1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
โครงงานคณิตศาสตร
(ตอนที่ 4)
เสนตรงลอมเสนโคง
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร
สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. SET50
2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
3. การถอดรากที่สาม
4. เสนตรงลอมเสนโคง
5. กระเบื้องที่ยืดหดได
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่องและ
ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร
หมวด โครงงานคณิตศาสตร
ตอนที่ 4 (4/5)
หัวขอยอย -
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียนเห็นตัวอยางการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตรที่เห็นภาพไดชัดเจน ในที่นี้คือการ
จําแนกแยกแยะเสนโคงที่สรางจากชุดของเสนตรงที่มีสมบัติตาง ๆ กัน รวมทั้งบทพิสูจนของการจําแนก
ดังกลาวดวย ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื้อหาของโครงงานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้นมิใชสาระที่คาดหวังใหนักเรียน
ตองเรียนรูอยางจริงจัง หากเปนเพียงพาหนะหนึ่งทีชวยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งของปญหาการจําแนก
่
แยกแยะเทานั้น
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร
โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย
หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบของ
ปญหาทางคณิตศาสตร
สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร
สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม
ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต
ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจําแนกแยกแยะ
และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงานคณิต-
ศาสตร คือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง
วัตถุประสงคของสื่อตอนนี้
สื่อการสอนตอนนีนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่พิจารณาเสนโคงที่สรางจากชุดของเสน-
้
ตรง และแสดงวาชุดของเสนตรงที่มีสมบัติบางประการจะกอใหเกิดเสนโคงพาราโบลา แตสําหรับชุด
ของเสนตรงทีมสมบัติที่เปลี่ยนไป เสนโคงที่ไดอาจเปนเสนโคง astroid วงกลม หรืออื่น ๆ ได
่ ี
สื่อการสอนจะปูพื้นฐานที่จําเปนเพื่อนําไปสูบทพิสูจนของบางความสัมพันธขางตน
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย
1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42)
2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:59)
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:49)
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ชวงเปดตอน
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42)
ในชวงเปดตอน ดังแสดงในรูปที่ 1 ผูบรรยายยกตัวอยางความยาวดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม 6 รูป
จากขอมูลความยาวดานนี้ เราอาจจําแนกแยกแยะชนิดของสามเหลี่ยมออกเปน 2 ชนิด ไดแก สามเหลี่ยม
มุมฉาก และสามเหลี่ยมอื่น ๆ หรืออาจจําแนกแยกแยะออกไดเปน 3 ชนิด ไดแก สามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมมุมแหลม และสามเหลี่ยมมุมปาน สังเกตวาวิธีการจําแนกแยกแยะสามเหลี่ยมเหลานี้นั้นขึ้นกับ
ขอสังเกตและเหตุผลของผูจําแนก
ตัวอยางนี้ชวยในการอธิบายเชิงเปรียบเทียบวา ปญหาประเภทหนึ่งที่สามารถนํามาปรับเปนโจทยสําหรับ
โครงงานคณิตศาสตรไดคือ ปญหาที่ตองการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตรที่สนใจบางชนิด
สื่อฯตอนนีจะนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่พิจารณาคําถามที่วาเสนโคงที่สรางจากชุดของ
้
เสนตรงที่มีระยะหางระหวางเสนบนแกน x และแกน y เทา ๆ กัน คือเสนโคงอะไร พรอมนําเสนอขั้นตอน
การหาสมการของเสนโคงนั้น รวมทั้งยังพาดพิงถึงเสนโคงที่สรางจากชุดเสนตรงประเภทอื่น ๆ ดวย
รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ชวงสารคดี
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:59)
ชวงสารคดีนี้ตองการอธิบายความรูพื้นฐาน ที่จําเปนในการทําความเขาใจแนวคิดและรายละเอียดของ
โครงงานคณิตศาสตรที่จะนําเสนอตอไป ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้
(ก) (ข)
(ค) (ง)
(จ) (ฉ)
รูปที่ 2 ภาพประกอบขณะอธิบายเรื่องหมาปากับกระตายเพื่อโยงเขาเรื่องเสนตรงลอมเสนโคง
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก) ผูหนึ่งที่คิดคนแนวคิดของวิชาแคลคูลัส (ข) เสนสัมผัสของเสนโคง
รูปที่ 3 ภาพประกอบขณะอธิบายเรื่องกําเนิดแคลคูลัสและเสนสัมผัสเสนโคง
2.1. หมาปากับกระตาย (เริ่ม ณ 1:59)
เปนภาพเคลื่อนไหวที่เลาสถานการณหมาปาไลลากระตาย (รูปที่ 2(ก-ค)) และพิจารณาเสนทางการวิ่งของ
หมาปาที่แสดงดวยเสนโคงสีแดง ในรูปที่ 2(ค) หลังจากนั้นจึงวิเคราะหหาสมการของเสนโคงนี้ โดยการ
สมมติวาหมาปาเปลี่ยนทิศทางการวิ่งเปนชวง ๆ จนเกิดเปนเสนตรงตอกันหลาย ๆ เสน ในรูปที่ 2(ง) แลว
จึงใชแกน XY เพื่อหาสมการของเสนโคงที่ลอมดวยชุดของเสนตรง ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวในรูปที่
2(จ-ฉ)
2.2. เสนโคง เสนตรง แคลคูลัส (เริ่ม ณ 6:44)
จากแนวคิดของการสรางเสนโคงดวยชุดของเสนตรงที่ถี่มากขึ้นเรื่อย ๆ ขางตน เราสามารถคิดในมุมกลับได
เชนกัน กลาวคือ หากเริ่มดวยเสนโคง ชุดของเสนตรงที่ลอมเสนโคงก็คือเสนสัมผัสของเสนโคง ณ จุดตาง ๆ
นั่นเอง ซึ่งก็คือแนวคิดเริ่มตนของวิชาแคลคูลัสดังเปนที่ทราบโดยทั่วไป ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวใน
รูปที่ 3 การสรางเสนโคงดวยชุดของเสนตรง นี้จึงเปนกิจกรรมที่กอใหเกิดภาพที่สวยงามแตกลับซอนแนวคิด
เรื่องความชันและเสนสัมผัสไดอยางแยบยล
2.3. ศิลปะเสนเชือกตรึง (เริ่ม ณ 8:16)
ศิลปะเสนเชือกตรึง หรือ string art คือกิจกรรมทางคณิตศาสตรที่สรางเสนโคงโดยใชเชือกขึงตรึงหลายเสน
และเปนกิจกรรมที่ไดรับความนิยมอยางสูงในยุคหนึ่ง (รูปที่ 4 (ก),(ค)) แตผูที่มีสวนสําคัญในการผลักดันใหใช
ศิลปะเสนเชือกตรึงในการสอนเรขาคณิตแกเด็ก ๆ เปนคนแรกคือนาง Mary Everest Boole เมื่อรอยกวาป
ที่แลว (รูปที่ 4 (ข)) และดวยคุณสมบัติพิเศษและความสวยงามของมัน ศิลปะเสนเชือกตรึงยังปรากฏ
ใหเห็นในของใชในชีวิตประจําวันและสถาปตยกรรม เชน เกาอี้สาน และสะพาน Calatrava ในเมือง Petah
Tikva ประเทศอิสราเอล (รูปที่ 4 (ง))
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รูปที่ 4 คุณพร อัศวพิทยา กรุณาสระเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับศิลปะเสนเชือกตรึง
(ก) (ข)
(ค) (ง)
รูปที่ 5 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องศิลปะเสนเชือกตรึง
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2.4. ปญหาบันได (เริ่ม ณ 12:30)
ปญหาหนึ่งที่สามารถประยุกตใชเทคนิคการหาเสนโคงที่เกิดจากชุดของเสนตรงในการหาคําตอบ คือปญหา
การขนบันไดที่มีความยาว L ผานทางเดินมุมฉากที่มีความกวางเปน w1 และ w2 โดยบันไดตองอยูในแนว
ขนานกับพื้นตลอดเวลา แนนอนวาหากบันไดยาวเกินไปยอมไมสามารถผานมุมทางเดินนี้ไปได ดังรูปที่ 6(ก)
จะเห็นวาการขนโดยใหปลายบันไดทั้งสองขางชิดขอบทางเดินดานนอกตลอดเวลา เปนวิธีที่ทําใหบันไดอยู
หางจากมุมทางเดินมากที่สุดตลอดเวลา ดังนั้นเราจึงพิจารณาชุดของเสนตรงความยาว L ที่มีจุดปลายทั้งสอง
อยูบนแกน X และแกน Y และหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงนี้ และไดสมการของเสน
โคง astroid ดังแสดงในรูปที่ 6(ง)
(ก) (ข)
(ค) (ง)
รูปที่ 6 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องปญหาบันได
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:49)
ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญ
จนถึงสรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้
รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี้
3.1. รายละเอียดของโครงงาน (เริ่ม ณ 13:49)
โครงงานคณิตศาสตร เรื่องการศึกษาความสัมพันธของชุดเสนตรงและสิ่งหุมของชุดเสนตรงที่ตัดกัน
เปนพาราโบลา ที่ยกมาเปนตัวอยางในสื่อตอนนี้ เปนโครงงานที่จัดทําโดย นายกิตติ ไกรเทพ
นายสุทธิพงศ จันทภาโส นางสาวธรัญญา จารจิต และ นางสาววันวิสา เพ็ชรเรือง นักเรียนระดับ
มัธยมศึกษา ตอนปลาย โรงเรียนเมืองถลาง อําเภอถลาง จังหวัดภูเก็ต พ.ศ. 2552 และมีอาจารย
ที่ปรึกษาคือ ครูสิทธิโชค พรผล และ ครูถนอมเกียรติ งานสกุล ดังแสดงในรูปที่ 7
3.2. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 14:16)
ความรูทางคณิตศาสตรที่จําเปนในการทําความเขาใจเนื้อหาของสื่อการสอนตอนนี้ไดแก
1. เสนตรง ไดแก เรื่องสมการของเสนตรง และการหาสมการของเสนตรงที่ผานจุด 2 จุด (รูปที่ 8 (ก))
2. พาราโบลา ไดแก เรื่องสมการของเสนโคงพาราโบลา (รูปที่ 8 (ข))
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ลิมิต อนุพันธ ไดแก การหาลิมิตของฟงกชันเมื่อตัวแปรลูเขาสูศูนย และการหาอนุพันธของฟงกชัน
งาย ๆ และอันที่จริงแลว ยังจําเปนตองใชการหาอนุพันธยอยดวย (รูปที่ 8 (ค))
4. สมการอิงตัวแปรเสริม ไดแก การหาสมการอิงตัวแปรเสริมของสวนของเสนตรงที่ผานจุด 2 จุด
(รูปที่ 8 (ง))
(ก) (ข)
(ค) (ง)
รูปที่ 8 ภาพสื่อฯขณะกลาวถึงความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของอยางพอสังเขป
3.3. การหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม (เริ่ม ณ 17:00)
การหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมที่เกิดจากเสนตรงที่มีผลบวกของจุดตัดแกน X และ Y เปนคาคงที่
1. หาสมการของเสนตรงแตละเสน ดังแสดงในรูปที่ 9(ก)
2. หาจุดตัดของเสนตรงทีมจุดตัดแกน X เปน α และ β (รูปที่ 9(ข))
่ ี
3. หาลิมิตของพิกัดจุดตัดนี้ เมื่อ β ลูเขาสู α (รูปที่ 9(ค))
4. หาความสัมพันธระหวางพิกัดทั้งสองของลิมิตนี้ (รูปที่ 9(ง))
ถึงแมจะหาสมการของเสนโคงไดแลวก็ตาม เราก็ยังไมสามารถบอกไดทันทีวาเสนโคงที่ไดเปนเสน-

โคงใด แตหากหมุนแกนไป 45 องศา เพื่อใหเสนโคงสมมาตรกับแกน Y สมการของเสนโคงใหมนี้
จะเปนสมการของเสนโคงพาราโบลานั่นเอง ดังแสดงในรูปที่ 9(จ) แตเนื่องจากการหมุนแกนอาจเปน

หัวขอที่ยากเกินไปในระดับนี้ เราจึงเลือกที่จะนําเสนอวิธีการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมในกรณีนี้โดย
อีกวิธีหนึ่ง ซึ่งมีแนวคิดที่รองรับดังไดแสดงไวในสื่อฯ (รูปที่ 9(ช-ซ)) วิธีนี้เริ่มจากหาสมการของเสนตรง
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก) (ข)
(ค) (ง)
(จ) (ฉ)
(ช) (ซ)
รูปที่ 9 ภาพสื่อฯขณะแสดงการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แตละเสน ดังแสดงในรูปที่ 9(ฉ) แลวจึงหาคาสูงสุดของ y โดยการหาอนุพันธของสมการเสนตรง
เทียบกับ α เพื่อจับเทากับ 0 สุดทายจะไดความสัมพันธระหวาง x และ y ซึ่งก็คือสมการของเสนโคง
สิ่งหุมนั่นเอง (รูปที่ 10)
รูปที่ 10 ภาพสื่อฯขณะแสดงการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมโดยการหาอนุพันธ
3.4. วิธีการดําเนินงาน (เริ่ม ณ 27:02)
วิธีการดําเนินงานของโครงงานเรื่องนี้นั้น ศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมที่เกิดจากชุดของเสนตรง
ที่ตัดแกน X และ Y ที่ a และ b ตามลําดับ โดยแบงเปน 2 กรณีตามเงื่อนไขของคา a และ b ดังนี้
1. |a| + |b| = k เมื่อ k เปนคาคงตัวที่เปนบวกคาหนึ่ง (รูปที่ 11(ก))
2. |a|/m + |b|/n = k เมื่อ m, n, k เปนคาคงตัวที่เปนบวก (รูปที่ 11(ข))
3.5. ผลการศึกษา (เริ่ม ณ 28:02)
จากการศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมทั้ง 2 กรณีในวิธีการดําเนินงานนั้น สําหรับกรณีที่ 1
ไดสมการของเสนโคงสิ่งหุมใน 4 จตุภาค เปน x + y = k ซึ่งเมื่อหมุนแกนไป 45 องศาในทิศ
ตามเข็มนาฬิกา จะไดสมการของเสนโคงสิ่งหุมเปนสมการของเสนโคงพาราโบลา และสําหรับใน
x y
กรณีที่ 2 ได สมการของเสนโคงสิ่งหุมใน 4 จตุภาค เปน + = k ซึ่งสามารถแสดงได
m n
เชนกันวาเสนโคงสิ่งหุมในแตละจตุภาคเปนสวนหนึ่งของเสนโคงพาราโบลา ดูรายละเอียดการคํานวณ
จากสื่อฯไดในรูปที่ 12
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก)
(ข)
รูปที่ 11 ภาพจากสื่อฯขณะอธิบายวิธีการดําเนินงาน
3.6. สรุปโครงงาน (เริ่ม ณ 31:39)
โครงงานที่นําเสนอในสื่อฯนี้ เปนการศึกษาหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงที่มี
สมบัติรวมกันบางประการ ในกรณีที่ 1 สมบัตินี้ก็คือทุกเสนตรงในชุดของเสนตรงตองมีผลบวกของ
จุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y เทากับคาคงที่คาหนึ่ง (k) เสมอ สําหรับในกรณีที่ 2 สมบัติรวมกันนี้
คือทุกเสนตรงตองมีผลบวกของจุดตัดแกน X หารดวย m กับจุดตัดแกน Y หารดวย n เปนคาคงที่ k
เสมอ ซึ่งสมการของเสนโคงที่ไดจากทั้งสองกรณีตางเปนสวนหนึ่งของเสนโคงพาราโบลาเสมอ
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก)
(ข)
(ค)
รูปที่ 12 ภาพจากสื่อฯแสดงผลการศึกษาหาสมการของเสนโคงสิ่งหุม
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.7. กรณีทั่วไป (เริ่ม ณ 32.20)
จากผลการศึกษาหาสมการของเสนโคงที่ลอมรอบดวยชุดของเสนตรงในทั้ง 2 กรณี ที่ไดเสนโคง
พาราโบลาเสมอนั้น จึงเกิดคําถามขึ้นวา หากชุดของเสนตรงที่ใชมีสมบัติเปลี่ยนไป เสนโคงที่ไดจะเปน
เสนโคงประเภทใดไดบาง ในชวงนี้ สื่อฯจะพิจารณาชุดของเสนตรงที่มีจุดตัดแกนทั้งสองเปนฟงกชัน
ใด ๆ บอกจุดตัดของเสนตรงสองเสน (รูปที่ 13(ก-ข)) และใหสมการของเสนโคงที่ถูกลอมดวย
ชุดของเสนตรงนี้ (รูปที่ 13(ค)) ซึ่งโดยทั่วไป จะเปนเพียงสมการอิงตัวแปรเสริม โดยไมมีรายละเอียด
การคํานวณ ผูสนใจสามารถหาอานไดใน [2]
3.8. เสนโคงสิ่งหุมอื่น ๆ (เริ่ม ณ 34:00)
จากสมการอิงตัวแปรเสริมที่คํานวณไดใน 3.7 เราสามารถนํามาใชคํานวณหาสมการของเสนโคง
สิ่งหุมที่ลอมดวยชุดของเสนตรงเหลานี้
1. ความยาวของสวนของเสนตรงในจตุภาคที่ 1 เปนคาคงที่ L จะไดวาสมการของเสนโคงคือ
x 2/3 + y 2/3 = L2/3
2. ความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีดานทั้งสามเปนแกนพิกัดและเสนตรงในจตุภาคที่ 1 เปน
คาคงที่ จะไดวาสมการของเสนโคงคือสมการของวงกลมนั่นเอง
3.9. สรุป (เริ่ม ณ 38:16)
โครงงานนีทําใหเราไดเห็นวาเสนโคงที่สรางมาจากชุดของเสนตรงตางชุดกัน อาจเปนเสนโคงที่ตางกัน
้
พรอมการคํานวณหาสมการเหลานี้ดวยวิธีเบื้องตนบางวิธี และที่สําคัญคือ โครงงานนี้เปนตัวอยางหนึ่ง
ของการใชความรูคณิตศาสตรเบื้องตนในการจําแนกแยกแยะวัตถุทางคณิตศาสตร (เสนโคง) ที่สราง
ขึ้นมาตางวิธีกัน
. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นหาความสัมพันธ .
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก)
(ข)
(ค)
รูปที่ 13 ภาพจากสื่อฯอธิบายการหาสมการของเสนโคงสิ่งหุมในกรณีทั่วไป
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รูปที่ 14 ภาพจากสื่อฯแสดงตัวอยางของเสนโคงสิ่งหุมอื่น ๆ
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กิตติกรรมประกาศ
ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ คุณพร อัศวพิทยา ในฐานะศิลปนผูสรางสรรคงานศิลปะ
เสนเชือกตรึงที่นาทึ่ง ที่กรุณาสละเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับงานศิลปะเสนเชือกตรึง และ
คุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอ แนวคิดจนกอใหเกิดสื่อในรูปแบบนี้ขึ้น
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. กิตติ ไกรเทพ, สุทธิพงศ จันทภาโส, ธรัญญา จารจิต, วันวิสา เพ็ชรเรือง, การศึกษาความสัมพันธของ
ชุดเสนตรงและสิ่งหุมของชุดเสนตรงที่ตัดกันเปนพาราโบลา, โครงงานคณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษา
ตอนปลาย โรงเรียนเมืองถลาง อําเภอถลาง จังหวัดภูเก็ต พ.ศ. 2552
2. Gregory Quenell, Envelopes and String Art, Mathematics Magazine, Vol.82, No.3 (June 2009), pp.174-
185
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก)
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน
ความสัมพันธ
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชัน
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
27