ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)

1. ลำดับเรขำคณิต (GEOMETRIC SEQUENCE)
โรงเรียนดงบังพิสัยนวการนุสรณ์ สพม. เขต 26
an = a1rn – 1

2. ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่มีอัตราส่วนของตัวหลังต่อตัวหน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวหรือ
ลาดับที่มีอัตราส่วนที่ได้จากการนาพจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงตัว
เสมอ ซึ่งเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (r : common ratio)
เช่น 1, 3, 9, 27, 81, … มีอัตราส่วนเป็น 3 ÷ 1 = 3 หรือ 9 ÷ 3 = 3
พบว่าอัตราส่วนร่วมที่ได้มีค่าคงตัวเสมอเป็น 3 ดังนั้น ลาดับ 1, 3, 9, 27, 81, …
จัดเป็นลาดับเรขาคณิต (Geometric sequence) โดยที่ r = 3
หรือ 15, 5, 1, , , … มีอัตราส่วนเป็น 15 ÷ 5 = 3 หรือ 1 ÷ 5 =
พบว่าอัตราส่วนร่วมที่ได้มีค่าคงตัวเสมอเป็น ดังนั้น ลาดับ 15, 5, 1, , , …
จัดเป็นลาดับเรขาคณิต (Geometric sequence) โดยที่ r =
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
25
1
5
1

3. พจน์ทั่วไป หรือ การหาพจน์ที่ n ของ ลาดับเรขาคณิต สามารถหาได้สมการดังนี้
เมื่อ an คือ พจน์ที่ n ของ ลาดับเรขาคณิต
a1 คือ พจน์ที่ 1 ของ ลาดับเรขาคณิต
n คือ สมาชิกลาดับที่ n ของ ลาดับเรขาคณิต
r คือ อัตราส่วนร่วม
an = a1rn – 1

4. 1. จงหาพจน์ถัดไป 3 พจน์ ของลาดับเรขาคณิต 2, 4, 8, 16, ...
วิธีทา จากโจทย์ a1 = 2 และ r = 2 ÷ 1 = 2 หาพจน์ที่ 5, 6 และ 7
จาก
ดังนั้น
a5 = (2)(25 – 1)=(2)(24) = (2)(2x2x2x2) = 2x16 = 32
a6 = (2)(26 – 1)=(2)(25) = (2)(2x2x2x2x2) = 2x32 = 64
a7 = (2)(27 – 1)=(2)(26) = (2)(2x2x2x2x2x2) = 2x64 = 128
เพราะฉะนั้นสามพจน์ถัดไป คือ 32, 64 และ 128 Ans
an = a1rn – 1

5. 2. จงหาพจน์ถัดไป 3 พจน์ ของลาดับเรขาคณิต 3, 9, 27, 81, ...
วิธีทา จากโจทย์ a1 = 3 และ r = 9 ÷ 3 = 3 หาพจน์ที่ 5, 6 และ 7
จาก
ดังนั้น
a5 = (3)(35 – 1)=(3)(34) = (3)(3x3x3x3) = 3x81 = 243
a6 = (3)(36 – 1)=(3)(35) = (3)(3x3x3x3x3) = 3x243 = 729
a7 = (3)(37 – 1)=(3)(36) = (3)(3x3x3x3x3x3) = 3x729 = 2,187
เพราะฉะนั้นสามพจน์ถัดไป คือ 243, 729 และ 2,187 Ans
an = a1rn – 1

6. 3. จงหาพจน์ที่ 8 ของลาดับเรขาคณิต 3, 12, 48, ...
วิธีทา จากโจทย์ a1 = 3 และ r = 12 ÷ 3 = 4 หาพจน์ที่ 8
จาก an = a1rn – 1
ดังนั้น
a87 = (3)(48 – 1)=(3)(47)
= (3)(4x4x4x4x4x4x4) = 3x16,384 = 49,152
เพราะฉะนั้นพจน์ที่ 8 คือ 49,152 Ans

7. 4. จงหาพจน์ที่ 7 ของลาดับเลขคณิต 144, 72, 36, ...
วิธีทา จากโจทย์ a1 = 144 และ r = 72 ÷ 144 = หาพจน์ที่ 7
จาก an = a1rn – 1
ดังนั้น
a7 = (144)[( )7 – 1 ]= (144)( )6
= (144)( x x x x x )
= 144 x = =
เพราะฉะนั้นพจน์ที่ 7 คือ Ans
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
64
1
64
144
4
9
4
9

8. 5. จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มี a2 = 6 และ a5 = 162
วิธีทา จากโจทย์ a2 = 6 และ a5 = 162 หาพจน์ที่ 1 (a1 )
จาก an = a1rn – 1
ดังนั้น
a2 = a1(r2 – 1 )
6 = a1(r1 ) จะได้ 6 = a1r1 … (1)
และ a5 = a1(r5 – 1 )
162 = a1(r4 ) จะได้ 162 = a1r4 … (2)

9. 5. จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มี a2 = 6 และ a5 = 162
วิธีทา จากสมการ (1)
6 = a1r1 จะได้ว่า = a1 … (1’)
จากสมการ (2)
162 = a1r4 จะได้ว่า = a1 … (2’)
จาก a1 = a1
ดังนั้น (1’) = (2’)
=
1
r
6
4
r
162
1
r
6
4
r
162

10. 5. จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มี a2 = 6 และ a5 = 162
วิธีทา =
คูณไขว้
จะได้ =
r4 – 1 = 27
r3 = 27
r x r x r = 27
ดังนั้น r = 3 ; [3x3x3 = 27]
1
r
6
4
r
162
1
4
r
r
6
162

11. 5. จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มี a2 = 6 และ a5 = 162
วิธีทา จากสมการ (1) ได้ 6 = a1r1
แทนค่า r = 3 จะได้
6 = a1(31)
6 = a1(3)
= a1
2 = a1 ดังนั้น a1 = 2
พจน์แรกของลาดับนี้มีค่าเป็น 2 Ans.
3
6

12. คาถาม 1
จงหาพจน์ถัดไป 3 พจน์ ของลาดับเรขาคณิต 2, -4, 8, -16, ...
+
-ลองหาคาตอบดูนะครับ

13. คาตอบ ข้อ 1
3 พจน์ ของลาดับเรขาคณิต 2, -4, 8, -16, ... คือ
32, -64, -128
ตอบถูกใช่ไหมครับ เก่งมากเลย!
ตอบผิด ลองดูคาเฉลยนะครับ

14. คาถาม 2
จงหาพจน์ที่ 6 ของลาดับเรขาคณิต 125, 25, 5, ...
+
-ลองหาคาตอบดูนะครับ
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

15. คาตอบ ข้อ 2
พจน์ที่ 6 ของลาดับเรขาคณิต 125, 25, 5, ... คือ
ตอบถูกใช่ไหมครับ เก่งมากเลย!
ตอบผิด ลองดูคาเฉลยนะครับ
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)
5
1

16. คาถาม 3
จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มี a2 = 8 และ a5 = 64
+
-ลองหาคาตอบดูนะครับ
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

17. คาตอบ ข้อ 3
พจน์แรกของลาดับเลขคณิตที่มี a2 = 8 และ a5 = 64
หรือ a1 มีค่าเท่ากับ 4
ตอบถูกใช่ไหมครับ เก่งมากเลย!
ตอบผิด ลองดูคาเฉลยนะครับ
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

18. ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)
หนังสือสารอ้างอิง
หนังสือเรียนคณิตศาสตร์วิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 3
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551