1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 1)
้
การนับเบืองตน
้
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (การนับเบื้องตน)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/7)
หัวขอยอย 1. กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจและสามารถใชหลักการบวกและหลักการคูณในการหาจํานวนวิธีในการนับได
2. สามารถหาจํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่สิ่งของแตกตางกันทั้งหมดได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายหลักการบวกและหลักการคูณได
2. ประยุกตใชหลักการบวกและหลักการคูณในการหาจํานวนวิธีในการนับได
3. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่สิ่งของแตกตางกัน
ทั้งหมดได
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
ในหัวขอนี้ผูเรียนจะไดศกษาเรื่องกฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ ซึ่งประกอบดวยหลักการคูณและ
ึ ่
หลักการบวก ซึ่งเปนพื้นฐานสําคัญในเรื่องของการนับ
ตัวอยางที่ผูเรียนไดชมจากสื่อการสอน คือ ตัวอยางการนับการทํางาน ซึ่งประกอบดวย 2 ขันตอน โดยใน
้
ตัวอยางแรก การแตงตัวสามารถแบงการทํางานไดเปน 2 ขั้นตอน โดยขั้นตอนแรก คือ การเลือกเสือ และขั้นตอน
้
ที่ 2 คือ การเลือกกระโปรง สวนในตัวอยางที่ 2 การจัดชุดอาหาร สามารถแบงการทํางานไดเปน 2 ขั้นตอนเชนกัน
โดยขั้นตอนแรก คือ การเลือกอาหารคาว และขั้นตอนที่ 2 คือ การเลือกอาหารหวาน ซึ่งสามารถสรุปไดดังนี้
ทฤษฎีบท ถาการทํางานอยางหนึ่งประกอบดวยการทํางาน 2 ขั้นตอน โดยการทํางานขั้นตอนที่ 1 มีวธีทํา n วิธี
ิ
และการทํางานขั้นตอนที่ 2 มีวธีทํา m วิธี จะไดวา จํานวนวิธีของการทํางานนี้เทากับ n × m วิธี
ิ 
จากทฤษฎีบทขางตน สามารถขยายไปสูกรณีที่การทํางานประกอบดวยการทํางาน k ขั้นตอน
ดังรายละเอียดในสื่อการสอนตอไปนี้
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดแนวคิดเกียวกับหลักการคูณ พรอมทั้งเห็นตัวอยางการประยุกตใชหลักการคูณแลว ผูสอน
่ 
อาจยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหผูเรียนไดฝกทักษะในเรื่องนี้ไดดยิ่งขึ้น ดังนี้
ี
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการสรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลขแตละ
หลักจะตองไมซ้ํากัน และจํานวนที่สรางขึนตองเปนจํานวนที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700
้ 
วิธีทํา
_________ _________ _________
หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย
การสรางจํานวนที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 สามารถแบงการทํางานออกเปน 3 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักรอย ซึ่งมีไดทั้งหมด 3 วิธี (เลข 4 หรือ เลข 5 หรือเลข 6)
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักสิบ ซึ่งมีไดทั้งหมด 7 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักหนวย ซึงมีไดทั้งหมด 6 วิธี
่
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางจํานวนดังกลาวมีทั้งหมด 3 × 7 × 6 = 126 วิธี
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้
 
ในกรณีที่การหาจํานวนของเหตุการณที่สนใจโดยตรงทําไดยาก เทคนิคที่สาคัญอยางหนึ่งคือการหา
ํ
จํานวนของเหตุการณที่ไมสนใจแทน จากนั้นใชความสัมพันธที่วา
จํานวนของเหตุการณที่สนใจ
= ( จํานวนของเหตุการณที่ไมมีเงื่อนไข ) − (จํานวนของเหตุการณทไมสนใจ)
ี่
ตัวอยางตอไปนี้ เปนตัวอยางที่ประยุกตใชเรื่องการนับในการหาจํานวนฟงกชันและการหาจํานวน
สับเซต ซึ่งผูสอนอาจทบทวนความหมายของฟงกชัน ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและสับเซต ใหผูเรียนกอน จากนันจึง
้
ใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอยาง ให A = {1, 2,3, 4} จงหา
1. จํานวนฟงกชนทั้งหมดจาก A ไป A
ั
2. จํานวนฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งทั้งหมดจาก A ไป A
ั
3. จํานวนฟงกชนทั้งหมดทีไมใชฟงกชันหนึงตอหนึ่งจาก A ไป A
ั ่ ่
วิธีทา
ํ
________ ________ ________ ________
f (1) f (2) f (3) f (4)
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ในการสรางฟงกชัน f จาก A ไป A สามารถแบงการทํางานไดเปน 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (1) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (2) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (3) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (4) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางฟงกชันดังกลาวมีทั้งหมด 4 × 4 × 4 × 4 = 256 วิธี
ดังนั้น จํานวนฟงกชนจาก A ไป A มีทั้งหมด 256 ฟงกชัน
ั
2. ในการสรางฟงกชัน f ซึ่งเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก A ไป A
สามารถแบงการทํางานไดเปน 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (1) ซึ่งมีไดทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (2)
โดยไมซ้ํากับ f (1) ซึ่งมีไดทั้งหมด 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (3)
โดยไมซ้ํากับ f (1) และ f (2) ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ f (4)
โดยไมซ้ํากับ f (1) , f (2) และ f (3) ซึ่งมีไดทั้งหมด 1 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางฟงกชันดังกลาวมีทั้งหมด 4 × 3 × 2 ×1 = 24 วิธี
ดังนั้น จํานวนฟงกชนหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป A มีทั้งหมด 24 ฟงกชัน
ั
3. จํานวนฟงกชันทังหมดที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป A
้
= (จํานวนฟงกชนทั้งหมดจาก A ไป A ) − (จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งทั้งหมดจาก A ไป A )
ั
= 256 − 24 = 232 ฟงกชัน
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กําหนดใหเซต A มีจํานวนสมาชิก n ตัว จงหาจํานวนสับเซตทั้งหมดของ A
วิธีทา กําหนดให A = {a1 , a2 ,… , an }
ํ
ในการสรางสับเซต B ของ A สามารถแบงการทํางานไดเปน n ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกวา a1 ∈ B หรือ a1 ∉ B ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกวา a2 ∈ B หรือ a2 ∉ B ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ n เลือกวา an ∈ B หรือ an ∉ B ซึ่งมีไดทั้งหมด 2 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนสับเซตทั้งหมดของ A เทากับ 2n สับเซต
ตัวอยางในสื่อการสอนตอไปนี้ เปนตัวอยางเพื่อนําเขาสูเรื่องหลักการบวก ซึ่งผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง
ึ
หลักการบวกและตัวอยางการประยุกตใช
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา บอยครั้งที่เราตองใชทั้งหลักการคูณและหลักการบวกเพื่อนับ
จํานวนเหตุการณที่สนใจ และเพื่อใหผูเรียนเขาใจหลักการทั้งสองไดดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยาง
เพิ่มเติม ดังนี้
ตัวอยาง ในการสรางรหัสจากตัวอักษร A, B, C, D โดยกําหนดใหแตละรหัสอาจมีอกษร 2 ตัว หรืออักษร 3 ตัว
ั
เทานั้น จะสรางรหัสไดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทํา ในการสรางรหัสดังกลาว สามารถแบงพิจารณาไดเปน 2 กรณี
กรณีที่ 1 รหัสมีอักษร 2 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษรตัวแรก ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษรตัวที่สอง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา วิธีสรางรหัสที่มอักษร 2 ตัว เทากับ 4 × 4 = 16 วิธี
ี
กรณีท่ี 2 รหัสมีอักษร 3 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษรตัวแรก ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษรตัวที่สอง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกอักษรตัวที่สอง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
โดยหลักการคูณ จะไดวา วิธสรางรหัสที่มีอักษร 3 ตัว เทากับ 4 × 4 × 4 = 64 วิธี
ี
จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 และหลักการบวก จะไดวา
จํานวนรหัสทีมีอักษร 2 ตัวหรืออักษร 3 ตัว มีทั้งหมด 16 + 64 = 80 วิธี
่
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการสรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลขแตละ
หลักจะตองไมซ้ํากัน และจํานวนที่สรางขึนตองเปนจํานวนคี่ที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700
้
วิธีทา
ํ 1, 3, 5, 7
4, 5, 6
_________ _________ _________
หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย
จะเห็นวา เลข 5 อยูไดทั้งในตําแหนงหลักรอยและหลักหนวย ดังนั้นจึงแบงพิจารณาเปน 2 กรณี ดังนี้
กรณีท่ี 1 หลักหนวยเปนเลข 5
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหนวย ซึ่งมีทั้งหมด 1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักรอย ซึ่งมีทั้งหมด 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักสิบ ซึ่งมีทั้งหมด 6 วิธี
โดยหลักการคูณ จํานวนที่หลักหนวยเปนเลข 5 มีทั้งหมด 1× 2 × 6 = 12 จํานวน
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กรณีที่ 2 หลักหนวยไมเปนเลข 5
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหนวย ซึ่งมีทั้งหมด 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักรอย ซึ่งมีทั้งหมด 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักสิบ ซึ่งมีทั้งหมด 6 วิธี
โดยหลักการคูณ จํานวนที่หลักหนวยเปนเลข 5 มีทั้งหมด 3 × 3 × 6 = 54 จํานวน
จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 และหลักการบวก จะไดวา
จํานวน 3 หลักซึ่งเปนจํานวนคี่ที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 มีทั้งหมด 12 + 54 = 66 วิธี

สําหรับตัวอยางขางตน ผูเรียนอาจแบงกรณีแบบอื่นได เชน กรณีหลักรอยเปนเลข 5 และ
กรณีหลักรอยไมเปนเลข 5
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
1. สวนสาธารณะแหงหนึ่งมีประตูทั้งหมด 5 ประตู ถาจะเขาประตูหนึ่งและออกอีกประตูหนึ่ง ซึ่งไม
ซ้ํากับประตูท่เี ขามา จะมีวิธการเขาและออกจากสวนสาธารณะแหงนีไดทั้งหมดกี่วิธี
ี ้
2. ถาถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรีมี 3 สาย และถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมามี 4 สาย ถาจะขับ
รถยนตจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยขับผานจังหวัดลพบุรี จะใชเสนทางที่ตางกันไดทั้งหมดกี่
เสนทาง
3. เมื่อโยนเหรียญ 1 เหรียญ จํานวน 3 ครั้ง จะมีผลลัพธที่แตกตางกันไดทั้งหมดกีวิธี
่
4. บริษัทผูผลิตเสื้อผาสําเร็จรูปบริษัทหนึ่งผลิตเสื้อ 3 แบบ แตละแบบมี 5 สี และมีขนาดตาง ๆ กัน 3
ขนาด ถาจะจัดเสื้อที่ผลิตเขาตูโชวหนารานใหครบทุกแบบ ทุกสี และทุกขนาด จะตองใชเสื้อทั้งหมด
กี่ตัว
5. นักวิ่งแขง 5 คน จะวิ่งเขาเสนชัยในอันดับตาง ๆ กันไดทงหมดกีวธี สมมติวาไมมนกวิ่งสองคนใดวิง
ั้ ่ิ  ี ั ่
เขาเสนชัยพรอมกัน
6. ให A = {1, 2,3, 4,5} จงหาจํานวนฟงกชน f : A → A โดยที่ f ( x) ≥ x ทุก x ∈ A
ั
7. ให A = {1, 2,3} และ B = {a, b, c, d } จงหา
7.1 จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B
7.2 จํานวนฟงกชนจาก A ไป B ที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
ั 
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่สิ่งของที่นํามาจัดเรียงแตกตางกัน
ึ
ทั้งหมด โดยเริ่มจากใหผูเรียนรูจกกับ “แฟกทอเรียล” ซึ่งจะมีบทบาทสําคัญในเรื่องของการนับ
ั
ผูเรียนควรฝกทักษะเรื่องแฟกทอเรียล จากตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง จงหาคาตอไปนี้
6! n! (n − 1)!(n + 1)!
1. 2. 3.
3! (n − 3)! (n !) 2
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
6! 6 × 5 × 4 × 3!
วิธีทํา 1. = = 6 × 5 × 4 = 120
3! 3!
n! n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3)!
2. = = n(n − 1)(n − 2)
(n − 3)! (n − 3)!
(n − 1)!(n + 1)! (n − 1)![(n + 1) × n !] n + 1
3. = =
(n !) 2 [n × (n − 1)!]n ! n
ตัวอยาง จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปแฟกทอเรียล
1. 100 × 99 × 98
2. 11×12 ×13 ×14 ×15
3. n(n − 1)(n − 2)
100 × 99 × 98 × 97 × 96 × × 2 × 1 100!
วิธทํา 1.
ี 100 × 99 × 98 = =
97 × 96 × × 2 ×1 97!
1× 2 × ×10 × 11× 12 × 13 × 14 × 15 15!
2. 11×12 ×13 ×14 ×15 = =
1× 2 × × 10 10!
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) × × 2 ×1 n!
3. n(n − 1)(n − 2) = =
(n − 3) × × 2 ×1 (n − 3)!
ตัวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปนี้
n!
1. = 720
(n − 3)!
n! n!
2. =
(n − 10)!10! (n − 8)!8!
n!
วิธีทํา 1. = 720
(n − 3)!
n(n − 1)(n − 2) = 10 × 9 × 8 ดังนั้น n = 10
n! n!
2. =
(n − 10)!10! (n − 8)!8!
(n − 8)! 10!
=
(n − 10)! 8!
(n − 8)(n − 9) = 10 × 9 ดังนั้น n = 18
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ทฤษฎีบท จํานวนวิธีในการจัดเรียงสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด จะมีได n ! วิธี
n!
พิสจน
ู จํานวนวิธในการจัดเรียงสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด = Pn,n =
ี = n ! วิธี
(n − n)!
เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางขางตนจบแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา ในการหาจํานวนวิธีเรียง
สับเปลี่ยนเชิงเสน โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมวา “สิ่งของ k สิ่งตองอยูติดกัน” มีเทคนิคสําคัญอยางหนึ่งคือ นําสิ่งของ
ที่ตองการใหอยูติดกัน “มัด” รวมไวดวยกัน จากนัน มองสิ่งของที่ “มัด” รวมกันไวเปนเสมือนสิงของเพียงหนึง
 ้ ่ ่
สิ่ง แตผูเรียนอยาลืมวา สิ่งของที่ “ มัด” รวมไวดวยกัน สามารถสลับตําแหนงกันไดอีก
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเทคนิคดังกลาวไดดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนีเ้ พิ่มเติม
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีจดนักเรียนชาย 5 คนและนักเรียนหญิง 3 คนยืนเขาแถว โดยที่
ั
1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
2. นักเรียนชายตองอยูตดกันและนักเรียนหญิงตองอยูติดกัน
ิ 
วิธีทา 1. จํานวนวิธจัดนักเรียนชาย 5 คน นักเรียนหญิง 3 คน ยืนเขาแถว = P8,8 = 8! วิธี
ํ ี
2. นํานักเรียนชาย 5 คน มัดติดกันไว และนํานักเรียนหญิง 3 คน มัดติดกันไว
ดังนั้น ในการจัดดังกลาว จึงเปรียบเสมือนการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 2 สิ่ง จัดเรียงได 2! วิธี
นักเรียนชายที่มัดติดกันไว 5 คน เรียงสับเปลี่ยนกันได 5! วิธี
นักเรียนหญิงที่มัดติดกันไว 3 คน เรียงสับเปลี่ยนกันได 3! วิธี
ทําใหไดวา จํานวนวิธการจัดที่ตองการมีทั้งหมด = 2!5!3! = 1, 440 วิธี
ี
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้
 
ในการจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่ “หญิงหามยืนติดกัน” หมายถึง “ไมมีหญิงสองคนใด
ยืนติดกัน” ไมใช “หามหญิงสามคนยืนติดกัน” ดังนั้น “นิเสธของ หญิงหามยืนติดกัน” จึงไมใช “หญิงทั้งสาม
คนยืนติดกัน” เพราะฉะนั้น
จํานวนวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่หญิงหามยืนติดกัน
≠ (จํานวนวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว)
− (จํานวนวิธีจดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่หญิงทั้งสามคนยืนติดกัน)
ั
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
1. จํานวนวิธีในการจัดอักษร A, B, C, D และ E เรียงเปนเสนตรง มีทั้งหมดกี่วธี ิ
2. นําตัวอักษร A, B, C, D และ E มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน โดยที่ C และ D ตองอยูติดกัน ไดทั้งหมดกีวิธี
่
3. จํานวนวิธีในการจัดเรียงอักษร 3 ตัว จาก A, B, C, D และ E มีทั้งหมดกี่วธีิ
4. ในการแขงขันวิ่งของนักวิ่ง 5 คน จํานวนวิธที่นักวิ่งจะวิ่งเขาเสนชัยสองคนแรกมีทั้งหมดกี่วธี
ี ิ
5. จํานวนวิธีสรางเลขสามหลักจากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 โดยหามใชเลขซ้ํา มีทั้งหมดกี่วธี
ิ
6. จงหาจํานวนวิธีที่ผูชาย 3 คนและผูหญิง 4 คน ยืนเขาแถวซื้อตั๋วรถไฟ โดยที่ผูหญิงทั้งหมดตองยืนติดกัน
7. จงหาจํานวนวิธีเลือกหัวหนาหอง รองหัวหนาหองและเหรัญญิก ตําแหนงละ 1 คน จากนักเรียนหองหนึ่ง
ที่มีทั้งหมด 50 คน
8. จํานวนวิธีในการจัดนักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เขาแถวถายรูป มีทั้งหมดกีวิธี ถา
่
8.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
8.2 นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิง
8.3 นักเรียนชายสองคนยืนสลับกับนักเรียนหญิงสองคน
9. นักเรียนกลุมหนึ่งมีจํานวน 8 คน โดยที่มี ด.ช.สาธิตและ ด.ช.ณัฐ รวมอยูดวย จงหาจํานวนวิธีที่จด ั
นักเรียนกลุมนี้เขาแถว โดยที่
9.1 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ ตองยืนติดกัน
9.2 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ หามยืนติดกัน
(n − 1)! 1  (n + 2)!
10. จงหาคา n จากสมการ = 
n! 3  (n + 1)! 

19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. มีหนังสือวิชาคณิตศาสตร 3 เลม หนังสือวิชาวิทยาศาสตร 2 เลม และหนังสือวิชาภาษาอังกฤษ 2 เลม
โดยหนังสือทุกเลมแตกตางกันทั้งหมด ถาตองการจัดหนังสือทั้งหมดนี้วางบนชันหนังสือ โดยให
้
หนังสือวิชาเดียวกันอยูตดกัน จะมีจํานวนวิธีการจัดไดทงหมดกีวิธี
ิ ั้ ่
1. 6 2. 72 3. 144 4. 5,040
2. จากโจทยขอ 1 ถาเพิ่มเงื่อนไขวา หนังสือวิชาคณิตศาสตรตองอยูระหวางหนังสือวิชาวิทยาศาสตรและ
หนังสือวิชาภาษาอังกฤษ จะมีจํานวนวิธีการจัดไดทั้งหมดกี่วิธี
1. 24 2. 48 3. 56 4. 72
3. ครอบครัวหนึงมีทั้งหมด 4 คน ประกอบดวย พอ แม และลูก 2 คน ตองการขับรถไปชายทะเล โดยใช
่
รถยนต 4 ที่นั่ง โดยพอหรือแมเปนคนขับรถ จะมีจํานวนวิธีที่สมาชิกในครอบครัวนังรถยนตคันนีได
่ ้
ทั้งหมดกีวิธี
่
1. 6 2. 12 3. 18 4. 24
4. ถามีจานสีขาวลายตางกัน 4 ใบ จานสีฟาลายตางกัน 3 ใบ และจานสีดาลายตางกัน 3 ใบ จะมีจํานวนวิธี
ํ
วางจานทั้ง 10 ใบซอนกัน โดยใหจานสีขาวอยูติดกันทั้งหมดกี่วิธี
10!
1. 4!6! 2. 3!7! 3. 4!7! 4.
4!
5. จํานวนวิธีจดนักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เขาแถว โดยที่นกเรียนชายจะอยูในตําแหนงเลขคู
ั ั
เสมอ มีทั้งหมดกี่วธี
ิ
1. 48 2. 144 3. 288 4. 576
6. จํานวนวิธีสรางจํานวน 3 หลักใหมคามากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยหามใชเลขซ้ํา มี
ี
ไดทั้งหมดกีวธี
่ิ
1. 12 2. 24 3. 60 4. 154
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
7. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสรางจํานวนที่มี 3 หลัก โดยแตละหลักมีตัวเลขซ้ํากันได และจํานวน
เหลานี้หารดวย 5 ลงตัว ไดทั้งหมดกีจํานวน
่
1. 30 2. 36 3. 60 4. 72
8. บริษัทแหงหนึงมีตําแหนงงานวางอยู 2 ตําแหนง ถามีผูมาสมัครเขาทํางาน 5 คน คือ ก, ข, ค, ง และ จ
่
หลังจากสัมภาษณแลว ปรากฏวาคนที่เหมาะกับตําแหนงที่ 1 คือ ก, ข, ค และ ง สวนคนที่เหมาะสมกับ
ตําแหนงที่ 2 คือ ค, ง และ จ จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่บริษัทจะเลือกคนเขาทํางานใหเหมาะสมกับ
ตําแหนงดังกลาว
1. 10 2. 12 3. 16 4. 24
9. อักษรภาษาอังกฤษ 5 ตัวทีแตกตางกัน ซึ่งประกอบดวยพยัญชนะ 2 ตัว และสระ 3 ตัว นํามาจัดเรียงโดย
่
ไมใหพยัญชนะอยูติดกัน แตสระตองอยูติดกัน จํานวนวิธการจัดเทากับขอใดตอไปนี้
ี
1. 12 2. 24 3. 32 4. 36
10. ให A = {1, 2,3, 4,5}และ B = {1, 2,3} จํานวนฟงกชัน f :A→B ซึ่ง f (1) ≠ 1 และ
f (2) ≠ 2 เทากับขอใดตอไปนี้
1. 80 2. 108 3. 125 4. 243
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝกหัด
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
1. 20 2. 12
3. 8 4. 45
5. 120 6. 120
7. 7.1 24
7.2 40
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
1. 120 2. 2!4!, 48
3. 60 4. 20
5. 210 6. 4!4!, 576
7. 50 x 49 x 48, 117600
8. 8.1 8!, 40320 9. 9.1 2!7!, 10080
8.2 2!4!4!, 1152 9.2 8! − 2!7!, 30240
8.3 2!4!4!, 1152
10. 1
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 3 2. 2 3. 2 4. 3
5. 4 6. 3 7. 3 8. 1
9. 1 10. 2
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
28

30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
29

31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
30

32. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
31