1. บทที่ 1
เซต
( 10 ชั่วโมง )
เนื้อหาสาระเรื่อง เซต ถือวาเปนเนื้อหาที่มีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปน
รากฐานและเครื่องมือที่สําคัญในการเรียนรูคณิตศาสตรทุกสาขา เรื่องเซตที่กลาวถึงในหนังสือเรียน
จะเปนพื้นฐานที่เพียงพอตอการนําไปใช โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังตอไปนี้
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเซต สามารถหายูเนียน อินเตอรเซกชัน คอมพลีเมนต และผลตาง
ของเซต
2. เขียนแผนภาพแทนเซตและนําไปใชในการแกปญหาที่เกี่ยวกับการหาสมาชิกของเซตได
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะ
กระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง

2. 2
ขอเสนอแนะ
1. เนื่องจากสาระการเรียนรูคณิตศาสตรในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน เปนสาระที่จําเปนสําหรับ
ผูเรียนทุกคน สําหรับสาระที่เปนเนื้อหาวิชาที่จัดไวในหนังสือเรียนคณิตศาสตรรายวิชาพื้นฐาน
ไดจัดทําไวสําหรับใหผูเรียนที่มีพื้นฐานปานกลางและสูง สามารถอานและทําความเขาใจ
ดวยตนเองได สําหรับผูเรียนที่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตรไมคอยดี ผูสอนอาจจะตองใชวิธีการ
สอนที่ทําใหผูเรียนเกิดการเรียนรูใหไดตามมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไว และจะตอง
ระมัดระวังในการยกตัวอยางที่ไมซับซอนเกินความสามารถของผูเรียน เชน กําหนดใหผูเรียน
เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก โดยกําหนดให
1) A = {x⏐x3
= 343}
2) B = {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยกวา 5}
จากตัวอยางขางตน จะเห็นวาการหาคําตอบในขอ 1) ผูเรียนจะตองมีความเขาใจในเรื่อง
เลขยกกําลังและตองมีความสามารถในการคิดคํานวณมากกวาการหาคําตอบในขอ 2) ซึ่งโดย
แทจริงแลวจุดประสงคของการเรียนรูในเรื่องนี้คือ ตองการวัดความรูของผูเรียนวาสามารถเขียน
เซตแบบแจกแจงสมาชิกจากเซตที่กําหนดใหแบบบอกเงื่อนไขไดหรือไม แตไมตองการวัดความรู
ที่เกี่ยวกับทักษะการคํานวณแตอยางใด ดังนั้นผูสอนจึงควรตองระมัดระวังในการยกตัวอยางใหแก
ผูเรียนที่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตรไมคอยดีแตสําหรับผูเรียนที่มีความสามารถทางคณิตศาสตรสูง
ผูสอนอาจยกตัวอยางที่ซับซอนกวา เพื่อพัฒนาความสามารถของผูเรียนได
2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข ควรใหผูเรียนมีอิสระในการตอบ ซึ่งคําตอบของผูเรียนไมจําเปน
ตองตรงกับคําตอบที่ผูสอนคิดไว เนื่องจากการบอกเงื่อนไขนั้นสามารถบอกไดหลายแบบ เชน
F = {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่เปนจํานวนคี่} หรือ F = {x⏐x เปนจํานวนคี่บวก}
3. การใชสัญลักษณแทนเซตวาง มีขอควรระวัง ดังนี้
{ } และ ∅ เปนสัญลักษณแทนเซตวาง
แต {0} ไมเปนเซตวาง เพราะมีสมาชิก 1 ตัว คือ 0
{{ }} ไมเปนเซตวาง เพราะมีสมาชิก 1 ตัว คือ { }
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องนี้ดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจยกตัวอยางเปรียบเทียบเซตวางกับสิ่งที่เปน
รูปธรรม เชน เปรียบเทียบเซตวางกับกลองเปลาซึ่งเหมือนกันในแงที่วา เซตวางคือเซตที่ไมมี
สมาชิก และกลองเปลาคือกลองที่ไมมีอะไรบรรจุอยูภายในเลย แตถานํากลองเปลาใบหนึ่งใสลง
ไปในกลองเปลาอีกใบหนึ่งแลวจะพบวา กลองเปลาใบหลังจะไมเปนกลองเปลาอีกตอไป ทั้งนี้
เพราะมีกลองเปลาใบแรกบรรจุอยูภายใน

3. 3
4. การสอนเรื่องสมาชิกของเซตและจํานวนสมาชิกของเซต อาจมีตัวอยางเซตที่มีสมาชิกบางตัวเปน
เซตบาง เชน {1, 2, {3, 4}} เปนเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว คือ 1, 2 และ {3, 4}
5. การสอนเรื่องเซตจํากัดและเซตอนันตนั้น ควรยกตัวอยางเฉพาะเซตที่นาสนใจและมีประโยชน
ที่จะทําใหเกิดความเขาใจในเรื่องนี้ไดดีขึ้น เชน เซตของนักเรียนในหองเปนเซตจํากัด เซตของ
เสนผมของคนคนหนึ่งเปนเซตจํากัด เซตของจํานวนเต็มที่มีคาระหวาง 0 และ 10 เปนเซต
จํากัด เซตของจํานวนเต็มบวกเปนเซตอนันต เซตของจํานวนจริงที่มีคาตั้งแต 0 ถึง 10 เปน
เซตอนันต
ผูเรียนมักจะเขาใจวา เซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนมาก ๆ เปนเซตอนันต เชน เซตของเสนผม
เซตของเม็ดทราย เปนตน แตที่แทจริงแลวเซตในทํานองเดียวกับตัวอยางดังกลาวเปนเซตจํากัด
ซึ่งผูสอนอาจอธิบายวา เซตเหลานั้นสามารถนับจํานวนสมาชิกไดและมีสมาชิกไมเกินจํานวนนับ
จํานวนหนึ่ง ดังนั้น เราสามารถบอกจํานวนสมาชิกของเซตนั้นได อยางไรก็ดีในการสอนผูสอน
ควรหลีกเลี่ยงการยกตัวอยางเซตประเภทนี้ แตถาเลี่ยงไมไดก็ควรชี้แจงใหผูเรียนเขาใจใหถูกตอง
วาเปนเซตจํากัดที่มีจํานวนสมาชิกมากมายไมสะดวกแกการนับ
6. ในการกลาวถึงสมาชิกในเซตครั้งใด ถากําหนดเอกภพสัมพัทธใหแลว จะกลาวถึงสิ่งใด
นอกเหนือไปจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธไมได (ผูสอนควรจะชี้แจงดวยวา เมื่อกลาวถึงเซต
ของจํานวน ถาไมไดกลาวถึงเอกภพสัมพัทธไวใหถือวา เอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง)
7. การเขียนแผนภาพแทนเซตนั้นในหนังสือเรียนมักจะใชรูปวงรี หรือรูปวงกลม ซึ่งไดกลาวไวใน
หนังสือเรียนแลวเชนกันวา จะเปนรูปใดก็ไดที่มีลักษณะเปนรูปปด ดังนั้น ผูเรียนอาจเขียนแทน
เซตโดยใชรูป ∆ หรือ หรือรูปปดใดก็ได
8. ในการแกโจทยปญหาที่เกี่ยวกับยูเนียน อินเตอรเซกชัน และคอมพลีเมนตของเซตจํากัด ควรให
ผูเรียนเขียนแผนภาพของเวนน - ออยเลอร กํากับดวยทุกครั้ง เพราะการเขียนแผนภาพจะชวยให
ผูเรียนไดเห็นแนวทางในการแกปญหาอีกทั้งยังเปนพื้นฐานตอการศึกษาสาระอื่นๆของคณิตศาสตร

4. 4
กิจกรรมเสนอแนะ
ผูสอนอาจใชกิจกรรมตอไปนี้ประกอบการเรียนการสอนเรื่อง แผนภาพของเวนน-ออยเลอร
หรือใหผูเรียนแกปญหาในกิจกรรมหลังจากเรียนเกี่ยวกับการดําเนินการของเซตแลว ผูสอนอาจนําเสนอ
เปนใบกิจกรรม โดยใหผูเรียนทําเปนกลุมหรือเดี่ยว ซึ่งขึ้นอยูกับความเหมาะสมของผูเรียน
ในกิจกรรมนี้มุงหวังใหผูเรียนสามารถอธิบายวิธีการหาคําตอบหรือวิธีการแกปญหา ซึ่งจะ
เปนการเสริมสรางทักษะกระบวนการแกปญหาและการสื่อสารของผูเรียน
กิจกรรม
1. จงเขียนจํานวน 1 ถึง 12 ลงในแผนภาพแทนเซต A, B และ C โดยมีเงื่อนไขดังนี้
1) จํานวนคี่เปนสมาชิกของเซต A
2) จํานวนคูเปนสมาชิกของเซต B
3) จํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว เปนสมาชิกของเซต C
แนวทางการหาคําตอบ
1) เขียนเซต A, B, C แบบแจกแจงสมาชิก ไดดังนี้
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
C = { 3, 6, 9, 12 }
2) นําเซตแตละเซตเขียนลงในแผนภาพที่กําหนดให โดยพิจารณาวาแตละเซตมีสมาชิกรวม
กันหรือไม ซึ่งจะไดคําตอบดังนี้
A B
C U
A B
C
1 5
7
11
2
4 10
86
12
3
9
U

5. 5
2. จงเขียนจํานวน 4 ถึง 10 ในแผนภาพแทนเซต A, B และ C โดยใหผลรวมของจํานวนที่เปน
สมาชิกในแตละเซตเทากับ 30 และอธิบายวิธีการหาคําตอบ
แนวทางการหาคําตอบ
จากเงื่อนไขที่โจทยกําหนดวา แตละเซตตองมีผลรวมของจํานวนที่เปนสมาชิกของเซต เทากับ 30
ดังนั้นสามารถหาเซต A, B, C ไดดังนี้
จากแผนภาพพบวา เซต A ประกอบดวยสมาชิก 2 ตัว คือ 1, 2 ซึ่งมีผลรวมเทากับ 3
แตเงื่อนไขตองการใหมีผลรวมของจํานวนที่เปนสมาชิกเทากับ 30 ดังนั้นตองหาสมาชิกที่เหลือของ
เซต A ซึ่งมีผลรวมเทากับ 27 ดังรูป (1) หรือ (2)
(1) (2)
สวนการหาสมาชิกของ เซต B และ เซต C ก็ทําไดในทํานองเดียวกัน โดยจะไดคําตอบ ดังรูป (3)
หรือ (4)
(3) (4)
A B
C
1
2
3
U
A B
C
10
1
58
6
9
2
4
7
3
U
A B
C
10
1
7
8 6
9
2
4 3
U
5
A B
C
10
1
8
9
2
U
A B
C
10
1
8
9
2
U

6. 6
แบบทดสอบประจําบท
แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซึ่งจะใชประเมินผล
ดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่องเซต ผูสอนสามารถเลือกและปรับแบบทดสอบ
ใหเหมาะสมกับผูเรียนได
ตัวอยางแบบทดสอบ
1. จงยกตัวอยางเซตของสิ่งของหรือกลุมคนที่ทานพบในชีวิตประจําวันมา 2 เซต โดยเขียนแบบ
แจกแจงสมาชิก และเขียนแบบบอกเงื่อนไข
2. ถาทานและเพื่อนมีเงินในกระเปาเปนจํานวนที่ตางกัน เปนไปไดหรือไมวา เซตของชนิดของ
ธนบัตรในกระเปาของทานและเพื่อนจะเปนเซตที่เทากัน จงอธิบายพรอมยกตัวอยางประกอบ
3. ให A = {1, 2, 3, …, 10}
1) จงยกตัวอยางสับเซตของ A มา 3 เซต
2) {1} เปนสมาชิกของเซต A หรือเปนสับเซตของเซต A
4. ให U = {m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w}
A = {m, n, p, q, r, t}
B = {m, o, p, q, s, u}
C = {m, o, p, r, s, t, u, v}
จงหา A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C และ A ∩ B ∩ C
5. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} และ C = {3, 4, 5, 6}
จงหาเซตตอไปนี้พรอมเขียนแผนภาพแทนเซต
1) A ∪ B 5) B – C
2) A ∪ C 6) C – A
3) A ∩ B 7) (A ∪ B) ∪ C
4) B ∪ C 8) A ∪ (B ∪ C)

7. 7
6. จากแผนภาพที่กําหนดให จงแรเงาเพื่อแสดงบริเวณที่แทนเซตตอไปนี้
1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) A – B
7. กําหนดให U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} , A = {0, 2, 3} และ B = {0, 2}
จงหา A – B, A′ , B′
8. ให A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A – B = {1, 2}
A ∩ C = {1, 3, 5}
B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6}
จงหา A, B และ C
9. ให A และ B แทนเซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนเต็ม จงยกตัวอยางของเซต A และ B ในแตละขอ
ที่มีสมบัติดังตอไปนี้
1) A = A – B
2) A ∩ B = ∅
3) A ∪ B = A
10. กําหนดให U = {-5, -4, -3, …, 7, 8}
A = {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 4 } และ B = {x⏐x เปนจํานวนคู}
1) จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอร แสดง U , A และ B
2) จงหา n(A ∩ B) และ n(A ∪ B)
11. จากการสอบถามนักเรียน 80 คน เกี่ยวกับการใชเวลาวาง พบวา มี 15 คน ที่ชอบทั้งเลนกีฬา
เลนดนตรี และดูภาพยนตร มี 40 คน ที่ชอบเลนดนตรีและชอบดูภาพยนตร มี 30 คน ที่ชอบเลน
กีฬาและดูภาพยนตร ถามีนักเรียน 60 คน ที่ชอบดูภาพยนตร มี 50 คน ที่ชอบเลนดนตรีและมี
นักเรียน 40 คน ที่ชอบเลนกีฬา ถามวามีนักเรียนกี่คนที่
1) ชอบเลนกีฬาอยางเดียว 2) ชอบเลนดนตรีอยางเดียว 3) ชอบดูภาพยนตรอยางเดียว
A B
U

8. 8
12. ถาในแตละสัปดาหทานจะตองเรียนวิชาคณิตศาสตร 3 วัน และเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 3 วัน และ
จะตองเรียนทั้งวิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษในวันเดียวกันสัปดาหละ 1 วัน ถามวา
1) ทานเรียนวิชาคณิตศาสตรอยางเดียว สัปดาหละกี่วัน
2) ทานเรียนวิชาภาษาอังกฤษอยางเดียว สัปดาหละกี่วัน
3) ถาจํานวนใน 1 สัปดาห หมายถึง 5 วันที่ทานไปโรงเรียน ทานมีวันที่ไมตองเรียนวิชาใด
วิชาหนึ่งในสองวิชานี้หรือไม
ใหเขียนแผนภาพแทนเซตเพื่อหาคําตอบขางตน
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. ตัวอยางเซตของสิ่งของ หรือกลุมคนที่ทานพบในชีวิตประจําวัน ไดแก
A = {x⏐x เปนอุปกรณที่ใชในการเย็บผา}
หรือ A = {จักรเย็บผา, เข็มเย็บผา, กรรไกร, ดาย}
B = {x⏐x เปนวิชาที่ตองสอบเขาเรียนคณะวิทยาศาสตรในสถาบันอุดมศึกษา}
หรือ B = {คณิตศาสตร, เคมี, ชีวะ, ฟสิกส, ภาษาอังกฤษ, สังคมศาสตร, ภาษาไทย}
2. ตัวอยางคําตอบ
อรอุมาและสันตินัดไปทานขาวกลางวันที่รานอาหารแหงหนึ่ง โดยอรอุมามีเงินในกระเปา
มูลคา 1,250 บาท สวนสันติมีเงินในกระเปามูลคา 2,100 บาท
ให a แทนธนบัตรชนิดใบละ 500 บาท
b แทนธนบัตรชนิดใบละ 100 บาท
c แทนธนบัตรชนิดใบละ 50 บาท
ให A แทนเซตของชนิดของธนบัตรในกระเปาของอรอุมา
ซึ่งประกอบดวย ธนบัตรชนิดใบละ 500 บาท 2 ใบ แทนดวย a, a
ธนบัตรชนิดใบละ 100 บาท 2 ใบ แทนดวย b, b
ธนบัตรชนิดใบละ 50 บาท 1 ใบ แทนดวย c
ให B แทนเซตของชนิดของธนบัตรในกระเปาของสันติ
ซึ่งประกอบดวย ธนบัตรชนิดใบละ 500 บาท 3 ใบ แทนดวย a, a, a
ธนบัตรชนิดใบละ 100 บาท 5 ใบ แทนดวย b, b, b, b, b
ธนบัตรชนิดใบละ 50 บาท 2 ใบ แทนดวย c, c
จะไดวา A = {a, b, c}
B = {a, b, c}
ดังนั้น A = B

9. 9
3. ให A = {1, 2, 3, …, 10}
1) ตัวอยางสับเซตของเซต A สามเซต ไดแก
(1) B = {1, 2, 3}
(2) C = {8, 9}
(3) D = {5}
2) {1} เปนสับเซตของเซต A
4. ให U = {m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w}
A = {m, n, p, q, r, t}
B = {m, o, p, q, s, u}
C = {m, o, p, r, s, t, u, v}
เขียนสมาชิกของแตละเซตในแผนภาพไดดังนี้
A ∩ B = {m, p, q}
B ∩ C = {m, p, o, s, u}
A ∩ C = {m, p, r, t}
A ∩ B ∩ C = {m, p}
5. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} และ C = {3, 4, 5, 6}
1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
A B
C
n q
m
pr t o
s u
v
w
U
1
2 3
4
568
A
B C
U

10. 10
2) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3) A ∩ B = {2, 4}
4) B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 8}
5) B – C = {2, 8}
1
2 3
4
568
UA
B C
1
2 3
4
568
UA
B C
1
2 3
4
568
U
A
B C
1
2 3
4
568
UA
B C

11. 11
6) C – A = {5, 6}
7) (A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
8) A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
6. 1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) A – B
1
2 3
4
568
A
B C
U
1
2 3
4
568
A
B C
U
1
2 3
4
568
A
B C
U
A B
U U
A BA B
U

12. 12
7. กําหนดให U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} , A = {0, 2, 3} และ B = {0, 2}
A – B = {3} A′ = {1, 4, 5}
B′ = {1, 3, 4, 5}
8. ให A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A – B = {1, 2}
A ∩ C = {1, 3, 5}
B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6}
เขียนแผนภาพแทนเซตขางตนไดดังนี้
จากแผนภาพ A = {1, 2, 3, 5, 6}
B = {3, 4, 5, 6}
C = {1, 3, 5}
(อาจมีคําตอบอื่นนอกเหนือจากที่เฉลย)
9. ให A และ B แทนเซตที่มีสมาชิกเปนจํานวนเต็ม
1) A = A – B
A = {1, 2, 3, 4}
B = {5, 6}
A – B = {1, 2, 3, 4} ซึ่งเทากับเซต A
2) A ∩ B = ∅
A = {1, 2, 3, 4}
B = {7, 8}
A ∩ B = ∅
U
BA
3 0
2
1 4 5U
A B
3
1 4 5
0
2
2 6 4
3
51
A B
C
U
A B
3 0
2
1 4 5 U

13. 13
3) A ∪ B = A
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ซึ่งเทากับเซต A
10. กําหนดให U = {-5, -4, -3, …, 7, 8}
A = {x⏐ x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 4 } หรือ A = {5, 6, 7, 8}
B = {x⏐ x เปนจํานวนคู} หรือ B = {-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}
1) เขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอร แสดง U , A และ B ไดดังนี้
2) จากแผนภาพ
จะได n(A ∩ B) = 2
และ n(A ∪ B) = 9
11. จากการสอบถามนักเรียน 80 คน เกี่ยวกับการใชเวลาวาง พบวา มี 15 คน ที่ชอบทั้งเลนกีฬา
เลนดนตรีและดูภาพยนตร มี 40 คน ที่ชอบเลนดนตรีและชอบดูภาพยนตร มี 30 คน ที่ชอบเลน
กีฬาและดูภาพยนตร ถามีนักเรียน 60 คน ที่ชอบดูภาพยนตร มีนักเรียน 50 คน ที่ชอบเลนดนตรี
และมีนักเรียน 40 คน ที่ชอบเลนกีฬา
ให A แทนนักเรียนที่ชอบเลนกีฬา
B แทนนักเรียนที่ชอบเลนดนตรี
C แทนนักเรียนที่ชอบดูภาพยนตร
จากแผนภาพ พบวา
จํานวนนักเรียนที่ชอบเลนกีฬาอยางเดียว เทากับ 40 – 15 – 15 หรือ 10 คน
จํานวนนักเรียนที่ชอบเลนดนตรีอยางเดียว เทากับ 50 – 15 – 25 หรือ 10 คน
จํานวนนักเรียนที่ชอบดูภาพยนตรอยางเดียว เทากับ 60 – 25 – 15 – 15 หรือ 5 คน
UA
B C
10
15
15
2510 5
U
A B
6
8
5
7
-4 -2
0 2 4
-1 -3 -5
1 3

14. 14
12. ในแตละสัปดาหจะตองเรียนวิชาคณิตศาสตร 3 วัน และเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 3 วัน และจะตอง
เรียนทั้งวิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษในวันเดียวกันสัปดาหละ 1 วัน
ให A = {D1, D2, D3} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร
B = {D3, D4, D5} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาภาษาอังกฤษ
n(A) = 3 n(B) = 3 n(A ∩ B) = 1
ก. ใชแผนภาพ
จากแผนภาพ n(A ∪ B) = 5
ข. โดยใชสูตร
จากสูตร n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 3 + 3 – 1 หรือ 5
1) จํานวนวันที่เรียนวิชาคณิตศาสตรอยางเดียวเทากับ n(A) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน
2) จํานวนวันที่เรียนภาษาวิชาอังกฤษอยางเดียวเทากับ n(B) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน
3) เนื่องจาก n(A ∪ B) = 5 หมายถึง จํานวนวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร หรือวิชาภาษา
อังกฤษในหนึ่งสัปดาหเทากับ 5
ดังนั้น จึงไมมีวันใดในสัปดาหที่ไมเรียนวิชาคณิตศาสตรหรือวิชาภาษาอังกฤษเลย
เฉลยแบบฝกหัด
แบบฝกหัด 1.1
1. 1) {จันทบุรี}
2) {a, e, i, o, u}
3) {10, 11, 12, 13, 14, …, 99}
4) {2, 4, 6, 8}
5) {101, 102, 103, …}
6) {-99, -98, -97, …, -1}
7) {4, 5, 6, 7, 8, 9}
8) { } หรือ ∅
A B
D3
D5
D1
D2
D4
U

15. 15
2. 1) B มีสมาชิก 1 จํานวน
2) C มีสมาชิก 7 จํานวน
3) D มีสมาชิก 9 จํานวน
4) G ไมมีสมาชิก หรือจํานวนสมาชิกเทากับศูนย
3. 1) N = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคี่บวกตั้งแต 1 ถึง 5}
2) P = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม}
3) R = {x⏐x = a2
และ a เปนจํานวนเต็มที่ไมเทากับศูนย}
4) T = {x⏐x = 10n และ n เปนจํานวนเต็มบวก}
4. 1) เปนเซตอนันต
2) เปนเซตจํากัด
3) เปนเซตอนันต
4) เปนเซตจํากัด
5) เปนเซตอนันต
6) เปนเซตอนันต
5. 1) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4
ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4} เปนเซตวาง
2) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2
ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2} เปนเซตวาง
3) เนื่องจาก มีสมาชิก 2 ตัว คือ 5 และ 7
ดังนั้น {x | x เปนจํานวนเฉพาะที่มากกวา 3 และนอยกวา 10} ไมเปนเซตวาง
6. 1) A = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “กรรมกร”} หรือ A = {ก, ร, ม}
B = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มรรคา”} หรือ B = {ม, ร, ค}
C = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มกราคม”} หรือ C = {ม, ก, ร, ค}
D = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “รากไม”} หรือ D = {ร, ก, ม}
ดังนั้น A = D
2) E = {7, 14, 21, ..., 343}
F = {x⏐x = 7n และ n เปนจํานวนนับที่มีคานอยกวา 50}
หรือ F = {7, 14, 21, ..., 343}
ดังนั้น E = F

16. 16
3) A = {x⏐x =
n
1
1− และ n เปนจํานวนนับ} หรือ A = { ,...
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
,0 }
B = { ,...
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
,0 }
ดังนั้น A = B
4) A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {5, 4, 3, 2, 1}
จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B
และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต A
ดังนั้น A = B
5) C = {0, 1, 3, 7}
D = {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มีคานอยกวา 10} หรือ D = { …, 5, 6, 7, 8, 9}
เนื่องจาก 9 ∉ C แต 9 ∈ D
ดังนั้น C ≠ D
6) E = {12, 14, 16, 18} และ F = {14, 16, 12, 18}
จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต E เปนสมาชิกของเซต F
และ สมาชิกทุกตัวของเซต F เปนสมาชิกของเซต E
ดังนั้น E = F
7) K = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคูที่นอยกวา 10} หรือ K = { …, – 2, 0, 2, 4, 6, 8}
L = {2, 4, 6, 8}
เนื่องจาก – 2 ∈ K แต – 2 ∉ L
ดังนั้น K ≠ L
8) M = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม และ x2
= 36} หรือ M = {– 6, 6}
N = {6}
เนื่องจาก – 6 ∈ M แต – 6 ∉ N
ดังนั้น M ≠ N
แบบฝกหัด 1.3
1. (1) ผิด (4) ผิด
(2) ถูก (5) ผิด
(3) ถูก (6) ผิด

17. 17
2. (1) สับเซตทั้งหมดของ {1} คือ ∅, {1}
(2) สับเซตทั้งหมดของ {1, 2} คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2}
(3) สับเซตทั้งหมดของ {-1 , 0 , 1} คือ ∅, {-1} , {0} , {1} , {-1,0} , {0,1} , {-1,1} , {-1,0,1}
3. (1) เพาเวอรเซตของ {5} คือ {∅, {5}}
(2) เพาเวอรเซตของ {0, 1} คือ {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
(3) เพาเวอรเซตของ {2 ,3 ,4} คือ {∅, {2}, {3}, {4}, {2 ,3}, {2 ,4}, {3 ,4}, {2,3,4}}
4. สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ไดแก {1}, {2}, {3}, {4}
สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ไดแก {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
5.
1) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
2) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {1, 3, 5}
3) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}
B = {1, 3, 5}
C = {2, 4, 6}
U
2 4 6
8 10
1 3 5
7 9
A
B
U2 4 6
8 10
1 3 5
A
BC
7 9
U
7 8 9 10
1 3 5
A
B
2 4 6
C

18. 18
แบบฝกหัด 1.4
1. 1) A = {2, 3, 7} 3) A′ = {2, 3, 6}
2) A = {3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5, 7}
2. 1) A ∩ B = ∅ 5) C′ = {0, 1, 2, 7, 8}
2) B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} 6) C′ ∩ A = {0, 2, 8}
3) B ∩ C = {3, 5} 7) C′ ∩ B = {1, 7}
4) A ∩ C = {4, 6} 8) (A ∩ B) ∪ B = {1, 3, 5, 7}
3.
1) B′
U
A
1 4 5 6
2 3 7
U
A B
2 6
4 3
5
1
7
U
A
2 3 6
1 4
5 7
U
A B
U
A B

19. 19
2) A ∩ B′
3) A′
4) A′ ∪ B
5) A′ ∪ B′
U
BA
U
A B
U
BA
U
A B

20. 20
4.
1) A′ 2) (A ∪ B)′
3) A′ ∪ B 4) A′ ∩ B
5.
จาก n(U ) = 100, n(A) = 40, n(B) = 25 และ n(A ∩ B) = 6 จะได
n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
= 40 – 6 = 34
U
A B
UA
B
U
BA
U
BA
6
7
8
U
BA
4
5
6
7
8
U
BA 6
7
8
U
A B
1 2
3
4
5
6
8 7

21. 21
n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)
= 25 – 6 = 19
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 40 + 25 – 6 = 59
n(A′) = n(U ) – n(A)
= 100 – 40 = 60
n(B′) = n(U ) – n(B)
= 100 – 25 = 75
n(A ∪ B)′ = n(U ) – n(A ∪ B)
= 100 – 59
= 41
เซต A – B B – A A ∪ B A′ B′ (A ∪ B)′
จํานวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41
6.
กําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ในแผนภาพดังตาราง
เซต U A B C A ∩ B A ∩ C B ∩ C A ∩ B ∩ C
จํานวนสมาชิก 50 25 20 30 12 15 10 5
UA
B
UA
B
UA
B
UA B
C
UA
B
UA
B

22. 22
1) A ∪ C
n(A ∪ C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C)
= 25 + 30 – 15
= 40
2) A ∪ B ∪ C
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B)
– n(A ∩ C) – n(B ∩ C)
+ n(A ∩ B ∩ C)
= 25 + 20 + 30 – 12 – 15 – 10 + 5
= 43
3) (A ∪ B ∪ C)′
n(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n (A ∪ B ∪ C)
= 50 – 43
= 7
4) n(B – (A ∪ C)) = n(B) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C)
+ n(A ∩ B ∩ C)
= 20 – 12 – 10 + 5
= 3
5) n((A ∩ B) – C) = n(A ∩ B) – n(A ∩ B ∩ C)
= 12 – 5
= 7
7. ให A แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชา
B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มกาแฟ
A ∩ B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ
A ∪ B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชาหรือกาแฟ
n(A) = 60 คน n (A ∩ B) = x คน
n(B) = 70 คน
n (A ∪ B) = 120 คน
U
A B
C U
A B
C
U
A B
C
U
A B
C
U
A B
C
U
A B
C

23. 23
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
120 = 60 + 70 – x
x = 130 – 120
x = 10
ดังนั้น จํานวนพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟเทากับ 10 คน
8. ให U แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตาง ๆ
A แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ
B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดแขวนเพดาน
A ∩ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ และชนิดแขวนเพดาน
A ∪ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ หรือชนิดแขวนเพดาน
n(A) = 60%
n(B) = 45%
n(A ∩ B) = 15%
n(A ∪ B) = x%
1) จํานวนลูกคาที่ไมใชพัดลมทั้งสองชนิด หาไดดังนี้
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) A B
= 60% + 45% – 15%
= 90%
จํานวนลูกคาที่ไมใชพัดลมทั้งสองชนิด คือ
n(A ∪ B)′ = n( U ) – n(A ∪ B) = 100% – 90% หรือ 10%
2) จํานวนลูกคาที่ใชพัดลมแบบใดแบบหนึ่งเพียงชนิดเดียว หาไดดังนี้
จํานวนลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะเพียงชนิดเดียว คือ
n(A ∪ B) – n(B) = 90% – 45%
= 45%
จํานวนลูกคาที่ใชพัดลมแขวนเพดานเพียงชนิดเดียว คือ
n(A ∪ B) – n(A) = 90% – 60%
= 30%
ดังนั้น ลูกคาที่ใชพัดลมเพียงชนิดเดียว มี 45% + 30% หรือ 75%
UC
A B
U
U
A B
A
B
U

24. 24
9.
A
U
B
ให U แทนเซตของผูปวยทั้งหมดที่ทําการสํารวจ
A แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหรี่
B แทนเซตของผูปวยที่เปนมะเร็งในปอด
A ∪ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหรี่หรือเปนมะเร็งในปอด
A ∩ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหรี่และเปนมะเร็งในปอด
(A ∪ B)′ แทนเซตของผูปวยที่ไมสูบบุหรี่ และไมเปนมะเร็งที่ปอด
n ( U ) = 1,000 คน
n(A) = 312 คน
n(B) = 180 คน
n(A ∪ B)′ = 660 คน
n(A ∩ B) = x คน
(A ∪ B)′
A B
U
n(A ∪ B) = n( U ) – n(A ∪ B)′ = 1,000 – 660 = 340
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
340 = 312 + 180 – x
x = 492 – 340 = 152
ดังนั้น จํานวนผูที่สูบบุหรี่และเปนมะเร็งที่ปอดเทากับ 152 คน คิดเปนรอยละ 100
312
152
×
หรือ 48.72% ของจํานวนผูสูบบุหรี่ทั้งหมด

25. 25
A B
C
U10.
ให U แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่ทําการสํารวจ
A แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณิตศาสตร
B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษา
C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาภาษาไทย
A ∩ B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา
B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษาและภาษาไทย
A ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทย
A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานททั้งสามวิชา
A ∪ B ∪ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา
n (A ) = 37 คน n(A ∩ B) = 15 คน
n(B) = 48 คน n(B ∩ C) = 13 คน
n(C) = 45 คน n(A ∩ C) = 15 คน
n(A ∩ B ∩ C) = 5 คน
n(A ∪ B ∪ C) = x คน
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
x = 37 + 48 + 45 – 15 – 13 – 7 + 5
x = 100
ดังนั้น มีจํานวนผูที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชาเทากับ 100 คน
11. ให U แทนเซตของผูถือหุนในตลาดหลักทรัพยที่ถูกสํารวจทั้งหมด
A แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก
B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข
C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ค
A ∩ B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ข
B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข และ ค
A ∩ C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ค
A ∩ B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนทั้งสามบริษัท

26. 26
จากจํานวนผูถือหุนที่สํารวจ หาผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชหุนของทั้งสามบริษัทไดดังนี้
n (U ) = 3,000 คน
n(A) = 200 คน n(B) = 250 คน n(C) = 300 คน n(A ∩ B) = 50 คน
n(B ∩ C) = 40 คน n(A ∩ C) = 30 คน
n(A ∩ B ∩ C) = 0
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
n(A ∪ B ∪ C) = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 + 0 = 630
จํานวนผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชทั้งสามบริษัทนี้มีจํานวนหาไดจาก
n(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n(A ∪ B ∪ C) = 3,000 – 630 = 2,370 คน
12. ให U แทนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต หรืออื่น ๆ ที่ถูกสํารวจ
A แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ
B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนต
C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางเรือ
A ∩ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและรถยนต
B ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนตและเรือ
A ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและเรือ
A ∩ B ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทั้งทางรถไฟ รถยนต และเรือ
(A ∪ B ∪ C)′ แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางแบบอื่น ๆ ที่ไมใช รถไฟ รถยนต เรือ
n (U ) = x คน n(A ∩ B) = 50 คน
n(A) = 100 คน n(B ∩ C) = 25 คน
n(B) = 150 คน n(A ∩ C) = 0 คน
n(C) = 200 คน n(A ∩ B ∩ C) = 0 คน
n(A ∪ B ∪ C)′ = 30 คน
UA B
C

27. 27
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= 100 + 150 + 200 – 50 – 25 – 0 + 0
= 375 คน
∴ จํานวนผูใชบริการขนสงที่ถูกทําการสํารวจ คือ
n(U ) = n(A ∪ B ∪ C) + n(A ∪ B ∪ C)′
x = 375 + 30 = 405 คน
UA B
C