1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ลาดับและอนุกรม
(เนื้อหาตอนที่ 4)
ผลบวกย่อย
โดย
อาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน และอาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและ
อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่ า นสามารถดูชื่ อเรื่อง และชื่ อตอนได้จากรายชื่ อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน
ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ลาดับและอนุกรม (ผลบวกย่อย)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4/6)
หัวข้อย่อย 1. ผลบวกย่อย
2. ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
3. ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายของผลบวกย่อยและสามารถหาผลบวกย่อยได้
2. สามารถหาผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิตได้
3. สามารถหาผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิตได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของผลบวกย่อยได้
2. อธิบายสูตรพื้นฐานของการหาผลบวกย่อยของลาดับบางชนิดได้
3. อธิบายการหาผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิตได้
4. อธิบายการหาผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิตได้
5. แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิตได้
6. แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิตได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ผลบวกย่อย
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ผลบวกย่อย
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของผลบวกย่อย และสูตรพื้นฐานของการหาผลบวก
ย่อยของลาดับบางชนิด พร้อมทั้งโจทย์ที่ประยุกต์ใช้สูตรดังกล่าว
ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจความหมายของผลบวกย่อยมากขึ้น เช่น
ตัวอย่าง (1) ลาดับ a n  5
S1 = 5
S2 = 5 + 5 = 10
S3 = 5 + 5 + 5 = 15
Sn= 5 + 5 + + 5 = 5n
n พจน์
(2) ลาดับ a n  (1)n
S1 =  1
S 2 =  1 + 1 = 0
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
S3 =  1 + 1 +  1 =  1
 0 ; เมื่อ n เป็นจานวนคู่
Sn= 1 + 1 + + 1)n = 
 1 ; เมื่อ n เป็นจานวนคี่
n พจน์
หลังจากผู้เรียนเข้าใจความหมายของผลบวกย่อยแล้ว ครูอาจแนะนาอักษรกรีก  ที่เรียกว่า ซิกมา
ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก ในการเขียนผลบวกย่อย นั่นคือ a1  a 2  a 3   an จะเขียนแทนด้วย
n
 a (อ่านว่า การบวก
i 1
i ai เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n) ซึ่งผู้เรียนจะเห็นหรือได้ใช้เรื่องอนุกรมซึ่งเป็นสื่อตอน
ต่อไปของเรื่องลาดับและอนุกรมนี้ โดยครูควรยกตัวอย่างเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจเรื่องการเขียนแทนผลบวกย่อยด้วย
n
สัญลักษณ์  a i มากขึ้น ตัวอย่างเช่น
i 1
5
 2n
n 1
แทน 2 + 4 + 6 + 8 + 10
5
1 1 1 1 1 1
3
k 1
k
แทน    
3 32 33 34 35
4
 (2i  1) แทน  2 1  1   2  2  1   2  3 1   2  4 1
i 1
ครูชี้ให้นักเรียนเห็นว่าอักษรที่ใช้แทนตัวแปรสามารถใช้อักษรใดก็ได้ นอกจากนีดัชนีไม่จาเป็นต้องเริ่มที่ 1
้
เสมอไป ซึ่งจากตัวอย่างข้างต้นสามารถเขียนแทนได้อีกรูปแบบหนึ่ง ดังนี้
4
  2n  2 
n 0
แทน 2 + 4 + 6 + 8 + 10
6
1 1 1 1 1 1
3
k 2
k 1
แทน    
3 32 33 34 35
1
  2(i  3)  1 แทน  2 1 1   2  2 1   2  3 1   2  4 1
i 2
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
n
จากสูตรทั้งสามข้างต้น ครูอาจให้ผู้เรียนลองเขียนสูตรของการหาผลบวกย่อยในรูปสัญลักษณ์  a i ซึ่งจะ
i 1
เขียนได้ ดังนี้
 n(n  1) 
2
n
n(n  1) n
n(n  1)(2n  1) n
i  2
i 1
 i2 
i 1 6
 i3   2 
i 1  
ซึ่งทั้งสามสูตรนี้จะนาไปใช้ในการหาผลบวกต่างๆ ซึ่งจะยกตัวอย่างต่อไป
n
ในสื่อการสอนตอนนี้ได้แสดงวิธีการหาสูตรของผลบวกในรูป 1 2  3   n หรือ  i เท่านั้น สาหรับ
i 1
n
วิธีการหาสูตรการหาผลบวกของ 12  22  32   n2 (หรือ  i 2 ) และผลบวกของ 13  23  33   n3
i 1
n
(หรือ  i3 ) ครูอาจเพิ่มเติมให้แก่ผู้เรียนตามความเหมาะสมกับความสามารถผู้เรียนได้
i 1
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ก่อนที่จะกล่าวถึงหัวข้อถัดไป คือ ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิตและผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต ครูควร
แนะนาสมบัติของ  ที่จะช่วยในการหาผลบวกเพิ่มเติม กล่าวคือ
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
n
(1)  c  cn เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
i 1
n n
(2)  ca i  c a i
i 1 i 1
เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
n n n
(3)  (a
i 1
i  bi )   a i   bi
i 1 i 1
โดยครูสามารถแสดงการพิสูจน์และยกตัวอย่างประกอบการอธิบายสมบัติแต่ละข้อเพื่อให้ผู้เรียนเกิดความเข้าใจมาก
ขึ้น ดังนี้
n
(1)  c  cn เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
i 1
n
c 
i 1
c cc  c  cn
n พจน์
10
เช่น  5  555  5  5 10  50
n 1
10 พจน์
n n
(2)  ca i  c a i
i 1 i 1
เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
n
 ca
i 1
i  ca1  ca 2   ca n
n
 c(a1  a 2   a n )  c a i
i 1
10 10
เช่น  3  n  3 n  3  55  165
n 1 n 1
n n n
(3)  (a i  bi )   a i   bi
i 1 i 1 i 1
n
 (a
i 1
i  bi )  (a1  b1 )  (a 2  b 2 )   a n  bn 
 (a1  a 2   a n )  (b1  b 2   bn )
n n
  a i   bi
i 1 i 1
13 13 13
เช่น  (n  2) 
n 1
 n   2  91  26  117
n 1 n 1
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
n n n
สาหรับกรณี  (a i  bi )   a i   bi สามารถพิสูจน์ได้ในทานองเดียวกัน
i 1 i 1 i 1
โดยครูอาจชี้แจงเพิ่มเติมให้นักเรียนเห็นว่าสมบัติเหล่านี้ใช้สาหรับการบวกของพจน์ต่างๆ ของลาดับที่มีจานวน
พจน์จากัด ในกรณีที่เป็นการบวกของพจน์ต่างๆ ของลาดับที่มีจานวนพจน์เป็นอนันต์ จะต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
ซึ่งเรื่องดังกล่าวจะถูกกล่าวถึงในตอนถัดไปจากนี้ ในหัวข้อเรื่อง ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม หลังจากที่
นักเรียนเข้าใจสมบัติแต่ละข้อแล้ว ครูอาจยกตัวอย่างที่ใช้สูตรการหาผลบวกและสมบัติข้างต้นเพิ่มเติม เช่น
20
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ  (2i  1)
i 1
20 20 20
วิธีทา  (2i  1)
i 1
  2i  1
i 1 i 1
(สมบัติข้อ (3))
20 20
 2 i   1 (สมบัติข้อ (2))
i 1 i 1
 20(20  1)  n
 2   20 1 (สมบัติข้อ (1) และสูตรการหา  i )
 2  i 1
 440
n
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ  (i 2  2)
i 1
n n n
วิธีทา  (i2  2)
i 1
  i2   2
i 1 i 1
(สมบัติข้อ (3))
 n(n  1)(2n  1)  n
    2n (สมบัติข้อ (1) และสูตรการหา  i 2 )
 6  i 1
2n 3  3n 2 -11n

6
n
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของ  i(i  3)
i 1
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
n n
วิธีทา  i(i  3)
i 1
  (i
i 1
2
 3i)
n n
  i   3i (สมบัติข้อ (3))
i 1
2
i 1
 n(n  1)(2n  1)   n(n  1) 
    3 
 6   2 
n n
(สมบัติข้อ (1) ข้อ (2) และสูตรการหา  i และ  i 2 )
i 1 i 1
n(n  1)  2n  1 
   3
2  3 
n(n  1)  2n  10 
  
2  3 
n(n  1)(n  5)

3
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ผลบวกย่อย
1. จงเขียนผลบวกย่อยต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์แทนการบวก
1 1 1
1) 1   
2 3 50
2) 1 + 3 + 9 + + 729 + 2187
3) 1 + 4  9 + 16  + 144
4) 3  2  3  4  3  8   3  512  3 1024
5) 12 + 52 + 92 + + 572 + 612
6) 1(1 2) + 2(2 2) + 3(3 2) + + 29(29 2) + 30(30 2)
2. จงหาค่าของ
25 5
1)  4i 2)  3k 1
i 1 k 1
7 15
1
3)  4)  (n  1)2
i 1 i  i 1 n 1
12
5)  n3  n
n 1
3. จงหาผลบวกย่อย 10 พจน์แรกและผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับต่อไปนี้
1) ลาดับ a n  7
2) ลาดับ a n  2n  6
3) ลาดับ a n  3n 2  n
4) ลาดับ a n  4n 3  8
5) ลาดับ a n  n 3  3n 2  2n
4. จงหาค่าต่อไปนี้
1) 3 + 6 + 9 + + 159 + 162
2) 202 + 212 + + 982 + 992
3) 13 + 33 + 53 + + 173 + 193
4) 1 2  2  3  3 4   49  50
5) 42 + 72 + + 372 + 402
6) 1(1 + 2) + 2(4 + 2) + 3(9 + 2) + + 16(256 + 2)
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
ในหัวข้อนี้ผ้เู รียนจะศึกษาเกี่ยวกับที่มาของสูตรการหาผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต และตัวอย่าง
โจทย์ประยุกต์เกี่ยวกับผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต ครูควรทบทวนความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับลาดับเลขคณิต
ให้กับผู้เรียน ได้แก่
ความหมายของลาดับเลขคณิต
ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนาพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n ทุกจานวนเต็มบวก n
มีค่าคงตัวเสมอ และเรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม
พจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต
an = a1 + (n  1)d เมื่อ a1 คือ พจน์แรก และ d คือผลต่างร่วม
ครูหยุดสื่อเพื่ออธิบายผู้เรียนเพิ่มเติมในบางจุด (ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการพิจารณาของครู) เพื่อให้ผู้เรียนเกิดความ
ชัดเจนมากขึ้น เช่น
1. เพราะเหตุใด a1 + a2 + + an = a1 + (a1 + d) + (a1
+ 2d) + + (a1 + (n  1)d)
เนื่องจากพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิตคือ an = a1 + (n  1)d เมื่อ a1 คือ พจน์แรก และ d คือ
ผลต่างร่วม ดังนั้นเมื่อเขียน a2, a3, …, an ในรูปพจน์ทั่วไป จะได้ว่า a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d, …,
an = a1 + (n  1)d ตามลาดับ
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. เพราะเหตุใด a1 ที่ปรากฏทั้งหมดมี n พจน์
ครูควรชี้ให้นักเรียนลองสังเกต
a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + + (a1 + (n  1)d)
จะพบว่า มี a1 จากแต่ละวงเล็บทั้งหมด n – 1 พจน์ (เพราะมีวงเล็บทั้งหมด n – 1 วงเล็บ) และรวมกับ
a1 ตัวแรก 1 พจน์ จึงมี a1 ทั้งหมด n พจน์นั่นเอง และเมื่อนา a1 ทั้งหมดมี n พจน์ มาบวกกันจะมีค่า
เท่ากับ na1
n(n  1)
3. เพราะเหตุใด 1  2  3  n  ทาให้
2
(n  1)n
ได้ว่า 1 2  3   (n  1) 
2
ถ้าผู้เรียนสับสนกับอักษรที่ใช้เป็นตัวแปร อาจเปลี่ยนตัวแปรเป็น k ก่อน นั่นคือ
k(k  1)
1 2  3  k  แล้วจึงให้ผู้เรียนลองแทนค่า k ด้วย n – 1 ก็จะได้สิ่งที่ต้องการ
2
4. เพราะเหตุใดเมื่อดึงตัวร่วม n ออกจาก
2
 (n  1)n  n
na1  d   ได้เป็น  2a1  (n  1)d 
 2  2
เพราะว่า
 (n  1)n  n
na1  d    na1  (n  1)d
 2  2
n n
 (2a1 )  (n  1)d
2 2
n
  2a1  (n  1)d 
2
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับการทาโจทย์ข้อนี้ ครูอาจให้ผู้เรียนลองทาโดยการใช้สูตร Sn  n a1  a n  ด้วยก็ได้ เพื่อให้ผ้เู รียนเห็น
2
ว่าความสาคัญของการพิจารณาข้อมูลจากโจทย์ เพื่อเลือกใช้สูตรอย่างเหมาะสมในการแก้ปัญหาโจทย์นั้นๆ
เพราะข้อนี้ถ้าผู้เรียนใช้สูตร Sn  n a1  a n  จะได้ว่าสิ่งที่ต้องการหา คือ S10 มีค่าเท่ากับ 10 a1  a10  ซึ่ง
2 2
ผู้เรียนจะหาค่า S10 ได้จะต้องคานวณหาค่า a10 ก่อน โดยใช้สูตรพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต ในขณะที่ถ้า
n
ผู้เรียนเลือกใช้สูตร Sn   2a1  (n  1)d  ผู้เรียนจะหาค่า S10 โดยการแทนค่าตัวแปรต่างๆ ได้ทันที
2
ครูควรหยุดสื่อเพื่อให้ผู้เรียนได้ศึกษาวิธีการแก้สมการหาค่า n ในโจทย์ข้อนี้ โดยครูอธิบายเพิ่มเติมให้กับผู้เรียน
เมื่อมีจุดที่ผู้เรียนไม่เข้าใจ
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับการแก้ปัญหาโจทย์ข้อนี้ ครูอาจลองให้ผู้เรียนพิจารณาดูว่า ถ้าเริ่มต้นผู้เรียนเลือกใช้
สูตร Sn  n  2a1  (n  1)d  แทน Sn  n a1  a n  วิธีการในการแก้ปัญหาจะต่างจากวิธีแรกหรือไม่ ซึ่ง
2 2
ผู้เรียนน่าจะพบว่าทั้งสองวิธีจะต้องมีการหาค่า d โดยใช้ข้อมูลจากโจทย์เหมือนกัน เพียงแต่ในวิธีหลังสามารถ
นาค่า d ที่ได้ไปแทนลงในสูตรเพื่อหา S10 ทันที ขณะที่วิธีแรกในสื่อจะต้องนาค่า d ไปหาค่า a10 ก่อนจึงนาไป
คานวณหาค่า S10
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
1. จงหาค่าต่อไปนี้
1) ผลบวกย่อย 10 พจน์แรกของลาดับเลขคณิต 21, 13, 5, 3, …
2) ผลบวกย่อย 12 พจน์แรกของลาดับเลขคณิต 10, 4, 2, 8, …
3) ผลบวกย่อย 15 พจน์แรกของลาดับเลขคณิต 2, 2.57, 3.14, 3.71, …
5 3 7
4) ผลบวกย่อย 40 พจน์แรกของลาดับเลขคณิต 1, , , ,
4 2 4
7 3 1 5
5) ผลบวกย่อย 13 พจน์แรกของลาดับเลขคณิต , , , ,
2 2 2 2
2. จงหาค่าของ 10 + 7 + 4 + + (227) + (230)
3. จงหาผลบวกจานวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง -15 กับ 150 ที่ 6 หารลงตัว
4. กาหนดให้ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเลขคณิต 17, 10, 3, 4, … เป็น 258 จงหาค่า n
5. กาหนดลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งที่มีผลต่างร่วมเป็น 0.75 และ S33 = 198 จงหา S49
6. ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี S6 = 60 และ S9 = 252 จงหาพจน์แรกและผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตนี้
7. ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีพจน์แรกและพจน์ที่ n เป็น 52 และ 25 ตามลาดับ และผลบวกย่อย n พจน์แรกของ
ลาดับมีค่าเท่ากับ 385 จงหาผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตนี้
8. จงหาผลบวกของจานวนเต็มทั้งหมดซึ่งอยู่ระหว่าง 1 กับ 150 ที่จานวนเต็มนั้นหารด้วย 5 แล้วจะเหลือเศษ 1
9. จงหาพจน์แรกและผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตที่มีพจน์ที่ 9 เป็น 13 และมีผลบวกย่อย 20 พจน์แรกเป็น
305
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะศึกษาเกี่ยวกับที่มาของสูตรการหาผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต และตัวอย่างของ
การใช้สูตรของผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิตในการแก้ปัญหาโจทย์ โดยเริ่มต้นครูควรทบทวนความรู้พื้นฐาน
เกี่ยวกับลาดับเรขาคณิตให้กับผู้เรียน ได้แก่
ความหมายของลาดับเรขาคณิต
ลาดับเรขาคณิต คือ ลาดับที่ผลหารที่ได้จากการนาพจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n ทุกจานวนเต็มบวก n
มีค่าคงตัวเสมอ และเรียกค่าคงตัวนั้นว่า อัตราส่วนร่วม
พจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต
an = a1rn 1 เมื่อ a1 คือ พจน์แรก และ r คืออัตราส่วนร่วม
หลังจากได้ผู้เรียนได้ทราบสูตรของผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตแล้ว อาจมีผู้เรียนสงสัยว่า สูตรนี้
ใช้ได้ในกรณีที่ r ≠ 1 เท่านั้น ถ้ากรณีที่ r = 1 ผู้เรียนจะสามารถหาผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต
ได้หรือไม่ ครูควรอธิบายเพิ่มเติมว่ากรณี r = 1 นั้น ลาดับเรขาคณิตที่พิจารณา คือ ลาดับของค่าคงตัว เช่น ลาดับ
an  c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ ซึ่งผู้เรียนสามารถหาผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับนี้ได้ จาก
n
Sn   c  cn นั่นเอง
i 1
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับตัวอย่างทั้งสามข้อหลังของสื่อนี้ จะมีส่วนของการแก้สมการหาค่า n และการคิดคานวณค่อนข้างมาก ครู
ควรมีการหยุดสื่อเพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาทีละส่วน และอธิบายเพิ่มเติมเมื่อผู้เรียนไม่เข้าใจ
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
1. จงหาค่าต่อไปนี้
1) ผลบวกย่อย 8 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต 4, 12, 36, …
2) ผลบวกย่อย 10 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต 3, 6, 12, …
3) ผลบวกย่อย 6 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต 100, 20, 4, …
1 1 1
4) ผลบวกย่อย 8 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต , , ,
3 6 12
2. จงหาค่าของ 3  3  3  
3
2 4 256
n 0 ; เมื่อ n เป็นจานวนคู่
3. จงแสดงว่าสาหรับจานวนจริง k ใดๆ จะได้ว่า  (1) k   k
i 1
; เมือ n เป็นจานวนคี่
่
i 1 
243
4. กาหนดลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งที่มีค่า a3 = 9 และ a6 = จงหาผลบวกย่อย 9 พจน์แรกของลาดับ
8
เรขาคณิตนี้
5. กาหนดลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีพจน์แรกเป็น 4 และมีอัตราส่วนร่วมเป็น 3 จงหาจานวนเต็มบวก n
ที่ทาให้ Sn = 484
1
6. จงหาผลบวกย่อย 5 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น และพจน์ที่ 4 เท่ากับ 5
4
7. กาหนดลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น 3 และ S8 = 3280 จงหาพจน์แรก และ S6
8. จงหาจานวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทาให้ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต 1, 1.5, 2.25, …
มีค่ามากกว่า 50 (กาหนดให้ ln 2 = 0.69 ln 3 = 1.09 และ ln 13 = 2.56)
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
60
1.  (3n  2) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
n 60
1. 239 2. 240 3. 242 4. 245
2. 3 + 7 + 13 + 21 + + 273 เมื่อเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์แทนการบวก  จะตรงกับข้อใดต่อไปนี้
15 17
1.  [(n  1) 2  n] 2.  (n 2  n  1)
n 1 n 1
16 16
3.  (1  2n) 4.  [(n  1) 2  3n]
n 1 n 1
3. ให้ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับชนิดหนึ่งมีค่าเท่ากับ 2n2 + 3n 1 จงหาพจน์ที่ 20 ของลาดับนี้
1. 80 2. 81 3. 83 4. 85
50
4.  (1) n n 2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
n 1
1. 1,275 2. 1,325 3. 1,375 4. 1,425

12  5+2+ + 149 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 1,644 2. 1,656 3. 1,659 4. 1,661
7
6. ให้ a1 , a 2 , a 3 , เป็นลาดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ
4
ถ้า S12  S9  26 แล้ว พจน์ที่ 9 ของลาดับนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
25 27 31 37
1. 2. 3. 4.
6 6 6 6
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. ถ้ากาหนดให้ S  1, 2, 3, , 500
a เป็นผลบวกของจานวนทั้งหมดในเซต S ที่หาร 6 ลงตัว
และ b เป็นผลบวกของจานวนทั้งหมดในเซต S ที่หาร 5 ลงตัว
แล้ว a  b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 4,251 2. 4,334 3. 4,251 4. 4,334
8. จงหาค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทาให้ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเลขคณิต 240, 219, 198, … มีค่า
มากกว่า 0
1. 22 2. 23 3. 24 4. 25
n
 3n
9. ถ้ากาหนดให้ลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับหรือ Sn  5 แล้ว
3n 1
อัตราส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิตนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
3 5 10 5
1. 2. 3. 4.
5 3 3 6
10. ถ้า a1 , a 2 , a 3 , เป็นลาดับเรขาคณิตที่มี a 3  2 และ a 6  54 แล้ว a 4  a5   a9 มีค่าเท่ากับข้อ
ใดต่อไปนี้
1. 1,092 2. 1,094 3. 1,092 4. 1,094
3 3
11.  36  96  192 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
4 2
255 511 257 513
1.  2.  3. 4.
4 4 4 4
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ผลบวกย่อย
50 8 12
1. 1)  1 2)  3i 1 3)  (1) n n 2
n
n 1 i 1 n 1
10 16 30
4)  3  2k 5)   4i  32 6)  k(k  2)
k 1 i 1 k 1
2. 1) 1,300 2) 1,089 3)
2 2 1
4) 1,015 5) 6,162
3. 1) Sn = 7n และ S10 = 70 2) Sn = n2 + 7n และ
S10 = 170
3) Sn = n(n + 1)2 และ S10 = 1,210 4) Sn = n2(n + 1)2  8n และ S10 = 12,020
n(n  1)(n 2  3n  6)
5) Sn = และ S10 = 1,760
4
4. 1)  2) 325,880
3) 19,900 4) 41,650
5) 7,930 6) 18,768
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
1. 1) 150 2) 276 3) 89.85 4) 235 5) 110.5
2. 8,910
3. 1,782
4. 12
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. 588
6. a1 =20 และ d = 12
7. d = 3
8. 2,205
9. พจน์แรกเท่ากับ 1 และผลต่างร่วมเป็น 1.5
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
10, 416 85
1. 1) 13,120 2) 1,023 3) 4)
125 128
1533
2. S9 
256
3. สาหรับจานวนจริง k ใดๆ พิจารณาลาดับ k, k, k, k, … ซึ่งเป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น
1 และมีพจน์แรกเป็น k
n
ดังนั้น  (1)i k จะมีค่าเท่ากับ ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตข้างต้น
i 1
a1 (1  r n )
จากสูตรผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต คือ ทาให้ได้ว่า
1 r
n
k(1  (1) n )
 (1) k
i 1
i

1  (1)
k(1  (1) n )

2
n
k(1  (1))
ดังนั้น เมื่อ n เป็นจานวนคี่ จะได้ว่า (1)n = 1 และ  (1)i k  2  k
i 1
และเมื่อ n เป็นจานวนคู่ จะได้ว่า (1)n = 1 และ  (1)i k  k(1  1)  0
n
i 1 2
ซึ่งเป็นไปตามที่โจทย์กาหนด
19,171
4. S9   299.55
64
5. n = 5
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1, 705
6.  426.25
4
7. a1 = 2 และ S6 = 364
8. n = 9
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 4 3. 2 4. 1 5. 1 6. 3
7. 4 8. 3 9. 2 10. 1 11. 4
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
(การหารลงตัวและตัวหารร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
การนับเบื้องต้น
.
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
36