Επιμέλεια: Χρήστος Σίσκας αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

1. ΑΡΧΗ 1ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 1ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 24 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2019
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1) Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο  α,β . Αν G μια παράγουσα της f στο
 α,β να αποδείξετε ότι
( ) ( ) ( )
β
α
f x dx G β G α= −
Μονάδες 8
Α2) Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής.
Μονάδες 3
Α3) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
« Αν μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη είναι κυρτή σε ένα διάστημα
Δ τότε ισχύει υποχρεωτικά ότι ( )f x 0  για κάθε x Δ ».
Α3α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό ως Αληθή (Α) ή Ψευδή
(Ψ) γράφοντας στο τετράδιο σας το κατάλληλο γράμμα.
Μονάδες 1
Α3β) Στην περίπτωση που ο ισχυρισμός είναι Ψευδής αιτιολογήστε την
απάντησή σας δίνοντας κατάλληλη συνάρτηση ενώ στην περίπτωση
που ο ορισμός είναι Αληθής αφήστε κενό.
Μονάδες 3
Α4) Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη
(Λ) γράφοντας στο τετράδιό σας το κατάλληλο γράμμα δίπλα στο γράμμα
που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.
α) Ισχύει ότι 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
1 1 1
lim x limx lim 0 lim 0
x x x x x x→ → → →
  
 =  =  =  + + +  
11.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. ΑΡΧΗ 2ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 2ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
β) Η συνάρτηση ( ) 2
1
g x
x 1
=
−
με  gD 1,1= − −R έχει δύο σημεία στο πεδίο
ορισμού της που δεν είναι συνεχής.
γ) Αν ( ) ( )3
f x συν x 1= + με fD = R τότε ( ) ( )2
f π 3συν π 1 = + .
δ) Αν για τη συνεχή συνάρτηση  f : α,β → R ισχύει ότι ( )
β
α
f x dx 0 τότε
κατ΄ ανάγκη θα είναι ( )f x 0 για κάθε  x α,β .
ε) Έστω η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος.
Αν ( )1Ε Ω 2= , ( )2Ε Ω 1= και ( )3Ε Ω 3= τότε
( )
δ
α
f x dx 4=
Mονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
( ) 2
3 2
x 4
, x 1
f x x
x 2x x 3 , 1 x 1
+
 −
= 
 + + + −  
B1) Να βρείτε τις πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f.
Mονάδες 6
B2) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατά της.
Mονάδες 6
B3) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής της και να
βρείτε τις ασύμπτωτές της.
Mονάδες 7
B4) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )
0
2
Ι f x dx
−
=  .
Mονάδες 6
11.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. ΑΡΧΗ 3ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 3ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Γ
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας
συνάρτησης f : →R R.
Δίνεται επιπλέον ότι
●
( ) ( )
2
x 6x 6
x 5x 6 7
lim
3e 1 f x−→
− −
=
−
και ( )
3
1
f 4x 6 dx 1 − = −
● η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη στο − και στο + την ευθεία
=y e.
Γ1) Να δείξετε ότι ( )f 6 3= και ( )f 2 7− = .
Μονάδες 6
Γ2) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το
σύνολο τιμών της.
Μονάδες 4
Γ3) Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης ( )f x λ 0− = με λR.
Μονάδες 4
Γ4) Να λύσετε την ανίσωση
( )( )
2
f 1 συν 7 x
1
49 14x x
f
2
− −

 − +
 
 
στο R.
Μονάδες 7
Γ5) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2
f x e ex 7x+ = + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο
( )0,1 .
Μονάδες 4
11.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. ΑΡΧΗ 4ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 4ης
ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : 0,+ → h για την οποία ισχύουν:
● ( ) ( )x
x f x e x F x  − =  για κάθε x 0
● ( )( )−
 − +
f 1 x 1
e 7ex 7e 1 για κάθε xR
● ( )( )( )( )
( )
( ) ( )( )( )
( )
( )( )
f 7 f 7
2
f F 1 7 f F 1 7
f x dx 7 f 7 2 f x dx 7 f F 1 7
− −
+  = +  − 
όπου F μια αρχική της f στο ( )0,+ .
Δ1) Να δείξετε ότι ( ) ( )x
f x e lnx 7= + , x 0 .
Μονάδες 8
Δ2) Να δείξετε ότι η F είναι κυρτή στο ( )0,+ .
Μονάδες 4
Δ3) Να αποδείξετε ότι ( )F 1 14= και ( )F 2 14 7e + .
Μονάδες 8
Δ4) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
4
2
F x dx 28 e 1 + .
Μονάδες 5
ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ !!!
11.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4