΜΑ Δ (2014)
Δίνεται η συνάρτηση
x
e 1
, x 0
f(x) x
1
 
 
 

 , αν x = 0
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και, στη συνέχεια, ότι
είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 7
Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   f 2f x 1   έχει ακριβώς μία λύση, η
οποία είναι η x = 0.
(μονάδες 7)
β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο A(x0,
f(x0)) με x0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 με
x = x(t), y = y(t), t ≥ 0. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής
της τετμημένης x(t) του σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής
της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t ≥ 0.
(μονάδες 4)
Μονάδες 11
Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση
2 2
g x xf x 1 e x 2 , x 0, . Να
αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία
θέση τοπικού μεγίστου.
Μονάδες 7

23. [21]
www.askisopolis.gr
       
1 1
2 1 2 1 2 ( ) 1
f
f f x f f x f f x
 
          
1 1
1
( ) (0) 0
2
f
f x f x
 
     αφού η f κυρτή άρα η f 1 και 1-1
β) Έστω t0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης
του .
Ισχύει :σημείου Μ είναι διπλάσιος το ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης.
 
0 0 0 0 0
1 1 1
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
2 2 2
1 1
( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0
2 2
y t x t f x t x t f x t x t x t
f x t x t x t f x t x t
           
        
Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (0,1)
Δ3.  ( ) ... 2( )( 2) ( 1) , 0x x
g x e e x x e e x        . Θεωρώ ( ) ( 1) , 0x
x x e e x    
Θ.Bolzano 1 ρίζα στο (1,2) μοναδική αφού ( ) 0x
x xe   ,για κάθε x>0.
(ή Rolle για την g στο [1,2])
Για κάθε 10 x x  είναι    1x x 0    και για κάθε 1x x είναι
   1x x 0    .
0 1x x
e e e e x     
Άρα……….
ή άλλος τρόπος
Παρατηρούμε ότι ( ) (1) (2) 0g x g g   για κάθε (0, )x  οπότε η g έχει ολικό
(άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία x1=1 και x2=1.
Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση g στο [1,2]
υπάρχει 3 [1,2]x  τέτοιο, ώστε να ισχύει 3( ) ( )g x g x για κάθε [1,2]x
Αν ήταν 3 {1,2}x  τότε θα ήταν g(x)=0 για κάθε [1,2]x πράγμα άτοπο. Άρα,
είναι (1,2)x οπότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x3.
x 0 1 x1 2 +∞
ex
-e - + + +
x-2 - - - +
β(x) - - + +
g΄(x) - + - +
g(x)
2 1 2 1
T.E. T.M. T.E.

24. [22]
www.askisopolis.gr
Λύση
Γ1.             2 2 2
2 3 2 3 0xf x x f x f x xf x x f x x f x            
           2 2 2 3
1 2 3 1x f x xf x x x f x x
         
   2 3
1 ,x f x x c c      
3
2
,
1
x c
f x x
x

 

.
Για 1x  είναι  
1 1
1 0
2 2
c
f c

    , άρα  
3
2
1
x
f x
x


3 2 2 3 4 2 4 4 2
2 2 2 2 2 2 2
3 ( 1) 2 3 3 2 3
( ) 0
1 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x
f x
x x x x
        
      
    
για
0x 
H f συνεχής στο 0.Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
Γ2. Είναι
  3 3
3 3
lim lim lim 1
x x x
f x x x
x x x x  
  

και
  
3 3
2
lim lim lim
1x x x
x x
f x x x
x  
 
    
 
3
x
1
x
x

  .
Είναι
  3 3
3 3
lim lim lim 1
x x x
f x x x
x x x x  
  

και
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικές 2013)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:
  2
2xf(x) x f (x) 3 f (x)     για κάθε x∈ℝ

1
f(1)
2

Γ1. Να αποδείξετε ότι
3
2
x
f(x) , x
x 1
 

και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του
ερωτήματος Γ1.
Μονάδες 4
Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
   2 3 2 2
f 5(x 1) 8 f 8(x 1)   
Μονάδες 7
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες 0x  και 1x 
Μονάδες 8

25. [23]
www.askisopolis.gr
  
3 3
2
lim lim lim
1x x x
x x
f x x x
x  
 
    
 
3
x
1
x
x

  .
Άρα η 1y x  είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC και στο  και στο  .
Επειδή η f είναι συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επειδή
η f έχει πλάγια ασύμπτωτη, δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.
Γ3.          
3 2 3 22 2 2 2
5 1 8 8 1 5 1 8 8 1
f
f x f x x x         
1
   
3 22 2
5 1 8 1 8 0x x     (1). Θέτουμε  2
1x   , οπότε η (1) γίνεται:
3 2
5 8 8 0    . Με σχήμα Horner βρίσκουμε ότι
  3 2 2
5 8 8 2 5 2 4          , άρα
  
2
2 4 0
2 2
2 2 4 0 2 1 2x
 
   
  
         
2
1 1 1 1x x x      
Γ4. Για  0 0x f x   οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι
 23
1 1 1
2 2 20 0 0
1
1 1 1
x x xx x
dx dx x dx
x x x
   
      
   
  
 22 ln 1 1 1 ln 2
02 2 2 2
xx 
   
  

26. [24]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. α. Θεωρούμε
   
2 11
1
1( ) ,x 1
1
x
f x x e
xg x
x
 
  
  

      
2 11
1 1
1
x
f x g x x x e
x
 
    

.
          
2 1
1 1
1
lim lim 1 1 1 1
1
f ή
x
x x
f x g x x x e f
x
 
 
 
 
         
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2013)
Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη
παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:
  
2
f (x)f (x) 1 f (x)   για κάθε x > 0 ,
 f(x)f (x) 0  για κάθε x > 0 ,
 f (0) = 0,

   
2 1
1
1
1
1lim 0
1
x
x
f x x e
x
x
 

  
 

Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις:
f (x)
g(x)
f(x)

 με x>0 και  
3
h(x) f (x) με
x≥0
Δ1. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f ′ στο (0,+∞)
(μονάδες 4)
β. Να αποδείξετε ότι f ΄(0) = 1
(μονάδες 3)
Μονάδες 7
Δ2. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να αποδείξετε ότι:
α. g(x) 2 x  για κάθε x∈(0, +∞)
(μονάδες 2)
β.
1
0
(2 x)f (x)dx 1 
(μονάδες 4)
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1
Μονάδες 8
Δ4. Να δείξετε ότι  f x x .

27. [25]
www.askisopolis.gr
       
22 2 2 21 1
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x
x x
 

           
.
   
2 2
1 1
lim 1 0 lim 1
x x
x x
 
     
 
οπότε από κριτήριο παρεμβολής
 
2
1
1
lim 1 0
1x
x
x



  
 

     
1 1
1 1
lim lim
1 1x x
f x f f x
x x 
 
 
 
   
1
1
1 1
lim 1 0 1 1
1 1
x
x
e
g x x
x x



 
        
   
1 1
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x
x x
 

           
.
 1 1
lim 1 0 lim 1
x x
x x
 
     οπότε από κριτήριο παρεμβολής
 1
1
lim 1 0
1x
x
x



  
 
και
0
1 0
1
1 1
1
lim lim 1
1
x
x
x DLH x
e
e
x


 
 
  
 
 
Επειδή     f x f x 0 οι συναρτήσεις f,f δεν μηδενίζονται και επειδή είναι
συνεχείς διατηρούν σταθερό πρόσημο. Επειδή    1 1 0 0f f x    για
κάθε 0x  και    1 2017 0 0f f x     .
είναι   0f x  για κάθε 0x  .
β. Επειδή   f x 0 από την (1) έχουμε ( ) 1 ( ) ( )f x f x f x  
H f ΄ είναι συνεχής στο 0x 0 ,άρα
(0) 0
0
(0) lim 1 (x) (x) 1 (0) (0) 1
f
x
f f f f f


       .
Δ2.α. Είναι  
      
   
2
2 2
1f x f x f x
g x
f x f x
 
    και  
 2
1
1 1
1
g
f
     . Επειδή
 
 
 
1
1 1
1
f
g
f

  , η εφαπτομένη της fC στο 0x 1 είναι
 1 1 2y x y x        .
Επειδή η g είναι κυρτή, βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της, εκτός από
το σημείο επαφής, άρα   2g x x  για κάθε 0x  .
β. Είναι  
 
 
     2 2 2
f x
g x x x f x x f x
f x

        και επειδή η ισότητα
ισχύει μόνο για 1x  και οι συναρτήσεις      , 2f x x f x  είναι συνεχείς στο
  0,1 , ισχύει ότι:
             
1 1 1
0 0 0
2 2 1 0 1f x dx x f x dx x f x dx f f         

28. [26]
www.askisopolis.gr
Δ3. Επειδή η h είναι συνεχής στο   0,1 και       
3
h x f x 0 , το ζητούμενο εμβαδό
είναι:
     
31 1 2
0 0
E f x dx f x f x dx            
          
1 12
00
2f x f x f x f x f x dx        
             
 
13
212 2
0
0
1 1 0 0 2 1 2
3
f x
E f f f f f x f x dx
                 
 

   
3 3
1 0 1 1
1 2 1 2 1
3 3
f f             .
Δ4.  
   
 
2
f x 0
2 f (x) 1
f(x)f (x) 1 f (x) (1) f (x)
f x
  
      άρα η f είναι 3 φορές
παραγωγίσιμη.
Με παραγώγιση της (1) έχουμε
     (3) (3)
f x f (x) f x f (x) 2f (x)f (x) f x f (x) f (x)f (x)            
 
 
 
(3)
(3)
2
f x f (x) f (x)f (x)
f x f (x) f (x)f (x) 0 0
f x
  
      
 
 
 
 
f x f x
0 c,c
f x f x
  
     
 
(2).
            
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
x
f f f f f

             .
 
 
 
1 1
2 0
1
x f
c c
f
 
    .
Άρα   0f x  .
    
 
     
01 2
1 11 1 1 , .
f xx
f x f x f x x f x x c c
 
            
Για 1x  :   1 1 11 1 1 1 0f c c c       .
Επομένως   .f x x

29. [27]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ.1.    
     
2 2
1 1 1 1
1 1 1
2 2
f x f x
e f x f x e
x x
                
   
 
   1 1 1 1
,
2 2
f x f x
e x e x c c
x x
 
     
          
    
(1).
Η αρχική σχέση για x 1 γίνεται:    
   1 1
2 1 2 2 1 1f f
f e f e     .
Όμως  f ( ,0]  - , άρα      
 1 1
1 0 1 0 1 1 0f f
f e e f        , άρα
 1 0f  .
Τότε η σχέση (1) γίνεται  
 1 1
1 1 0
2
f
e c c
     . Τότε
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2012
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:A⟶ℝ με A=(0,+∞) για την οποία ισχύουν
σχέσεις:
    ,0f   - ,
 η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞),
    1
1 1f
f e 
      2 2
2 1
f x
x f x x e   (1)
Δ1. Να αποδείξετε ότι   2
2
ln , 0
1
x
f x x
x
 

.
Μονάδες 8
Δ2.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μέγιστο Σ(x0,f(x0)), x0>0,
το οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
ξ ∈(β, x0) με 00 x  , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο M(ξ,F(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία
ε:  x ( 1)y 2012( 1) 0f       
Μονάδες 6
Δ3.Αν β<1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
        
35
1 1 1
0
1 3
f f x x
x x
           
 
έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x, στο διάστημα (1,3)
Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι :
    2 2
1 1
ln 2 2 2 ln 2 2 1
e e
x x
e x x dx x e dx             , για κάθε x>0

30. [28]
www.askisopolis.gr
   
 
2 2
1 1 1 1
ln
2 2 2
f x f x x x
e x e f x
x x x
    
        
 
   
12 2
1 1
ln ln
2 2
x x
f x f x
x x

  
     
 
  2
2
ln
1
x
f x
x


, 0x  .
Δ.2.Είναι    2
2
2
ln ln2 ln 1
1
x
f x x x
x
   

και  
  
 2 2
1 12 2
2 1 1
x xx
f x
x x x x
 
   
 
.
Για κάθε  0,1x είναι   0f x  , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο  0,1 .
Για κάθε 1x  είναι   0f x  , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  1, .
Επομένως η f έχει μέγιστο το  1,0 .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει  ,1  με β>0 τέτοιο, ώστε
 
 
1
f
f 

 

  

.
Από το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει  ξ 1,β τέτοιο, ώστε
 
     1
1 1
f f f
f
 

 

  
 
.
 
 
   
2 2 2
2 22 2 22 2
2 1 41 2 1 1 2 2
1 1 1
x xx x
f x
x x x xx x
             
   
.
Για
0
2 2 2
1 1 1 0 2 2 0
x
x x x x

         οπότε   0f x  στο  0,1 δηλαδή
f 2 στο  0,1 και 1-1.
Επομένως το ξ είναι μοναδικό.
Δ.3.
        
35
1 1 1
0
1 3
f f x x
x x
            
 
            
35
1 3 1 1 1 0f f x x x x             
Έστω                 
35
1 3 1 1 1 , 1,3g x f f x x x x x               .
Είναι        1 2 1g f f        
Είναι    
 
 
1
f f
f f f

    


       

         1 1 0f f f f            , άρα  1 0g  .
και    3 128 1 0g    , αφού 1  . Δηλαδή    1 3 0g g  και επειδή η g είναι
συνεχής στο 1,3  , λόγω του θεωρήματος Bolzano, εξίσωση  g x 0 
            
35
1 3 1 1 1 0f f x x x x              
        
35
1 1 1
0
1 3
f f x x
x x
           
 
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο
 1,3 .

31. [29]
www.askisopolis.gr
Δ.4.     2 2
ln 2 2 2 ln 2 2 1x x
e x x x e            
    
2
2
1 0
2 2
2 0( 7 0)
2 2 2 2 2 1
x
e
x x
x x
e x x x e
 
    
      
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
ln ln
1 2 2 1 2 2
x x
x x
e x e x
e x x e x x
 
   
     
 
 
 
2 2
2 12
ln ln
1 11
x
x
xe
xe

 
 
   
[1, ]
1 1 1 0
f e
x x x
f e f x e x e x        
2
ισχύει.
( Θεωρούμε   1x
g x e x   .
  1 0x
g x e    για x>0 οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα και
   0 0 0 1 0
g
x
x g x g e x       
1
για x>0)
οπότε     2 2
1 1
ln 2 2 ln 2 2 1
e e
x x
e x x dx x e dx            
ΘΕΜΑ Δ(2012)
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις
σχέσεις:
 f(x) ≠ 0
    2
1
2
x f x
2x-2x
e
 
          
1
1 ln x lnf x x x f x x f x
x
        
 
Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.
Μονάδες 10
Αν είναι    ln , 0x
f x e x x x
   , x>0, τότε:
Δ2.Να υπολογίσετε το όριο:  0
lim
x
2 1
f(x) ημ - f(x)
f(x)

 
 
 
Μονάδες 5
Δ3.Με τη βοήθεια της ανισότητας 1lnx x - , που ισχύει για κάθε x>0, να
αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (μονάδες 2).
β) η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).
Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
     3 2 2f x f x f x  , για κάθε  0,1x (μονάδες 4).
Μονάδες 6
Δ4.Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός  0,1  . Να αποδείξετε ότι υπάρχει
μοναδικός ξ ∈(β,2β) τέτοιο ώστε:
     3 2f f f   
Μονάδες 4

32. [30]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. Έστω      2
1
2
h x x f x
2x-2x
e
   .
Είναι
             2 2
1 1 0 0 1
2 2
x f x x f x h x h x h
2x-2x 2x-2x
e e
        
Η συνάρτηση h παρουσιάζει ελάχιστο για 1x  .
Επειδή η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο  0, σαν πράξεις
παραγωγίσιμων συναρτήσεων με    2 2 4
( ) 2 1 ( )
x
h x xf x x f x
e

     και το
1x  είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της h, λόγω του θεωρήματος Fermat,
είναι      
2 1
1 0 2 1 0 1h f f
e e
        .
Επειδή η f είναι συνεχής στο  0, και f(x) 0 , η f διατηρεί πρόσημο στο
 0, . Επειδή επιπλέον  
1
1 0f
e
   , είναι   0f x  για κάθε  0,x  .
Η σχέση          
1
1 ln x lnf x x x f x x f x
x
        
 
γίνεται
         
 2
:
1
1 ln ln
f x
f x x x f x x x f x
x
         
 
     
       2
1
1 ln
ln ln ln
f x x x f x
x x x x x xx
f x f x f x f x
                
 
,
οπότε:
 
ln
,xx x
c e c
f x

   .
Για x=1: 11
1
1
c e c
e

   

και
 
   
ln
lnx xx x
e f x e x x
f x

   
Δ2. Έστω
 
1
f x
 , 0  με
   0 0 0 0
1 1
lim lim lim lim 0
ln ln
x
x
x x x x
e
f x e x x x x
   
   
   
 
γιατί
0
lim 1x
x
e

 και  0
lim ln
x
x x

  . Τότε
  
 
 
2
2
0 0
1 1 1
lim lim
x
f x f x
f x 
 
  
 
   
        

33. [31]
www.askisopolis.gr
 
 
0
0
2
0 0 2
lim lim
DLH 
  
 
 
 

 
 0 0
1 1 1
lim lim 0
2 2 
 
  
 
 
  
Δ3. α)  
1 1
( ) ln 1 ln 1 0, 0x x x
f x e x x e e x x x
x x
                    
   
,
γιατί ln 1 ln 1 0x x x x      και
1
0
x
  για κάθε 0x  .Άρα η f είναι
γνησίως αύξουσα στο 0, .
β) 2
1 1 1
( ) ln 1 1x x
f x e x x e
x x x
               
   
2
2 2 2
0
0 0
2 1 1 1
ln 1 1 0 0 1 1 1 1 0x
e x x x x
x x x x


 
 
                     
 
Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).
Από το θεώρημα μέσης τιμής για την f, υπάρχει  1 ,2x x  και  2 2 ,3x x 
τέτοια, ώστε:
 
       
1
2 2
2
f x f x F x F x
f
x x x

 
  

και
 
       
2
3 2 3 2
3 2
f x f x f x f x
f
x x x

 
  

.
Επειδή η f είναι κoίλη στο (0,1), η f  είναι γνησίως αύξουσα, οπότε επειδή
1 2  , ισχύει ότι:
   
        0
1 2
2 3 2 xf x f x f x f x
f f
x x
 
 
    
       2 3 2f x f x f x f x         f x f 3x 2f 2x  .
Δ4. Έστω  ( ) 2 ( ) (3 ) ( ), ,2G x f x f f x       . Είναι
( ) ( ) (3 ) 0G f f     γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα στο  0,
Επειδή    0 3 3
f
f f      
1
.
Είναι (2 ) 2 (2 ) (3 ) ( ) 0G f f f       γιατί      x 3x 2 2xf f f  για
κάθε  0,1x .
Δηλαδή ( ) (2 ) 0G G   και επειδή η G είναι συνεχής στο  ,2  , λόγω του
θεωρήματος Bolzano
υπάρχει  ,2   τέτοιο ώστε:   0G         3 2f f f    . Είναι
   2 0G x f x   είναι G γνησίως αύξουσα στο  ,2  ,οπότε το
ξ είναι μοναδικό.