1. บทที่ 2
ความนาจะเปน
( 18 ชั่วโมง )
เนื่องจากความนาจะเปนเปนเรื่องที่จะชวยใหผูเรียนรูจักการแกปญหาที่เกี่ยวของกับ
การคาดการณบางอยาง ดังนั้น การศึกษาเรื่องนี้จะชวยใหผูเรียนสามารถนําความรูในเรื่องนี้
ไปชวยในการตัดสินใจไดอยางมีหลักเกณฑมากขึ้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. หาจํานวนผลลัพธที่อาจเกิดขึ้นของเหตุการณโดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับและ
แผนภาพตนไมอยางงายได
2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณ และหาความนาจะเปน
ของเหตุการณที่กําหนดใหได
3. นําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตัดสินใจและ
แกปญหาได
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น
ทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดาน
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรมแกปญหา หรือคําถาม
ที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยาง
เปนระบบ มีระเบียบวินัยมีความรอบคอบ มีความรับผิดชอบมีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่น
ในตัวเอง

2. 72
ขอเสนอแนะ
1. ในการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับหาคําตอบของโจทยปญหานั้นผูสอน
ควรใหผูเรียนอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานั้นกําหนดเงื่อนไขอะไรบาง การพิจารณาเงื่อนไข
ของปญหาจะชวยใหสามารถกําหนดขั้นตอนในการแกปญหา ซึ่งจะชวยใหสามารถหาคําตอบ
ไดงายขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้
ปญหาที่ 1 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก โดยที่
เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันไดทั้งสิ้นกี่จํานวน
วิธีคิด จากโจทยปญหาไดเงื่อนไข 3 ขอ คือ
1) ใหใชเลขโดดได 6 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
2) จํานวนที่ตองการเปนจํานวนบวกที่มีสามหลัก
3) เลขโดดในแตละหลักของแตละจํานวนที่ตองการ ตองไมซ้ํากัน
จากเงื่อนไขทั้งสามขอนี้นํามาพิจารณาประกอบการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับ
การนับ เพื่อพิจารณาวาจะเขียนจํานวนที่ตองการไดกี่จํานวน โดยพิจารณาวิธีที่จะเขียน
เลขโดดในหลักตาง ๆ คือ หลักหนวย หลักสิบ และหลักรอย เนื่องจากการเขียนจํานวนที่มี
สามหลักนั้น หลักรอยตองไมใชเลขโดด 0 สวนหลักอื่น ๆ นั้นจะใชเลขโดดใดก็ไดใน 6 ตัว
ที่กําหนด การเริ่มแกปญหาจึงควรเริ่มดวยการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย
เพราะมีขอจํากัดมากกวาหลักอื่น ๆ ดังนั้น วิธีหาคําตอบปญหาขางตน ผูสอนอาจแนะนํา
ใหผูเรียนหาคําตอบตามขั้นตอนดังนี้
วิธีที่ 1 (1) ใหผูเรียนหาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย ซึ่งเทากับ 5 วิธี
(2) ใหผูเรียนหาวาในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอย จะเขียนเลขโดด
ในหลักสิบไดกี่วิธี ซึ่งจะไดคําตอบเทากับ 5 วิธี คือ ใชเลขโดด 5 ตัว ที่เหลือ
(3) ใหผูเรียนหาวาในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอยและหลักสิบ จะเขียน
เลขโดดในหลักหนวยไดกี่วิธี ซึ่งจะไดคําตอบเทากับ 4 วิธี คือ ใชเลขโดด
4 ตัว ที่เหลือ

3. 73
จากนั้นจึงใหผูเรียนใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ จะไดวา จํานวนเต็มบวก
ที่มีสามหลักที่เขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน
มีทั้งสิ้น 5 × 5 × 4 = 100 จํานวน
วิธีหาคําตอบขางตนเปนเพียงวิธีหนึ่งเทานั้น สําหรับผูเรียนที่มีความสามารถทาง
คณิตศาสตรผูสอนอาจแนะนําใหลองหาคําตอบโดยวิธีอื่น ๆ ก็ได เชน พิจารณาโดยเริ่มจาก
การเขียนหลักหนวยกอน แตเนื่องจากจะมีปญหาวา เหลือ 0 อยูหรือไม จึงแยกกรณีพิจารณา
ดังตอไปนี้
วิธีที่ 2 ถาเริ่มเขียนตัวเลขในหลักหนวยกอน แยกกรณีพิจารณาไดดังนี้
(1) หาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก และมี 0 อยูในหลักหนวยเขียนเลขโดดใน
หลักสิบได 5 วิธี
แตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักสิบ เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี
ดังนั้น จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก และมี 0 อยูในหลักหนวย
และใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน
ได 1 × 5 × 4 = 20 จํานวน
(2) หาจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักสิบ
ในทํานองเดียวกับขอ (1) จะไดวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักในขอนี้
มีทั้งหมด 20 จํานวน
(3) หาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวกและไมมี 0 ปรากฏอยูเลย
จะไดวา มีทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 จํานวน
จาก กรณีที่ (1), (2) และ (3) จะได จํานวนที่แตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น จํานวน
ที่มีสามหลักที่เปนบวก ซึ่งไดจากการใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียน โดยเลขโดดใน
แตละหลักไมซ้ํากัน มีทั้งสิ้น 20 + 20 + 60 = 100 จํานวน

4. 74
ปญหาที่ 2 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวกและเปน
จํานวนคี่ โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ไดกี่จํานวน
วิธีคิด เงื่อนไขของปญหานี้เหมือนของปญหาที่ 1 แตเพิ่มเงื่อนไขอีกหนึ่งขอ คือ
จํานวนที่ตองการตองเปนจํานวนคี่ เงื่อนไขนี้มีผลตอจํานวนวิธีเขียนเลขโดดใน
หลักหนวย ถาเริ่มหาคําตอบโดยพิจารณาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย
กอนเชนเดียวกับ ในการแกปญหาที่ 1 จะพบวา เมื่อจะพิจารณาวา เลขโดดใน
หลักหนวยมีไดกี่วิธีจะมีปญหาเพราะใน 5 วิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอยนั้นมี 3 วิธี
ที่ใช 1, 3 และ 5 ไปแลว ดังนั้น วิธีหาคําตอบของปญหานี้ จึงควรพิจารณาวิธีเขียน
เลขโดดในหลักหนวยกอน แลวจึงพิจารณาจํานวนวิธีการเขียนเลขโดดในหลักรอย
จากนั้นจึงไปพิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักสิบเปนอันดับสุดทายดังนี้
วิธีทํา เขียนเลขโดดในหลักหนวยไดตาง ๆ กัน 3 วิธี (คือเลขโดด 1, 3, 5)
ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวย เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี
(2, 4 และเลขโดดที่เปนจํานวนคี่ที่เหลืออีก 2 ตัว)
ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวยและหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบ
ได 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือ 4 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว)
ดังนั้น การใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก
ที่เปนจํานวนคี่ที่มีเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน จะเขียนไดทั้งหมด
3 × 4 × 4 = 48 จํานวน
ปญหาที่ 3 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู
และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ไดกี่จํานวน
วิธีคิด ปญหาที่ 3 นี้ ถาพิจารณาไมรอบคอบอาจจะสรุปวาใชวิธีการในทํานองเดียวกับที่ใช
ในการหาคําตอบปญหาที่ 2 คือ พิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักหนวย
หลักรอย และหลักสิบ ตามลําดับ แตวิธีดังกลาวมีปญหาเพราะเลขโดดที่อาจใชใน
หลักหนวยมี 3 ตัว คือ 0, 2 และ 4 การที่เลขโดด 0 อาจถูกใชหรือไมถูกใชในการ
เขียนเลขโดดในหลักหนวยมีผลตอการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักรอย
การหาคําตอบจึงอาจทําไดโดยการแยกกรณีพิจารณา เมื่อใช 0 ในหลักหนวย
และเมื่อไมไดใช 0 ในหลักหนวยดังนี้

5. 75
วิธีทํา แยกกรณีและพิจารณาดังนี้
1. เมื่อเลขโดดในหลักหนวยเปน 0
เขียนเลขโดดในหลักรอยได 5 วิธี
ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธี
ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่หลักหนวยเปน 0 ที่เขียนโดยใช
เลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันมี
1 × 5 × 4 = 20 จํานวน
2. เมื่อเลขโดดในหลักหนวยไมใช 0
เขียนเลขโดดในหลักหนวยได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4)
ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวย เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี
(เลขโดดที่เหลือไมใชศูนย)
ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวยและเลขโดดในหลักรอย
เขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธี (เลขโดดที่ยังไมไดเขียนทั้งหมด)
ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูที่หลักหนวยไมเปน 0
และเขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน
มี 2 × 4 × 4 = 32 จํานวน
ดังนั้น การใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก
ที่เปนจํานวนคูโดยเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันเขียนไดทั้งหมด
20 + 32 = 52 จํานวน
หมายเหตุ ถาปญหาที่ 1, 2 และ 3 เปนปญหาที่ถามตอเนื่องกัน ดังนั้น การหา
คําตอบของปญหาที่ 3 อาจใชคําตอบของปญหาที่ 1 และ 2 ชวย โดยใชคําตอบ
ของปญหาที่ 2 ลบออกจากคําตอบของปญหาที่ 1 ก็ได

6. 76
2. ในการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนวิธี บางกรณีก็ใชเฉพาะการคูณ
บางกรณีก็ใชการบวกดวย ซึ่งผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจลักษณะของโจทยที่จะตอง
ใชการคูณหรือการบวก การกระทําใด ๆ ที่ยังไมสิ้นสุดการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการ
กระทํานั้น ๆ เราใชการคูณ แตถาการกระทําใด ๆ สามารถแยกไดเปนหลายกรณีและแตละ
กรณีสิ้นสุดลงแลว ในการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้นเราใชการบวกจํานวน
วิธีในแตละกรณีเขาดวยกัน ดังจะเห็นไดจากตัวอยางขางตนที่ใหหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปน
จํานวนคู เราแยกเปนจํานวนคูที่ลงทายดวย 0 ซึ่งมี 20 จํานวน และจํานวนคูที่ไมลงทายดวย 0
ซึ่งมี 32 จํานวน เมื่อการคํานวณหาจํานวนวิธีทั้งสองกรณีสิ้นสุดลงแลว เมื่อเราตองการ
ทราบวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูมีกี่จํานวน เราจึงนําจํานวนวิธีที่หาได
ในแตละกรณีมาบวกกันกลาวคือ มี 20 + 32 = 52 จํานวน ซึ่งจะเห็นวาในการคํานวณหา
จํานวนคูดังกลาวในแตละกรณีนั้น แตละขั้นตอนเปนการกระทําที่ตอเนื่องกัน เราจึงใชวิธี
คูณดังไดกลาวแลวในกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

7. 77
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1
จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาเรื่องกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
ลักษณะกิจกรรม 1) ผูสอนแบงกลุมผูเรียนใหปฏิบัติในเรื่องเดียวกันโดยกําหนดให
เนื้อหาของแตละกลุมตางกัน
2) ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปผลจากกิจกรรมของแตละกลุม
อุปกรณ กระดาษตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่รูปละ 1 ตารางหนวย ตอกัน
จํานวน 6 รูป ดังรูปที่ (1) และเมื่อพับกระดาษ จะไดลูกบาศกดังรูปที่ (2)
รูปที่ (1) รูปที่ (2)
กิจกรรม ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6
แตละตัวลงบนดานแตละดานของลูกบาศกเพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบน
ดานตรงขามกันเทากับ 7 ผูสอนอาจใหขอแนะนําโดยใชคําถามดังนี้
ตัวอยางคําถาม
1) มีจํานวน 2 จํานวนใดที่มีผลบวกเทากับ 7
(ผูเรียนควรตอบไดวามี 1 + 6 , 2 + 5 และ 3 + 4)
2) ผูสอนใหผูเรียนพับกระดาษในรูปที่ (1) ใหเปนลูกบาศก ดานใดที่อยู
ตรงขามกัน ใหกําหนดตําแหนงของดานที่อยูตรงกันขามไวดังรูปตอไปนี้

8. 78
ดานที่อยูตรงขามกันมีทั้งหมด 3 คู ไดแก ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 1 และ 5
ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 2 และ 4
และ ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 3 และ 6
เมื่อทราบวา มีดานใดบางที่อยูตรงขามกันแลว จึงใหผูเรียนเขียนจํานวนลงบน
แตละดาน เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามกันมีคาเทากับ 7
ตัวอยางวิธีเขียนจํานวนบนรูปที่ (1) เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดาน
ตรงขามกันของลูกบาศกมีคาเทากับ 7
หมายเหตุ ผูสอนอาจจะแบงนักเรียนออกเปนกลุม ๆ โดยใหแตละกลุมหาจํานวนวิธี
ทั้งหมดที่มีจํานวนในตําแหนงใดตําแหนงหนึ่งเปน 1, 2, 3, ... หรือ 6 เชน
ใหกลุมที่ 1 หาจํานวนวิธีทั้งหมดเมื่อกําหนดให 1 อยูในตําแหนงดังภาพ
จากนั้นผูสอนใชคําถามเพื่อชวยใหผูเรียนสรุปคําตอบไดดังนี้
1
ตําแหนงที่ 2
ตําแหนงที่ 1
ตําแหนงที่ 4
ตําแหนงที่ 5
ตําแหนงที่ 6
ตําแหนงที่ 3
1
2
6
43
5
2
3
5
61
4
3
1
4
52
6

9. 79
คําถามที่ 1 ผูสอนถามผูเรียนวา มีวิธีเลือกเขียนจํานวน 1 - 6 ในตําแหนงที่กําหนด
ใหในภาพไดกี่วิธีจงอธิบาย
คําตอบ 6 วิธีคือ จะเขียนจํานวน 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 จํานวนใดก็ได
คําถามที่ 2 เมื่อผูเรียนเลือกจํานวนที่ตองการมาหนึ่งจํานวนและเขียนลงใน
ตําแหนงที่กําหนดใหในภาพ แลวผูเรียนจะเลือกเขียนจํานวนที่อยูใน
ตําแหนงที่อยูในดานตรงกันขามไดกี่วิธี เพราะเหตุใด
คําตอบ 1 วิธี เพราะจะตองเลือกจํานวนที่นําไปบวกกับจํานวนที่เลือกไว
แลวใหมีผลบวกเทากับ 7 เชน
คําถามที่ 3 เมื่อเลือกจํานวนไปแลวสองจํานวน ผูเรียนจะเลือกจํานวนมาเขียนในตําแหนง
ที่สาม และตําแหนงที่หกไดกี่วิธี
คําตอบ จะตองเลือกจํานวนใดจํานวนหนึ่งจากจํานวนที่เหลือ 4 จํานวน หรือเลือกได
4 วิธี มาเขียนในตําแหนงที่สาม และเลือกจํานวนที่นํามาบวกกับจํานวนที่อยูใน
ตําแหนงที่สาม แลวมีผลบวกเทากับ 7 มาเขียนในตําแหนงที่หกไดอีก 1 วิธี
1
6
ตําแหนงที่ 1
ตําแหนงที่ 5
1
6
ตําแหนงที่ 3
ตําแหนงที่ 6

10. 80
คําถามที่ 4 จากจํานวนที่เหลือผูเรียนจะเลือกจํานวนมาเขียนในตําแหนงที่สอง และ
ตําแหนงที่สี่ไดกี่วิธี
คําตอบ จะตองเลือกจํานวนใดจํานวนหนึ่งจากจํานวนที่เหลือ 2 จํานวน หรือเลือกได
2 วิธี มาเขียนในตําแหนงที่สองและนําจํานวนที่เหลือมาเขียนในตําแหนงที่สี่
ไดอีก 1 วิธี ตัวอยางเชน
ถาใหจํานวน 1 อยูในตําแหนงที่หนึ่ง ในตําแหนงที่หา จะตองเลือก 6 ซึ่ง
เลือกได 1 วิธี
ในตําแหนงที่สามจะเลือก 2 , 3 , 4 หรือ 5 ก็ไดรวม 4 วิธี เชน
ถาเลือก 2 ในตําแหนงที่สามจะตองเลือก 5 มาเขียนในตําแหนงที่หก
1
6
1
2
6
5

11. 81
ในตําแหนงที่สองจะมีจํานวนใหเลือก คือ จํานวนที่เหลืออีก 2 จํานวนคือ 3
หรือ 4 ซึ่งเขียนไดทั้งหมดสองวิธีดังนี้
หรือ
จากคําตอบที่ไดผูสอนและผูเรียนชวยกันเขียนขอสรุปในตารางดังนี้
ตําแหนงที่ 1 2 3 4 5 6
จํานวนวิธีที่เลือก 6 2 4 1 1 1
ผูสอนถามผูเรียนวา จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวน 1 ถึง 6 บนลูกบาศก
เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามเทากับ 7 มีทั้งหมดเทาใด
ผูเรียนควรสรุปคําตอบโดยใชคําตอบที่ไดจากการทํากิจกรรมประกอบของแตละกลุม
ซึ่งคําตอบเทากับ 48 หรือ 6 × 2 × 4 วิธี
3 4 4 3

12. 82
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. เมือง ก. เมือง ข. และเมือง ค. มีถนนเชื่อมระหวางเมืองทั้งสามดังรูป
จงหาจํานวนวิธีที่จะเลือกเสนทางจากเมือง ก. ไปเมือง ค.
2. รานอาหารแหงหนึ่งจัดรายการอาหารไวดังนี้
อาหารคาว 8 ชนิด
อาหารหวาน 5 ชนิด
ผลไม 3 ชนิด
เครื่องดื่ม 3 ชนิด
ถาตองการจัดรายการอาหารที่มีอาหารคาว อาหารหวาน ผลไม และเครื่องดื่ม อยางละ
1 ชนิด จะจัดรายการอาหารที่แตกตางกันไดทั้งหมดกี่วิธี
3. 1) จงเขียนแผนภาพตนไม เพื่อแสดงบุตรชาย หรือหญิงของครอบครัวที่มีบุตร
สองคนและ
(1) มีบุตรคนแรกเปนชาย
(2) มีบุตรคนแรกเปนหญิง
2) จงหาความนาจะเปนที่ครอบครัวหนึ่งจะมีบุตรสามคนโดยที่
(1) บุตรทั้งสามเปนบุตรชาย
(2) เปนบุตรชายอยางนอย 1 คน
(3) ไมมีบุตรชายเลย
•
•
•ก.
ข.
ค.

13. 83
4. หยิบแผนปายสามแผนทีละแผนออกจากกลองโดยไมใสคืน แผนปายสามแผนเขียนอักษร
ไวดังนี้
แผนที่ 1 เขียนอักษร ช
แผนที่ 2 เขียนอักษร น
แผนที่ 3 เขียนอักษร ว
จงหาความนาจะเปนที่แผนปายที่หยิบไดครั้งที่ 1, 2 และ 3 จะอานวา “ชวน”
5.
ทอดลูกเตาทรงสี่หนาสองลูกที่มีดานแตละดานเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทาและมีตัวเลข
1, 2, 3 และ 4 เขียนไวบนหนาลูกเตาหนาละหนึ่งจํานวน
1) จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลบวกของแตมที่อยูบนหนาที่สัมผัสกับพื้นจะเทากับ
2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8
ผลบวก 2 3 4 5 6 7 8
จํานวนวิธี
2) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมนอยกวา 4
3) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมมีคาไมเกิน 4
4) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมไมเทากับ 5
5) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมเทากับ 2 หรือ 3

14. 84
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. ถากําหนดให a, b และ c แทนเสนทางแตละเสนทางจากเมือง ก ไปเมือง ข และ
x, y แทนเสนทางแตละเสนทางจากเมือง ข ไปเมือง ค จะแสดงการเดินทางจากเมือง ก
ไปเมือง ค ดังภาพ
เมือง ก เมือง ข เมือง ค เสนทาง
สรุปวา จํานวนวิธีที่จะเลือกเสนทางจากเมือง ก ไปเมือง ค มีทั้งหมด 3 × 2 หรือ 6 วิธี
2. มีวิธีจัดอาหารไดทั้งหมด 8 × 5 × 3 × 3 หรือ 360 วิธี
a
b
c
x
y
x
y
x
y
ax
ay
bx
by
cx
cy
•
•ก
ข
คa
b
c
x
y

15. 85
3. 1) บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง
(1) (2)
2) บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนที่สาม
ให E1, E2 และ E3 แทนเหตุการณในขอ (1), (2) และ (3)
S = {(ช, ช, ช), (ช, ช, ญ), (ช, ญ, ช), (ช, ญ, ญ),
(ญ, ช, ช), (ญ, ช, ญ), (ญ, ญ, ช), (ญ, ญ, ญ)}
E1 = {(ช, ช, ช)}
E2 = {(ช, ช, ช), (ช, ช, ญ), (ช, ญ, ช), (ช, ญ, ญ), (ญ, ช, ช),
(ญ, ช, ญ), (ญ, ญ, ช)}
E3 = {(ญ, ญ, ญ)}
(1) P(E1) = 1
8
(2) P(E2) = 7
8
(3) P(E3) = 1
8
ช
ญ
ช
ช
ญ
ช
ช
ญ
ช
ญ
ช
ญ
ญ
ช
ญ
ช
ญ
ช
ญ
ญ

16. 86
4. จํานวนวิธีที่จะหยิบแผนปายสามแผนทีละแผนมีไดทั้งหมด 3 × 2 × 1 หรือ 6 วิธี
จํานวนวิธีที่จะหยิบแผนปายครั้งที่ 1, 2 และ 3 แลวไดอักษร ช, ว และ น มีไดทั้งหมด
1 × 1 × 1 หรือ 1 วิธี
ดังนั้น ความนาจะเปนที่แผนปายที่หยิบไดครั้งที่ 1, 2 และ 3 จะอานไดวา “ชวน”
เทากับ 1
6
5. ผลบวกที่จะเกิดจากการทอดลูกเตาสองลูกจะเทากับ 2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8
จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองลูกเทากับ 4 × 4
หรือ 16 วิธี หรือหาจํานวนวิธีที่จะไดผลบวกทั้งหมดโดยใชตารางดังนี้
1 2 3 4
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
จากตารางขางตนจะเห็นวา
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 2 คือ (1, 1) มี 1 วิธี
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 3 คือ (1, 2), (2, 1) มี 2 วิธี
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 4 คือ (1, 3), (3, 1), (2, 2) มี 3 วิธี
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 5 คือ (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) มี 4 วิธี
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 6 คือ (2, 4), (4, 2), (3, 3) มี 3 วิธี
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 7 คือ (3, 4), (4, 3) มี 2 วิธี
วิธีที่ผลบวกจะเทากับ 8 คือ (4, 4) มี 1 วิธี
รวม 16 วิธี

17. 87
ผลบวก 2 3 4 5 6 7 8
จํานวนวิธี 1 2 3 4 3 2 1
ให E1, E2, E3 และ E4 เปนเหตุการณในขอ 2), 3), 4) และ 5)
2) P(E1) = 3
16
3) P(E2) = 6
16
หรือ 3
8
4) P(E3) = 12
16
หรือ 3
4
5) P(E4) = 3
16
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
1. เสนทางที่จะขับรถจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีที่ตางกันมีทั้งหมด
3 × 4 หรือ 12 เสนทาง
ใชแผนภาพตนไมแสดงเสนทางการเดินทางขางตนไดดังนี้
ให ล1, ล2 และ ล3 แทนถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรีซึ่งมี 3 สาย
ให น1, น2, น3 และ น4 แทนถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมาซึ่งมี 4 สาย

18. 88
น1
น2
น3
น4
น1
น2
น3
น4
น1
น2
น3
น4
จะเห็นไดวามีวิธีเลือกเสนทางจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีไดทั้งหมด
12 วิธี คือ (ล1, น1), (ล1, น2), (ล1, น3), (ล1, น4), (ล2, น1), (ล2, น2), (ล2, น3),
(ล2, น4), (ล3, น1), (ล3, น2), (ล3, น3), (ล3, น4)
2. ให ห1, ห2 และ ห3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ขึ้นหัว
ก1, ก2 และ ก3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ขึ้นกอย
ผลที่เกิดจากการโยนเหรียญแตละครั้งจะเปนหัวหรือกอย มี 2 วิธี
ดังนั้น การโยนเหรียญสามเหรียญจะไดผลตางกันทั้งหมด 2 × 2 × 2 = 8 วิธี
ล1
ล2
ล3
กรุงเทพฯ
ห1
ก1
ห2
ก2
ห2
ก2
ห3
ก3
ห3
ก3
ห3
ก3
ห3
ก3

19. 89
3. ตองใชเสื้อทั้งหมดเทากับ 4 × 6 × 3 = 72 ตัว
4. คําตอบของขอแรกมีวิธีใหเลือก 2 วิธี
ในแตละวิธีเลือกคําตอบขอแรกจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสอง 2 วิธี
ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกและขอสองจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี
ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอสามจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี
M M
ในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอเกาจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสิบ 2 วิธี
ดังนั้น จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตาง ๆ กัน 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 210
= 1024 วิธี
5. หมายเลขโทรศัพทประกอบดวยเลขโดด 9 ตัว ซึ่งไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
ตําแหนงที่ 1 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 0
ตําแหนงที่ 2 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2
ตําแหนงที่ 3 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 3
ตําแหนงที่ 4 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 9
ตําแหนงที่ 5 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2
ตําแหนงที่ 6, 7, 8 และ 9 แตละตําแหนงอาจเปนเลขโดดตัวใดตัวหนึ่งจาก 0 – 9
ซึ่งเปนไปได 10 วิธี
ดังนั้น หมายเลขโทรศัพทที่หาตัวแรกเปน 02392 มีไดทั้งหมด
1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 หมายเลข
6. จํานวนวิธีที่จะเขาสนามกีฬาโดยใชประตูใดประตูหนึ่ง มีได 4 วิธี
จํานวนวิธีที่จะออกจากสนามกีฬาโดยใชประตูที่ไมซ้ํากับประตูที่เขามา มีได 3 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีเขาและออกจากสนามกีฬาแหงนี้มีไดทั้งหมด 4 × 3 = 12 วิธี
7. 1) ผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรกมี 6 วิธี คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และในแตละ
วิธีของผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรก จํานวนวิธีที่แตมที่ไดตรงกันมีได 1 วิธี
ดังนั้น วิธีที่จะใหจํานวนแตมตรงกันมี 6 × 1 = 6 วิธี

20. 90
2) การที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาสองลูกจะเทากับ 10 มี 3 วิธี คือ แตมของ
ลูกเตาลูกแรกเปน 4, 5 หรือ 6 (เพราะแตม 1, 2, 3 ไมมีโอกาสที่จะรวมกับ
แตมของลูกที่สองแลวเทากับ 10) และในแตละวิธีของการทอดลูกเตาลูกแรก
จะไดผลรวมของแตมเทากับ 10 มีเพียง 1 วิธี คือ 4 และ 6, 5 และ 5, 6 และ 4
ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมเทากับสิบมีได 3 วิธี
3) ในแตละครั้งที่ปรากฏผลจากการทอดลูกสองลูกพรอมกัน การที่แตมของ
ลูกเตาลูกที่สองจะตางจากลูกแรกมีได 5 วิธี
แตเนื่องจากในการทอดลูกเตาลูกแรกจะปรากฏผลไดทั้งหมด 6 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีที่แตมของลูกเตาสองลูกตางกันเทากับ 6 × 5 = 30 วิธี
4) จํานวนวิธีที่เกิดผลลัพธทั้งหมดในการทอดลูกเตา 2 ลูกมี 6 × 6 หรือ 36 วิธี
จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบมี 3 วิธีคือ 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4
จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบเอ็ดมี 2 วิธี คือ 5 + 6, 6 + 5
จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบสองมี 1 วิธี คือ 6 + 6
จะไดวา จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลลัพธมากกวาหรือเทากับสิบจะเทากับ
3 + 2 + 1 หรือ 6 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมนอยกวาสิบมี 36 – 6 หรือ 30 วิธี
8. เลขโดดในหลักทั้งสี่ตางเปนสมาชิกของเซต S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1) ในหลักพันจะมีเลขโดดที่เปนไปได 9 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S
ก็ได ยกเวน 0
ในหลักรอยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S
ในหลักสิบจะมีเลขโดดเปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S
ในหลักหนวยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S
ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสี่หลักมีทั้งหมดเทากับ
9 × 10 × 10 × 10 หรือ 9,000 วิธี

21. 91
2) จํานวนคี่ใด ๆ จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7, 9 ซึ่งมีได 5 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนคี่บวกซึ่งเปนจํานวนที่มีสี่หลักมีทั้งหมด
9 × 10 × 10 × 5 = 4,500 วิธี
3) จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักและมีหลักหนวยเปน 0
มีทั้งหมด 9 × 10 × 10 × 1 = 900 วิธี
9. ทะเบียนรถยนตประกอบดวยพยัญชนะ 1 ตัว และเลขโดดอีก 4 ตัว
ดังนั้น จํานวนทะเบียนรถที่จะมีไดทั้งหมด 44 × 104
ทะเบียน
แตถาคิดวาหมายเลข 0000 ซึ่งมีทั้งหมด 44 รายการ กองทะเบียนจะไมออก
ทะเบียนให จะมีทะเบียนรถยนตไดทั้งหมด 44(104
– 1) ทะเบียน
ในกรณีที่กองทะเบียนรถยนตเปลี่ยนระบบใหมโดยใชตัวเลข 1 ถึง 9 นําหนา
พยัญชนะและตามดวยเลขโดด 4 ตัว
ดังนั้น ในระบบใหมกองทะเบียนจะออกทะเบียนไดทั้งหมด (9)(44)(104
– 1) ทะเบียน
นั่นคือ กองทะเบียนจะออกหมายเลขทะเบียนรถยนตเพิ่มขึ้นจากเดิมได
9 × 44(104
– 1) – 44(104
– 1) = 44(104
– 1)(9 – 1)
= 352(104
– 1) ทะเบียน
= 3,519,648 ทะเบียน
10. จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 1 หลัก มีได 9 แบบ (1 – 9)
จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 2 หลัก มีได 90 แบบ (10 – 99)
จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 3 หลัก มีได 900 แบบ (100 – 999)
จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 4 หลัก มีได 9000 แบบ (1000 – 9999)
ดังนั้น จํานวนหมายเลขทะเบียนที่แตกตางกันมีไดทั้งหมด 44 × 44 × 9999
หรือ 19,358,064 ทะเบียน
11. มีวิธีเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสองหลักจากตัวเลข 1 ถึง 7 ได 7 × 7 = 49

22. 92
12. 1) จํานวนคูจะตองมีหลักหนวยเปน 2, 4, 6, 8
เนื่องจากจํานวนคูที่ตองการใหเลือกจากเลขโดด 2 – 9 ซึ่งมีทั้งหมด 8 ตัว
ดังนั้น การเขียนจํานวนคูซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักจากเลขโดดที่กําหนด
ใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 4 = 256 วิธี
2) จํานวนคี่จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7
ดังนั้น การเขียนจํานวนคี่ซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักจากเลขโดดที่กําหนด
ใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 8 × 4 = 2,048 วิธี
13. จํานวนวิธีทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทอดลูกเตาสามลูก มีทั้งหมด 6 × 6 × 6
หรือ 216 วิธี
ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสามที่นอยกวาหรือเทากับ 4 มีทั้งหมด 4 วิธี ดังนี้
แตมบนหนาลูกเตา
ลูกที่ 1 ลูกที่ 2 ลูกที่ 3
ผลรวม
ของแตม
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
3
4
4
4
ดังนั้น จํานวนวิธีที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาสามลูกมากกวาสี่ เทากับ 216 – 4
หรือ 212 วิธี
14. เนื่องจากจํานวนนับที่เปนจํานวนสามหลักที่มากกวา 400 จะตองมีเลขโดดในหลักรอย
เปน 4 หรือ 5 การเขียนจํานวนดังกลาวมีได 2 วิธี
ดังนั้น จํานวนนับที่มีสามหลักที่ตองการจะมีได 2 × 3 × 2 = 12 จํานวน
จํานวนนับที่มีสี่หลักมีได 4 × 3 × 2 ×1 = 24 จํานวน
นั่นคือ จํานวนนับที่มากกวา 400 และเปนจํานวนไมเกินสี่หลักตามตองการ
มีทั้งหมด 12 + 24 = 36 จํานวน

23. 93
เฉลยแบบฝกหัด 2.2
1. มีถุงเทา 4 คู เปนถุงเทาสีดํา 2 คู ใหเปน ด1, ด2 และเปนถุงเทาสีขาว 2 คู
ใหเปน ข1, ข2
ดังนั้น S = {(ด1, ด2), (ด1, ข1), (ด1, ข2), (ด2, ข1), (ด2, ข2), (ข1, ข2)}
E เปนเหตุการณที่จะหยิบถุงเทาสองคูใหไดสีเดียวกัน
นั่นคือ E = {(ด1, ด2), (ข1, ข2)}
ดังนั้น P(E) = 2
6
หรือ 1
3
2. มีนักเรียนทั้งหมด 30 คน เปนนักเรียนชาย 18 คน นักเรียนหญิง 12 คน
1) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนชายเทากับ 18
30
= 3
5
2) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนหญิงเทากับ 12
30
= 2
5
3. มีเบี้ย 6 อัน แตละอันเขียนตัวเลข 3, 4, 7, 9, 10, 11 กํากับไว
1) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนคูไวมีสองอันคือ 4 และ 10
ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนคูเทากับ 2
6
หรือ 1
3
2) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนเฉพาะไวมี 3 อัน คือ 3 , 7 และ 11
ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนเฉพาะเทากับ 3
6
หรือ 1
2
3) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว มี 2 อัน คือ 3 และ 9
ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวเทากับ
2
6
หรือ 1
3
4) เบี้ยที่เขียนตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณมี 2 อัน
คือ 4 และ 9
ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณ
เทากับ 2
6
หรือ 1
3

24. 94
4. เหรียญบาท 100 เหรียญ แตละเหรียญเขียนตัวเลขกํากับไวตั้งแต 1 ถึง 100
1) ให E1 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวนคู
จะได E1 = {2, 4, 6, ..., 98, 100}
P(E1) = 50
100
= 1
2
2) ให E2 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน
ที่มีรากที่สองเปนจํานวนเต็ม
จะได E2 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
P(E2) = 10
100
= 1
10
3) ให E3 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน
ที่หารดวย 5 ลงตัว
จะได E3 = {5, 10, 15, 20, 25, ...., 90, 95, 100}
P(E3) = 20
100
= 1
5
4) เนื่องจาก 1 ถึง 100 มีจํานวนที่เปนจํานวนคี่อยู 50 จํานวน
พิจารณาจํานวนคูที่มีคาตั้งแต 1 ถึง 100 และหารดวย 3 ลงตัว จะพบวา
จํานวนดังกลาวเขียนไดในรูปลําดับเลขคณิต 6, 12, 18, 24, ..., 96
จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 6 และ d = 6
จะได 96 = 6 + (n – 1)6
96 = 6 + 6n – 6
n = 16
ดังนั้น จํานวนคี่หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว ซึ่งมีคาตั้งแต 1 ถึง 100
มีทั้งหมด 50 + 16 หรือ 66 จํานวน
นั่นคือ ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่เขียนกํากับเหรียญที่หยิบไดจะเปนจํานวนคี่
หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว เทากับ 66
100
หรือ 33
50

25. 95
5. ในงานปใหมของอําเภอหนึ่ง มีการขายสลากจํานวน 1,000 ใบ
1) ถาซื้อสลาก 1 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน 1
1,000
2) ถาซื้อสลาก 10 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน 10
1,000
= 1
100
6. 1) 7
20
2) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาที่เล็กกวาเบอร 8 มี 3 + 12 + 35 หรือ 50 คน
ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเล็กกวาเบอร 8 เทากับ
50
100
หรือ 1
2
3) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 8 หรือ 9 มี 27 + 16 = 43 คน
ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 8 หรือเบอร 9
เทากับ 43
100
4) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 มี 3 + 7 หรือ 10 คน
ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 5 หรือเบอร 10
เทากับ 1
10
5) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาใหญกวาเบอร 7 มี 27 + 16 + 7 หรือ 50 คน
ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร ใหญกวาเบอร 7
เทากับ 50
100
หรือ 1
2
7. ใหหลอดไฟที่ดี 3 หลอด แทนดวย ด1, ด2 และ ด3
หลอดไฟที่เสีย 2 หลอด แทนดวย ส1 และ ส2
ถาหยิบหลอดไฟสองหลอดจะปรากฏผลไดทั้งหมด 10 วิธี ดังนี้
ด1 และ ด2 * ด2 และ ส1
ด1 และ ด3 * ด2 และ ส2
ด2 และ ด3 * ด3 และ ส1
* ด1 และ ส1 * ด3 และ ส2
* ด1 และ ส2 ส1 และ ส2
จากผลขางตนจะพบวา ความนาจะเปนที่จะหยิบไดหลอดดีและหลอดเสีย
อยางละ 1 หลอด เทากับ 6
10
หรือ 3
5

26. 96
8. ถุงใบหนึ่งมีลูกปงปองสีแดง 15 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีเขียว 1 ลูก
สีฟา 1 ลูก และสีดํา 1 ลูก รวมทั้งหมด 20 ลูก
1) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงเทากับ 15
20
หรือ 3
4
2) ความนาจะเปนที่จะหยิบไมไดลูกบอลสีดําเทากับ 19
20
3) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีดําหรือสีขาว 2
20
หรือ 1
10
9. ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําผลไมเทากับ 1
4
หรือ 0.25
ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 2
5
หรือ 0.4
ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลืองเทากับ 1
20
หรือ 0.05
ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําอัดลมเทากับ 3
10
หรือ 0.3
1) เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 0.4
ซึ่งมีคามากที่สุด
ดังนั้น นมเปนเครื่องดื่มที่ขายดีที่สุด
2) เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลือง
เทากับ 0.05 ซึ่งมีคานอยที่สุด
ดังนั้น น้ํานมถั่วเหลืองเปนเครื่องดื่มที่ขายไดนอยที่สุด
3) เมื่อเรียงลําดับคาของความนาจะเปนขางตน จะพบวา ความนิยมของเครื่องดื่ม
ที่ขายดีมากที่สุดไปนอยที่สุดเปนดังนี้
นม น้ําอัดลม น้ําผลไม และน้ํานมถั่วเหลือง
10. 1) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 1 เทากับ 1
10
2) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 6 เทากับ 2
10
หรือ 1
5
3) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคู เทากับ 6
10
หรือ 3
5
4) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคี่ เทากับ 4
10
หรือ 2
5
5) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนเฉพาะเทากับ 5
10
หรือ 1
2
6) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนที่มีคามากกวา 4 เทากับ 4
10
หรือ 2
5