1. บทที่ 2
การใหเหตุผล
( 8 ชั่วโมง )
การใหเหตุผลเปนสาระใหมของวิชาคณิตศาสตรในชวงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปที่ 4 – 6) ซึ่ง
เปนเนื้อหาที่มีความสําคัญ เพราะการดําเนินชีวิตของคนเราตองขึ้นอยูกับเหตุผล ไมวาจะเปนความเชื่อ
การโตแยง การตัดสินใจ ตองใชเหตุผลประกอบทั้งสิ้น อีกทั้งยังเปนพื้นฐานที่สําคัญในการหาความรู
ของศาสตรตางๆ
สาระเรื่องการใหเหตุผลที่จะกลาวถึงในหนังสือเรียนประกอบดวยเรื่อง การใหเหตุผลแบบ
อุปนัย และการใหเหตุผลแบบนิรนัย โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังตอไปนี้
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. เขาใจและใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยได
2. บอกไดวาการอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไมโดยใชแผนภาพแทนเซต
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะ
กระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง

2. 29
ขอเสนอแนะ
1. การใหเหตุผลแบบอุปนัยเปนการใหเหตุผลเพื่อหาขอสรุป โดยการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ
ครั้ง ผูสอนควรเริ่มสอนจากตัวอยางที่งาย ๆ กอน เพื่อที่จะใหผูเรียนเกิดความเขาใจในความหมาย
ของการใหเหตุผลแบบอุปนัย เชน
ใหผูเรียนพิจารณาตัวอยางตอไปนี้
1, 2, 4, 8, …
ผูสอนอาจถามผูเรียนวา พจนถัดไปของแบบรูปนี้คือจํานวนใด หรือสองพจนถัดไป
ของแบบรูปนี้คือจํานวนใด เมื่อผูเรียนตอบคําถามแลวผูสอนควรใหผูเรียนแสดงเหตุผลดวยวา
คําตอบที่ผูเรียนตอบนั้นไดมาอยางไร ถาผูเรียนใหเหตุผลวาเกิดจากสังเกตแบบรูปของขอมูลที่มีอยู
ผูสอนควรจะสรุปดวยวาการสังเกตของผูเรียนเพื่อหาคําตอบนั้นเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัย
2. การเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบอุปนัย นอกจากผูสอนจะยกตัวอยางการใหเหตุผลที่เกี่ยวของ
กับวิชาคณิตศาสตรแลว ผูสอนควรยกตัวอยางการใหเหตุผลที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวันและ
ใหผูเรียนฝกการยกตัวอยางดวย เพื่อผูเรียนจะไดเห็นถึงความสําคัญของเนื้อหาสาระ อีกทั้งไดฝก
ทักษะกระบวนการใหเหตุผลและมีความคิดริเริ่มสรางสรรค
3. หลังจากที่ผูสอนสอนเรื่องการใหเหตุผลแบบอุปนัยแลว ผูสอนควรสรุปใหผูเรียนมีความเขาใจวา
การสรุปผลจากการสังเกตเหตุการณหรือการทดลองหลาย ๆ ครั้ง ผลสรุปที่ไดอาจจะไมจริงเสมอ
ไป ซึ่งอาจขึ้นอยูกับ ลักษณะของขอมูล ความคิดหรือประสบการณเดิมของผูใหเหตุผล เชน
น้ําฝนสังเกตเห็นไขเปดที่คุณแมซื้อมาจากตลาดมีสีขาว แลวน้ําฝนสรุปวาไขเปดทุกฟองมีสีขาว
ซึ่งเปนผลสรุปที่ผิดเพราะมีไขเปดบางฟองมีสีเทาอมเขียว
4. ในการสอนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย ผูสอนควรสอนใหผูเรียนเขาใจวา การใหเหตุผล
แบบนิรนัยนั้นเราตองยอมรับวา เหตุ เปนจริงเสมอ ถึงแมวาเหตุนั้นจะขัดกับความเปนจริงทาง
โลก ก็ตาม เชน ขอความ “ คนทุกคนเปนลิง ” “ แมวทุกตัวลอยน้ําได ”
5. การเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย หลังจากแนะนําใหผูเรียนรูจักตัวอยางของการใหเหตุผล
แบบนิรนัยแลว กอนที่ผูสอนจะสอนเรื่อง การอางเหตุผล (สําหรับเรื่องการอางเหตุผลของ
หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานนี้จะมีความแตกตางจากเรื่องการอางเหตุผลที่ผูสอนเคยสอนมาใน

3. 30
รายวิชา ค011 (หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533)
โดยการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของขอความจะใชแผนภาพแทนเซตของเวนน – ออยเลอร
ตรวจสอบ) ผูสอนควรสอนใหผูเรียนฝกการเขียนแผนภาพแทนขอความ ซึ่งเปนไปตามรูปแบบที่
กําหนดไวในหนังสือเรียนจนเกิดความเขาใจ แลวจึงสอนวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผล
ของขอความ เชน
ขอความ นักเรียนทุกคนเปนคนฉลาด
ให A แทนเซตของนักเรียน
B แทนเซตของคนฉลาด
เขียนแผนภาพแทนขอความ ไดดังนี้
ขอความ ปลาบางตัวบินได
ให M แทนเซตของปลา
N แทนเซตของสัตวที่บินได
เขียนแผนภาพแทนขอความ ไดดังนี้
6. การตรวจสอบผลสรุปของขอความที่สมเหตุสมผลนั้น จะตองตรวจสอบแผนภาพทุกแผนภาพที่
เปนไปไดทุกกรณี สวนขอความที่มีผลสรุปไมสมเหตุสมผล ไมจําเปนตองวาดแผนภาพทั้งหมด
ทุกกรณี เพียงยกตัวอยางกรณีที่ผลสรุปนั้นไมสอดคลองเพียงกรณีเดียวก็พอ
กิจกรรมเสนอแนะ
ผูสอนสามารถใชกิจกรรมนี้เสริมสรางทักษะการใหเหตุผลและการแกปญหา ซึ่งอาจใช
ประกอบการเรียนการสอนไดทั้งกอนหรือหลังการเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย
(1) (2) (3)
ฟ ลฟ ล ฟ ล
A
B
M N

4. 31
1) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ฟ ฟ ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ล ล หรือ ฟ ล ก็ได
2) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ล ล ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ฟ ฟ หรือ ฟ ล ก็ได
3) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ฟ ล ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ฟ ฟ หรือ ล ล ก็ได
มีกลองอยู 3 ใบ แตละใบมีลูกบอลอยู 2 ลูก ซึ่งอาจเปนสีฟาทั้ง 2 ลูก หรือสีเหลือง
ทั้ง 2 ลูก หรือสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
กลองแตละใบมีปายติดดังนี้
(1) ฟ ฟ หมายถึง มีลูกบอลสีฟาอยู 2 ลูก
(2) ล ล หมายถึง มีลูกบอลสีเหลืองอยู 2 ลูก
(3) ฟ ล หมายถึง มีลูกบอลสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
แตไมมีกลองใดเลยที่ติดปายตรงกับความเปนจริง เปนไปไดหรือไมวา
วิธีการดําเนินกิจกรรม
ผูสอนใหผูเรียนทดลองหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกลองใดก็ไดที่ผูสอนเตรียมไวใหแลวชวย
กันหาขอสรุปวา ลูกบอลที่อยูในกลองที่เหลือควรจะเปนสีใด เมื่อผูเรียนไดคําตอบแลวผูสอนจึงใหผู
เรียนออกมาแสดงเหตุผล จากนั้นผูสอนและผูเรียนจึงคอยสรุปที่มาของคําตอบอีกครั้ง หรือผูสอนใช
คําถามเพื่อแนะนําใหผูเรียนหาคําตอบไดดวยตนเองดังนี้
1. ผูเรียนสามารถสรุปขอมูลใดไดบางจากสิ่งที่โจทยกําหนดให
คําตอบ เนื่องจากไมมีกลองใดที่ติดปายตรงกับความเปนจริง สรุปไดวา
ถาหยิบลูกบอลจากกลองใดก็ไดมา 1 ลูก แลวสามารถบอกไดวา ที่ถูกตองแลวกลองใด
ควรจะมีลูกบอลสีอะไร และจะตองหยิบลูกบอลจากกลองใดจึงจะไดคําตอบที่ถูกตอง
เมื่อทราบคําตอบแลว ใหติดปายที่ถูกตองดวย
(1) (2) (3)
ฟ ลฟ ล ฟ ล

5. 32
ฟ ล ฟ ฟ
ล ล ฟ ล
2. ถาหยิบลูกบอลจากกลองที่ (1) หรือ (2) จะบอกไดหรือไมวา ลูกบอลอีกลูกในกลอง
ควรเปนสีใด (ใหผูเรียนแสดงเหตุผล)
3. ถาใหผูเรียนหยิบลูกบอลจากกลองที่ (3) ซึ่งมีปาย ฟ ล ติดไว
ถาผูเรียนหยิบไดลูกบอลสีฟา ฟ ความจริงแลวกลองนี้จะตองมีลูกบอลสีใด
คําตอบ จากคําตอบของขอที่ 1. จะไดวากลองนี้ควรจะมีลูกบอลสีฟา 2 ลูก
หยิบไดลูกบอลสีฟา
ปายผิด ปายที่ถูกตอง
4. เมื่อหาไดแลววา กลองที่มีปาย ฟ ล ที่ถูกตอง จะตองเปน ฟ ฟ อีก 2 กลองที่เหลือ
ควรจะมีลูกบอลสีใดบาง
(1) (2)
คําตอบ กลองที่เหลือในภาพขางบนจะตองเปนกลองที่มี
(1) ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก ล ล
และ (2) ลูกบอลสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก ฟ ล
จากขอสรุปขอที่ 1. กลองที่มีปาย ล ล จะตองไมใชกลองที่มีลูกบอลสีเหลือง
2 ลูก เพราะปายที่ติดไวผิด
ดังนั้น ที่ถูกตองแลว กลองที่ติดปาย ล ล จะตองมีลูกบอลสีฟา 1 ลูก
และสีเหลือง 1 ลูก
ปายผิด ปายที่ถูกตอง
ฟ ฟ ล ล

6. 33
ฟ ฟ ล ล
จากขอสรุปขางตนและขอสรุปขอที่ 1. จะไดกลองที่เหลือที่มีปาย ฟ ฟ จะตองมีลูกบอลสี
เหลือง 2 ลูก
ปายผิด ปายที่ถูกตอง
สรุปผลดังนี้
5. ครูใหผูเรียนชวยกันสรุปคําตอบในกรณีที่ผูเรียนหยิบไดลูกบอลสีเหลืองจากกลองที่มีปาย
ฟ ล และใหหาวากลองที่เหลือจะตองมีลูกบอลสีอะไรบาง และติดปายใหมใหถูกตอง
แบบทดสอบประจําบท
แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซึ่งจะใชประเมินผล
ดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่อง การใหเหตุผล ผูสอนสามารถเลือกและปรับ
แบบทดสอบใหเหมาะสมกับผูเรียนได
ฟ
ฟ ฟ ล ฟ ล ล
ลฟ ฟ ฟลล

7. 34
ตัวอยางแบบทดสอบ
1. จงใชวิธีการใหเหตุผลเพื่อหาคําตอบตอไปนี้
1) จงเขียนคําตอบในชองวาง พรอมทั้งอธิบายเหตุผลที่ใชในการหาคําตอบและพิจารณาวา
เปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย
11 × 11 = 121
11 × 12 = 132
11 × 13 = 143
11 × 14 = ___
11 × 15 = ___
11 × 16 = ___
11 × 17 = ___
11 × 18 = ___
2) จงหาวาจํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 5 ถึงแถวที่ 10 มีจํานวนเทาไร พรอมทั้งอธิบาย
เหตุผลที่ใชในการหาคําตอบและพิจารณาวาเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย
2. จงหาจํานวน c จากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให โดยใชการใหเหตุผลแบบอุปนัย
1) -5, 5, -5, 5, c
2) 4, 2, 0, -2, c
3) 6, 12, 18, 24, c
4) 64, 32, 16, 8, c
5) -17, -12, -7, -2, c
3. ถาจํานวนเต็มที่เปนจํานวนคี่ หมายถึง จํานวนที่หารดวย 2 ไมลงตัว
ทานใชเหตุผลแบบใดในการหาขอสรุปวา 11 เปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่
แถวที่ (1) มี 1 รูป
แถวที่ (2) มี 3 รูป
แถวที่ (3) มี......รูป
แถวที่ (5) มี......รูป
แถวที่ (4) มี......รูป

8. 35
4. จงยกตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยมาอยางละ 1 ตัวอยาง ตามที่ทานเขาใจ
5. จงยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน ที่ทําใหทานหรือคนในครอบครัว หรือคนรูจักเคยใช
การใหเหตุผลแบบอุปนัย หรือ นิรนัยมาชวยในการหาขอสรุปเพื่อชวยในการตัดสินใจ
6. เหตุ 1. สัตวเลี้ยงลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา
2. งูไมมีขา
ขอสรุป งูเปนสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
จงหาวาขอสรุปขางตนสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพแทนเซต
7. จงตรวจสอบวาผลสรุปตอไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพ
1) เหตุ 1. คนที่ชอบดูภาพยนตรทุกคนไมชอบดูการแขงขันกีฬา
2. อภิรดีชอบดูภาพยนตร
ผล อภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา
2) เหตุ 1. คนที่คาขายทุกคนเปนคนขยัน
2. คนที่ขยันเปนคนรวย
ผล คนที่คาขายเปนคนรวย
8. สมมติวา ทานพบวา เพื่อนของทานทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตา เปนเพื่อน
ในชั้นเรียนของทานที่ไมคุยระหวางเรียน ทานจะสรุปไดหรือไมวาสุภิตาเปนคนตั้งใจเรียน
จงอธิบายวิธีการหาขอสรุปโดยใชแผนภาพแทนเซต
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. 1) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย จะได
11 × 11 = 121 เหตุผล จากผลลัพธของการคูณของสามสมการ
11 × 12 = 132 แรก เลขโดดในหลักหนวยของผลลัพธคือเลขโดด
11 × 13 = 143 ในหลักหนวยของตัวคูณ เลขโดดในหลักสิบ
11 × 14 = 154 ของผลลัพธจะมากกวาเลขโดดในหลักหนวยอยู 1
11 × 15 = 165 และเลขโดดในหลักรอยคือ 1
11 × 16 = 176
11 × 17 = 187
11 × 18 = 198

9. 36
2)
เหตุผล
แถวที่ 1 มีรูปสามเหลี่ยม 1 รูป
แถวที่ 2 มีรูปสามเหลี่ยม 3 รูป
แถวที่ 3 มีรูปสามเหลี่ยม 5 รูป
แถวที่ 4 มีรูปสามเหลี่ยม 7 รูป
ดังนั้น จํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 5 จะตองมากกวาจํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยู
ในแถวที่ 4 อยู 2 ซึ่งเทากับ 7 + 2 หรือ 9 รูป
สรุปวา แถวที่ 5 จะตองมีรูปสามเหลี่ยม 9 รูป
แถวที่ 6, 7, 8, 9 และ 10 จะมีรูปสามเหลี่ยม 11, 13, 15, 17 และ 19 รูป ตามลําดับ
2. โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย จะได
แบบรูป เหตุผลแบบอุปนัย
1) -5, 5, -5, 5, -5
2) 4, 2, 0, -2, - 4
3) 6, 12, 18, 24, 30
4) 64, 32, 16, 8, 4
5) -17, -12, -7, -2, 3
พิจารณาจากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให พบวา
จํานวนที่อยูในลําดับที่ 1, 3 จะเทากับ -5
ดังนั้น c อยูในลําดับที่ 5 จึงควรมีคาเทากับ -5
จํานวนแตละจํานวนไดจากจํานวนที่อยูขางหนาลบดวย 2
ดังนั้น c = –2 –2 หรือ - 4
จํานวนแตละจํานวนไดจากจํานวนที่อยูขางหนาบวกดวย 6
ดังนั้น c = 24 + 6 = 30
จํานวนแตละจํานวนไดจากการนําจํานวนที่อยูขางหนามาหารดวย 2
ดังนั้น c = 8 ÷ 2 หรือ 4
จํานวนแตละจํานวนไดจากการนําจํานวนที่อยูขางหนาบวกดวย 5
ดังนั้น c = –2 + 5 = 3
หมายเหตุ การใหเหตุผลอาจแตกตางจากตัวอยางของคําตอบขางตนได
แถวที่ (1)มี 1 รูป
แถวที่ (2)มี 3 รูป
แถวที่ (3)มี 5 รูป
แถวที่ (4)มี 7 รูป
แถวที่ (5) มี 9 รูป
เพิ่ม 2 รูป
เพิ่ม 2 รูป
เพิ่ม 2 รูป

10. 37
3. ถาจํานวนเต็มที่เปนจํานวนคี่ หมายถึง จํานวนที่หารดวย 2 ไมลงตัว
เนื่องจาก 11 ÷ 2 ไดผลลัพธเทากับ 5 เศษ 1
ดังนั้น 11 หารดวย 2 ไมลงตัว สรุปไดวา 11 เปนจํานวนคี่
การสรุปวา 11 เปนจํานวนคี่เปนการสรุปโดยอางอิงสิ่งที่ยอมรับวาเปนจริง
ดังนั้น การสรุปขางตนจึงเปนการสรุปโดยใชเหตุผลแบบนิรนัย
4. ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย
41
– 1 = 3 หรือ 3 × 1
42
– 1 = 15 หรือ 3 × 5
43
– 1 = 63 หรือ 3 × 21
44
– 1 = 255 หรือ 3 × 75
45
– 1 = 1023 หรือ 3 × 341
จะเห็นวา จํานวนที่อยูทางดานขวาของเครื่องหมาย = จะมี 3 เปนตัวประกอบทุกจํานวน
จากตัวอยางขางตน ใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยสรุปไดวา จํานวนที่มีคาเทากับ 46
– 1
จะมี 3 เปนตัวประกอบ นั่นคือ 46
– 1 = 4,095 หรือ 3 × 1,365
ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย
เหตุ 1. คนทุกคนตองการมีเพื่อน
2. อั้มเปนคน
ผล อั้มตองการมีเพื่อน
5. ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย
เพื่อนบานที่เคยเปนโรคเกี่ยวกับกระดูกหลายคนไปพบแพทยที่รักษาโรคกระดูกที่โรงพยาบาล
แหงหนึ่งแลว ทุกคนบอกวาหมอรักษาไดผลดี ฉันจึงตัดสินใจพาคุณยายซึ่งเปนโรคเกี่ยวกับกระดูก
ไปพบแพทยที่รักษาโรคกระดูกที่โรงพยาบาลแหงนั้น
ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย
ขณะนี้อัตราดอกเบี้ยเงินฝากประจําสําหรับเงินตนไมเกิน 500,000 บาท เทากับ 2.75% ตอป
ถาฉันนําเงิน 1 แสนบาทไปฝากในบัญชีฝากประจํา จะไดรับดอกเบี้ย 2,750 บาท เมื่อฝากครบ 1 ป
(ถาธนาคารไมเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ย)

11. 38
6. เหตุ 1. สัตวเลี้ยงลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา
2. งูไมมีขา
ขอสรุป งูเปนสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
ให A แทนเซตของสัตวเลี้ยงลูกดวยนม
B แทนเซตของสัตวไมมีขา
c แทนงู
แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2
จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา งูเปนสัตวไมมีขาที่ไมเลี้ยงลูกดวยนม
จากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา งูเปนสัตวไมมีขาที่เลี้ยงลูกดวยนม
แผนภาพที่ 1 ขัดแยงกับขอสรุป ดังนั้น ขอสรุปขางตนจึงไมสมเหตุสมผล
7. 1) เหตุ 1. คนที่ชอบดูภาพยนตรทุกคนไมชอบดูการแขงขันกีฬา
2. อภิรดีชอบดูภาพยนตร
ผล อภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา
ให A แทนเซตของคนที่ชอบดูภาพยนตร
B แทนเซตของคนที่ชอบดูการแขงขันกีฬา
c แทนอภิรดี
จากแผนภาพ พบวา ขอสรุปที่วาอภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา สมเหตุสมผล
2) เหตุ 1. คนที่คาขายทุกคนเปนคนขยัน
2. คนที่ขยันเปนคนรวย
ผล คนที่คาขายเปนคนรวย
ให M แทนเซตของคนที่คาขาย
A แทนเซตของคนที่ขยัน
R แทนเซตของคนที่รวย
จากแผนภาพ พบวา ขอสรุปที่วาคนที่คาขายเปนคนรวย สมเหตุสมผล
A B
c•
A B
c•
A B
• c
M
A
R

12. 39
8. ถาเพื่อนทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตาไมคุยระหวางเรียน
ให A แทนเซตของคนที่ตั้งใจเรียน
B แทนเซตของคนที่ไมคุยระหวางเรียน
c แทนสุภิตา
แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2
จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน และสุภิตาตั้งใจเรียน
จากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน แตสุภิตาไมตั้งใจเรียน
เนื่องจาก แผนภาพทั้งสองขัดแยงกัน จึงไมสามารถสรุปวา สุภิตาเปนคนที่ตั้งใจเรียน
เฉลยแบบฝกหัด
แบบฝกหัด 2.1
1. การใหเหตุผลในคําตอบที่ไดแสดงไวเปนเพียงตัวอยางของการใหเหตุผลแบบอุปนัยในการ
หาคา a อาจมีเหตุผลอื่นนอกเหนือจากที่ไดแสดงไวไดอีก
1) 12, 22, 32, 42, a
จากจํานวนแรกคือ 12 = (1 × 10) + 2
22 = (2 × 10) + 2
32 = (3 × 10) + 2
42 = (4 × 10) + 2
จะได a = (5 × 10) + 2 หรือ 52
2) 12, 10, 8, 6, a
จากจํานวนแรกคือ 12 = 6 × 2
10 = 5 × 2
8 = 4 × 2
6 = 3 × 2
จะได a = 2 × 2 หรือ 4
A
B
c•
A
B
c•

13. 40
3) 5, 3, 1, -1, -3, a
จากจํานวนแรกคือ 5 = 7 – 2
3 = 5 – 2
1 = 3 – 2
-1 = 1 – 2
-3 = –1 – 2
จะได a = –3 – 2 หรือ -5
4) 1, -1, 1, -1, 1, a
เหตุผล พิจารณาแบบรูปที่กําหนดใหพบวา จํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคี่ คือ 1
และจํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคู คือ -1
เนื่องจาก a อยูในลําดับที่ 6 ซึ่งเปนจํานวนคู ดังนั้น a ควรเทากับ -1
5) 1, 4, 9, 16, 25, a
จากจํานวนแรกคือ 1 = 12
4 = 22
9 = 32
16 = 42
25 = 52
จะได a = 62
หรือ 36
6) -15, -5, 5, 15, a
จากจํานวนแรกคือ -15
-5 = -15 + 10
5 = -5 + 10
15 = 5 + 10
จะได a = 15 + 10 หรือ 25
7) 1, -1, -3, -5, a
จากจํานวนแรกคือ 1
-1 = 1 – 2
-3 = –1 – 2
-5 = –3 – 2
จะได a = –5 – 2 หรือ -7

14. 41
8) -5, -3, -1, 1, a
จากจํานวนแรกคือ -5
-3 = –5 + 2
-1 = –3 + 2
1 = –1 + 2
จะได a = 1 + 2หรือ 3
9) 1, 6, 11, 16, a
จากจํานวนแรกคือ 1
6 = 1 + 5
11 = 6 + 5
16 = 11 + 5
จะได a = 16 + 5หรือ 21
10) 8, 14, 20, 26, a
จากจํานวนแรกคือ 8
14 = 8 + 6
20 = 14 + 6
26 = 20 + 6
จะได a = 26 + 6หรือ 32
2. พิจารณาผลคูณที่กําหนดใหตอไปนี้
1 × 9 = 9 6 × 9 = 54 11 × 9 = 99
2 × 9 = 18 7 × 9 = 63 12 × 9 = 108
3 × 9 = 27 8 × 9 = 72 13 × 9 = 117
4 × 9 = 36 9 × 9 = 81 14 × 9 = 126
5 × 9 = 45 10 × 9 = 90 15 × 9 = 135
จากผลคูณที่ไดพบวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณที่ไดมาบวกกัน
ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ เชน 15 × 9 = 135
เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณมาบวกกัน
จะได 1 + 3 + 5 = 9 ซึ่งหารดวย 9 ลงตัว
โดยใชเหตุผลแบบอุปนัยจะสรุปไดวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณ
ของจํานวนเต็มบวกใด ๆ กับ 9 มาบวกกัน ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ

15. 42
3. 1) พิจารณาผลคูณของจํานวนที่มี 142,857 ตอไปนี้
142,857 × 1 = 142,857
142,857 × 2 = 285,714
142,857 × 3 = 428,571
142,857 × 4 = 571,428
จากการสังเกตจํานวนที่เปนผลคูณพบวา ผลคูณที่ไดประกอบดวยเลขโดด 1, 4, 2, 8, 5
และ 7 เสมอ
2) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย ผลคูณของ 142,857 × 5 และ 142,857 × 6 ควรจะประกอบ
ดวยตัวเลขโดดชุดเดียวกับตัวคูณ 142,857 เมื่อหาผลคูณขางตนพบวา 142,857 × 5 = 714,285
และ 142,857 × 6 = 857,142
3) เนื่องจาก 142,857 × 7 พบวา 7 × 7 = 49 ซึ่งทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวย
แทนดวยเลข 9 ซึ่ง 9 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857
142,857 × 8 พบวา 7 × 8 = 56 ซึ่งทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวยแทนดวย
เลข 6 ซึ่ง 6 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857
ดังนั้น คําตอบที่ไดจากการคูณ 142,857 ดวย 7 หรือ 8 โดยใชขอสรุปขางตนไมเปนจริง
หมายเหตุ 142,857 × 7 = 999,999
และ 142,857 × 8 = 1,142,856
4. พิจารณาผลคูณตอไปนี้
1) 37 × 3 = 11
37 × 6 = 22
37 × 9 = 33
37 × 12 = 44
จากผลคูณในแบบรูปขางตนพบวา
37 × 3 × 1 = 111
37 × 3 × 2 = 222
37 × 3 × 3 = 333
37 × 3 × 4 = 444

16. 43
2) จากแบบรูปขางตน และใชเหตุผลแบบอุปนัย จะไดวา
37 × 3 × 5 = 555
37 × 3 × 6 = 666
37 × 3 × 7 = 777
37 × 3 × 8 = 888
37 × 3 × 9 = 999
5. 1) 9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8,888
9,876 × 9 + 4 = 88,888
2) 34 × 34 = 1,156
334 × 334 = 111,556
3,334 × 3,334 = 11,115,556
3) 2 = 4 – 2
2 + 4 = 8 – 2
2 + 4 + 8 = 16 – 2
2 + 4 + 8 + 16 = 32 – 2
4) 3 =
2
)2(3
3 + 6 =
2
)3(6
3 + 6 + 9 =
2
)4(9
3 + 6 + 9 + 12 =
2
)5(12
98,765 × 9 + 3 = 888,888
33,334 × 33,334=1,111,155,556
2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 –2
3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 2
)6(15

17. 44
5) 5(6) = 6(6 – 1)
5(6) + 5(36) = 6(36 – 1)
5(6) + 5(36) + 5(216) = 6(216 – 1)
หรือ 5(6) + 5(6 × 6) + 5(6 × 6 × 6) + 5(6 × 6 × 6 × 6) = 6(6 × 6 × 6 × 6 – 1)
6. 1) 1 + 2 + 3 + … + 148 + 149 + 150 มีจํานวน 151 ทั้งหมด 75 จํานวน
151
151
151
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 150 = 151 × 75 หรือ 11,325
2) 1 + 2 + 3 + … + 298 + 299 + 300 มีจํานวน 301 ทั้งหมด 150 จํานวน
301
301
301
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 300 = 301 × 150 หรือ 45,150
3) 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500 มีจํานวน 501 ทั้งหมด 250 จํานวน
501
501
501
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 500 = 501 × 250 = 125,250
4) 1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1,000 มีจํานวน 1,001 ทั้งหมด 500 จํานวน
1,001
1,001
1,001
จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 1,000 = 1,001 × 500 = 500,500
5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(216 × 6) = 6(1,296 – 1)

18. 45
7. 1) 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98 + 100 มีจํานวน 102 ทั้งหมด 25 จํานวน
102
102
102
จะไดวา 2 + 4 + 6 + … + 1,000 = 102 × 25 หรือ 2,550
2) 1 + 2 + 3 + … + 122 + 123 + 124 + 125 มีจํานวน 125 ทั้งหมด 62 จํานวน
125
125
125
จะไดวา 1 + 2 + 3 + ... + 125 = (125 × 62) + 125 หรือ 7,875
3) 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n เมื่อ n เปนจํานวนนับที่เปนจํานวนคี่ จะเทากับ
[(n – 1) + 1] บวกกัน
2
1n −
จํานวน แลวบวกกับ n
1 + 2 + 3 + ... + n = [(n – 1) + 1] ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
1n
+ n
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
1n
n + n
8.
1 3 6 10 15 21
จากจํานวนสามเหลี่ยมที่กําหนดให จะหาจํานวนสามเหลี่ยมถัดไปอีกสองจํานวนไดดังนี้
1) จํานวนสามเหลี่ยมที่อยูถัดจาก 21 อีก 2 จํานวน ไดแก จํานวน 28 และ 36 ซึ่งแสดง
ดวยภาพไดดังนี้
28 36

19. 46
2) จํานวนจุดในแตละแถวตามแนวนอนจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 จุด จากรูปที่อยูกอนเปน 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 หรือแถวที่ n จะมีจํานวน n จุดเมื่อ n เปนจํานวนนับ
3) พิจารณาวา 72 เปนจํานวนสามเหลี่ยมหรือไม ไดดังนี้
พิจารณาจากจํานวนแรกคือ 1 จะพบความสัมพันธของจํานวนดังนี้
3 = 1 + 2
6 = 3 + 3
10 = 6 + 4
15 = 10 + 5
21 = 15 + 6
28 = 21 + 7
36 = 28 + 8
45 = 36 + 9
55 = 45 + 10
66 = 55 + 11
78 = 66 + 12
จากการหาผลบวกขางตน พบวา 72 ไมใชจํานวนสามเหลี่ยม
9. 1) ผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตัวเสมอ ไมเปนจริง เพราะ
1 และ 11 เปนจํานวนนับ
1 × 11 = 11
แต 11 หารดวย 2 ไมลงตัว
2) จํานวนนับใด ๆ ที่มีคามากกวา 4 จะเขียนไดในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไป
สองจํานวน หรือมากกวาสองจํานวน ไมเปนจริง เพราะ
8 เปนจํานวนนับ และ 8 มีคามากกวา 4
แต 8 ไมสามารถเขียนในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปไดโดยพิจารณาจากผลบวก
ของจํานวนตอไปนี้
พิจารณาผลบวกของจํานวนถัดไปที่มีคาเทากับ 9 และ 10 มีดังนี้
1 + 2 + 3 + 4 = 10
2 + 3 + 4 = 9 และ 4 + 5 = 9
แตผลบวกของจํานวนนับที่มีคาเทากับ 8 มีดังนี้

20. 47
8 = 4 + 4
= 3 + 5
= 2 + 6
= 1 + 7
3) กําลังสองของจํานวนนับใด ๆ จะเปนจํานวนคูเสมอ
ไมเปนจริง เพราะ
1 เปนจํานวนนับ และ 12
= 1
แต 1 ไมเปนจํานวนคู
10.
1)
2)
แบบฝกหัด 2.2
1. เหตุ 1) กบทุกตัววายน้ําได
2) สัตวที่วายน้ําได จะบินได
ผล กบทุกตัวบินได
ให A แทน เซตของกบทุกตัว
B แทน เซตของสัตวที่วายน้ําได
C แทน เซตของสัตวที่บินได
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา กบทุกตัวบินได สมเหตุสมผล
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) (2)
(3)
(4)
AC B

21. 48
2. เหตุ 1) จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม
2) จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนจริง
ผล จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง
ให A แทน เซตของจํานวนนับ
B แทน เซตของจํานวนเต็ม
C แทน เซตของจํานวนจริง
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง สมเหตุสมผล
3. เหตุ 1) คนที่มีสุขภาพดีทุกคนเปนคนที่มีความสุข
2) ก มีความสุข
ผล ก มีสุขภาพดี
ให A แทนเซตของคนมีสุขภาพดี
B แทนเซตของคนมีความสุข
c แทน ก
(1) (2)
จากแผนภาพ (1) ก เปนคนมีความสุข แต ก สุขภาพไมดี
จากแผนภาพ (2) ก เปนคนมีความสุข และ ก มีสุขภาพดี
แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา ก มีความสุข แลว ก มีสุขภาพดี จึงไมสมเหตุสมผล
4. เหตุ 1) จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว ทุกจํานวนเปนจํานวนคู
2) 7 หารดวย 2 ลงตัว
ผล 7 เปนจํานวนคู
ให A แทนเซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว
B แทนเซตของจํานวนคู
c แทน 7
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา 7 เปนจํานวนคู สมเหตุสมผล
A
CB
A
c•
B
A
c B
•
A
c•
B

22. 49
5. เหตุ 1) สุนัขบางตัวมีขนยาว
2) มอมเปนสุนัขของฉัน
ผล มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว
ให A แทนเซตของสุนัขA
B แทนเซตของสิ่งที่มีขนยาว
c แทนมอมc
B
•
(1)
จากแผนภาพ (1) พบวา มอมเปนสุนัข แตขนไมยาว
จากแผนภาพ (2) พบวา มอมเปนสุนัขขนยาว
แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
A
c•
B
(2) ดังนั้น ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว ไมสมเหตุสมผล
6. เหตุ 1) มาทุกตัวมี 4 ขา
2) ไมมีสัตวที่มีสี่ขาตัวใดที่บินได
ผล ไมมีมาตัวใดบินได
ให A แทนเซตของมา
B แทนเซตของสัตวที่มี 4 ขา
C แทนเซตของสัตวที่บินได
A
CB
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา ไมมีมาตัวใดบินได สมเหตุสมผล
7. เหตุ 1) ไมมีจํานวนเฉพาะตัวใดหารดวย 2 ลงตัว
2) 21 หารดวย 2 ไมลงตัว
ผล 21 เปนจํานวนเฉพาะ
ให A แทนเซตของจํานวนเฉพาะ
B แทนเซตของจํานวนที่หารดวย 2 ลงตัว
c แทน 21
(1) จากแผนภาพ (1) จะเห็นวา 21 ไมเปนจํานวนเฉพาะ
A
• c
B
จากแผนภาพ (2) จะเห็นวา 21 เปนจํานวนเฉพาะ
แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา 21 เปนจํานวนเฉพาะไมสมเหตุสมผล
A
c•
B
(2)

23. 50
8. เหตุ 1) วันที่มีฝนตกทั้งวัน จะมีทองฟามืดครึ้มทุกวัน
2) วันนี้ทองฟามืดครึ้ม
ผล วันนี้มีฝนตกทั้งวัน
ให A แทนเซตของวันที่มีฝนตกทั้งวัน
B แทนเซตของวันที่มีทองฟามืดครึ้ม
A
c•
B
(1) (2) c แทนวันนี้
A
c• B
จากแผนภาพ (1) พบวา วันนี้เปนวันที่ทองฟามืดครึ้ม แตฝนไมไดตกทั้งวัน
จากแผนภาพ (2) พบวา วันนี้ฝนตกทั้งวัน และทองฟามืดครึ้ม
แผนภาพ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา วันนี้ฝนตกทั้งวัน ไมสมเหตุสมผล
9. เหตุ 1) แมวบางตัวมีสองขา
2) นกทุกตัวมีสองขา
ผล นกบางตัวเปนแมว
ให A แทนเซตของแมว
B แทนเซตของสัตวที่มีสองขา
C แทนเซตของนก
(1) (2) (3)
A
C
BA
C
B A
C
B
จากแผนภาพ (1) พบวา นกทุกตัวเปนแมว
จากแผนภาพ (2) พบวา นกบางตัวเปนแมว
จากแผนภาพ (3) พบวา นกทุกตัวไมเปนแมว
แผนภาพที่ (3) ไมสอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา นกบางตัวเปนแมว ไมสมเหตุสมผล
10. เหตุ 1) ชายไทยทุกคนตองรับการเกณฑทหาร เมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ
2) มานะเปนชายไทย
ผล มานะจะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุ 21 ปบริบูรณ

24. 51
ให A แทน เซตของผูที่ตองเขารับการเกณฑทหาร
B แทน เซตชายไทยที่อายุครบ 21 ปบริบูรณ
c แทน มานะ
จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป
ดังนั้น ผลสรุปที่วา มานะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ สมเหตุสมผล
B
c•
A