1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 4)
้
ทฤษฎีบททวินาม
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (ทฤษฎีบททวินาม)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4/7)
หัวขอยอย 1. ทฤษฎีบททวินาม
2. ทฤษฎีบทอเนกนาม
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจมโนทัศนเรื่องทฤษฎีบททวินามและทฤษฎีบทอเนกนาม
2. เขาใจความสัมพันธของทฤษฎีบททวินามและการจัดหมู
3. สามารถขยายแนวคิดของทฤษฎีบททวินามไปสูทฤษฎีบทอเนกนาม และสามารถนําไปใชใน
การแกปญหาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายทฤษฎีบททวินามและทฤษฎีบทอเนกนามได
2. อธิบายความสัมพันธระหวางทฤษฎีบททวินามกับการจัดหมูได
3. ประยุกตใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย (x + y)n ได
4. ประยุกตใชทฤษฎีบททวินามเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของพจนที่สนใจจากการกระจาย (x + y)n ได
5. ประยุกตใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย (x1 + x 2 + + x m )n ได
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ทฤษฎีบททวินาม
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ทฤษฎีบททวินาม
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาถึงความสัมพันธของทฤษฎีบททวินามและการจัดหมู ขอสังเกตที่
ึ
นาสนใจของทฤษฎีบททวินาม พรอมทั้งตัวอยางการประยุกตใชทฤษฎีบทดังกลาว
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดแนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีบททวินาม พรอมทั้งเห็นตัวอยางการประยุกตใชทฤษฎีบทแลว
ผูสอนอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหผูเรียนไดฝกทักษะในเรื่องนี้ไดดยิ่งขึ้น ดังนี้
ี
ตัวอยาง จงใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย
1. (2x − 3y)5
2. (x 2 + 2y)3
วิธีทํา
1. จากทฤษฎีบททวินามทีวา
่
n n n  n  n −1  n  n
(a + b) n =   a n +   a n −1b + +   a n −r br + +  ab +   b (*)
0 1 r  n − 1 n
เราจะไดวา

(2x − 3y)5 = (2x + (−3y))5
5  5  5  5
=   (2x)5 +   (2x) 4 (−3y) +   (2x)3 (−3y) 2 +   (2x) 2 (−3y)3
0 1  2  3
5  5
+   (2x)(−3y) 4 +   (−3y)5
 4  5
= (2x)5 + 5(2x) 4 (−3y) + 10(2x)3 (−3y) 2 + 10(2x) 2 (−3y)3 + 5(2x)(−3y) 4 + (−3y)5
= 32x 5 − 240x 4 y + 720x 3 y 2 − 1080x 2 y3 + 810xy 4 − 243y5
2. จากทฤษฎีบททวินาม (*) จะไดวา
 3  3  3  3
(x 2 + 2y)3 =   (x 2 )3 +   (x 2 ) 2 (2y) +   (x 2 )(2y) 2 +   (2y)3
0 1  2  3
= x 6 + 3x 4 (2y) + 3x 2 (4y 2 ) + 8y3
= x 6 + 6x 4 y + 12x 2 y 2 + 8y3
จากตัวอยางขางตน ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา ในตัวอยางขอที่ 2 ซึ่งใหกระจาย
(x 2 + 2y)3 นั้น จะพบวา แตละพจนที่ไดจากการกระจายนัน ผลรวมของเลขชี้กาลังของ x 2 กับ y เทากับ 3 แต
้ ํ
ผลรวมของเลขชี้กาลังของ x กับ y ไมจําเปนตองเทากับ 3
ํ
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดเห็นตัวอยางการประยุกตใชทฤษฎีบททวินามแลว ผูสอนอาจใหผเู รียนทําตัวอยางตอไปนี้
เพื่อเพิ่มความเขาใจใหมากยิงขึ้น
่
ตัวอยาง
1. จงหาสัมประสิทธิ์ของ x 3 y7 ในการกระจาย (x + 2y)10
12
 2 1
2. จงหาพจนทไมมี
ี่ x ปรากฏอยูเลยในการกระจาย x − 
 x
วิธีทา
ํ 1. จากทฤษฎีบททวินามที่วา
n n n  n  n −1  n  n
(a + b) n =   a n +   a n −1b + +   a n −r br + +  ab +   b (*)
0 1 r  n − 1 n
จะไดวา การกระจาย (x + 2y)10 พจนที่มี y7 คือ พจนที่ r = 7 นั่นเอง

10  3
ดังนั้น พจนที่มี y7 คือ   x (2y) = 15360x y
7 3 7
 7
เพราะฉะนัน สัมประสิทธิ์ของ
้ x 3 y7 คือ 15,360
12
 2 1
2. จากทฤษฎีบททวินาม (*) จะเห็นวา แตละพจนที่ไดจากการกระจาย x −  จะอยูในรูป
 x
r
12  2 12− r  1   12  24− 2r
  (x )  −  =   (x )(−1) r (x − r )
r  x  r 
12 
=   x 24−3r (−1) r
r
เมื่อ 24 − 3r = 0 นั่นคือ r = 8 จะทําใหเลขชี้กําลังของ x เทากับ 0
12 
ดังนั้น พจนที่ไมมี x ปรากฏอยูเลย คือ   (−1) = 495
8
8
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมขอสังเกตที่ 1 แลว ผูสอนอาจเขียนขอสังเกตดังกลาวใหอยูในรูปสัญลักษณทาง
คณิตศาสตร ซึ่งไดผลดังนี้
 n   n − 1  n − 1
ขอสังเกตที่ 1  = + 
 r   r −1   r 
 n − 1  n − 1 (n − 1)! (n − 1)!
พิสจน
ู  + = +
 r − 1   r  (n − r)!(r − 1)! (n − r − 1)!r!
(n − 1)!r (n − 1)!(n − r)
= +
(n − r)!r! (n − r)!r!
n!
=
(n − r)!r!
n
= 
r
เมื่อผูเรียนไดชมขอสังเกตที่ 2 แลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันเขียนขอสังเกตใหอยูในรูปสัญลักษณทาง

คณิตศาสตร ซึ่งไดผลดังนี้
n  n 
ขอสังเกตที่ 2  = 
 r  n −r
n n! n!  n 
พิสูจน  = = = 
 r  r!(n − r)! (n − (n − r))!(n − r)!  n − r 
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมขอสังเกตที่ 3 แลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันเขียนขอสังเกตใหอยูในรูปสัญลักษณทาง

คณิตศาสตร ซึ่งไดผลดังนี้
1  2   n   n + 1
ขอสังเกตที่ 3  + + +  =  
1  1  1  2 
 1  2  n
พิสจน
ู  + + +   = 1+ 2 + + n
 1  1  1
n(n + 1)
=
2
 n + 1
= 
 2 
เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางการนําสามเหลี่ยมปาสกาลมาประยุกตใช แลว ผูสอนอาจนําตัวอยางที่เพิ่มเติม
ใหผูเรียนฝกทักษะกอนหนานี้มาใหผูเรียนไดฝกทําอีกครังหนึ่งโดยใชสามเหลี่ยมปาสกาลเขาชวย ดังนี้
้
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง จงใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย
1. (2x − 3y)5
2. (x 2 + 2y)3
วิธีทํา
n=0 1
n =1 1 1
n=2 1 2 1
n =3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n =5 1 5 10 10 5 1
1. (2x − 3y)5 = (2x)5 + 5(2x) 4 (−3y) + 10(2x)3 (−3y) 2 + 10(2x)2 (−3y)3 + 5(2x)(−3y)4 + (−3y)5
= 32x 5 − 240x 4 y + 720x 3 y 2 − 1080x 2 y3 + 810xy 4 − 243y5
2. (x 2 + 2y)3 = (x 2 )3 + 3(x 2 )2 (2y) + 3(x 2 )(2y)2 + (2y)3
= x 6 + 6x 4 y + 12x 2 y 2 + 8y3
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
1. จงใชทฤษฎีบททวินามในการกระจาย
1.1 (2x + y) 4
1.2 (x + y 2 )5
1.3 (x − y)3
1.4 (x − 3y)4
1.5 (x 2 + 2y2 )6
2 y
1.6 ( + )5
x 3
2. จงหาสัมประสิทธิ์ของ x 3 y5 ในการกระจาย (x + 2y)8
3. จงหาสัมประสิทธิ์ของ x 3 y4 ในการกระจาย (3x + 2y)7
4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ x 6 ในการกระจาย (2x − 1)8
5. จงหาสัมประสิทธิ์ของ x10 y7 ในการกระจาย (x 2 − 2y)12
9
 2 2
6. จงหาพจนที่ไมมี x ปรากฏอยูเลยในการกระจาย x − 
 x
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทอเนกนาม
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทอเนกนาม
ตัวอยาง จงใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย (x + y + z)3
 3  3  3  3  3  3
วิธีทํา (x + y + z)3 =  x + y + z
 3, 0, 0   0,3, 0   0, 0,3 
 3  2  3  2  3  2  3  2  3 
+ x y+ x z+  xy +   xz +   xyz
 2,1, 0   2, 0,1  1, 2, 0   1, 0, 2   1,1,1
 3  2  3  2
+  yz +  y z
 0,1, 2   0, 2,1
= x 3 + y3 + z 3 + 3x 2 y + 3x 2 z + 3xy 2 + 3xz 2 + 6xyz + 3yz 2 + 3y 2 z
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ผูสอนอาจเนนย้ําผูเรียนเพิ่มเติมวา ในการประยุกตใชทฤษฎีบทอเนกนาม
 n  n1 n 2
(x1 + x 2 + + x m )n = ∑
n1 + n 2 +
  x1 x 2
+ n m = n  n1 , n 2 , … , n m 
x nm
m
n1 , n 2 ,…,n m ≥ 0
สิ่งสําคัญ คือ
n1 , n 2 , … , n m ≥ 0
n1 + n 2 + + nm = n
และผูเรียนตองหาผลบวกใหครบทุกแบบ
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ทฤษฎีบทอเนกนาม
1. จงใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย
1.1 (x + y − z)3
1.2 (x + 2y − z)3
1.3 (x 2 + y2 + z 2 )3
2. จงหา (n1 , n 2 , n 3 ) ทั้งหมดที่ทําให n1 + n 2 + n 3 = 4 โดยที่ n1 , n 2 , n 3 เปนจํานวนเต็มที่มากกวาหรือ
เทากับศูนย
3. จงใชทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย (x + y + z)4
4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ xy2 z3 ในการกระจาย (x + y + z)6
5. จงหาสัมประสิทธิ์ของ x 3 y4 z ในการกระจาย (x + y − 2z)8
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. ในการกระจาย (xy − 2y−2 )8 พจนทมีผลบวกของกําลังของ
ี่ x กับกําลังของ y เทากับ – 4 มี
สัมประสิทธิ์เทากับขอใดตอไปนี้
1. – 488 2. –1792 3. 1120 4. 56
2n
 2 1
2. สัมประสิทธิ์ของ x ในการกระจาย
r
x +  คือขอใดตอไปนี้
 x
(2n)! (2n)!
1. 2. 4n − r
 2n + r   4n − r 
  ! ! 3
 3  3 
(2n)! (2n)!
3. 4.
r!(2n − r)! (2r)!
3. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
8
 3 1 
1. ในการกระจาย x +  สัมประสิทธิ์ของ x12 คือ 56
 2x 
8
 3 1 
2. ในการกระจาย x +  ไมมีพจนใดเลยที่เปนคาคงตัว
 2x 
n
3. ในการกระจาย (x + y) n − (x − y) n สัมประสิทธิ์ของ x 2 yn −2 คือ 2 
 2
เมื่อ n คือจํานวนคูบวก

n
4. จากการกระจาย (x + y) n − (x − y) n จนเปนผลสําเร็จแลว จะเหลือพจนอยู พจน
2
เมื่อ n เปนจํานวนคูบวก

15
 3 1 
4. พจนที่ไมมี x ปรากฏอยูในการกระจาย x + 2  คือพจนใดตอไปนี้
 x 
 11  15  15  15 
1.  
10  2.   3.  
9 4.  
10 
  8    
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
5. สัมประสิทธิ์ของ x ในการกระจายแลวบวกกันเปนผลสําเร็จของ
1 + (1 + x) + (1 + x)2 + + (1 + x)10
คือขอใด
1. 40 2. 45 3. 55 4. 65
6. สัมประสิทธิ์ของ x 54 ในอนุกรม
1 + (1 + x 2 ) + (1 + x 2 ) 2 + + (1 + x 2 )50
คือขอใด
 50   50   51   51 
1.  
 27  2.  
 28  3.  
 27  4.  
 28 
       
7. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจนจากการกระจาย (a + b)n เปน 256 แลว n 2 + n + 1 เทากับขอใด
1. 8 2. 64 3. 72 4. 73
8. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. จํานวนพจนจากการกระจาย (2x − 3y)5 มี 6 พจน
ข. พจนกลางจากการกระจาย (x + 2y)8 คือ 1120x 4 y4
ค. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทุกพจนจากการกระจาย (5x − 3y)5 คือ 32
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. จริงทุกขอ 2. เท็จทุกขอ 3. จริงขอเดียว 4. เท็จขอเดียว
10
 4 1  a
9. ถา a และ b เปนสัมประสิทธิ์ของ x และ x ของการกระจาย
−2 4
x − 2  ตามลําดับ แลว
 2x  b
เทากับขอใดตอไปนี้
2 1 1 4
1. − 2. − 3. − 4. −
7 2 3 15
10. ขอใดตอไปนี้ผิด
1. สัมประสิทธิ์ของทุกพจนจากการกระจาย (a + b)5 รวมกันแลวเทากับ 32
2. ถา Pn,5 = 20Pn,3 แลว n = 12
10  10  11
3.  +  = 
5  4 5
5
4. ∑ (5k − 3)2 = 970
k =1
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝกหัด
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
1. 1.1 16x 4 + 32x 3 y + 24x 2 y 2 + 8xy3 + y 4
1.2 x 5 + 5x 4 y 2 + 10x 3 y 4 + 10x 2 y 6 + 5xy8 + y10
1.3 x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y3
1.4 x 4 − 12x 3 y + 54x 2 y 2 − 108xy3 + 81y 4
1.5 x12 + 12x10 y 2 + 60x 8 y 4 + 160x 6 y6 + 240x 4 y8 + 192x 2 y10 + 64y12
32 80  y  80  y 2  40  y3  10  y 4  y5
1.6 +  +  +  +  +
x 5 3  x 4  9  x 3  27  x 2  81  x  243
2. 1, 792 3. 15,120
4. 1, 792 5. −10,1376
6. 5,376
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง ทฤษฎีบทอเนกนาม
1. 1.1 x 3 + y3 − z 3 + 3x 2 y − 3x 2 z + 3xy 2 + 3xz 2 − 6xyz + 3yz 2 − 3y 2 z
1.2 x 3 + 8y3 − z 3 + 6x 2 y − 3x 2 z + 12xy 2 + 3xz 2 − 12xyz + 6yz 2 − 12y 2 z
1.3 x 6 + y 6 + z 6 + 3x 4 y 2 + 3x 4 z 2 + 3x 2 y 4 + 3x 2 z 4 + 6x 2 y 2 z 2 + 3y 2 z 4 + 3y 4 z 2
2. (4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4), (3,1, 0), (3, 0,1), (2, 2, 0), (2, 0, 2), (2,1,1),
(1,3, 0), (1, 0,3), (1, 2,1), (1,1, 2), (0,3,1), (0,1,3), (0, 2, 2)
3. x 4 + y 4 + z 4 + 4x 3 y + 4x 3 z + 6x 2 y 2 + 6x 2 z 2 + 12x 2 yz + 4xy3 + 4xz 3 +12xy 2 z + 12xyz 2
+4y3 z + 4yz 3 + 6y 2 z 2
4. 60
5. − 560
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 2 2. 1 3. 4 4. 3 5. 3
6. 4 7. 4 8. 4 9. 1 10. 2
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
28

30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
29

31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
30