1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
เซต
(เนื้อหาตอนที่ 2)
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง เซต
สื่อการสอน เรื่อง เซต มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง เซต
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความหมายของเซต
- ความหมายของเซต
- การเขียนเซต
- เซตจากัดและเซตอนันต์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
- แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- สับเซตและเซตกาลัง
- การเท่ากันของเซต
- การดาเนินการบนเซต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- เอกลักษณ์การดาเนินการบนเซต
- การหาจานวนสมาชิกของเซตและการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
5. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
6. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต นอกจากนี้
หากท่ า นสนใจสื่อการสอนวิช าคณิตศาสตร์ ใ นเรื่ องอื่น ๆที่คณะผู้จัด ทาได้ ดาเนิ นการไปแล้ ว ท่า น
สามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของคู่มือ
ฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง เซต (เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/3)
หัวข้อย่อย 1. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
2. สับเซตและเซตกาลัง
3. การเท่ากันของเซต
4. การดาเนินการบนเซต
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจในการใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เพื่อแก้ปัญหา
2. สามารถหาสับเซตและเซตกาลังของเซตจากัด
3. เกิดความเข้าใจในมโนทัศน์เกี่ยวกับการเท่ากันของเซต
4. สามารถหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน ผลต่าง และคอมพลีเมนต์ของเซตที่กาหนดให้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการแก้ปัญหาได้
2. ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ประกอบการอธิบายความหมายของสับเซต และเซตกาลังได้
3. ระบุหรือยกตัวอย่างสับเซต และเซตกาลัง ของเซตจากัดภายใต้เงื่อนไขที่กาหนดให้ได้
4. ตรวจสอบความเป็นสับเซต และความเป็นสมาชิกของเซตกาลังได้
5. บอกและอธิบายสูตรในการหาจานวนสับเซตทั้งหมดของเซตจากัด พร้อมทั้งยกตัวอย่างประกอบได้
6. อธิบายการเท่ากันของเซต และการเทียบเท่ากันของเซต พร้อมทั้งยกตัวอย่างประกอบได้
7. อธิบายความหมายของการดาเนินการบนเซตได้แก่ ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน ผลต่าง และคอมพลีเมนต์ได้
8. ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ประกอบการอธิบายการดาเนินการบนเซตได้
9. หาผลลัพธ์ของการดาเนินการบนเซตได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ชมสื่อ ที่อธิบายการเขียนแผนภาพแทนเซต โดยเราจะเรียกแผนภาพดังกล่าวว่า
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
หลังจากผู้เรียนดูสื่อช่วงที่ 1 เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์จบแล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเรื่องการประยุกต์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เพิ่มเติม โดยเฉพาะการประยุกต์ใช้ในการหาจานวนสมาชิก เพื่อนาเข้าสู่การ
ดาเนินการบนเซต โดยอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้  2, 4,6,8,..., 20 , A   x  | x 2  6 x  8  0 และ B  4,6,8
1. จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แสดงความสัมพันธ์ของ , A และ B
2. จงหาสมาชิกที่เป็นสมาชิกของทั้ง A และ B
3. จงหาสมาชิกที่ไม่อยู่ใน B
วิธีทา 1. หาเซต A
x2  6x  8  0
 x  4  x  2   0
x  2, 4
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ดังนั้น A  2, 4 ทาให้สามารถเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดังต่อไปนี้
A B
2 4 6 20
8
18
10 12 14 16
2. สมาชิกที่อยู่ทั้ง A และ B คือ 4
3. สมาชิกที่ไม่อยู่ใน B คือ 2,10,12,14,16,18, 20 #
ทั้งนี้เพื่อเป็นการเพิ่มทักษะให้กับผู้เรียน ผู้สอนอาจยกตัวอย่างในทานองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 1 เพิ่มเติม
ให้กับผู้เรียนได้อีก
ตัวอย่างที่ 2 นักเรียนห้องหนึ่งมีจานวน 50 คน มีนักเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ 25 คน และชอบวิชาภาษาไทย
20 คน โดยมีนักเรียนที่ชอบทั้ง 2 วิชา จานวน 10 คน จงหาจานวนนักเรียนที่ไม่ชอบทั้ง 2 รายวิชา
วิธีทา
ชอบคณิตศาสตร์ ชอบภาษาไทย
25-10 10 20-10
=15 =10
จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ จะได้จานวนนักเรียนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชาคือ 50 – (15+10+10) =15 คน #
หมายเหตุ ผู้สอนต้องชี้แจงผู้เรียนว่าตัวเลขที่ใส่ในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คือ จานวนสมาชิก ไม่ใช่สมาชิก
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่าง ในทานองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 2 เพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเกิดทักษะการหาจานวน
สมาชิกของเซต โดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และเน้นเฉพาะแผนภาพที่มีแค่ 2 เซต สาหรับกรณีที่มี 3 เซต
อาจยกตัวอย่างดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 3 ในการสารวจนักเรียน 50 คน มีนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์ 25 คน ชอบภาษาไทย 20 คน ชอบ
ภาษาอังกฤษ 20 คน ชอบคณิตศาสตร์และภาษาไทย 10 คน ชอบคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษ 5 คน ชอบทั้ง 3
วิชา 4 คน และไม่ชอบทุกวิชา 5 คน จงหาจานวนนักเรียนที่ชอบภาษาไทยและภาษาอังกฤษ
วิธีทา
ชอบคณิตศาสตร์ ชอบภาษาไทย
14 6 10  x
4
1 x 5
15  x
.
ชอบภาษาอังกฤษ
นักเรียนทั้งหมดมี 50 คน ดังนั้น จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ จะได้ว่า
14  6  4  1  10  x   x  15  x   5  50
55  x  50
x5
ดังนั้น นักเรียนที่ชอบทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษ มีจานวน 4  x  9 คน #
หลังจากยกตัวอย่างแล้ว ผู้สอนควรบอกผู้เรียนว่า ยังมีสูตรของการหาจานวนสมาชิก ที่จะสอนต่อในตอน
ที่ 3 อีก นั่นคือสูตร
n  A  B   n  A  n  B   n  A  B 
และ
n  A  B  C   n  A  n  B   n  C   n  A  B 
 n AC  nB C n A B C
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
1-8 จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แสดงความสัมพันธ์ของเซตต่อไปนี้
1.  2, 4,6,8,..., 20
A  2,6,8,10
B  8,10,12,14,16,18
2.  1, 2,3,...,10
A  1, 2,3
B  3, 4,5
3.  1, 2,3,...,10
A  1, 2,3
B  4,5,6
C  6,7
4.  1, 2,3,...,10
A  4, 6
B  3, 7
C  2,3,6,7,8,10
D  4,6,8,9,10
5.  x  |1  x  15
A  1,3,5,7
B  2, 4,6,8,10
C  3,5,7,9
6.  x  | 10  x  10
A  x  | x 2  5 x  4  0

B  x  | x 2  3x  4  0 
7. กาหนดให้  1, 2,3,...,15 , A  {x | 5 หาร x ลงตัว } ,
B   x | 4  x  12 , C  x | x  3  7
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. กาหนดให้  1, 2,3,...,10 , A  1 , B  4,5,7,9 , C  1, 2,3, 4,5
9. จากการสอบถามผู้ที่ดื่มชาหรือกาแฟจานวน 100 คน มีผู้ที่ชอบดื่มชา 50 คนชอบดื่มกาแฟ 60 คน จงหา
จานวนผู้ที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ
10. จากการสารวจนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่า 70% ชอบเรียนคณิตศาสตร์ 50% ชอบเรียนภาษาอังกฤษ และ 20%
ชอบเรียนทั้งสองวิชา จงหาเปอร์เซ็นของนักเรียนที่
10.1 ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา
10.2 ชอบเรียนเพียงวิชาเดียว
11. ในการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งพบว่า มีผู้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ 30 คน วิชาสังคมศึกษา 45 คน วิชา
ภาษาไทย 40 คน และมีผู้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 10คน ผู้ที่สอบผ่านสังคมศึกษาและ
ภาษาไทยมี 12 คน ผู้ที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยมี 6 คน และมีผู้สอบผ่านทั้งสามวิชา 5 คน
ดังนั้นมีผู้สอบผ่านหนึ่งวิชากี่คน
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สับเซตและเซตกาลัง
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สับเซตและเซตกาลัง
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ทราบถึงบทนิยามของสับเซตและเซตกาลัง การหาจานวนสับเซตทั้งหมดของ
เซตจากัด ตลอดจนตัวอย่างการตรวจสอบสมบัติพื้นฐานของสับเซตและเซตกาลัง
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากผู้เรียนได้เห็นตัวอย่างของการตรวจสอบการเป็นสับเซตไปแล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่างการ
ตรวจสอบการเป็นสับเซตเพิ่มเติม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จากเซต A และ B ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่า A เป็นสับเซตของ B หรือไม่
1. A  2, 4,6,8,...
B  เซตของจานวนนับ
2. A  2, 4, 6,...
B  เซตของจานวนนับ
3. A   x | x 2  3  0
B  เซตของจานวนตรรกยะ
4. A  x  | 1  x  1
B  เซตของจานวนเต็ม
คาตอบ
1. A  B เพราะเซต A มีจานวนสมาชิกเป็นจานวนเต็มคู่บวก ซึ่งเป็นจานวนนับ
2. A  B เนื่องจากมีสมาชิกของ A ที่ไม่เป็นสมาชิกของ B เช่น 2 เป็นต้น
3. A  B เพราะ A   3,3 ซึ่ง  3 เป็นจานวนตรรกยะ
4. A  B เนื่องจากมีสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่จานวนเต็ม เช่น 0.5 เป็นต้น #
ผู้สอนสามารถยกตัวอย่างอื่นประกอบการสอนเพิ่มเติม จนทาให้ผู้เรียนเข้าใจการเป็นสับเซตอย่างถ่องแท้
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับนักเรียนที่มีความสามารถสูง ผู้สอนอาจสอนบทนิยามที่รัดกุมของสับเซต โดยใช้ความรู้เรื่อง
ตรรกศาสตร์ ดังต่อไปนี้
A B ก็ต่อเมื่อ x  x  A  x  B
นอกจากนีผู้สอนอาจยกตัวอย่าง เพื่อแสดงการไม่เป็นสับเซตโดยใช้ความรู้ทางตรรกศาสตร์ตามข้อความต่อไปนี้
้
A B ก็ต่อเมื่อ x  x  A  x  B
ในการพิสูจน์การเป็นสับเซต หรือการแสดงการไม่เป็นสับเซตนั้น ต้องแสดงให้ได้ตามข้อความที่กล่าว
ข้างต้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง ให้ A  2, 4, 6,... และ B  เซตของจานวนนับ
จงแสดงว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
วิธีทา ในการแสดงว่า A  B นั้นผู้เรียนต้องแสดงว่า x  x  A  x  B นั่นคือเราต้องหาสมาชิก x  A ที่
x  B ในที่นี้เราอาจเลือก x  2 ซึ่ง x  A แต่ x  B ดังนั้น A  B #
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์การเป็นสับเซต โดยใช้ความรู้เรื่องตรรกศาสตร์
ตัวอย่าง จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ โดยใช้บทนิยามของสับเซต
ถ้า A B และ BC แล้ว AC
พิสูจน์ ในการพิสูจน์ว่า A  C นั้น เราต้องแสดงว่า x  x  A  x  C  ดังนั้น เรากาหนดให้ x A
เนื่องจาก A  B ดังนั้น x  B และเนื่องจาก B  C ทาให้ x  C ด้วย
ดังนั้นทุก x  A เราแสดงได้ว่า x  C นั่นคือ A  C นั่นเอง #
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างการหาสับเซต ต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. A  0,1
2. B  0,
3. C  1,1 , 2
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คาตอบ
สับเซตทั้งหมดของ A คือ  ,0 ,1 , A
สับเซตทั้งหมดของ B คือ  ,0 , , B
สับเซตทั้งหมดของ C คือ  ,1 ,1,2 ,1,1, 1, 2 , 1 , 2,C #
ในเรื่องของจานวนสับเซตนั้น ถ้าผู้เรียนมีความสามารถสูง ผู้สอนอาจเพิ่มเติมโจทย์ตัวอย่างเกี่ยวกับการ
นับจานวนสับเซต ภายใต้สถานการณ์ต่างๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง ให้ A  1, 2,3, 4 จงหาจานวนสับเซต B ของ A ที่ 1 B
วิธีทา พิจารณาสับเซต B ของ A ที่ 1 B
1 B  A
ดังนั้น
B  1, 2, 3, 4
สมาชิกเหล่านี้อาจจะอยู่หรือไม่อยู่ใน B ก็ได้
ต้องอยู่ใน B
ดังนั้น สามารถสร้าง B ได้ 1 2  2  2  8 เซต #
ตัวอย่าง ให้ A  1, 2,3, 4 จงหาจานวนสับเซต B ของ A ตามเงื่อนไขต่อไปนี้
1. 1, 2  B
2. 1 B และ 2  B
วิธีทา (แบบฝึกหัด)
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจเรื่อง สับเซตแท้ ดังนี้
ตัวอย่าง จงหาสับเซตแท้ของเซตต่อไปนี้
1. A  0,1
2. B  0,
3. C  1,1 , 2
คาตอบ
1.  ,0 ,1 , A
2.  ,0 , , B
3.  ,1 ,1 , 2 ,1,1 ,1, 2 ,1 , 2 , C #
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง ให้ A  1, 2,1, 2 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. 1, 2  A และ 1, 2  A
2. A มีสับเซตแท้ทั้งหมด 23 สับเซต
คาตอบ
1. ถูก
2. ผิด #
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติมเรื่อง เซตกาลัง ดังนี้
ตัวอย่าง จงหาเซตกาลังของเซตต่อไปนี้
1. A  0,1
2. B  0,
3. C  1,1 , 2
คาตอบ
1. P  A   ,0 ,1 , A
2. P  B    ,0 , , B
3. P  C    , 1 , 1 , 2 , 1, 1 , 1, 2 , 1 , 2 , C #
หลังจากดูสื่อการสอนแล้ว ผู้สอนอาจฝึกการพิสูจน์เพิ่มเติม จากทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1. P  A  P  B   P  A  B 
2. ถ้า A  B แล้ว P  A  P  B 
พิสูจน์ 1. ให้ C  P  A  P  B  ดังนั้น C  P  A หรือ C  P  B  นั่นคือ C  A หรือ C  B
ทาให้ C  A  B ดังนั้น C  P  A  B 
เราแสดงได้ว่าทุก C  P  A  P  B  จะได้ว่า C  P  A  B 
ดังนั้น P  A  P  B   P  A  B 
2. สมมติให้ A  B ในการพิสูจน์ P  A  P  B 
เรากาหนดให้ C  P  A ดังนั้น C  A
เนื่องจาก A  B ดังนั้น C  B ทาให้ C  P  B 
เราแสดงได้ว่า ถ้า C  P  A แล้ว C  P  B  ดังนั้น P  A  P  B  #
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง สับเซตและเซตกาลัง
1. กาหนดให้ A   x   | x  10 และ B   x  | x 2  3x  4  0
จงพิจารณาว่า B เป็นสับเซตของ A หรือไม่
2. กาหนดให้ A  0,1 จงหาสับเซตทั้งหมดของ A
3. จงหาสับเซตทั้งหมดของ A  1, 2,3
4. จงหาสับเซตทั้งหมดของ B  1,0,1
5. กาหนดให้ A  0,0 จงหาสับเซตทั้งหมดของ A
6. กาหนดให้ A  1, 2 , B  1, 2,3, 4 จงหาเซต X ทั้งหมดที่
6.1 A  X  B
6.2 A  X  B
7. จงหา P  A เมื่อ A  0, 2
8. ให้ n  A  10 แล้ว A มีสับเซตทั้งหมดจานวนเท่าใด
9. จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A  a, b
10. จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A   ,
11. จงหา P  A เมื่อ A  4
12. จงหา P  A เมื่อ A  a, b
13. จงหา P  A เมื่อ A  3, 4,5
14. จงหา P  A เมื่อ A  1, 2,3, 4
15. จงหา P  A เมื่อ A  0,
16. จงหา P  A เมื่อ A  P  
17. จงหา P  P  A  เมื่อ A  a
18. กาหนดให้ A  2,2, 4 , 4 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
18.1 2, 4  A
18.2 2, 4  A
18.3 4  A
18.4 2,2, 4  A
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
19. กาหนดให้ A  3 , B   x | x 2  3 x  2  0 , C  1, 2,3 ,
D  {x | x  และ 0  x  4} , E  1, 2,3
จงพิจารณาว่าเซตใดเป็นสับเซตของเซตใด
20. จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A เมื่อ A  1 , 2,2,3
21. กาหนดให้ A   ,1 , 2,3,2,3 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
21.1 2,3  A
21.2 2  P  A
21.3 2  P  A
21.4 2,3  P  A
21.5 2,3  P  A
22. กาหนดให้ A เป็นเซตใดๆ จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
22.1   P  A
22.2   P  A
22.3   P  A
22.4  A  P  A
22.5  A  P  A
23. กาหนดให้ A , B และ C เป็นเซตใดๆ จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
23.1 ถ้า A  B แล้ว P  A  P  B 
23.2 ถ้า P  A  P  B  แล้ว A  B
23.3 ถ้า A  P  B  แล้ว A  B
23.4 ถ้า  A  P  B  แล้ว A  B
23.5 ถ้า  A, B  P C  แล้ว A  C และ B  C
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การเท่ากันของเซต
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การเท่ากันของเซต
ในหัวข้อนีผู้เรียนจะได้ศึกษาเรื่องการเท่ากันของเซต ดังต่อไปนี้
้
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เรื่อง การเท่ากันของเซต ดังนี้
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่
1. 1, 2,3 และ 2,3,1
2. 1, 2,3 และ 1, 2, 2
3. 1, 2,3 และ 1, 2, 2,3,3,3
4.  x  | x 2  1  0 และ  x  | x 2  1  0
5. x  |1  x  4 และ x  | 0  x  5
คาตอบ
1. เท่ากัน เพราะว่าการเขียนเซตนั้น ตาแหน่งของสมาชิกไม่สาคัญ ดังนั้น
2,3,1  1, 2,3
2. ไม่เท่ากัน เพราะจานวนสมาชิกของทั้ง 2 เซตไม่เท่ากัน
3. เท่ากัน เนื่องจากการเขียนเซตนั้น เมื่อมีการเขียนซ้า เราจะนับเพียงครั้ง
เดียวทาให้ 1, 2, 2,3,3,3  1, 2,3
4. ไม่เท่ากัน เนื่องจากจานวนจริงที่สอดคล้องสมการ x 2  1  0 คือ 1 แต่
จานวนนับ ที่สอดคล้องกับสมการ x 2  1  0 คือ 1 เท่านั้น ดังนั้น
 x  | x 2  1  0 จึงไม่เท่ากับ  x  | x 2  1  0
5. เท่ากัน เพราะจานวนเต็ม x ที่ 1  x  4 คือ 1, 2, 3, 4 ซึ่งก็คือ
จานวนเต็ม x ที่ทาให้ 0  x  5 นั่นเอง #
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การเท่ากันของเซต
1. จงพิจารณาว่าเซตใดต่อไปนี้เท่ากันบ้าง
1.1 A  1, 2,3
1.2 B  1, 2,3
1.3 C  1, 0,1
1.4 D   x   | x3  x
1.5 E  x  | 2  x  2
2-7 จงพิจารณาว่าเซต A และเซต B ที่กาหนดให้ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่
2. A  5,10,15,...,100
B  {x  | x  5n เมื่อ n เป็นจานวนนับที่น้อยกว่า 20}
 1 1 1 
3. A  1, , 2 ,..., 10 
 2 2 2 
1
B  {x  | x  n เมื่อ n  1, 2,...,10}
2
4. A  2, 4,6,8,10
B  10,8,6, 4, 2
5. A  1, 2,3
B  1, 2, 2,3,3,3
6. A   x | x 2  4
B  2
7. A  2, 4,6,8,10
B  4, 2,8,6,10,10
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. การดาเนินการบนเซต
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. การดาเนินการบนเซต
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ชมสื่อซึ่งอธิบายเกี่ยวกับการดาเนินการพื้นฐานของเซต ที่ประกอบด้วย ยูเนียน
อินเตอร์เซกชัน ผลต่าง และคอมพลีเมนต์
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เรื่อง ยูเนียน และอินเตอร์เซกชัน ดังต่อไปนี้
ตัวอย่าง ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้ กาหนดให้
A  1, 2,3,...,10
B  5, 4, 3, 2,..., 4,5
C  5, 0,5
จงหา
1. A  B
2. A   B  C 
3.  A  B   C
วิธีทา
1. A  B  5, 4,...,8,9,10
2. A   B  C   1, 2,....10 5,0,5  5,0,1, 2,...,10
3.  A  B   C  5, 4,...,8,9,10 5,0,5  5,0,5 #
ตัวอย่าง จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ต่อไปนี้
A B
C
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จงแรเงาบริเวณ
1. A  B
2 A B C
3. A   B  C 
วิธีทา
1. A B 2. A B C
A B
A B
C C
3. AB C
A B
C
#
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจเรื่องการดาเนินการพื้นฐานของเซตเพิ่มมากขึ้น ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้
ตัวอย่าง กาหนดให้
A  1, 2,3, 1 , 2 , 3
B  2,3, 4
C
จงหา
1. A   B  C 
2.  A  B    B  C 
3. A   B  C 
วิธีทา
1. A   B  C   1, 2,3,1 ,2 ,3  2,3, 4
 1, 1 , 2 , 3
2.  A  B    B  C   1, 2,3, 4,1 ,2 ,3  2,3, 4
 1, 1 , 2 , 3
3. A   B  C   A  
A #
ตัวอย่าง จากแผนภาพต่อไปนี้
A B
C
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จงแรเงาบริเวณต่อไปนี้
1. A   B  C 
2.  A  B   C
3.  A  B    B  C 
4. A   B  C 
5. A  B  C
วิธีทา
1. AB C 2.  A  B   C
A B A B
C C
3.  A  B    B  C  4. A   B  C 
A B A B
C C
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. A  B  C
A B
จะเห็นว่า A  B  C =  A  B  C 
C
#
ถ้ามีเวลาผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด โดยใช้ความรู้ทางตรรกศาสตร์
1. P  A  B   P  A  P  B 
2. P  A  B   P  A  P  B 
วิธีทา
1. ถูก
ให้ C  P  A  B  ดังนั้น C  A  B นั่นคือ C  A และ C  B ดังนั้น C  P  A และ
C  P  B  ทาให้ C  P  A  P  B  ดังนั้น P  A  B   P  A  P  B 
ให้ C  P  A  P  B  ดังนั้น C  P  A และ C  P  B  นั่นคือ C  A และ C  B ทาให้
C  A  B ดังนั้น C  P  A  B  นั่นคือ P  A  P  B   P  A  B 
จากทั้ง 2 กรณีข้างต้น เราสรุปได้ว่า P  A  B   P  A  P  B 
2. ผิด
ยกตัวอย่างเช่น A  1 และ B  2 เราจะได้ว่า A  B  1, 2 , P  A   ,1 ,
P  B    , 2 และ P  A  B    , 1 , 2 , 1, 2 จะเห็นได้ว่า 1, 2  P  A  B  แต่
1, 2  P  A  P  B  ดังนั้น P  A  B   P  A  P  B  #
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การดาเนินการบนเซต
1. กาหนดให้
 1, 2,3,..., 20
A  2, 4, 6,8,..., 20
B  1,3,5, 7,...,19
C  1, 2,3, 4
จงหา
1.1 A  B
1.2 A  B
1.3 B  C
1.4 A  B
2. กาหนดให้
 2, 4, 6,..., 20
A  2, 4, 6,...,10
B  4, 6,8,10
C  8,10,12,14,16
จงหา
2.1 A   B  C 
2.2 A   B  C 
2.3 B  A
2.4  A  B   C
3. จากแผนภาพ
A B
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จงแรเงาบริเวณที่กาหนดต่อไปนี้
3.1 A  B
3.2 A  B
3.3 A  B
3.4 A
4. จากแผนภาพ
A B
จงแรเงาบริเวณที่กาหนดต่อไปนี้
4.1 A  B
4.2 A  B
4.3 A  B
5. จากแผนภาพ
B C
A
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จงแรเงาบริเวณที่กาหนดต่อไปนี้
5.1 A  B  C
5.2 A   B  C 
5.3  A  B 
5.4 A   B  C 
6. จากแผนภาพ
A B
1 7 9 8
2 3 10
4 6 5 12
11
จงหา
6.1 A  B
6.2 A  B
6.3 A
6.4 A  B
7. จากแผนภาพ
A B
a b c
j
ek
d f i
g h
C
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จงหา
7.1 A  B  C
7.2 A   B  C 
7.3 A  B
7.4 C  A
8. ให้ A  1, 2,1 ,2 , 1, 2 และ B  1, 1 จงหา
8.1. A  B
8.2 A  B
9. ให้ A  1, 2, 1 , 2 , 1, 2 จงหา A  P  A
10. ให้ A  0, และ B   ,  จงหา
10.1. P  A  B 
10.2 P  A  B
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กาหนดให้ A  1, 2,3,...,6 และ B  2, 4 สับเซต C ของ A ซึ่ง B  C   มี
จานวนเท่ากับเท่าใด
1. 16 2. 32 3. 48 4. 64
2. กาหนดให้ A  0,1,0 ,1 , 0,1 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.  A  0,1 0  0,1,0 ,1
2. A  0,1    0,1, 0 ,1
3. 0,1  A    
4. 0,1  A    
3. กาหนดให้ A  a, b และ B  a,a ,a, b แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A  B 2. A  B 3. B  A  a,a 4. A  B  A
4. สาหรับเซต A และ B ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A  B  B  A
2. ถ้า A  B  A แล้ว A  B  B
3. ถ้า A  B   แล้ว A  B  
4. ถ้า  A  B    B  A   แล้ว A  B
5. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1.     
2.  x  | x 2  4  0 ไม่มีสับเซตแท้
3. ถ้า A  B   แล้ว A   หรือ B  
4. ถ้า A  B และ C   A, B แล้ว  A  B   C
6. ถ้า n  A  10 , n  B   8 และ n  A  B   5 แล้วจานวนสับเซตของ A  B มีเท่ากับเท่าใด
1. 25 2. 210 3. 213 4. 218
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. ให้ 
A  x x 1  5  และ B   x | x 2
 3 x  4  0 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A B  2. A  B   6, 1
3. A  B   1, 4  4. A  B   4,     , 6
8. ถ้า A และ B เป็นเซตจากัด โดยที่ n  A  B   3 และ n  A  B   21 ถ้าจานวนสมาชิกของ A เป็น 2
เท่าของ B จงหาจานวนสมาชิกของ A  B
1. 3 2. 8 3. 13 4. 16
9. ในการสารวจนักเรียน 100 คน เกี่ยวกับความชอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษพบว่า มีนักเรียนที่
ไม่ชอบทั้ง 2 วิชา มีจานวน 30 คน และนักเรียนที่ชอบทั้ง 2 วิชา มีจานวน20 คน ถ้ามีนักเรียนชอบวิชา
คณิตศาสตร์เป็น 2 เท่าของนักเรียนที่ชอบวิชาภาษาอังกฤษ จงหา จานวนนักเรียนที่ชอบวิชาภาษาอังกฤษ
อย่างเดียว ว่ามีจานวนเท่าไร
1. 10 2. 20 3. 30 4. 40
10. จากการสารวจเกษตรกร 200 คน พบว่ามี ผู้ที่ทานา 90 คน ทาไร่ 80 คน ทาสวน 120 คน ผู้ที่ทานาและทาไร่
50 คน ทานาและทาสวน 40 คน ทาไร่และทาสวน 60 คน และทั้ง 200 คน จะต้องทาอย่างน้อยหนึ่งประเภท
จงหาจานวนผู้ที่ทาไร่อย่างเดียว
1. 30 2. 60 3. 65 4. 70
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
1. 2.
A B A B 6 7
2 8 12 4 1 4 8
10 14 16 3
6 18 20 2 5 9
10
3. 4. D C
A B C
10 B
1 4 9 8
2 5 6 7 4 6 3 7
3
A 2
8 9 10 1 5
5. 6.
U B A C U -2 A B 2 6 7
-3
2 4 3 -4 3 8
6 8 1 5 9 -5 1 4 -1
10 7 -6 9
0
11 12 13 14 15 -7 -8 -9 5
7. 8.
U C A B C B
1 2 5 6 7 A 2 7
3 4 15 10 8 9 1 4 5
11 9
3
12 13 14 6 8 10
9. 10 คน
10. 10.1 0 %
U 10.2 80%
11. 74 คน
43

45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง สับเซตและเซตกาลัง
1. ไม่เป็น
2.  ,0 ,1 ,0,1
3.  ,1 ,2 ,3 ,1, 2 ,1,3 ,2,3 ,1, 2,3
4.  ,1 ,0 ,1 ,1,0 ,1,1 ,0,1 ,1,0,1
5.  ,0 ,0,0,0
6. 6.1 1, 2 ,1, 2,3 , 1, 2, 4 , 1, 2,3, 4
6.2  ,1 ,1,3 ,1, 4 ,1,3, 4 , 2 , 2,3 , 2, 4 , 2,3, 4, 3, 4, 3, 4
7.  ,0 ,2 ,0, 2
8. 210
9.  ,a ,b
10.  , ,
11.  ,4
12.  ,a ,b ,a, b
13.  ,3 ,4 ,5 ,3, 4 ,3,5 ,4,5 ,3, 4,5
14. { ,1 ,2 ,3 ,4 ,1, 2 ,1,3 ,1, 4 ,2,3 ,2, 4 ,
3, 4 ,1, 2,3 ,1, 2, 4 ,1,3, 4 ,2,3, 4 ,1, 2,3, 4}
15.  ,0 , ,0,
16.  , 
17.  ,  , a ,  , a
18. 18.1 ถูก 18.2 ถูก 18.3 ถูก 18.4 ถูก
19. A  D, B  D, B  E
20.  , 1, 2 , 2,3, 1 , 2, 1 ,2,3, 2,2,3, 1 , 2,2,3
21. 21.1 ถูก 21.2 ถูก 21.3 ผิด 21.4 ถูก 21.5 ถูก
22. 22.1 ถูก 22.2 ถูก 22.3 ผิด 22.4 ถูก 22.5 ผิด
23. 23.1 ถูก 23.2 ถูก 23.3 ถูก 23.4 ถูก 23.5 ถูก
44

46. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การเท่ากันของเซต
1. C  E 2. ไม่เท่ากัน 3. ไม่เท่ากัน 4. เท่ากัน
5. เท่ากัน 6. ไม่เท่ากัน 7. เท่ากัน
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การดาเนินการบนเซต
1. 1.1  1.2 1.3 1,3 1.4 A
2. 2.1 2 2.2 B 2.3  2.4 4, 6
3. 3.1 3.2
A B A B
3.3 3.4
A B A B
4. 4.1 4.2
A B A B
45

47. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4.3
A B
5.5.1 5.2
B C B C
A A
5.3 5.4
B C B C
A A
6. 6.1 1, 4, 7 6.2 1, 2,3,...,10
6.3 3,5,8,10,11,12 6.4 1, 4, 7
7. 7.1 e, k 7.2 a, d , e, k
7.3 g, h, i 7.4 c, i, j
8. 8.1 2,2 ,1, 2 8.2 B
9. 1 ,2 ,1, 2
10. 10.1  ,  10.2 0 ,0,
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 2 3. 1 4. 2 5. 3 6. 3
7. 2 8. 3 9. 1 10. 1
46

48. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
47

49. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
48

50. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
49

51. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
50