1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
(เนื้อหาตอนที่ 1)
การหารลงตัว และ จานวนเฉพาะ
โดย
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ยศนันต์ มีมาก
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
สื่อการสอน เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
- ขั้นตอนวิธีการหาร
- การหารลงตัว
- จานวนเฉพาะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
- ตัวหารร่วมมาก
- ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
- จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
- ตัวคูณร่วมน้อย
4. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
5. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
6. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีจานวน
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ผู้สอน และนัก เรีย นทุก โรงเรีย นที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎี
จานวนเบื้องต้น นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่ อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น (การหารลงตัว และ จานวนเฉพาะ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/2)
หัวข้อย่อย 1. ขั้นตอนวิธีการหาร
2. การหารลงตัว
3. จานวนเฉพาะ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถหาผลหารและเศษเหลือที่สอดคล้องขั้นตอนวิธีการหาร
2. เข้าใจบทนิยามการหารลงตัวและสมบัติเบื้องต้น
3. เข้าใจบทนิยามและสามารถยกตัวอย่างจานวนเฉพาะ
4. เข้าใจข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกข้อความของขั้นตอนวิธีการหารได้
2. หาผลหารและเศษเหลือที่สอดคล้องขั้นตอนวิธีการหารได้
3. ตรวจสอบการหารลงตัวและพิสูจน์สมบัติเบื้องต้นได้
4. บอกบทนิยามและยกตัวอย่างจานวนเฉพาะได้
5. บอกข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตได้
5. เขียนจานวนเต็มบวกมากกว่า 1 ที่กาหนดให้เป็นผลคูณของจานวนเฉพาะได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
 ขั้นตอนวิธีการหาร
 การหารลงตัว
 จานวนเฉพาะ
 ตัวหารร่วมมาก
 ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
 จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
 ตัวคูณร่วมน้อย
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ขั้นตอนวิธีการหาร
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ขั้นตอนวิธีการหาร
การสอนเรื่องทฤษฎีจานวนเบื้องต้น ผู้สอนควรทบทวนความรูเ้ กียวกับสมบัติเบื้องต้นของจานวน
่
เต็มให้ผู้เรียนก่อน เช่น
 เซตของจานวนเต็ม  { , 3, 2, 1, 0,1, 2, }
 เซตของจานวนเต็มมีสมบัติปิดสาหรับการบวก การลบ และ การคูณ แต่ไม่มีสมบัติปิดสาหรับ
การหาร
และให้ผ้เู รียนดูตัวอย่างในสื่อการสอน 2 ตัวอย่างแรก
เมื่อผู้เรียนได้แนวคิดในเรื่องผลหารและเศษเหลือ จากตัวอย่างข้างต้นไปแล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่าง
การแบ่งของเพิ่มเติมได้อีก ดังนี้
ตัวอย่าง เศษเหลือที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อเราแบ่งสิ่งของจานวนหนึ่งออกเป็น 5 กอง กองละ ๆ กน
แนวตอบ ผู้สอนยกตัวอย่างสิ่งของจานวนต่าง ๆ กัน เช่น 8, 10, 17, 21, 29 แล้วนามาแบ่งเป็นห้ากอง ให้ผู้เรียน
บอกเศษเหลือต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งจะพบว่า เศษเหลือที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเป็น 0, 1, 2, 3 หรือ 4
หลังจากนี้ให้นาผู้เรียนเข้าสู่บทเรียนเรื่องขั้นตอนวิธีการหาร และ ตัวอย่าง (1) – (3) จากสื่อการสอน
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนให้ผู้เรียนดูตัวอย่างการหาผลหารและเศษเหลือสาหรับจานวนเต็ม a และ b ต่างๆ ในสื่อการ
สอนต่อไปนี้
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรเน้นย้าผู้เรียนเกี่ยวกับการจาขั้นตอนวิธีการหาร ดังนี้
ตัวตัง = (ตัวหาร × ผลหาร) + เศษเหลือ
้
และ เศษเหลือมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์และน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร ซึ่งในบางครั้งผลหารและเศษเหลือ
อาจไม่ได้มาจากการตั้งหาร โดยต้องปรับค่าโดยการจัดรูปดังแสดงในตัวอย่างข้อ (2) และ (3) และผู้สอนอาจให้
ผู้เรียนทาแบบฝึกหัดต่อไปนี้
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ขั้นตอนวิธีการหาร ชุดที่ 1
จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหาร a ด้วย b เมื่อกาหนด a และ b ดังต่อไปนี้
1. a  140 และ b  15
2. a  373 และ b  8
3. a  122 และ b  11
4. a  215 และ b  12
5. a  504 และ b  14
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจเพิ่มเติมโดยให้บทนิยามของจานวนคู่และจานวนคี่โดยอาศัยขั้นตอนวิธีการหารจากการ
หารจานวนเต็มด้วย 2 ดังนี้
บทนิยาม จานวนเต็ม a เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a  2k เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
จานวนเต็ม a เป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a  2k  1 เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่าง จงแสดงว่า ผลคูณของจานวนคี่สองจานวนย่อมเป็นจานวนคี่
วิธีทา ให้ a และ b เป็นจานวนคี่
จะได้ว่า a  2k  1 และ b  2  1 เมื่อ k และ เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น
ab  (2k  1)(2  1)
 4k  2k  2  1
 2(2k  k  )  1
และ 2k k  เป็นจานวนเต็ม ทาให้เราสรุปได้ว่า ab เป็นจานวนคี่ #
หากผู้เรียนมีความสามารถสูง ผู้สอนอาจเพิ่มตัวอย่างเชิงพิสูจน์ดังนี้
ตัวอย่าง เมื่อหารจานวนเต็ม a ด้วย 5 มีเศษเหลือเป็น 2 จงหาเศษเหลือจากการหาร 4a ด้วย 5
วิธีทา เนื่องจากเมื่อหารจานวนเต็ม a ด้วย 5 มีเศษเหลือเป็น 2
โดยขั้นตอนวิธีการหารเราเขียน a ได้ในรูป
a  5q  2 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น
4a  20q  8
4a  5(4q  1)  3
เพราะว่า 4q  1 เป็นจานวนเต็ม ดังนั้น เศษเหลือจากการหาร 4a ด้วย 5 มีค่าเป็น 3 #
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ จงแสดงว่า เศษเหลือจากการหาร a 2 ด้วย 3 มีค่าเป็น 0 หรือ 1
วิธีทา โดยขั้นตอนวิธีการหาร เมื่อหาร a ด้วย 3 จะมีเศษเหลือที่เป็นไปได้คือ 0, 1 หรือ 2
กรณี 1 เศษเหลือเป็น 0 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a 2  (3q)2  3(3q 2 ) ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 3 จะมีเศษเหลือเป็น 0
กรณี 2 เศษเหลือเป็น 1 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q  1 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a 2  (3q  1)2  9q 2  6q  1  3(3q 2  2q)  1 ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 3 จะมีเศษเหลือเป็น 1
กรณี 3 เศษเหลือเป็น 2 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q  2 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a 2  (3q  2)2  9q 2  12q  4  3(3q 2  4q  1)  1
ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 3 จะมีเศษเหลือเป็น 1
จากทั้ง 3 กรณี สรุปได้ว่า เศษเหลือจากการหาร a 2 ด้วย 3 มีค่าเป็น 0 หรือ 1 #
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ขั้นตอนวิธีการหาร ชุดที่ 2
1. จงพิสูจน์ว่าผลบวกของจานวนคู่และจานวนคี่เป็นจานวนคี่
2. จงพิสูจน์ว่าผลคูณของจานวนคู่และจานวนคี่เป็นจานวนคู่
3. เมื่อหารจานวนเต็ม a ด้วย 6 มีเศษเหลือเป็น 3 จงหาเศษเหลือจากการหาร 2a  5 ด้วย 6
4. ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ จงแสดงว่า เศษเหลือจากการหาร a 2 ด้วย 5 มีค่าเป็น 0,1 หรือ 4
a ( a 2  2)
5. ให้ a เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ จงแสดงว่า เป็นจานวนเต็ม
3
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การหารลงตัว
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การหารลงตัว
จากขั้นตอนวิธีการหาร เมื่อนาจานวนเต็ม a หารด้วยจานวนเต็ม b  0 จะมีเศษเหลือ r โดยที่
0r  b ถ้าเศษเหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ เรากล่าวว่า b หาร a ลงตัว ซึ่งจะศึกษารายละเอียดกันในหัวข้อนี้
ผู้สอนควรย้้ำเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของ
กำรหำรลงตัว “ | ” และ ข้อตกลงว่ำในกำรเขียน
b | a หรือ b  a ให้เข้ำใจว่ำตัวหำร b ต้องไม่
|
เท่ำกับศูนย์ และอำจยกตัวอย่ำงเพื่อสร้ำง
ควำมคุ้นเคยเกี่ยวกับกำรหำรลงตัวและไม่ลงตัว
แก่ผู้เรียนเพิ่มเติมได้
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปผู้สอนอธิบายสมบัติเบื้องต้นของการหารลงตัวในทฤษฎีบทต่อไปนี้ โดยผู้สอนควรยกตัวอย่าง
ประกอบแต่ละข้อและให้ผู้เรียนศึกษาบทพิสูจน์เพิ่มเติมจากสื่อการสอน
ทฤษฎีบท ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม
(1) b | 0 , b | b และ 1 | a
(2) ถ้า b | a แล้ว b | (a) , (b) | a และ (b) | (a)
(3) ถ้า c | b และ b | a แล้ว c | a
(4) ถ้า b | a และ a  0 แล้ว b  a
(5) ถ้า c | a และ c | b แล้ว c | (ax  by ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใด ๆ
เช่น 3 | 0 , (2) | (2) , 1| 25
เช่น จำก 3 |15 จะได้ว่ำ 3 | (15) , (3) |15
และ (3) | (15)
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เช่น ถ้ำ 2 | 6 และ 6 |18 จะได้ว่ำ 2 |18
หรือ ถ้ำเรำมี 2 | x และ x | y จะสรุปได้ว่ำ 2 | y
นั่นคือ y เป็นจ้ำนวนคู่
เช่น 4 |12 จะได้ 4  12
6 | ( 18) จะได้ 6  18  18
( 5) | ( 20) จะได้ 5  5  20  20
เช่น จำก 4 | 8 และ 4 |12 จะสรุปได้ว่ำ
4 | (8  12) และ 4 | (8( 3)  12(101)) เป็นต้น
ยิ่งกว่ำนั้น ถ้ำ a และ b เป็นจ้ำนวนคู่ จะสรุปได้
ว่ำ ax  by จะเป็นจ้ำนวนคู่เสมอ ทุกจ้ำนวนเต็ม
x และ y
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจใช้ทฤษฎีบทข้างต้นพิสูจน์สมบัติของจานวนเต็มเพิ่มเติมดังนี้
ตัวอย่าง ให้ a, b, c และ d เป็นจานวนเต็มซึ่ง a | b และ c | d จงแสดงว่า ac | bd
วิธีทา สมมติว่า a | b และ c | d
ดังนั้น มีจานวนเต็ม q และ q ที่ทาให้ b  qa และ d  qc
ทาให้ bd  (qa)(qc)  (qq)(ac)
เพราะว่า qq เป็นจานวนเต็ม ดังนั้น ac | bd #
ตัวอย่าง จงแสดงว่า 3 | (a3  a) เมื่อ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ
วิธีทา ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ
สังเกตว่า a3  a  a(a 2  1)  a(a  1)(a  1)
โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะมีจานวนเต็ม q และ r ซึ่ง
a  3q  r โดยที่ r  0, 1 หรือ 2
กรณี 1 r  0 เราได้ว่า 3 | a ทาให้ 3 | a(a  1)(a  1)
กรณี 2 r  1 นั่นคือ a  3q  1
ทาให้ a  1  3q ดังนั้น 3 | (a  1) ส่งผลให้ 3 | a(a  1)(a  1)
กรณี 3 r  2 นั่นคือ a  3q  2
ทาให้ a  1  3q  3  3(q  1) ดังนั้น 3 | (a  1) ส่งผลให้ 3 | a(a  1)(a  1)
จากทุกกรณี เราสรุปได้ว่า 3 | (a3  a) #
ตัวอย่าง จงแสดงว่าจานวนคู่ที่ไม่เท่ากับศูนย์หารจานวนคี่ไม่ลงตัว
วิธีทา ให้ a เป็นจานวนคู่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ b เป็นจานวนคี่
จะได้ว่า a  2k และ b  2  1 เมื่อ k และ เป็นจานวนเต็ม
สมมติว่า a หาร b ลงตัว จะได้ว่า มีจานวนเต็ม q ซึ่ง b  qa
ทาให้ 2  1  q(2k )  2(qk ) ดังนั้น 1  2(qk )  2  2(qk  )
เพราะว่า qk  เป็นจานวนเต็ม ทาให้สรุปได้ว่า 2 |1 ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งเพราะว่า 2  1
เพราะฉะนั้น จานวนคู่ที่ไม่เท่ากับศูนย์หารจานวนคี่ไม่ลงตัว #
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรือง การหารลงตัว
่
1. จงแสดงว่า 9 | 0, 4 | (68), 5 | 225, (17) | 340, ( 6) | ( 174)
2. จงแสดงว่า 8 | (14), 12 | 5, (7) | 40
3. กาหนดให้ a, b และ d เป็นจานวนเต็ม
จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ก) ถ้า d | a2 แล้ว d | a
ข) ถ้า d | (a  b) และ d | a แล้ว d | b
ค) ถ้า d | (2a  b) และ d | (5a  2b) แล้ว d | a
4. จงแสดงว่า
ก) ถ้า a |1 แล้ว a  1
ข) ถ้า a | b และ b | a แล้ว a  b
5. จงแสดงว่า ถ้า a เป็นจานวนคี่ แล้ว 8 | (a 2  1)
6. ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ จงแสดงว่าสมาชิกในเซต {a, a  2, a  4} ต้องมีตัวที่หารด้วย 3 ลงตัว
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. จานวนเฉพาะ
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. จานวนเฉพาะ
เราทราบมาแล้วว่า สาหรับจานวนเต็มบวก a  1 ใด ๆ จะได้ว่า 1 | a และ a | a โดยอาจมีหรือไม่มี
จานวนเต็มบวกอื่นอีกที่หาร a ลงตัว ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาจานวนเต็มบวก p  1 ซึ่งมีเพียง 1 และ p
เท่านั้นที่เป็นจานวนเต็มบวกที่หาร p ลงตัว ซึ่งเราเรียกว่า จ้ำนวนเฉพำะ
สาหรับจานวนเต็ม a และ b ถ้า b | a จะได้ว่า (b) | a ดังนั้นเราให้นิยามจานวนเฉพาะดังนี้
หลังจากผู้เรียนได้ศึกษาบทนิยามของจานวนเฉพาะ และ จานวนประกอบพร้อมทั้งตัวอย่างจากสื่อ
การสอนแล้ว ผู้สอนควรให้ผู้เรียนยกตัวอย่างจานวนเฉพาะและจานวนประกอบเพิ่มเติม ทั้งนี้ผู้สอนควรย้าว่า 1
ไม่เป็นทั้งจานวนเฉพาะและจานวนประกอบ และจากบทนิยามเราพิจารณาจานวนเฉพาะที่เป็นจานวนเต็มบวก
เท่านั้น
หำกผู้เรียนสงสัยเกี่ยวกับข้อสังเกต
ของจ้ำนวนประกอบนี้ ผู้สอนอำจอธิบำยว่ำ
ถ้ำ n เป็นจ้ำนวนประกอบ แสดงว่ำ n ย่อม
มีตัวหำรที่เป็นจ้ำนวนเต็มบวก d นอกจำก
1 และ n และจำก d | n จะได้ว่ำ d  n
โดยยกตัวอย่ำงจ้ำนวนประกอบเช่น 18 มี
ตัวหำรอื่นที่มำกกว่ำ 1 และน้อยกว่ำ 18 เช่น
2,3, 9 เป็นต้น
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในเรื่องต่อมาจะกล่าวถึงการเขียนจานวนเต็มที่มากกว่า 1 เป็นผลคูณของจานวนเฉพาะ
พร้อมทั้งยกตัวอย่างการเขียน 700 เป็นจานวนเฉพาะโดยการตั้งหารสั้น เพื่อนาไปสู่กรณีทั่วไป ซึ่งเรียกว่า
“ทฤษฎีบทหลักมูลทำงเลขคณิต (Fundamental Theorem of Arithmetic)”
เรำอำจเขียนทฤษฎีบทหลักมูลทำงเลข
คณิตในรูปสัญลักษณ์ได้ดังแสดงไว้ในสื่อกำร
สอน ซึ่งผู้สอนอำจให้ผู้เรียนกลับไปดูตัวอย่ำง
กำรเขียน 700
เพื่อ ผู้เรียน ภำพ ทฤษฎีบทหลักมูล
ทำงเลขคณิตชัดเจนยิ่งขึ้น
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจเพิ่มเติมทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับจานวนเฉพาะอย่างง่าย ซึ่งเป็นผลจากทฤษฎีบทหลักมูลทาง
เลขคณิตให้ผู้เรียนที่มีความสามารถสูง ดังนี้
ทฤษฎีบท A ทุกจานวนเต็มบวก n  1 จะมีจานวนเฉพาะ p ที่ p | n
พิสูจน์ เนื่องจาก n  1 โดยทฤษฎีบทหลักมูลทางเลขคณิต จะได้วา
่
n  p1k1 p2 2
k
prkr
โดยที่ pi เป็นจานวนเฉพาะ และ ki เป็นจานวนเต็มบวก ทุก i  1, 2, ,r
ดังนั้น p1 | n #
ทฤษฎีบท B มีจานวนเฉพาะอยู่เป็นจานวนอนันต์ตัว
พิสูจน์ สมมติว่ามีจานวนเฉพาะอยู่ r ตัว ได้แก่ p1 , p2 , , pr
ให้ N  p1 p2 pr  1 ดังนั้น N  1
โดยทฤษฎีบท A จะมีจานวนเฉพาะ p ที่ p | N
เพราะฉะนั้น p { p1 , p2 , , pr } ทาให้ได้ว่า p | p1 p2 pr
ดังนั้น จะได้ว่า p | ( N  p1 p2 pr ) เพราะฉะนั้น p |1 ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง
จึงสรุปได้ว่า มีจานวนเฉพาะอยู่เป็นจานวนอนันต์ตัว #
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทฤษฎีบท C ถ้า n เป็นจานวนประกอบ แล้วจะมีจานวนเฉพาะ p  n ที่ p|n
พิสูจน์ ให้ n เป็นจานวนประกอบ
ดังนั้น n  1 และ มีจานวนเต็ม d ซึ่ง 1  d  n และ d | n
เพราะฉะนั้น มีจานวนเต็ม e  1 ซึ่ง n  de
สมมติว่า d  n และ e  n ดังนั้น de  n ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง
เพราะฉะนั้น d  n หรือ e  n
โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่า d  n
เนื่องจาก d  1 ดังนั้น มีจานวนเฉพาะ p ที่ p | d ส่งผลให้ p | n
เพราะฉะนั้น p  n และ p | n #
หมายเหตุ จากทฤษฎีบทข้างต้นจะได้ว่า ถ้าจานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a ทุกจานวนหาร a
ไม่ลงตัว แล้วจะได้ว่า a เป็นจานวนเฉพาะ
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่า 149 เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทา จานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 149  169  13 คือ 2,3,5, 7 และ 11
และทุกตัวหาร 149 ไม่ลงตัว ดังนั้น 149 เป็นจานวนเฉพาะ #
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไป ผู้สอนอาจพูดถึงการหาจานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เมื่อกาหนดจานวนเต็มบวก
n มาให้ โดยอาศัยทฤษฎีบท C วิธีการนี้เรียกว่า ตะแกรงเอรำทอสเทนีส (Sieve of Eratosthenes) ซึ่งมี
ขั้นตอนดังนี้
1. ให้ p1  2, p2  3, p3  5, , pk เป็นจานวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n
2. เขียนจานวนเต็มตั้งแต่ 2 ถึง n
3. วงกลม p1  2 แล้วลบจานวนเต็มทุกตัวในข้อ 2. ที่หารด้วย 2 ลงตัว ยกเว้น 2
4. วงกลม p2  3 แล้วลบจานวนเต็มทุกตัวในข้อ 2. ที่หารด้วย 3 ลงตัว ยกเว้น 3
5. วงกลม p3  5 แล้วลบจานวนเต็มทุกตัวในข้อ 2. ที่หารด้วย 5 ลงตัว ยกเว้น 5
ทาเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนถึง pk
“จ้ำนวนเต็มบวกที่เหลืออยู่จะเป็นจ้ำนวนเฉพำะทั้งหมดที่น้อยกว่ำหรือเท่ำกับ n ”
ตัวอย่าง จงหาจานวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100
วิธีทา จานวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100  10 คือ 2,3, 5 และ 7
เขียนจานวนเต็มตั้งแต่ 2 ถึง 100 แล้วลบจานวนที่หารด้วย 2,3, 5 และ 7 ลงตัวที่ไม่ใช่ตัวมันเอง
จะได้จานวนที่เหลืออยู่คือจานวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง จานวนเฉพาะ
1. จานวนต่อไปนี้จานวนใดบ้างเป็นจานวนเฉพาะ จานวนใดบ้างเป็นจานวนประกอบ
73, 207, 503, 1023, 1499, 2011, 2525
2. จงเขียนจานวนต่อไปนี้ในรูปผลคูณของจานวนเฉพาะ
604, 925, 4022, 8259, 10101, 10!
3. ให้ n เป็นจานวนเต็มบวก จงแสดงว่า ถ้า n3  1 เป็นจานวนเฉพาะ แล้ว n  1
4. ให้ n เป็นจานวนเต็มบวก จงแสดงว่า ถ้า n4  n2  1 เป็นจานวนเฉพาะ แล้ว n  1
5. จงหาจานวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 200
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
สาระสาคัญของทฤษฎีจานวนเบื้องต้น (ตอนที่ 1) ประกอบด้วยเนื้อหาหลักที่ผู้สอนควรย้าแก่ผู้เรียน
ทั้งหมด 4 เรื่องคือ
ผู้สอนอำจย้้ำกำรจ้ำขั้นตอนวิธีกำรหำรง่ำย ๆ ว่ำ “ตัวตั้ง = (ตัวหำร ผลหำร) + เศษเหลือ”
โดยที่เศษเหลือจะต้องมีค่ำมำกกว่ำหรือเท่ำกับศูนย์และน้อยกว่ำค่ำสัมบูรณ์ของตัวหำร และในกรณีที่
กำรหำรมีเศษเหลือเป็นศูนย์ เรำกล่ำวว่ำเป็น “กำรหำรลงตัว” ผู้สอนอำจย้้ำเกี่ยวกับสัญลักษณ์อีกครั้ง
ว่ำ กำรหำรลงตัวใช้สัญลักษณ์ “ | ” ไม่ใช่ “ / ”
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.
4.
ผู้สอนทบทวนนิยำมของจ้ำนวนเฉพำะ และ จ้ำนวนประกอบ พร้อมทั้งยกตัวอย่ำง
กำรเขียนจ้ำนวนเต็มบวกที่มำกกว่ำ 1 เป็นผลคูณของจ้ำนวนเฉพำะ โดยอำจยกตัวอย่ำงที่มี
ควำมซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่น 31752  23  34  7 2 หรือ 44733  313 31 37 เป็นต้น
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกสารอ้างอิง
1. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรำยวิชำเพิ่มเติมคณิตศำสตร์
เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 4 – 6 กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ ตำมหลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้น
พื้นฐำน พุทธศักรำช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สุเทพ จันทร์สมศักดิ์. (2533). ระบบจ้ำนวน. กรุงเทพฯ: ห้างหุ้นส่วนจากัดพิทักษ์การพิมพ์.
3. อัจฉรา หาญชูวงศ์. (2542). ทฤษฎีจ้ำนวน. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหาร a  2345 ด้วย b  157
2. จงแสดงว่าผลบวกของจานวนคู่สองจานวนย่อมเป็นจานวนคู่
3. จงหาจานวนสมาชิกในเซต {201, 202, ,300} ที่หารด้วย 4 ลงตัว
4. ถ้า bc | ac และ c เป็นจานวนเต็มโดยที่ c  0 จงแสดงว่า b | a
5. ถ้า m | (a  b) และ m | (c  d ) จงแสดงว่า m | (ac  bd )
6. ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ จงแสดงว่า 3 | a(2a 2  7)
7. จงตรวจสอบว่า 229 เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่ เพราะเหตุใด
8. จงเขียน 4028 ในรูปผลคูณของจานวนเฉพาะ
9. ให้ n เป็นจานวนเต็มบวก จงแสดงว่า ถ้า n 4  4 เป็นจานวนเฉพาะ แล้ว n  1
10. จานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีทั้งหมดกี่จานวน
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ขั้นตอนวิธีการหาร ชุดที่ 1
1. q  9, r  5 2. q  46, r  5 3. q  12, r  10
4. q  18, r  1 5. q  36, r  0
เฉลยแบบฝึกหัด
เรือง ขั้นตอนวิธีการหาร ชุดที่ 2
่
1. ให้ a เป็นจานวนคู่ และ b เป็นจานวนคี่
จะได้ว่า a  2k และ b  2  1 เมื่อ k , เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น a  b  2k  (2  1)  2(k  )  1
เพราะว่า k  เป็นจานวนเต็ม ทาให้สรุปได้ว่า a  b เป็นจานวนคี่
2. ให้ a เป็นจานวนคู่ และ b เป็นจานวนคี่
จะได้ว่า a  2k และ b  2  1 เมื่อ k , เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น ab  2k (2  1)  2(2k  k )
เพราะว่า 2k k เป็นจานวนเต็ม ทาให้สรุปได้ว่า ab เป็นจานวนคี่
3. เนื่องจากเมื่อหารจานวนเต็ม a ด้วย 6 มีเศษเหลือเป็น 3
โดยขั้นตอนวิธีการหารเราเขียน a ได้ในรูป a  6q  3 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น 2a  5  2(6q  3)  5  12q  11
ซึ่งจัดรูปได้เป็น 2a  5  6(2q  1)  5
เพราะว่า 2q  1 เป็นจานวนเต็ม ดังนั้น เศษเหลือจากการหาร 2a  5 ด้วย 6 มีค่าเป็น 5
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. โดยขั้นตอนวิธีการหาร เมื่อหาร a ด้วย 5 จะมีเศษเหลือที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4
กรณี 1 เศษเหลือเป็น 0 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  5q เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a 2  (5q)2  5(5q 2 ) ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 5 จะมีเศษเหลือเป็น 0
กรณี 2 เศษเหลือเป็น 1 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  5q  1 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a2  (5q  1)2  25q2  10q  1  5(5q2  2q)  1
ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 5 จะมีเศษเหลือเป็น 1
กรณี 3 เศษเหลือเป็น 2 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  5q  2 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a 2  (5q  2)2  25q 2  20q  4  5(5q 2  4q)  4
ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 5 จะมีเศษเหลือเป็น 4
กรณี 4 เศษเหลือเป็น 3 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  5q  3 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a 2  (5q  3)2  25q 2  30q  9  5(5q 2  6q  1)  4
ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 5 จะมีเศษเหลือเป็น 4
กรณี 5 เศษเหลือเป็น 4 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  5q  4 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a2  (5q  4)2  25q2  40q  16  5(5q 2  8q  3)  1
ดังนั้นเมื่อหาร a 2 ด้วย 5 จะมีเศษเหลือเป็น 1
จากทั้ง 5 กรณี สรุปได้ว่า เศษเหลือจากการหาร a 2 ด้วย 5 มีค่าเป็น 0,1 หรือ 4
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. โดยขั้นตอนวิธีการหาร เมื่อหาร a ด้วย 3 จะมีเศษเหลือที่เป็นไปได้คือ 0, 1 หรือ 2
กรณี 1 เศษเหลือเป็น 0 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
a(a 2  2) 3q((3q) 2  2)
จะได้   q(9q 2  2) เป็นจานวนเต็ม
3 3
กรณี 2 เศษเหลือเป็น 1 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q  1 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
a(a 2  2) (3q  1)((3q  1)2  2)
จะได้   (3q  1)(3q 2  2q  1) เป็นจานวนเต็ม
3 3
กรณี 3 เศษเหลือเป็น 2 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q  2 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
a(a 2  2) (3q  2)((3q  2) 2  2)
จะได้   (3q  2)(3q 2  4q  2) เป็นจานวนเต็ม
3 3
a ( a 2  2)
จากทั้ง 3 กรณี สรุปได้ว่า เป็นจานวนเต็ม
3
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การหารลงตัว
1. 0  0  9,  68  (17)  4, 225  (45)  5, 340  (20)  (17),  174  29  (6)
2. 14  (2)  8  2, 5  0 12  5, 40  (5)(7)  5
3. ก) ผิด เช่น 4 | 62 แต่ 4 | 6
ข) ถูก เนื่องจาก d | (a  b) และ d | a
โดยทฤษฎีบทข้อ (5) จะได้ว่า d | (a  b)  a ดังนั้น d | b
ค) ถูก เนื่องจาก d | (2a  b) และ d | (5a  2b)
โดยทฤษฎีบทข้อ (5) จะได้ว่า d | ((2a  b)(2)  (5a  2b)) ดังนั้น d | a
4. ก) สมมติว่า a |1 โดยทฤษฎีบทข้อ (4) a 1
จากทฤษฎีบทข้อ (1) เราได้ว่า 1 | a ดังนั้น โดยทฤษฎีบทข้อ (4) จะได้ 1  a
เพราะฉะนั้น a  1 ทาให้ได้ว่า a  1
ข) สมมติว่า a | b และ b | a
โดยทฤษฎีบทข้อ (5) เราได้ว่า a  b และ b  a
ดังนั้น a  b ทาให้ได้ว่า a  b
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. สมมติว่า a เป็นจานวนคี่
ดังนั้น a  2k  1 เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
เพราะฉะนั้น a 2  1  (2k  1)2  1  (4k 2  4k  1)  1  4k (k  1)
เนื่องจาก k เป็นจานวนเต็ม ทาให้ได้ว่า k หรือ k 1 ต้องเป็นจานวนคู่
ดังนั้น k (k  1) เป็นจานวนคู่ นั่นคือ k (k  1)  2q เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
ทาให้ได้ว่า a 2  1  8q เพราะฉะนั้น 8 | (a 2  1)
6. โดยขั้นตอนวิธีการหาร เมื่อหาร a ด้วย 3 จะมีเศษเหลือที่เป็นไปได้คือ 0, 1 หรือ 2
กรณี 1 เศษเหลือเป็น 0 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม นั่นคือ 3 | a
กรณี 2 เศษเหลือเป็น 1 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q  1 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a  2  (3q  1)  2  3q  3  3(q  1) นั่นคือ 3 | (a  2)
กรณี 3 เศษเหลือเป็น 2 เราสามารถเขียน a ได้ในรูป a  3q  2 เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a  4  (3q  2)  4  3q  6  3(q  2) นั่นคือ 3 | (a  4)
จากทั้ง 3 กรณี สรุปได้ว่า มีสมาชิกในเซต {a, a  2, a  4} ที่หารด้วย 3 ลงตัว
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง จานวนเฉพาะ
1. 73, 503, 1499, 2011 เป็นจานวนเฉพาะ และ 207, 1023, 2525 เป็นจานวนประกอบ
2. 604  22 151, 925  52  37, 4022  2  2011, 8259  3  2753,
10101  3  7 13  37, 10!  28  34  52  7
3. เมื่อ n  1 เราได้ว่า n3  1  2 เป็นจานวนเฉพาะ
เนื่องจาก n3  1  (n  1)(n2  n  1)
สมมติว่า n  1 จะได้ n 1  2 และ n 2  n  1  2
ดังนั้น n3  1 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ เมื่อ n  1
4. เมื่อ n  1 เราได้ว่า n4  n2  1  3 เป็นจานวนเฉพาะ
เนื่องจาก n4  n2  1  (n2  n  1)(n2  n  1)
สมมติว่า n  1 จะได้ n 2  n  1  2 และ n 2  n  1  2
ดังนั้น n4  n2  1 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ เมื่อ n  1
5. โดยใช้วิธีตะแกรงเอราทอสเทนีส เราได้ว่า จานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 200 คือ
2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47,53,59, 61, 67, 71, 73, 79,83,89,97,101,103,
107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. q  14 และ r  147
2. ให้ a และ b เป็นจานวนคู่
จะได้ว่า a  2k และ b  2 เมื่อ k , เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น a  b  2k  2  2(k  )
เพราะว่า k  เป็นจานวนเต็ม ทาให้สรุปได้ว่า a  b เป็นจานวนคู่
3. เนื่องจานวนที่ 4 หารลงตัวสามรถเขียนได้ในรูป 4k เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
สมมติว่า 4k {201, 202, ,300} ดังนั้น 201  4k  300
ทาให้ได้ว่า k ต้องเป็นจานวนเต็มโดยที่ 50.25  k  75
เพราะฉะนั้นในเซต {201, 202, ,300} มีจานวนเต็มที่ 4 หารลงตัวทั้งหมด 25 ตัว
4. สมมติว่า bc | ac และ c เป็นจานวนเต็มโดยที่ c  0
ดังนั้น มีจานวนเต็ม q ซึ่ง ac  qbc
เนื่องจาก c  0 จะได้ว่า a  qb เพราะฉะนั้น b | a
5. สมมติว่า m | (a  b) และ m | (c  d )
ดังนั้น a  b  mk และ c  d  m เมื่อ k , เป็นจานวนเต็ม
ทาให้ได้ว่า ac  bc  mkc และ bc  bd  bm
เพราะฉะนั้น (ac  bc)  (bc  bd )  mkc  bm
นั่นคือ ac  bd  m(kc  b )
เพราะว่า kc  b เป็นจานวนเต็ม ดังนั้น เราสรุปได้ว่า m | (ac  bd )
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6. ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ
โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะมีจานวนเต็ม q และ r ซึ่ง a  3q  r โดยที่ r  0, 1 หรือ 2
กรณี 1 r  0 เราได้ว่า a  3q ทาให้ a(2a 2  7)  3q(2(3q)2  7) ดังนั้น 3 | a(2a 2  7)
กรณี 2 r  1 นั่นคือ a  3q  1
ทาให้ a(2a 2  7)  (3q  1)(2(3q  1)2  7)  3(3q  1)(6q 2  4q  3) ดังนั้น 3 | a(2a 2  7)
กรณี 3 r  2 นั่นคือ a  3q  2
ทาให้ a(2a 2  7)  (3q  2)(2(3q  2)2  7)  3(3q  2)(6q 2  8q  5)
ดังนั้น 3 | a(2a 2  7)
จากทุกกรณี เราสรุปได้ว่า 3 | a(2a 2  7)
7. จานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 229  256  16 คือ 2,3,5, 7,11 และ 13
และทุกตัวหาร 229 ไม่ลงตัว ดังนั้น 229 เป็นจานวนเฉพาะ
8. 4028  22 19  53
9. เมื่อ n  1 เราได้ว่า n 4  4  5 เป็นจานวนเฉพาะ
เนื่องจาก n4  4  (n2  2n  2)(n2  2n  2)
สมมติว่า n  1 จะได้ n 2  2n  2  2 และ n2  2n  2  2
ดังนั้น n 4  4 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ เมื่อ n  1
10. เนื่องจาก 210  2  3  5  7
ดังนั้น ถ้า m | 210 จะได้ว่า m  2a3b5c 7 d เมื่อ 0  a, b, c, d  1
เพราะฉะนั้น ตัวหารของ 210 มีทั้งหมด 16 ตัว คือ
1, 2, 3, 5, 7, 2  3, 2  5, 2  7, 3  5, 3  7, 5  7, 2  3  5, 2  3  7, 2  5  7, 3  5  7, 2  3  5  7
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัวหารร่ มน้อย
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
40