1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ลาดับและอนุกรม
(เนื้อหาตอนที่ 2)
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
โดย
อาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน และอาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้ สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ล าดับและ
อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้าย
ของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ลาดับและอนุกรม (การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/6)
หัวข้อย่อย 1. ทบทวนความรู้
2. การประยุกต์ลาดับเลขคณิต
3. การประยุกต์ลาดับเรขาคณิต
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถประยุกต์ใช้ลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตในการแก้โจทย์ปัญหาได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายกระบวนการแก้ปัญหา และนากระบวนการแก้ปัญหาไปใช้ได้
2. แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตได้
3. เชื่อมโยงความรู้เรื่องที่เกี่ยวข้องมาใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลาดับเลขคณิตและลาดับ
เรขาคณิตได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ทบทวนความรู้
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ทบทวนความรู้
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะทบทวนความรู้ที่จะใช้ในการศึกษาเรื่องการประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
โดยเริ่มต้นที่ความหมายของลาดับเลขคณิต ความหมายของผลต่างร่วม สูตรพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต
ความหมายของลาดับเรขาคณิต ความหมายของอัตราส่วนร่วม สูตรพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต
ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ตรวจสอบว่าผู้เรียนเข้าใจความหมายและสูตรของพจน์ที่ n ของลาดับ
เลขคณิตและลาดับเรขาคณิต ซึ่งเป็นการเตรียมผู้เรียนให้พร้อมที่จะแก้โจทย์ปัญหาต่างๆ ที่ต้องประยุกต์ใช้ความรู้
ดังกล่าว นอกจากนี้ครูอาจทบทวนความรู้อื่นๆ ที่ผู้เรียนจะนามาใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้
ลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตที่จาเป็น เช่น การแก้ระบบสมการ การแก้อสมการ เป็นต้น
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การประยุกต์ลาดับเลขคณิต
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การประยุกต์ลาดับเลขคณิต
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาโจทย์ปัญหาต่างๆ ที่ต้องประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องลาดับเลขคณิต โดยสื่อการ
สอนนี้ จะนาเสนอวิธีในการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหา นั่นคือ การนาเสนอโจทย์แต่ละข้อจะ
เริ่มต้นด้วยการทาความเข้าใจโจทย์โดยวิเคราะห์ว่าสิ่งที่โจทย์กาหนดให้และสิ่งที่โจทย์ต้องการหาคืออะไร เพื่อ
พิจารณาว่าสิ่งเหล่านั้นให้ข้อมูลใดที่จะช่วยในการแก้ปัญหา และจะดาเนินการในการแก้ปัญหาด้วยวิธีใด หลังจาก
นั้นจะเป็นดาเนินการแก้ปัญหาจนได้คาตอบที่โจทย์ต้องการ และตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคาตอบโดย
การตรวจสอบจากข้อมูลที่โจทย์กาหนดให้ ดังนั้นการเริ่มต้นโจทย์แต่ละข้อ ครูอาจเริ่มด้วยการเปิดสื่อเฉพาะส่วน
ของโจทย์ก่อน แล้วให้ผู้เรียนฝึกวิเคราะห์สิ่งที่โจทย์กาหนดให้ และสิ่งที่โจทย์ถาม รวมถึงลองหาแนวทางการ
แก้ปัญหาด้วยตนเองก่อน จึงจะเปิดสื่อการสอนต่อไป
สาหรับโจทย์ปัญหาข้อที่ 1 เมื่อครูเปิดสื่อการสอนส่วนที่เป็นโจทย์แล้ว ครูถามนักเรียนเกี่ยวกับสิ่งที่โจทย์
กาหนดให้คือ กาหนดให้ 200, 182, 164, 146, … เป็นลาดับเลขคณิตและสิ่งที่โจทย์ต้องการให้หาคือ พจน์แรกของ
ลาดับที่เป็นจานวนจริงลบ ครูอาจถามผู้เรียนถึงความหมายของสิ่งที่โจทย์ต้องหา ซึ่งก็คือการหาค่า n ตัวแรกที่ทาให้
พจน์ที่ n หรือ an มีค่าน้อยกว่า 0 เพื่อผู้เรียนจะเห็นแนวทางในการแก้ปัญหาที่ต้องใช้ความรู้เรื่องการแก้อสมการ
หลังจากสื่ออธิบายถึงการแก้อสมการหาค่า n แล้วนั้น ครูอาจค้างหน้าจอของสื่อไว้ในช่วงนี้ เพื่ออธิบายเรื่องการแก้
อสมการในข้อนี้ให้กับผู้เรียนเพื่อความชัดเจนอีกครั้ง เนื่องจากมีจุดที่ผู้เรียนพึงระวังในการแก้อสมการ คือ การ
เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการเมื่อมีการคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจานวนจริงลบ นอกจากนี้ครูอาจซักถาม
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นักเรียนเกี่ยวกับคาตอบหรือค่า n ที่โจทย์ต้องการหาว่ามีควรค่าเท่ากับเท่าใด เพราะจากการแก้อสมการพบว่าค่าของ
218
n จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ ซึ่งไม่ใช่จานวนเต็ม เมื่อผู้เรียนเข้าใจและตอบคาถามของครูได้แล้วจึงเปิดสื่อ
18
ต่อไป
สาหรับการตรวจคาตอบของโจทย์ข้อนี้ คือการตรวจสอบว่าพจน์ที่ 13 เป็นพจน์แรกของลาดับที่เป็นจานวนจริงลบ
จริงหรือไม่ นอกจากพิจารณาว่าพจน์ที่ 13 หรือ a13 เป็นจานวนจริงลบแล้ว ต้องตรวจสอบด้วยว่าพจน์ก่อนหน้าซึ่งก็
คือ พจน์ที่ 12 หรือ a12 มีค่าเป็นจานวนจริงบวก
สาหรับโจทย์ปัญหาข้อที่ 2 ครูชวนผู้เรียนวิเคราะห์โจทย์ โดยโจทย์กาหนดให้ลาดับ 32, 28, 24, 20, … เป็นลาดับ
เลขคณิต และสิ่งที่โจทย์ต้องการหาคือจานวน -96 เป็นสมาชิกของลาดับนี้หรือไม่ จากนั้นครูอาจลองถามผู้เรียนว่า
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้าจานวน -96 เป็นสมาชิกของลาดับนี้จะหมายถึงสิ่งใด เพื่อผู้เรียนจะได้เห็นแนวทางในการแก้ปัญหาจึงจะเปิดสื่อ
ต่อไป
หลังจากสื่อได้กล่าวถึงแนวทางในการโจทย์ปัญหาว่าจะใช้ความรู้เรื่องการแก้ระบบสมการสองตัวแปร โดยการ
สร้างระบบสมการสองตัวแปร คือ การสร้างสมการที่อยู่ในรูปของ a1 และ d จากเงื่อนไข 2 ข้อคือ a8 = 2a3 และ
a20 = 110 ครูอาจถามผู้เรียนว่าผู้เรียนจะสามารถหาสมการดังกล่าวได้อย่างไร และสมการที่ได้คือสมการใด
จากนั้นจึงเปิดสื่อในส่วนของวิธีทาต่อไป
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับโจทย์ปัญหาข้อที่ 4 ครูชวนผู้เรียนวิเคราะห์สิ่งที่โจทย์กาหนดให้ โดยเฉพาะมีส่วนที่นักเรียนต้องตีความ
โจทย์ให้ถูกต้องคือ ลาดับที่โจทย์กาหนดเป็นลาดับเลขคณิต สมมติให้เป็นลาดับ an ดังนั้นผลบวกของสามพจน์แรก
ของลาดับ คือ a1 + a2 + a3 และผลบวกของกาลังของแต่ละพจน์นั้น หมายถึงพจน์บวกของกาลังสองของสามพจน์
แรกของลาดับ ซึ่งก็คือ a12 + a22 + a32 (เนื่องจากผู้เรียนอาจตีความผิดเป็น (a1 + a2 + a3 )2 ได้)
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ครูอาจถามผู้เรียนว่าจากการแก้สมการที่ได้จากสิ่งที่โจทย์กาหนดให้นั้น พบว่า a = 4 และค่า d ที่หาได้มีสองค่า คือ
3 หรือ 3 จากข้อมูลดังกล่าว ผู้เรียนสามารถตอบคาถามของโจทย์ปัญหาข้อนี้ได้แล้วหรือไม่ ถ้าได้ ผู้เรียนคิดว่า
พจน์ทั่วไปของลาดับซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ถามนั้น จะมีกี่คาตอบ อะไรบ้าง
สาหรับโจทย์ข้อที่ 5 นี้ครูอาจให้ผู้เรียนลองบอกสมาชิกในเซต {100, 101, 102, ..., 600} ที่หารด้วย 8 ลงตัวว่า
ประกอบด้วยจานวนใดบ้าง แล้วให้ผู้เรียนสังเกตความสัมพันธ์จานวนที่หาได้ว่ามีลักษณะเช่นไร
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การประยุกต์ลาดับเลขคณิต
1. จงหาค่า a, b, c ที่ทาให้ 7, a, b, c, 29 เป็นลาดับเลขคณิต
2. ลาดับเลขคณิต 56, 47, 38, 29, … มีพจน์ที่มีค่าน้อยกว่า 275 อยู่กี่จานวน
3. ผลบวกของพจน์ที่ 9 และพจน์แรกที่เป็นจานวนเต็มลบของลาดับเลขคณิต 155, 142, 129, 116, … มีค่าเท่ากับ
เท่าใด
4. กาหนดให้ลาดับ a n เป็นลาดับเลขคณิตที่มี d  0 เป็นผลต่างร่วม ถ้าผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรก
ของลาดับเลขคณิตนีเ้ ท่ากับ 15 และ 80 ตามลาดับ แล้ว พจน์ที่เป็นจานวนเต็มลบที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ
– 289 มีจานวนเท่าใด
5. จานวนเต็มบวกที่มีค่าตั้งแต่ 150 ถึง 249 ที่หารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัว มีทั้งหมดกี่จานวน
6. ท่อนไม้กองหนึ่งวางเรียงกันเป็นชั้นๆ โดยกาหนดให้จานวนท่อนไม้ในแต่ละชั้นจะมากกว่าจานวนท่อนไม้ที่
วางอยู่ในชั้นบนที่อยู่ติดกันอยู่ 5 ท่อนเสมอ และชั้นล่างสุดมีจานวนท่อนไม้ 157 ท่อน
6.1 ถ้าชั้นบนสุดมีท่อนไม้วางอยู่ 32 ท่อน จงหาว่าท่อนไม้กองนี้ถูกวางไว้ทั้งหมดกี่ชั้น
6.2 ถ้าวางท่อนไม้ในลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จงหาว่าท่อนไม้กองนี้จะวางได้อย่างมากที่สุดกี่ชั้น และ
ชั้นบนสุดมีจานวนท่อนไม้ทั้งหมดกี่ท่อน
7. บริษัทแห่งหนึ่งรับพนักงานใหม่ ในอัตราเงินเดือนเริ่มต้น 9,500 บาท และเงินเดือนจะเพิ่มขึ้น 700 บาท ทุกๆ
สิ้นปี จงหาว่าพนักงานคนนี้ต้องทางานอย่างน้อยกี่ปีจึงจะได้เงินเดือนมากกว่า 15,000 บาท
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การประยุกต์ลาดับเรขาคณิต
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การประยุกต์ลาดับเรขาคณิต
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาที่เป็นการประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องลาดับเรขาคณิต โดยมี
วิธีในการนาเสนอเช่นเดียวกันกับหัวข้อเรื่องการประยุกต์ลาดับเลขคณิต ทั้งนี้ก่อนที่จะศึกษาสื่อเรื่องนี้ ครูอาจเน้น
ย้าความรู้พื้นฐานต่างๆ ของลาดับเรขาคณิตที่ใช้ในการแก้ปัญหาอีกครั้ง เช่น ความหมายของลาดับเรขาคณิต
อัตราส่วนร่วม สูตรพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต เป็นต้น
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากครูให้ผู้เรียนวิเคราะห์โจทย์ข้อที่ 9 เกี่ยวกับสิ่งที่โจทย์ต้องการหาและสิ่งที่โจทย์กาหนดให้แล้ว ครูอาจถาม
ผู้เรียนว่าจากโจทย์ที่ผ่านมานักเรียนจะใช้สูตรพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิตในการแก้ปัญหา ซึ่งนักเรียนจะต้อง
ทราบค่า a1 และค่า r ก่อน แต่ถ้าพิจารณาโจทย์ข้อนี้โจทย์ไม่มีข้อมูลดังกล่าวให้ นักเรียนคิดว่าจะแก้ปัญหาของโจทย์
นี้โดยวิธีใดจากสิ่งที่เราทราบเพียงสิ่งที่โจทย์กาหนดให้
ครูชวนผู้เรียนวิเคราะห์โจทย์ข้อที่ 10 โดยพิจารณาสิ่งที่โจทย์กาหนดให้และสิ่งที่โจทย์ต้องการหา หลังจากนั้นครูใช้
การถามตอบกับผู้เรียน เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจโจทย์มากขึ้น เช่น ถามว่าถ้าปัจจุบันประชากรของเมืองแห่งหนึ่งมี
100,000 คน และประชากรเพิ่มขึ้น 2% ทุกปี เมื่อสิ้นปีที่ 1 จะมีประชากรเพิ่มขึ้นกี่คน และถ้าจะหาจานวนประชากร
เมื่อสิ้นปีที่ 2 จะหาได้อย่างไร เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจว่าการหาจานวนประชากรเมื่อสิ้นปีที่ 2 จะต้องนาจานวน
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ประชากรทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 1 มาคานวณการเพิ่มประชากรอีก 2% จึงจะได้จานวนประชากรเมื่อสิ้นปีที่ 2 ไม่ใช่การ
คานวณจากจานวนประชากรเมื่อเริ่มต้น
ครูอาจอธิบายแผนภาพนี้เพิ่มเติมสาหรับผู้เรียนที่ไม่เข้าใจ เช่น ค่าของจานวนประชากรที่เพิ่มขึ้นเมื่อสิ้นปีที่ 2 การจัด
รูปสมการ 100,000 + 100,000(0.02) = 100,000(1.02) และการจัดรูปสมการ 100,000(1.02) + 100,000(1.02)(0.02)
= 100,000(1.02)2 แล้วอาจถามผู้เรียนว่า ผู้เรียนคิดว่าจานวนประชากรเมื่อสิ้นปีที่ 3 และจานวนประชากรเมื่อสิ้นปีที่
4 จะมีจานวนเท่าใด
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อสื่ออธิบายถึงการหาจานวนประชากรอีก 10 ปีข้างหน้า การแทนค่า n ด้วย 11 ในสูตรพจน์ทั่วไปของลาดับ
เรขาคณิตหรือหาค่า a11 ครูอาจหยุดหน้าจอไว้ก่อนเพื่อถามนักเรียนว่าเพราะเหตุใดสิ่งต้องการหาจึงเป็นค่าของ a11
จึงเปิดสื่อต่อไป
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การประยุกต์ลาดับเรขาคณิต
1. จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่สองและพจน์ที่ห้ามีค่าเท่ากับ -6 และ -162 ตามลาดับ
2. ลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกและผลคูณของสามพจน์ที่เรียงติดกันชุดหนึ่งของลาดับเป็น 7 และ 27
ตามลาดับ ถ้าลาดับเรขาคณิตดังกล่าวมีอัตราส่วนเป็นจานวนเต็ม จงหาสามพจน์ดังกล่าว
3. ลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีอัตราส่วนร่วมเป็นจานวนจริงบวก ถ้าผลบวกของพจน์แรกและพจน์ที่สองเป็น
160 และผลบวกของพจน์ที่สามและพจน์ที่สี่เป็น 10 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิตดังกล่าว
4. กาหนดให้ a1 , a 6 , a m เป็นพจน์แรก พจน์ที่ 6 และ พจน์ที่ m ของลาดับเลขคณิต 3, 9, 15, 21, …
ตามลาดับ ถ้า a1 , a 6 , a m เป็นพจน์สามพจน์ที่เรียงติดกันในลาดับเรขาคณิต แล้ว m มีค่าเท่าใด
4 2 1 1
5. จงหาค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทาให้พจน์ที่ n ของลาดับเรขาคณิต , , , มีค่าน้อยกว่า
5 5 5 1, 000
6. การศึกษาการกาจัดสารพิษชนิดหนึ่งจากโรงงานอุตสาหกรรมโดยการฝังไว้ใต้ดินและปล่อยให้สลายตัว
เองตามธรรมชาติ พบว่า ในแต่ละปีสารพิษดังกล่าวจะสลายตัวโดยมีปริมาณลดลงเหลือครึ่งหนึ่งจาก
ปริมาณเดิม และมีข้อมูลจากงานวิจัยว่า ปริมาณสารพิษดังกล่าวที่ต่ากว่า 1 กรัมในธรรมชาติจึงจะถือว่า
ปลอดภัย ถ้าโรงงานนี้ฝังสารพิษชนิดนี้ที่มีน้าหนัก 2 กิโลกรัมไว้นานเท่าใด จึงจะถือว่าดินบริเวณที่ฝัง
สารพิษมีความปลอดภัย
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. -196 เป็นสมาชิกในลาดับเลขคณิต -1, - 6, -11, …
ข. - 486 ไม่เป็นสมาชิกในลาดับเรขาคณิต 2, -6, 18, …
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ ก ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ ข ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ ก และ ข้อ ข ถูกทั้งคู่ 4. ข้อ ก และ ข้อ ข ผิดทั้งคู่
2. ให้ a, b, c, d เป็นสี่พจน์แรกในลาดับเรขาคณิต ถ้า b + c = 8 และ c + d = -16 แล้วจงพิจารณาข้อความ
ต่อไปนี้
ก. พจน์ที่ 5 ของลาดับเรขาคณิตนี้เท่ากับ 64
ข. พจน์ที่ n ของลาดับเรขาคณิตนี้ เท่ากับ a n  (2) n
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ ก ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ ข ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ ก และ ข้อ ข ถูกทั้งคู่ 4. ข้อ ก และ ข้อ ข ผิดทั้งคู่
3. ให้ลาดับ a n เป็นลาดับเลขคณิตที่มี a 8  a16  a14  24 และมี a12  a 2  30 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. จานวน - 2,012 เป็นสมาชิกอยู่ในลาดับเลขคณิตนี้
ข. มีจานวนเต็มบวก m ซึ่งทาให้ a m  m
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ ก ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ ข ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ ก และ ข้อ ข ถูกทั้งคู่ 4. ข้อ ก และ ข้อ ข ผิดทั้งคู่
4. ลาดับเลขคณิต ชุดหนึ่งมีผลต่างร่วมเป็น 4 ถ้าพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 10 ของลาดับเลขคณิตนี้เป็น
สามพจน์ที่เรียงติดกันในลาดับเรขาคณิต แล้วข้อใดต่อไปนี้กล่าวถูกต้อง
ก. ลาดับเลขคณิตนี้มีพจน์แรกเป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 10
ข. ลาดับเลขคณิตนี้มีพจน์ที่ 30 เท่ากับ ผลรวมของพจน์ที่ 15 กับ พจน์ที่ 13
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ข้อ ก ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ ข ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ ก และ ข้อ ข ถูกทั้งคู่ 4. ข้อ ก และ ข้อ ข ผิดทั้งคู่
5. ให้ a, b, c เป็นพจน์สามพจน์ที่เรียงติดกันในลาดับเรขาคณิตโดยที่ a  b  c และ abc  64
ถ้า a, b  6, c  3 เป็นพจน์สามพจน์ที่เรียงติดกันในลาดับเลขคณิต แล้ว 4a  2b  c มีค่าตรงกับข้อใด
1. 24 2. 28 3. 42 4. 73
6. จานวนเต็มบวกที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 900 ที่หารด้วย 3 ลงตัวแต่หารด้วย 4 ไม่ลงตัว มีเท่าใด
1. 66 2. 137 3. 200 4. 204
7. สมชาย สมปอง และ สมหญิง มีอายุ 10 ปี 18 ปี และ 30 ปี ตามลาดับ ถ้าอีก n ปีข้างหน้าอายุของคนทั้งสาม
จะเรียงติดกันเป็นลาดับเรขาคณิต แล้ว n อยู่ในช่วงใด
1. [3, 5] 2. [6, 8] 3. [9, 11] 4. [12, 15]
8. สมศรีขายกล้วยทอด โดยเริ่มในวันที่ 5 มีนาคม ในวันแรกขายได้กาไร 100 บาท และในวันต่อๆ ไปจะขายได้
กาไรเพิ่มขึ้นจากวันก่อนหน้าวันละ 10 บาททุกวัน วันใดของเดือนมีนาคมในข้อใดที่สมศรีขายกล้วยทอดได้
กาไรเฉพาะในวันนั้นเป็น 340 บาท
1. วันที่ 26 มีนาคม 2. วันที่ 27 มีนาคม 3. วันที่ 28 มีนาคม 4. วันที่ 29 มีนาคม
9. ในการตรวจเสากองหนึ่งซึ่งวางเรียงกันเป็นชั้นๆ พบว่า จานวนเสาในแต่ละชั้นจะมีมากกว่าจานวนเสาใน
ชั้นบนที่อยู่ติดกันเป็นจานวน 4 ต้นเสมอ ถ้าชั้นบนสุดมีเสา 81 ต้น และชั้นล่างสุดซึ่งอยู่ติดกับพื้นดินมีเสา
จานวน 397 ต้น จงหาว่าเสากองนี้วางซ้อนกันกี่ชั้น
1. 78 2. 79 3. 80 4. 81
10. กาหนดให้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n+1 เกิดจากการลากเส้นต่อจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รูปที่ n ถ้ากระบวนการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ และรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 มี
ความยาวรอบรูปเท่ากับ 1,024 เซนติเมตร แล้วรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 10 จะมีความยาวรอบรูปเป็นเท่าใด
1. 0.5 เซนติเมตร 2. 1 เซนติเมตร 3. 2 เซนติเมตร 4. 4 เซนติเมตร
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การประยุกต์ลาดับเลขคณิต
1. สามพจน์คือ 2, 11, 20
2. 37 พจน์
3. ผลบวกเท่ากับ 50
4. 97 จานวน
5. 67 จานวน
6. 6.1 26 ชั้น 6.2 วางได้มากที่สุด 32 ชั้นและชั้นบนสุดมีท่อนไม้ 2 ท่อน
7. 8 ปี
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การประยุกต์ลาดับเรขาคณิต
1. an = 2(3)n-1
2. 1, 3, 9
n 1
3. พจน์ทั่วไป คือ a n  128  1  หรือ
  a n  29  2n
4
4. m = 61
5. n = 11
6. ใช้เวลาอย่างน้อย 11 ปี
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 1 2. 1 3. 4 4. 3 5. 2
6. 3 7. 2 8. 4 9. 3 10. 3
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
(การหารลงตัวและตัวหารร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
การนับเบื้องต้น
.
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
32