1. บทที่ 1
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (12 ชั่วโมง)
1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (2 ชั่วโมง)
1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (5 ชั่วโมง)
1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (5 ชั่วโมง)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปนทฤษฎีบทที่มีความสําคัญบทหนึ่งในเรขาคณิต สาระของบทนี้นักเรียนจะ
ไดทราบถึงสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ ทั้งในแงของความ
สัมพันธของความยาวของดานและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
บทพิสูจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีหลายวิธี สําหรับในบทนี้จะยังไมใชการพิสูจนอยางเปน
ทางการตามหลักคณิตศาสตร แตไดเลือกแสดงแนวการพิสูจนวิธีหนึ่งในลักษณะเปนกิจกรรมบนพื้นฐาน
ความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในกิจกรรมเสนอแนะยังไดเสนอแนวการ
พิสูจนเชิงกิจกรรมอีกวิธีหนึ่งไวใหครูไดนํามาใหนักเรียนไดเรียนรูเพิ่มเติมไดอีก
สาระของการนําทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใชในการแกปญหา จํากัดขอบเขตเฉพาะ
รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของดานเปนจํานวนตรรกยะ สําหรับความยาวของดานที่เปนจํานวนอตรรกยะ
จะไดเรียนในบทตอไป ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนครูจึงควรระมัดระวังในการใหโจทย
เพิ่มเติมดวย
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. อธิบายความสัมพันธตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับได
2. ใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการใหเหตุผลและแกปญหาได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2. 2
แนวทางในการจัดการเรียนรู
1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. เขียนสมการแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2. นําความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชใน
การแกปญหา
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.1
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูใหนักเรียนสังเกตอาคารเรียนหรือสิ่งกอสรางใกลเคียงแลวนําสนทนาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต
ที่พบในโครงสรางของอาคารนั้น ๆ จะเห็นวามีรูปสี่เหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม ซึ่งเปนการนําไปสูการคนหา
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2. สําหรับกิจกรรม “ลองวัดดูซิ” ครูควรใหนักเรียนลงมือปฏิบัติจริงและเติมคําตอบลงใน
ชองวาง แลวใหนักเรียนชวยกันคาดการณสรุปความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉากเปนสูตร c2
= a2
+ b2
เมื่อ a, b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉาก และ c แทน
ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก สําหรับนําไปใชในการหาความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่
ตองการ นักเรียนอาจใชเครื่องคํานวณชวยในการหาคําตอบก็ได
3. กิจกรรม “เขียนไดหรือไม” นําเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกตและลงมือปฏิบัติ
ดวยตนเองโดยใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาเขียนแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดาน
ทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมในรูปสมการ ครูควรทบทวนความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ เชน เรื่อง
เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนสอง โดยชี้ใหนักเรียนสังเกตวา กําลังสองของจํานวนเต็ม เศษสวนและ
ทศนิยมมีคาเปนจํานวนบวกเสมอ แตฐานของเลขยกกําลังของจํานวนเหลานั้นอาจเปนจํานวนบวกหรือ
จํานวนลบก็ได และเนื่องจากฐานของเลขยกกําลังเหลานี้เปนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมจึงเปน
จํานวนลบไมได เชน c2
= 49 เมื่อ c แทนความยาวของดาน c ตองเปนจํานวนบวกเทานั้น นั่นคือ
c = 7
4. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 มาเปนปญหาสนทนาตามแนวคําถามที่ใหไว เพื่อให
นักเรียนเห็นการใชความสัมพันธของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแกปญหาในชีวิตจริง

3. 3
1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. เขียนความสัมพันธของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได
2. หาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกําหนดความยาวของดาน
สองดานใหโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 ค
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปของความสัมพันธของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยการสรางรูปและใหแนวการพิสูจน
บทพิสูจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสไดมีผูพิสูจนไวหลายวิธี แนวการพิสูจนที่เสนอไวใน
กิจกรรม “หมุนแลวเห็น” เปนตัวอยางเพื่อแสดงวาทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปนจริง ครูอาจแสดงดวยภาพ
หรือใชสื่ออุปกรณทํากิจกรรมใหนักเรียนมองเห็นภาพการหมุนรูปอยางเปนรูปธรรม แสดงใหเห็นจริง
โดยวาดรูปบนแผนโปรงใส แลวสาธิตการหมุนใหนักเรียนดูพรอมกับการใชคําถามตามลําดับขั้นตอน
ใหนักเรียนชวยกันสรุปผล หรือครูอาจมอบหมายงานเปนกลุมใหนักเรียนใชกระดาษแข็งตัดตามรูป
ศึกษากิจกรรมและตอบคําถามตามลําดับที่ใหไวในหนังสือเรียน หลังจากนั้นอาจใหตัวแทนกลุมสาธิตให
เพื่อนดูหนาชั้น พรอมกับสรุปผลตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจเลือกกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 ค
ใหนักเรียนทําบางกิจกรรมเพิ่มเติมตามความเหมาะสมและความพรอมของนักเรียน
2. สําหรับกิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรียนหาความยาวของดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดย
อาศัยความสัมพันธของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกต
ความยาวของรัศมีของวงกลม เพื่อนําไปสูความยาวของดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ลอมรอบครึ่งวงกลม
บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
3. กิจกรรม “ยังมีอีกไหม” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธของพื้นที่ของรูป
เรขาคณิตอื่น ๆ บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจแบงนักเรียน
เปนกลุมโดยใหนักเรียนสรางรูปเรขาคณิตอื่น ๆ บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวหาพื้นที่เพื่อ
ตรวจสอบดูวามีความสัมพันธกันแบบทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือไม และใหแตละกลุมนําผลที่ไดมาอภิปราย
หนาชั้น
4. เพื่อความสะดวกในการสรางโจทยเพิ่มเติมใหกับนักเรียน ครูอาจหาความยาวของดานทั้งสาม
ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวแตละดานเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ชุดอื่น ๆ ที่แตกตางจากจํานวน
ที่นักเรียนคุนเคย จากสูตรตอไปนี้

4. 4
กําหนดให c เปนดานตรงขามมุมฉาก a และ b เปนดานประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
กรณีที่ 1 ถา n เปนจํานวนคี่ที่มากกวา 1 และให a = n จะได b =
2
1n2
−
และ
c =
2
1n2
+
a = n b = 2
1n2
−
c = 2
1n2
+
a : b : c
3 4 5 3 : 4 : 5
5 12 13 5 : 12 : 13
7 24 25 7 : 24 : 25
9 40 41 9 : 40 : 41
11 60 61 11 : 60 : 61
13 84 85 13 : 84 : 85
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
กรณีที่ 2 ถา n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และให a = 2n จะได b = n2
– 1 และ c = n2
+ 1
n a = 2n b = n2
– 1 c = n2
+ 1 a : b : c
2 4 3 5 4 : 3 : 5 หรือ 3 : 4 : 5
3 6 8 10 6 : 8 : 10 หรือ 3 : 4 : 5
4 8 15 17 8 : 15 : 17
5 10 24 26 10 : 24 : 26 หรือ 5 : 12 : 13
6 12 35 35 12 : 35 : 35
7 14 48 50 14 : 48 : 50 หรือ 7 : 24 : 25
8 16 63 65 16 : 63 : 65
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
หมายเหตุ สําหรับสูตรดังกลาวนี้ ครูไมควรนําไปสอน ในที่นี้ใหไวเปนความรูสําหรับครูเพื่อ
นําไปใชในการสรางโจทยอื่น ๆ

5. 5
1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. เขียนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได
2. นําทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการแกปญหาได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการสรางมุมฉากดวยเครื่องมือในปจจุบันและชี้ใหนักเรียนเห็นวาใน
สมัยโบราณสรางมุมฉากโดยใชเชือก 13 ปมอยางไร ครูอาจเตรียมสื่ออุปกรณเชือก 13 ปม มาให
นักเรียนลองตรวจสอบกับมุมโตะของครูหรือของนักเรียน เพื่อดูวาการจัดขึงเชือกใหเปนรูปสามเหลี่ยม
เมื่อใหความยาวของดานเปน 3, 4 และ 5 หนวย แลวไดมุมมีขนาดเทากับขนาดมุมฉากของโตะจริง
หรือไม
2. สําหรับกิจกรรม “ลองทําดู” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจวา ถารูปสามเหลี่ยมใดมีความสัมพันธ
ของความยาวของดานเปนแบบ c2
= a2
+ b2
เมื่อ a, b และ c แทนความยาวของดาน แลวรูป
สามเหลี่ยมนั้นจะเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอเพื่อนําเขาสูบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และนําไป
ใชในการตรวจสอบวา รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของดานทั้งสามตามที่กําหนดใหเปนรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากหรือไม
3. เพื่อเปนการทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบท
พีทาโกรัส ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาขอความใดเปนเหตุหรือสิ่งกําหนดให และขอความใดเปนผล ซึ่งจะ
เห็นวาสวนที่เปนเหตุของทฤษฎีบทคือสวนที่เปนผลของบทกลับ สวนที่เปนเหตุของบทกลับคือสวนที่เปน
ผลของทฤษฎีบท
4. การพิสูจนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตองการใหนักเรียนเห็นการพิสูจนเทานั้น ไม
ตองนํามาวัดผล
5. สําหรับกิจกรรม “ลองคาดการณ” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดขอสรุปความสัมพันธ
เกี่ยวกับความยาวของดานและขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม นอกเหนือจากทฤษฎีบทของ
พีทาโกรัส นักเรียนอาจหาขอคาดการณไดจากการสังเกตหรือจากการสรางรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขของ
โจทยก็ได
6. สําหรับแบบฝกหัด 1.3 ขอ 3 ครูควรแนะนําใหนักเรียนวาดรูปสามเหลี่ยมประกอบ
การคํานวณ และขอ 7 ควรวาดรูปตามขนาดที่กําหนดใหเพื่อสํารวจเสนทแยงมุมทั้งสองเสนวายาวเทากัน
หรือไม

6. 6
7. สําหรับแบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3 มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อฝกทักษะการนําความรู
เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใชในการแกโจทยปญหา ควรใหนักเรียนทําหลังจบบทเรียนแลว
เพื่อเปนการประเมินตนเอง อาจมีโจทยบางขอที่คอนขางซับซอน ครูควรพิจารณาเลือกเปนบางขอให
นักเรียนทําตามความเหมาะสม
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ลองวัดดูซิ”
1.
1) 5
2) 4
3) 6.5
4) 10
5) 13
2.
ขอที่ a b c a2
b2
c2
a2
+ b2
1 3 4 5 9 16 25 25
2 2.4 3.2 4 5.76 10.24 16 16
3 2.5 6 6.5 6.25 36 42.25 42.25
4 6 8 10 36 64 100 100
5 5 12 13 25 144 169 169
จากตารางสามารถบอกความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไดวา
c2
= a2
+ b2
คําตอบกิจกรรม “เขียนไดหรือไม”
1. d2
= e2
+ f2
2. x2
= y2
+ z2
3. p2
= q2
+ r2
4. 102
= 62
+ a2
5. 252
= b2
+ 242
6. x2
= 52
+ 122

7. 7
คําตอบแบบฝกหัด 1.1
1.
1) 15 2) 61
3) 29 4) 1.7
5) 1.3 6) 5
27 หรือ 7.4
2.
1) 16 2) 25
3) 0.5 4) 2.0
3.
1) 36 2) 132
3) 9 4) 10.8
คําตอบกิจกรรม “หมุนแลวเห็น”
1. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD = a2
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BEFG = b2
2.
จากรูปจะได
1) ∆ HEF เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะมี FEH
∧
เปนมุมฉาก
2) HE = a หนวย
เนื่องจาก AE = AB + BE
= a + b
แต AH = b หนวย (กําหนดให)
D C
a
A B E
G F
b
4
23
1
Hb
c

8. 8
ดังนั้น HE = AE – AH
= a + b – b
นั่นคือ HE = a หนวย
3) EF = b หนวย
EF เปนดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BEFG ที่มีดานยาวดานละ b หนวย
4) ∆ DAH ≅ ∆ HEF (ด.ม.ด.)
5) HF = c หนวย (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)
3.
1)
∧
1 =
∧
2 (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
2)
∧
1 +
∧
3 = 90o
3)
∧
2 +
∧
3 = 90o
4) FHD
∧
= 90o
4.
1) ใช
2) ใช
3) เปนมุมฉาก
เนื่องจาก IFG
∧
= HFE
∧
=
∧
4 ( IFG
∧
เปนภาพที่ไดจากการหมุน HFE
∧
)
เนื่องจาก HFG
∧
+ HFE
∧
= 90o
(ขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
ดังนั้น HFG
∧
+ IFG
∧
= 90o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ IFH
∧
เปนมุมฉาก
D C
a
A B E
G F
b
4
2
3
1
H
c
2
I
3
1
4

9. 9
4) เปนมุมฉาก
เนื่องจาก IDC
∧
=
∧
1 ( IDC
∧
เปนภาพที่ไดจากการหมุน AH
∧
D )
และ CDA
∧
=
∧
1 + CDH
∧
= 90o
(ขนาดของมุมภายในของรูป
สี่เหลี่ยมจัตุรัส)
ดังนั้น IDH
∧
= IDC
∧
+ CDH
∧
(สมบัติของการเทากัน)
จะได IDH
∧
= CDA
∧
= 90o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ IDH
∧
เปนมุมฉาก
5) เปนมุมฉาก
เนื่องจาก GIF
∧
=
∧
2 ( GIF
∧
เปนภาพที่ไดจากการหมุน
FHE
∧
)
และ CID
∧
=
∧
3 ( CID
∧
เปนภาพที่ไดจากการหมุน
DHA
∧
)
GIF
∧
+ CID
∧
=
∧
2 +
∧
3 (สมบัติของการเทากัน)
เนื่องจาก
∧
2 +
∧
3 = 90o
(ผลที่ไดจากขอ 3 ขอยอย 3))
ดังนั้น GIF
∧
+ CID
∧
= 90o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ FID
∧
เปนมุมฉาก
5. DHFI เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะ DHFI มี FHD
∧
= IFH
∧
= IDH
∧
= FID
∧
= 90o
และ DH = HF = FI = ID = c หนวย
6. จากการหมุน ∆ HEF และหมุน ∆ DAH แสดงใหเห็นวารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส DHFI ประกอบขึ้นมา
จากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD และรูปสี่เหลี่ยม BEFG โดยแบงเปนชิ้นสวนตามที่กําหนดใหและนํามา
เรียงตอกัน ดังรูป
D
c
A B E
F
H
I
C
G
c

10. 10
คําตอบกิจกรรม “คิด”
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม PQRS = 12 × 12 = 144 ตารางหนวย
คําตอบแบบฝกหัด 1.2
1. 13 เซนติเมตร
2. 7.2 กิโลเมตร
3. 84 ตารางเซนติเมตร
4.
1) 17 หนวย
2) 60 ตารางหนวย
3) ประมาณ 7.06 หนวย
5. 22 ฟุต
6.
1) 6 เมตร
2) มากกวา 2.5 เมตร
7. 24 ฟุต
คําตอบกิจกรรม “ยังมีอีกไหม”
ยังมีอีกเชน
1. รูปวงกลมที่แตละรูปมีเสนผานศูนยกลางเปนดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2. รูปสามเหลี่ยมดานเทาบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
3. รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

11. 11
คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”
a2
+ b2
เทากับ c2
หรือไม
∆ ABC เปน ∆ มุมฉาก
หรือไมขอ a b c a2
+ b2
c2
เทา ไมเทา เปน ไมเปน
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
6
6
9
7
6
1.4
8
12
12
13
6.25
3.6
10
13
15
14
7.25
4
36 + 64
36 + 144
81 + 144
49 + 169
36 + 39.025
1.96 + 12.96
100
169
225
196
52.5625
16
(7) 2
12 6 2
16
4
25 + 36
4
169
(8) 4 6.5 8.5 16 + 42.25 72.25
คําตอบกิจกรรม “ลองคาดการณ”
1. c2
< a2
+ b2
แลว BCA
∧
< 90o
2. c2
> a2
+ b2
แลว BCA
∧
> 90o
คําตอบแบบฝกหัด 1.3
1. ขอ 1) ขอ 4) และ ขอ 6)
2.
1) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื่องจาก AB2
= 242
+ 182
= 900
AC2
= 242
+ 322
= 1600
จะได AB2
+ AC2
= 900 + 1600 = 2500
เนื่องจาก BC2
= (18 + 32)2
= 2500
ดังนั้น BC2
= AB2
+ AC2
นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
A
CB
3218
24

12. 12
2) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื่องจาก AB2
= 252
+ 602
= 4,225
AC2
= 602
+ 1442
= 24,336
จะได AB2
+ AC2
= 4,225 + 24,336 = 28,561
เนื่องจาก BC2
= (25 + 144)2
= 28,561
ดังนั้น BC2
= AB2
+ AC2
นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
3. ความยาวที่กําหนดใหในขอ 3) ทําให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื่องจาก AD2
= AC2
– CD2
= 32
– 2.42
= 3.24
ดังนั้น AD = 1.8
เนื่องจาก BD2
= CB2
– CD2
= 42
– 2.42
= 10.24
ดังนั้น BD = 3.2
AB = AD + DB
= 1.8 + 3.2 = 5
จะได AB2
= 25
และ AC2
+ CB2
= 32
+ 42
= 25
ดังนั้น AB2
= AC2
+ CB2
นั่นคือ ∆ ABC เปนสามเหลี่ยมมุมฉาก
4. ประมาณ 43.45 เซนติเมตร
5. 210 ตารางหนวย
6. 6 ฟุต
7. ไมเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
สั้นกวา 15 เซนติเมตร
A
CB
14425
60
A D B
C
2.4
43

13. 13
กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

14. 14
กิจกรรมเสนอแนะ 1.1
กิจกรรมนี้เปนกิจกรรมเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของ
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ใหเห็นการนําความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของ
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชในการแกปญหา
ปญหา รถยนตสามคันจอดขนานฟุตบาทเรียงกันดังภาพ รถคันสีน้ําเงินจะตองอยูหางจากรถคันสี
แดงมากนอยเพียงใด จึงจะสามารถนํารถคันสีเหลืองออกมาไดโดยไมเกิดความเสียหายและไมตอง
เลื่อนรถคันหนาและรถคันหลัง
สื่ออุปกรณ รถยนตจําลอง 3 คัน หรือกระดาษแข็งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 3 แผน แทนรถยนต
แนวการดําเนินกิจกรรม
ครูอาจจําลองภาพการจอดรถขนานฟุตบาท ดังรูป แลวใหนักเรียนชวยกันอภิปรายจนไดขอสรุปวา
รถคันสีน้ําเงินจะตองอยูหางจากรถคันสีแดงมากกวาความยาวของเสนทแยงมุมของรถคันสีเหลือง
ดังรูป

15. 15
กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก
กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นแนวการพิสูจนทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกวิธีหนึ่ง
อุปกรณ กระดาษตัดเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เทากันทุกประการ 8 รูป โดยใหดานตรงขาม
มุมฉากยาว c หนวย ดานประกอบมุมฉากยาว a และ b หนวย และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี
ดานยาว a, b และ c หนวย อยางละหนึ่งรูป
1. ครูนํารูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมที่ตัดไวในขอ 1 มาประกอบกันเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป
ที่เทากันทุกประการ ดังรูปที่ 1 และรูปที่ 2
2. ใหนักเรียนชวยกันอภิปรายวาพื้นที่ของรูปที่ประกอบแลวในรูปที่ 1 และรูปที่ 2
มีความสัมพันธกันอยางไร
c
a
bc
a
a
b
b c
a
a
b
b
ab
b
a
รูปที่ 1 รูปที่ 2
a
b
ba

16. 16
ครูอาจใชคําถามดังตอไปนี้
1) รูปที่ 1 และรูปที่ 2 เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม [เปน]
2) รูปที่1 และรูปที่ 2 มีพื้นที่เทากันหรือไม เพราะเหตุใด
[เทากัน เพราะวาทั้งสองรูปเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเปน a + b หนวย
เทากัน]
3) รูปที่ 1 และรูปที่ 2 แตละรูปมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เทากันทุกประการอยูกี่รูป [4 รูป]
4) เมื่อหักพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดออกจากรูปที่ 1 และรูปที่ 2 พื้นที่ของรูปที่เหลือเทากัน
หรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะโดยสมบัติของการเทากัน]
5) พื้นที่ของรูปที่ 1 ที่เหลือเปนเทาไร และพื้นที่ของรูปที่ 2 ที่เหลือเปนเทาไร [c2
และ a2
+ b2
]
6) พื้นที่ของรูปที่เหลือทั้งสองรูปมีความสัมพันธกันอยางไร [c2
= a2
+ b2
]
7) ผลที่ไดในขอ 6) เปนไปตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัสหรือไม [เปน]
เมื่อนักเรียนไดแนวคิดจากคําถามขางตนแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปความสัมพันธที่ได
ดังนี้
จะไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปมีความยาวดานละ a + b หนวย
พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 1 = พื้นที่ของ จัตุรัสที่มีดานยาว c + พื้นที่ของ ∆ มุมฉาก 4 รูป
(a + b)2
= c2
+ (4 ×
2
1 ab)
= c2
+ 2ab
พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 2 = พื้นที่ของ จัตุรัสที่มีดานยาว a + พื้นที่ของ จัตุรัสดานยาว b
+ พื้นที่ของ ∆ มุมฉาก 4 รูป
(a + b )2
= a2
+ b2
+ (4 ×
2
1 ab)
= a2
+ b2
+ 2ab
เนื่องจาก พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 1 เทากับพื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 2
ดังนั้น c2
+ 2ab = a2
+ b2
+ 2ab
นั่นคือ c2
= a2
+ b2
(สมบัติของการเทากัน)
เมื่อนักเรียนมองเห็นภาพรวมของความสัมพันธระหวางพื้นที่ของรูปทั้งสองแลว ครูควรใหนักเรียน
พิจารณาหาเหตุผลที่จะสรุปวารูปที่ 1 และรูปที่ 2 เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไดดวยเหตุผลใด

17. 17
ครูควรใชคําถามเพื่อเชื่อมโยงไปสูขอสรุป ดังนี้
1) จากรูปที่ 1 นักเรียนบอกเหตุผลไดหรือไมวา รูปที่นํามาตอกันทําใหดานที่ยาว a หนวย
และ b หนวย ตอกันเปนสวนของเสนตรงที่ยาว a + b หนวย
[แนวคิด
เนื่องจาก
∧
1 +
∧
2 = 90o
และ
∧
3 +
∧
4 = 90o
ดังนั้น (
∧
1 +
∧
2 ) + (
∧
3 +
∧
4 ) = 90 + 90
= 180o
เนื่องจาก ∆ ABC ≅ ∆ CDE
จะได
∧
1 =
∧
4 และ
∧
2 =
∧
3
ดังนั้น 2(
∧
1 +
∧
3 ) = 180
แลว
∧
1 +
∧
3 =
2
180
= 90o
และ
∧
1 +
∧
3 +
∧
5 = 90 + 90
= 180o
แสดงวา BC ตอกับ CD แลวได DCB
∧
เปนมุมตรง
นั่นคือ BD ยาวเทากับ a + b หนวย]
2) จากรูปที่ 2 นักเรียนบอกเหตุผลไดหรือไมวา รูปที่นํามาตอกันทําใหดานที่ยาว a และ
b หนวย ตอกันเปนสวนของเสนตรงที่ยาว a + b หนวย
[แนวคิด เนื่องจาก
∧
1 = 90o
(เปนมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี
ดานยาว a หนวย)
และ
∧
2 = 90o
(เปนมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)
ดังนั้น
∧
1 +
∧
2 = 90 + 90
= 180o
แสดงวา BC ตอกับ CD แลวได DB
∧
C เปนมุมตรง
นั่นคือ BD ยาวเทากับ a + b หนวย
2
ab C D
A
E
B
1 35
4
b
a
A
B C D
E
1 2
ba

18. 18
กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข
กิจกรรมนี้เพื่อเจตนาใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส
ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้
1. สรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป กําหนดความยาวของดานทั้งสามตามใจชอบ
2. สรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
3. ลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 ใหตัดกันที่จุด O
4. บนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 ลากเสนขนานกับดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 ผานจุด O ดังรูป
1
3
2
3
1
2
a
d
c
b
O

19. 19
5. ตัดกระดาษในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 เปนรูปสี่เหลี่ยมรูป a รูป b รูป c และ รูป d
6. ตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3
7. นํารูปที่ตัดไดในขอ 4 และ ขอ 5 ทั้งหมด 5 รูปมาเรียงซอนบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูป 1
โดยแตละชิ้นไมมีสวนใดซอนกันเลย
8. สามารถวางไดเต็มรูป 1 พอดีหรือไม [จัดไดพอดี]
ดังรูป
9. นักเรียนคิดวากิจกรรมนี้ไดขอสรุปวาอยางไร
[พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพื้นที่ของ
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก]
b
c
d
a
3

20. 20
กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ค
กิจกรรมนี้ใชเพื่อใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส
ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้
1. สราง ∆ ABC มี BCA
∧
เปนมุมฉาก
2. สรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป
3. ลาก IJ // AB ตัด AH ที่จุด J
4. ตอ EA มาทางจุด A ตัด CG ที่จุด K
5. ลาก JN // AK ตัด BC ที่จุด N
จะไดรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ดังรูป
D
E
A
B
F
G C
H I

21. 21
6. ตัดรูป 1 2 3 4 และ 5 นํารูปทั้งหามาจัดเรียงลงบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน
ดาน AB โดยแตละชิ้นไมมีสวนใดซอนกันเลย
7. สามารถวางรูปทั้งหารูปบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABDE ไดพอดีหรือไม [จัดไดพอดี]
ดังรูป
8. กิจกรรมนี้จะไดขอสรุปวาอยางไร
[พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพื้นที่ของ
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก]
4
2
1
53
D
E
A
B
F
G C
H I
4
N
1
2
3
5
K
J

22. 22
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3
1. จงใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอบคําถามในแตละขอตอไปนี้
1) จากรูป a เทากับเทาไร 2) จากรูป b เทากับเทาไร
[a = 7] [b = 12]
3) จากรูป ความยาวรอบรูปของ 4) จากรูป c เทากับเทาไร
∆ ABC เปนเทาไร
[12] [c = 3]
5) จากรูป d เทากับเทาไร เมื่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากเทากับ 168 ตารางหนวย
[d = 25]
6) จากรูป c เทากับเทาไร
[c = 25]
2524
a
13b
5
13
124
c
7d
5
4
A B
C
12
15
16
c

23. 23
7) จากรูป พื้นที่ของสวนที่แรเงาเปนเทาไร
[51 ตารางเซนติเมตร]
2. จากรูป ∆ ABF และ ∆ DCF เปนรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก มี CF = 5 หนวย, CD = 3 หนวย และ
AF = 12 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BF
[9 หนวย และ 15 หนวย]
3. จากรูป ∆ ABC มี AB , BC และ AC ยาว 16, 30
และ 34 หนวย ตามลําดับ BD ตั้งฉากกับ AC
จงหาความยาวของ BD
[ 17
214 หนวย]
4. จากรูป DFBC เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
มี DC = 11 หนวย, EF = 9 หนวย และ
BC = 15 หนวย จงหาพื้นที่ของ DFBC
[132 ตารางหนวย]
5.
จากรูป ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มี AB = 16 หนวย
BG = 21 หนวย และ FG = 12 หนวย
จงหาความยาวของ AF
[29 หนวย]
3 ซม.
8 ซม.
15 ซม.
16
34
C
D
A
B 30
A B
CD 11
15
9
E F
A
D
E F
G
C
H
21
16 B
12
D
C
F
A
B
12
5
3

24. 24
A
12
5
B C
6.
จากรูป ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
มี AC = 17 หนวย, CB = 8 หนวย
∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AC = CD
จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา
[84.5 ตารางหนวย]
7. จากรูป BCDE เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา มี CD, AE
และ AC ยาว 8, 18 และ 26 หนวย จงหาพื้นที่ของ
สวนที่แรเงา
[96 ตารางหนวย]
8. จากรูป ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
มีดานประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 หนวย
มีรูปครึ่งวงกลมอยูบนดานทั้งสามของ ∆ ABC
จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา
[30 ตารางหนวย]
[แนวคิด ครูอาจใหนักเรียนวาดภาพครึ่งวงกลมบนดาน BC จะไดวงกลมที่มี BC เปน
เสนผานศูนยกลาง แลวกําหนด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 แทน
พื้นที่แตละสวนดังแสดงในภาพ
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จะได 1 + 2 + 4 + 5 = 6
แต 2 + 3 + 4 = 6 (เปนพื้นที่ครึ่งวงกลมของ
วงกลมเดียวกัน)
A
C
D
B
E
A 17 C
8
B
D
A
B C
1
2
3
6
5
4

25. 25
ดังนั้น 1 + 2 + 4 + 5 = 2 + 3 + 4 (สมบัติของการเทากัน)
แต 1 + 5 = 3 (นําพื้นที่ที่เทากันมาลบ
ทั้งสองขางของสมการ)
นั่นคือ พื้นที่สวนที่แรเงารวมกัน เทากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
ซึ่งเทากับ 2
1 × 5 × 12 = 30 ตารางหนวย]