Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม

4,697 views

Published on

63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม

  1. 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม (เนื้อหาตอนที่ 5) อนุกรม โดยอาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน และอาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  2. 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ - แนวคิดเรื่องลาดับ - ลาดับเลขคณิต - ลาดับเรขาคณิต3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต - การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต - การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ - การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ - ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย - ผลบวกย่อย - ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต - ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม - ความหมายของอนุกรม - ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม - การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต - ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม - ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม - ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม 1
  3. 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1) 9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง) คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้ สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ล าดับและ อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ ไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้าย ของคู่มือฉบับนี้ 2
  4. 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเรื่อง ลาดับและอนุกรม (การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต)หมวด เนื้อหาตอนที่ 5 (5/6)หัวข้อย่อย 1. ความหมายของอนุกรม 2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม 3. การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต 4. ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตจุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. เข้าใจความหมายของการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรม 2. สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้ 3. แก้ปัญหาโจทย์ประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตได้ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของอนุกรมได้ 2. อธิบายความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกได้ 3. อธิบายความหมายของผลบวกของอนุกรมได้ 4. ตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรมได้ 5. หาผลบวกของอนุกรม เมื่ออนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้า ได้ 6. ตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตและหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 7. แก้ปัญหาโจทย์ประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตได้ 3
  5. 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 4
  6. 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. ความหมายของอนุกรม 5
  7. 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. ความหมายของอนุกรม ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของอนุกรม และความหมายของอนุกรมจากัด และอนุกรมอนันต์ 6
  8. 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยครูสามารถนาตัวอย่างทั้งสองตัวอย่างที่ผ่านมา มาอธิบายประกอบเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจเกี่ยวกับการนิยามพจน์ที่ n ของอนุกรม 7
  9. 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม 8
  10. 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกและผลบวกของอนุกรม ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม โดยการให้ความหมายดังกล่าวจะใช้ความรู้เรื่องผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับที่ผู้เรียนได้ศึกษาแล้วในตอนก่อนหน้า ดังนั้นครูอาจเริ่มต้นด้วยการทบทวนความรู้เกี่ยวกับผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับ รวมถึงสูตรการหาผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตให้ผู้เรียนก่อน คือผลบวกย่อยn พจน์แรกของลาดับเลขคณิต n Sn   2a1  (n  1)d  หรือ Sn  n a1  a n  2 2เมื่อ a1 คือ พจน์แรก an คือ พจน์ที่ n และ d คือผลต่างร่วมผลบวกย่อยn พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต a1 (1  r n ) Sn  เมื่อ r 1 1 rโดยที่ a1 คือ พจน์แรก และ r คืออัตราส่วนร่วมครูเน้นกับผู้เรียนว่าเราสามารถคานวณค่าของผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับได้เสมอ และเราจะนาจานวนจริงที่ได้มาเขียนเรียงเป็นพจน์ต่างๆ เป็นลาดับใหม่ ซึ่งจะเรียกว่า ลาดับของผลบวกย่อยนั่นเอง 9
  11. 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยครูอาจอธิบายผู้เรียนเพิ่มเติมว่า การลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรมนั้น จะพิจารณาในกรณีที่เป็นอนุกรมอนันต์เท่านั้นเนื่องจากอนุกรมจากัดนั้นจะเป็นอนุกรมที่ลู่เข้า และสามารถหาผลบวกของอนุกรมได้เสมอ และการลู่เข้าและการลู่ออก 10
  12. 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยของอนุกรมอนันต์จะนิยามโดยพิจารณาการลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับของผลบวกย่อย นอกจากนี้ผลบวกของอนุกรม (เมื่ออนุกรมเป็นอนุกรมลู่เข้า) จะมีค่าเท่ากับลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยนั่นเอง จากนั้นครูอาจลองถามคาถามผู้เรียนก่อนที่จะเปิดสื่อต่อไปว่า จากนิยามข้างต้นถ้าผู้เรียนต้องการทราบว่าอนุกรมอนันต์a1  a 2  a 3   an  เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกนั้น จะมีขั้นตอนในการตรวจสอบอย่างไร 11
  13. 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยครูอาจทบทวนหรือใช้คาถามกับผู้เรียนว่าเพราะเหตุใดลาดับ 1, 0, 1, 0, 1, 0, หรือเมื่อเขียนในรูปพจน์  0 ; เมื่อ n เป็นจานวนคู่ทั่วไป คือลาดับ Sn= 1 + 1 + + 1)n =  จึงเป็นลาดับลู่ออก  1 ; เมื่อ n เป็นจานวนคี่ตัวอย่างทั้งสามต่อไป จะเป็นตัวอย่างของการตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรม รวมถึงการหาผลบวกของอนุกรม เมื่ออนุกรมเป็นอนุกรมลู่เข้าเช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้า ซึ่งผู้เรียนทราบวิธีการในการหาคาตอบแล้ว เพียงแต่ในการหาลาดับของผลบวกย่อยและหาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยของโจทย์ทั้งสามนี้จะซับซ้อนกว่า ดังนั้นครูอาจจะต้องมีการอธิบายซ้าในแต่ละตัวอย่างให้กับผู้เรียนอีกครั้งหลังจากดูสื่อแต่ละข้อ หรืออาจลองให้ผู้เรียนได้หาลาดับของผลบวกย่อย หรือหาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยด้วยตนเองในแต่ละข้อก่อนที่จะเปิดสื่อก็ได้ 12
  14. 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยหลังจากจบตัวอย่างที่ 3 ครูควรเน้นย้ากับผู้เรียนเกี่ยวกับการตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรม จะต้องพิจารณาจากลาดับของผลบวกย่อยเป็นหลัก มิเช่นนั้นอาจเกิดความคลาดเคลื่อนเช่นเดียวกับตัวอย่างการตรวจสอบการลู่เข้าของลาดับ 1, 0, 1, 0, 1, 0, 13
  15. 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกและผลบวกของอนุกรม1. จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรมต่อไปนี้ 1.1 81  27  9  3   35 n  1.2 1  5  25  125   5n 1  n 1 12 48 192 4 1.3 3      3(1) n    5 25 125 5 n 1 7 7 7 7 7 1 1.4         6 24 96 384 6 4 n 1 16 8 16  3  1.5  46     9 3 9 2 1.6 100  85  70  55   (115  15n)  19 9 29  5n 1.7 12  7    2 2 2 1.8 22  42  62  82   (2n)2  1.9 343  49  7  1   (1)n 1 74n  1.10 1  2  7  14   (n 2  2)  1.11 216  36  6  1   64 n  14
  16. 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1.12 1  4  21  56   (n 3  2n) 2. อนุกรมในข้อ 1 อนุกรมใดบ้างที่เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเป็นเท่าใด 15
  17. 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย3. การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต 16
  18. 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับการตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมีวิธีการพิจารณาโดยการสังเกตจากอัตราส่วนร่วม รวมถึงทราบสูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งในสื่อนี้จะนาเสนอโดยละการพิสูจน์ครูอาจอธิบายเพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจมากขึ้นโดยการแสดงที่มาของทั้งสองกรณีข้างต้นได้ โดยแยกพิจารณาเป็นกรณีดังนี้ กาหนดให้อนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 เป็นพจน์แรก และมี r เป็นอัตราส่วนร่วม นั่นคือ อนุกรมเรขาคณิตa 1  a 1r  a 1r 2   a 1r n  และเนื่องจากอนุกรมเป็นอนุกรมที่เกิดจากลาดับเรขาคณิต ดังนั้น a1  0กรณีที่ 1 เมื่อ | r | = 1 จะได้ว่า r = 1 หรือ r = 1 ถ้า r = 1 จะได้อนุกรมเรขาคณิต a1  a1  a1   a1  เมื่อพิจารณาลาดับของผลบวกย่อย จะได้ว่า ลาดับผลบวกย่อย คือ ลาดับ a1 , 2a1 , 3a1 , , na1 , และ n  na1 ไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็น limอนุกรมลู่ออกถ้า r = 1 จะได้อนุกรมเรขาคณิต a1  (a1 )  a1  (a1 )  เมื่อพิจารณาลาดับของผลบวกย่อย จะได้ว่าลาดับผลบวกย่อย คือ ลาดับ a1 , 0, a1 , 0, a1, และลิมิตของลาดับผลบวกย่อยไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็นอนุกรมลู่ออก 17
  19. 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยกรณีที่ 2 เมื่อ | r |  1 จะได้ว่าผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตหาได้จาก a1 (1  r n ) a1  a1  n Sn    r 1 r 1 r  1 r พิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย ถ้า | r | < 1 จะได้ว่า n r n  0 ทาให้ได้ว่า lim a1  a  a1 lim Sn  lim   1  rn  n  n  1 r  1 r  1 r a1ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ 1 r a1  a  ถ้า | r | > 1 จะได้ว่า lim Sn  lim   1  rn ไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตเป็น n  n  1 r  1 r อนุกรมลู่ออก 18
  20. 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตมากขั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้ตัวอย่างที่ 1 อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์ชุดหนึ่งมีพจน์แรกคือ 2 และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 4 จงหาอัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้วิธีทา ให้ S แทนผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต จากโจทย์ S = 4 และ a1  2 a1 จาก S = 1 r 2 4 = 1 r 4 (1 – r ) = 2 1 r = # 2 19
  21. 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่างที่ 2 อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์ชุดหนึ่ง มีพจน์ที่สองเท่ากับ 9 และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 100จงหาอนุกรมเรขาคณิตนี้วิธีทา ให้อนุกรม a1  a1r  a1r 2  a1r 3   a1r n 1  เป็นอนุกรมเรขาคณิต และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 100 9 a1 จากโจทย์ จะได้ a 1r  9 หรือ a1  และ 100  r 1 r 9 จะได้ 100  r หรือ 100r 2  100r  9  0 1 r (10r  9)(10r  1)  0 9 1 r= หรือ r= 10 10 9 กรณี r = จะได้ a1  10 10 1 กรณี r = จะได้ a1  90 10 n 1  9 ดังนั้น อนุกรมเรขาคณิตที่โจทย์ต้องการ คือ อนุกรม 10  9  81   10    หรือ 10  10  n 1 9  1 อนุกรม 90  9    90    # 10  10  20
  22. 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตอนุกรมเรขาคณิตที่กาหนดให้ต่อไปนี้ อนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ อนุกรมลู่ออก พร้อมหาผลบวกของอนุกรม (ถ้ามี) 1. 125  25  5  1   54  n  1 2. 100  10  1    (10)3 n  10 1 4 16 64 4n 1 3.       3 3 3 3 3 n 1  5 4. 8  20  50  125   8     2 3 3 3 3 (1) n 1 3 5.       4 16 64 256 4n n 1 3 3  1 6. 15  3     15     5 25  5 n 1 27 81 3 7. 15  9     15    5 25 5 1 7 49 343 7 n 1 8.       6 6 6 6 6 9. 6  36  216  1296   (1)n 1 6n  n 1 2 3 3 3 9 3 2 3 10.         3 2 8 32 34 21
  23. 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย4. ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต 22
  24. 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะแก้ปัญหาโจทย์ประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตโดยใช้ความรู้จากหัวข้อการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต การทำโจทย์แต่ละข้อ ครูอาจเริ่มด้วยการเปิดสื่อเฉพาะส่วนของโจทย์ก่อน แล้วให้ผู้เรียนวิเคราะห์สิ่งที่โจทย์กาหนดให้และสิ่งที่โจทย์ถาม รวมถึงลองหาแนวทางการแก้ปัญหาด้วยตนเองก่อน จึงจะเปิดสื่อต่อไป ครูอาจยกตัวอย่างโจทย์ประยุกต์เพิ่มเติมเกี่ยวกับทศนิยมซ้า ดังตัวอย่างต่อไปนี้ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนทศนิยมซ้า 4.7 ให้อยู่ในรูปเศษส่วนวิธีทา จาก 4.7 = 4.777... = 4  0.7  0.07  0.007  23
  25. 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย พิจารณาอนุกรม 0.7  0.07  0.007  จะเห็นว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1  0.7 และ r  0.1 เนื่องจาก | r | < 1 อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ a1 0.7 7 S = = = 1 r 1  0.1 9 7 ดังนั้น 4.7 = 4 9 43 = # 9ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนทศนิยมซ้า 0.316 ให้อยู่ในรูปเศษส่วนวิธีทา จาก 0.316 = 0.3161616... = 0.3  0.016  0.00016  0.0000016  พิจารณาอนุกรม 0.016  0.00016  0.0000016  จะเห็นว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1  0.016 และ r  0.01 เนื่องจาก | r | < 1 อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ a1 0.016 0.016 16 S = = = = 1 r 1  0.01 0.99 990 16 ดังนั้น 0.316 = 0.3  990 3 16 =  10 990 313 = # 990 24
  26. 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 25
  27. 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 26
  28. 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต1. จงหาค่าของ x ที่ทาให้อนุกรม 1  3x  9x 2  27x 3  เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกของอนุกรม 4 เท่ากับ 9 n 1 1 1 1  12. จงหาค่า x ที่ทาให้อนุกรม   x  3   x  3   x  3   x  3      x  3  2 3 4 n 2 4 8 16  2เป็นอนุกรมลู่เข้า รวมทั้งหาผลบวกของอนุกรมนี้3. จงเขียนทศนิยมซ้าต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 3.1 1.7 3.2 0.81 3.3 5.2314. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ a หน่วย รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปแรก รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง และสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด ถ้ากระบวนการเกิดอย่างต่อเนื่องไม่มีสิ้นสุด 35. ลูกปิงปองตกจากโต๊ะสูง 5 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกปิงปองตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นเป็นระยะ ของความสูงที่ 5ตกลงมา จงหาระยะทางทั้งหมดที่ลูกปิงปองเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง 27
  29. 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 28
  30. 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 29
  31. 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 30
  32. 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาเพิ่มเติม ครูอาจกล่าวถึงเนื้อหาเพิ่มเติมสาหรับผู้เรียนที่สนใจศึกษาในเรื่องอนุกรมในระดับอุดมศึกษาเพื่อให้เห็นความสัมพันธ์ของเนื้อหา เริ่มต้นที่การนิยามหรือการให้ความหมายอนุกรมจะมีความแตกต่างจากระดับมัธยมศึกษา กล่าวคือ ความหมายของอนุกรมในระดับมัธยมศึกษานั้น อนุกรมจะนิยามเป็นการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลาดับ ขณะที่ในระดับอุดมศึกษาความหมายของอนุกรมนั้น อนุกรมเป็นลาดับชนิดหนึ่ง คือเป็นลาดับของผลบวกย่อย โดยนิยามดังนี้นิยาม ให้ an เป็นลาดับของจานวนจริง และ S 1 = a1 S 2 = a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a3 n Sn= a1 + a2 + a3 + + an =  a k k 1เราเรียก Sn ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับ an และเรียกลาดับ Sn ว่าอนุกรมอนันต์ของจานวนจริง (หรือเรียก สั้นๆ ว่า อนุกรม) ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  a n หรือ a1  a 2  a 3   an  n 1 31
  33. 33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน1. อนุกรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ อนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้าพร้อมหาผลบวกของอนุกรม หรือ เป็นอนุกรมลู่ออก n 1 16 32  2 1. 1 12  8     12     3 9  3 n 1 15 3 3 12 15  4  1.2         16 4 5 25 16  5  n 1 27  3 1.3 100  30  9    100     10  10  n 1 125 5 1.4 16  20  25    16    4 4 1 1 1 1 1.5      3n 5  81 27 9 3 n 1 6 12 24  2 1.6 3     3    7 49 343  7 35 34 37  n 1.7 12    11    3 3 3 1.8 2  1  6  13   (n 2  3)  1 5 7 2n  1 1.9 1     3 3 3 3 2 2 2 2 1.10 2         1  2  1  2  n 1 1 2 1 2 2 3 n 1   2 3  1.11 1       3 9 27 3 1  cos 37   cos 37    cos 37    cos 37  n 1 1.12 2 3   32
  34. 34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2 3 n 1 a  a   a   a  1.13 1         เมื่อ a เป็นจานวนจริงที่มากกว่าศูนย์ a 1  a 1   a 1   a 1  x2. จงหาค่าของ x ที่ทาให้อนุกรม 2x  2x  x   เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกของอนุกรม 2 เท่ากับ 16 2x 22x 23x3. ถ้าอนุกรม 1     มีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 9 แล้ว  1  2x 1  2x    2 3 1  2x log 9 x   log 9 x    log 9 x    log 9 x   มีค่าเท่าใด 2 3 44. จงหาค่า a และ r เมื่อ 1 a  ar  ar 2  ar 3   ar n 1  = 3 1 a  ar  ar 2  ar 3   (1)n 1ar n 1  = 95. จงเขียนทศนิยมซ้าต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 5.1 3.8 5.2 0.2 7 5.3 1.5 3 66. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ p หน่วย รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สองเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปแรก รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สามเกิดจากเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สอง และสร้างรูปสามเหลี่ยมเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด ถ้ากระบวนการเกิดอย่างต่อเนื่องไม่มีสิ้นสุด 33
  35. 35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 27. ปล่อยลูกแทนนิสจากความสูง 10 ฟุต ลูกเทนนิสกระดอนขึ้นมา ของความสูงเดิมในแต่ละครั้ง 3 จงหาระยะเคลื่อนที่ทั้งหมดในแนวตั้งของลูกเทนนิส 34
  36. 36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 35
  37. 37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม 243   1   n 1 n1. 1. 1 ลาดับ 1     1.2 ลาดับ 5  1 2  3    4  5  4   14   1   n n 1.3 ลาดับ     1 1.4 ลาดับ 1      3  5     15   4     32   3   n 1.5 ลาดับ 1     1.6 ลาดับ n  215  15n  9  2    2 1.7 ลาดับ n 53  5n  1.8 ลาดับ 2 n(n  1)(2n  1) 4 3 2401   1   n(n  1)(2n  1) n 1.9 ลาดับ 1      1.10 ลาดับ  2n 8   7    6   n 1.11 ลาดับ 1296 1   1     1.12 ลาดับ 1  n 4  2n 3  7n 2  4n  5   6   42. อนุกรมในข้อ 1 ที่เป็นอนุกรมลู่เข้า ได้แก่ 243 อนุกรมในข้อ 1.1 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 2 อนุกรมในข้อ 1.3 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น  5 3 อนุกรมในข้อ 1.4 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 14 15 2401 อนุกรมในข้อ 1.9 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 8 อนุกรมในข้อ 1.11 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 1296 5 36
  38. 38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต 6251. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 42. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 1, 000 113. อนุกรมลู่ออก4. อนุกรมลู่ออก 35. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 5 756. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 6 757. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 28. อนุกรมลู่ออก9. อนุกรมลู่ออก 8 310. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 3 เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต 51. x มีค่าเท่ากับ 12 37
  39. 39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย2. ค่า x ที่ทาให้อนุกรมที่กาหนดลู่เข้า คือ x  (1,5) 3 x และอนุกรมที่กาหนดมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ x 1 5,1793. 3.1 16 3.2 9 3.3 9 11 9904. 8  4 2  a หน่วย5. 20 ฟุต เฉลยแบบฝึกหัดระคน 361. 1.1 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 5 75 1.2 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 16 1, 000 1.3 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 13 1.4 อนุกรมลู่ออก 1.5 อนุกรมลู่ออก 7 1.6 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 3 1.7 อนุกรมลู่ออก 1.8 อนุกรมลู่ออก 1.9 อนุกรมลู่ออก 1.10 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 6  4 2 1.11 อนุกรมลู่ออก 1.12 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 5 1.13 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น a  12. 84 2 13. 3 38
  40. 40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1 14. a = และ r = 6 2 35 3 1695. 5.1 5.2 5.3 9 11 1106. 6p หน่วย7. 50 ฟุต 39
  41. 41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 40
  42. 42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงจานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย (การหารลงตัวและตัวหารร่วมมาก)ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 41
  43. 43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีดลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 42
  44. 44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น การนับเบื้องต้น . การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 43

×