Επιμέλεια: Άγγελος Παπαϊωάννου από την Αγιά της Λάρισας για το lisari.blogspot.gr

1. Επιμέλεια θεμάτων:Αγγελος Παπαιωάννου
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ:ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ:ΑΓΓΕΛΟΣ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ
ΣΑΒΒΑΤΟ 24-2-2018
ΘΕΜΑ Α
A1)Εστω η συνάρτηση f με f(x) x , x [0, )   .Aποδείξτε ότι η
συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με
1
f (x)
2 x
  ενώ δεν είναι
παραγωγίσιμη στο 0. (Μονάδες 5)
Α2)Δίνεται ο ισχυρισμός:
’’Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν:
 είναι συνεχής στο διάστημα Δ
 είναι γνησίως αύξουσα στο Δ
τότε f (x) 0  για κάθε x εσωτερικό του Δ’’
α)Να τον χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος (Μονάδες 1)
β)Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)
Α3.Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος κάθε μια από τις επόμενες
προτάσεις:
α)Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε η f είναι και
συνεχής στο x0
β) Aν f(x)=αx
, α>0 τότε x
f (x) α 
26.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. Επιμέλεια θεμάτων:Αγγελος Παπαιωάννου
γ)Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του 2δεν
έχουν ασύμπτωτες.
δ)Κρίσιμα σημεία της f στο Δ λέγονται εκείνα τα σημεία του Δ στα
οποία η παράγωγος μηδενίζεται μαζί με αυτά στα οποία η παράγωγος
δεν ορίζεται.
(Μονάδες 6)
Α4.α)Πότε η ευθεία ψ=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της f
C στο  ;
(Μονάδες 3)
β)Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής και να γράψετε τη
γεωμετρική του ερμηνεία
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=
3 2
αx βx γx δ ,α,β,γ,δ R    για την
οποία ισχύει:
 Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το Α(0,4)
 Ο ρυθμός μεταβολής της f στο -1 είναι ίσος με 2
 Η συνάρτηση Η(x)=f(x)-2x παρουσιάζει καμπή στο x0=2

h 0
f (1 h) f (1)
lim 6
h
  

Β1)Αποδείξτε ότι
3 2
f (x) x 4x 9x 4    (Μονάδες.8)
B2)Να υπολογίσετε το όριο
x
ln x x
lim
f (x)

(Μονάδες.5)
Β3)Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x2
+x+1)-1 με x R .Aποδείξτε ότι η ευθεία
ψ=-18χ-15 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g στο xο=1 (Μονάδες.6)
Β4)Κινητό Μ κινείται κατά μήκος του άξονα χ΄χ με συνάρτηση θέσης f(t),t
[0,5], f σε cm και t σε sec.Να βρείτε:
26.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. Επιμέλεια θεμάτων:Αγγελος Παπαιωάννου
α)Την ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t=2 (Μονάδες.2)
β)Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα του κινητού γίνεται ελάχιστη;(Μον.4)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι
x
f (x) f(x) 1 e , x R     
Γ1)Αποδείξτε ότι η συνάρτηση x
f(x) 1
g(x) x,x R
e

   είναι σταθερή.
(Μονάδες 5)
Γ2)Αν η γραφική παράσταση της g περνά από την αρχή των αξόνων να
αποδείξτε ότι f(x)= x
xe 1,x R 
(Μονάδες 6)
Γ3 i) Mελετήστε την f ως προς τη μονοτονία-ακρότατα και
ii)εξετάστε αν υπάρχει διάστημα της μορφής [κ,0],κ<0 στο οποίο να
ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την f.
(Μονάδες 7)
Γ4)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση    
2 2
x
h(x) e 1 x 1 ,x R     έχει
τρία τοπικά ακρότατα.
(Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με τύπο f(x)=
2
1 x
x ημα,x 1
e 2α,x 1
 
 
Δ1) Να αποδείξετε ότι α=0 (Μονάδες 6)
Για α=0
26.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. Επιμέλεια θεμάτων:Αγγελος Παπαιωάννου
Δ2)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία,να βρείτε τα κρίσιμα σημεία και
τα τοπικά της ακρότατα. (Μονάδες 5)
Δ3)Να λύσετε την ανίσωση    2 x
f x 2 f e 1   (Μονάδες 5)
Δ4) i)Μελετήστε την f ως προς την κυρτότητα και
ii) Αν 1 α β γ   δείξτε ότι      1 β 1 γ 1 α
γ α e β α e γ β e  
    
( Μονάδες 5)
Δ5)Να βρείτε το όριο
2018
2 x
x 0
x 2018
lim
x 1 e

 
(Μονάδες 5)
KAΛΗ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ
26.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4