Επιμέλεια: Νίκος Σκομπρής αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΄Ασκηση 1
΄Εστω α ∈ R και θεωρούμε τη συνάρτηση: f(x) =



ex
− 2, αν x ≤ 0
ln(x + 1) + α, αν x > 0
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η f είναι αντιστρέψιμη.
β) ΄Εστω α = −1.
ι) Να ορίσετε την συνάρτηση f−1
ιι) Να μελετήσετε την συνάρτηση f−1 ως προς την μονοτονία.
ιιι) Να λύσετε την ανίσωση: f−1
(ex
) > f−1
(1 − x)
΄Ασκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση: f(x) =



ex−1
, αν x ≤ 1
1 + lnx, αν x > 1
α) Να μελετήσετε την f ως προς την συνέχεια.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της
γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την συνάρτηση f−1
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f−1(x) = e−x
έχει ακριβώς μια λύση.
΄Ασκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f : (0, 2π) → R με f(x) =
συνx
1 − συνx
α) Να βρείτε τα κοινά σημεία Μ, Ν της Cf με την γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = συνx και
στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινές εφαπτόμενες ευθείες στα σημεία Μ και Ν των
οποίων να βρείτε τις εξισώσεις.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x + ηµx) = −
1
2
δ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = f(x) − xf (x). Να αποδείξετε ότι:
ι) Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα
ιι) Από κάθε σημείο του άξονα y y διέρχεται ακριβώς μια εφαπτόμενη ευθεία της Cf
1
28.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Νίκος Σκομπρής

2. ΄Ασκηση 4
Η συνάρτηση f : R → R είναι περιττή και για κάθε x ∈ R ισχύει f (x) > 1.
α) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
γ) Θεωρώντας ότι η συνάρτηση f−1 είναι συνεχής, να υπολογίσετε το όριο: lim
x→+∞
f−1
(x) − e−f(x)
δ) Αν x > 0, να αποδείξετε ότι: f (2ex
) > x2 + 2x + 2
΄Ασκηση 5
Η συνάρτηση f : (1, +∞) → R∗
είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(3) = −
√
2
2
και 2f (x) + f3(x) = 0, για κάθε x > 1.
α) Να αποδείξετε ότι:
ι) Η συνάρτηση g(x) = x −
1
f2(x)
είναι σταθερή.
ιι) f(x) = −
1
x − 1
, για κάθε x > 1
β) Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f και κάθε χρονική στιγμή η τετμημένη του αυξάνεται
με ρυθμό 2 μονάδες/sec. Η εφαπτόμενη ευθεία της Cf στο σημείο Μ τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Β και
θεωρούμε το σημείο A(1, 0). Τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ διέρχεται από το σημείο N(2, −1), να
βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
ι) του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΜ
ιι) του εσωτερικού γινομένου
−−→
OM −
−→
OA ·
−−→
OB −
−→
OA
΄Ασκηση 5+1
Η συνάρτηση f : R → R με f(0) = ln2 είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x ∈ R ισχύει:
f (x) ≥
ex
ex + 1
+ 2
Να αποδείξετε ότι:
α) η f δεν έχει ακρότατα
β) f (R) = R
γ) η Cf τέμνει τον άξονα x x ακριβώς σε ένα σημείο, το οποίο έχει αρνητική τετμημένη.
δ) f(1) ≥ ln(1 + e) + 2
2
28.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Νίκος Σκομπρής
Νίκος Σκομπρής
skobris@gmail.com