Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

เฉลยแคลคูลัส

72,488 views

Published on

เฉลยแคลคูลัส

Published in: Education
  • Follow the link, new dating source: ❶❶❶ http://bit.ly/2Q98JRS ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Sex in your area is here: ❶❶❶ http://bit.ly/2Q98JRS ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

เฉลยแคลคูลัส

  1. 1. เฉลย ใบงานที่ 1 จากฟังก์ชัน y = 2x - 3 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 4 ค่าของ f(x) จะเป็นอย่างไร ก. ค่าของ x เพิ่มขึ้นเข้าใกล้ 4 ข. ค่าของ x ลดลงเข้าใกล้ 4 x f(x) x f(x) 3 3 5 7 3.4 3.8 4.7 6.4 3.7 4.4 4.4 5.8 3.9 4.8 4.1 5.2 3.99 4.98 4.01 5.02 3.999 4.998 4.001 5.002 . . . . . . . . . . . . ตารางที่ 1 ตารางที่ 2 จากฟังก์ชัน y = 2x - 3 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้4 ค่าของ f(x) จะเป็นอย่างไร เมื่อเขียนกราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 3 จุดตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y ( 1.5 , 0 ) ( 0 , - 3 ) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 รูปที่ 1 การสรุปลิมิตซ้ายและลิมิตขวา จากตารางที่ 1 และกราฟในรูปที่ 1 จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้4 ทางด้านซ้าย ค่าของ f(x) จะเพิ่มขึ้นและเข้าใกล้5 เรียก 5 ว่าลิมิตซ้ายของฟังก์ชัน f(x) = 2x - 3 เมื่อ x เข้าใกล้4 ทางด้านซ้าย และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ )(lim 4 xf x   = 5 จากตารางที่ 2 และกราฟในรูปที่ 1 จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้4 ทางด้านขวา ค่าของ f(x) จะลดลงจาก 7 จนเข้าใกล้5 เรียก 5 ว่าลิมิตขวาของฟังก์ชัน f(x) = 2x - 3 เมื่อ x เข้าใกล้4 ทางด้านขวา และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ )(lim 4 xf x   = 5
  2. 2. 2 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.1 แบบที่ 1 ฟังก์ชันของพหุนาม 1. 3 lim x x2 + 5x – 3 = 11 2. 3 lim x 2x2 – x – 7 =14 3. 1 lim x (x+3) (x-4) (x2 – 1 ) = 0 4. 4 lim x 52  xx = 5 5. 3 lim x 852  xx = 4 6. 4 lim x 3 23 203 xx  = 8 แบบที่ 2 ฟังก์ชันที่มีเศษส่วน 7. 0 lim x x xx 2 = - 1 8. 0 lim x x xx 63 2  = 6 9. 2 lim x 6 4 2 2   xx x = 5 4 10. 4 lim x 4 16 2 2   x x = 8 11. 3 lim x 3 273   x x = 27 12. 0 lim h h xhx 22 4)(4  = 8x 13. 0 lim h h xhx 22 12)2(3  = 12x แบบที่ 3 ฟังก์ชันอยู่ในรูปเศษส่วน 14. 25 lim x x x   5 25 = 10 15. 0 lim x x x 416  = 8 1 16. 3 lim x 21 3   x x = 4 17. 1 lim x 23 1   x x = 4 18. 0 lim x x x 2 1 2 1   = - 4 1 19. 0 lim x x x  4 1 2 1 = 16 1 20. 0 lim x x x cos1 sin2  = 0 แบบที่ 4 ฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์ ให้ f (x) = | x2 – 9 | 21. )(lim 3 xf x   = 0 22. )(lim 3 xf x   = 0 23. )(lim 3 xf x  = 0 24. ให้ f (x) = x x || 1) )(lim 0 xf x   = - 1 2) )(lim 0 xf x   = 1 3) )(lim 0 xf x  = หาค่าไม่ได้ 24. ให้ f (x) = 2 |4| 2   x x 1) )(lim 2 xf x   = - 4 2) )(lim 2 xf x   = 4 3) )(lim 2 xf x  = หาค่าไม่ได้
  3. 3. 3 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.1 ลิมิต (ต่อ) เฉลยใบงานที่ 1.2 ต่อเนื่อง แบบที่ 5 ฟังก์ชันมีหลายเงื่อนไข 26. ตอบ 4 27. ตอบ 9 28. ตอบ ไม่มีลิมิต 29. ตอบ 5 30. ตอบ 0 1. ต่อเนื่อง 2. ไม่ต่อเนื่อง 3. ไม่ต่อเนื่อง 4. ไม่ต่อเนื่อง 5. ไม่ต่อเนื่อง 6. ต่อเนื่อง 7. ไม่ต่อเนื่อง 8. ไม่ต่อเนื่อง 9. ต่อเนื่อง 10. ต่อเนื่อง 11. หาลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ 1. ตอบ 1 2. ตอบ 1 3. ตอบ 2 4. ตอบ 2 5. ตอบ 4 6. ตอบ 2 7. ตอบ 1 8. ตอบ หาค่าไม่ได้ 9. ตอบ 4 10 ตอบ 0
  4. 4. 4 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.1 1. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x 1. 35 35   )(f)(f = 2 2674 = 24 2. 13 13   )(f)(f = 2 62 )( = 2 3. 25 25   )(f)(f = 3 1061 = 17 4. 24 24   )(f)(f = 2 941 = 16 5. 35 35   )(f)(f = 2 935 = 13 2. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใดๆ 1. 6x ดังนั้น 6(2) = 12 2. 4x + 3 ดังนั้น 4(3) + 3 = 15 3. 2x - 4 ดังนั้น 2(5) - 4 = 6 4. 6x - 2 ดังนั้น 6(4) - 2 = 22 5. 4x - 3 ดังนั้น 4(5) - 3 = 17 3. วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 10 เซนติเมตร 810 810   )(f)(f = 2 64100  = 18 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของด้าน ขณะรัศมียาว 8 เซนติเมตร 0 lim h h xfhxf )()(  = 2r = 2(8) = 16 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร 4. สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง มีด้านยาว x หน่วย จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร สูตร พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า = 2 4 3 x เมื่อ x แทน ความยาวของด้าน จะได้ 812 4 364 4 3144   = 4 320 = 35 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน ขณะด้านยาว 12 เซนติเมตร
  5. 5. 5 0 lim h h xfhxf )()(  = x2 4 3 ดังนั้น )(122 4 3 = 36 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร 5. ปริมาตรของทรงกลมมีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร สูตร ปริมาตรทรงกลม = 3 4 r3 69 69   )(f)(f = 3 288972  = 3 684 = 228 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 5 เซนติเมตร 0 lim h h xfhxf )()(  = 4r2 = 4(5)2  = 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.2 ชุดที่ 1 1. dx dy = 2 2. dx dy = 5x4 3. dx dy = 6x2 4. dx dy = 8x + 5 5. dx dy = 9x2 – 4x + 1 ชุดที่ 3 11. dx dy = 8x3 – 9x2 + 2x 12. dx dy = 2x + 6 13. dx dy = 18x – 12 14. dx dy = 12x + 11 15. dx dy = 2 15 xx - x6 ชุดที่ 2 6. dx dy = 5 4 x  7. dx dy = 3 6 x  8. dx dy = 33 2 x 9. dx dy = 3 2 3 2 x 10. dx dy = xx 1  16. dx dy = 2x - 3 6 x 17. dx dy = 2 2 6 )x(  18. dx dy = 2 1 19. dx dy = 2 12 4 )x(  20. dx dy = xx2 7 + 2 9 x +
  6. 6. 6 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.2 (ต่อ) ชุดที่ 5 21. dx dy = 6(3x + 2) 22. dx dy = 8(2x - 1)3 23. dx dy = 6 23 15 )x(   24. dx dy = 2 21 2 x x   25. dx dy = 22 2121 2 x)x( x  ชุดที่ 6 26. dx dy = 24(4x - 1)5 27. dx dy = xx x 23 13 2   28. dx dy = xx)xx( x 2323 13 22   29. dx dy = 5 3 13 1324 )x( )x(   30. dx dy = 6 4 12 1220 )x( )x(   เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.3 ชุดที่ 1 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง สมการเส้นโค้ง ความชัน (m) สมการเส้นสัมผัส สมการเส้นตั้งฉาก 1. y = x2 – 3x ที่จุด ( 2 , -2 ) m = 1 y = x – 4 x + y = 0 2. y = x - 2x2 ที่จุด ( 2 , - 6 ) m = 3. y = x2 + 4x - 2 ที่จุด ( - 3 , - 5 ) m = -10 y = -10x – 27 x – 10y + 33 = 0 4. y = (2x- 1 )2 ที่จุด ( 2 , 9 ) m = 5. y = x x 22  ที่จุดซึ่ง x = 1 m = - 1 y = - x + 4 y = x + 2 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.3 ชุดที่ 2 1. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (3 , - 4) 2. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (-2 , - 15) 3. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (3 , 15) 4. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (3 , 15)
  7. 7. 7 5. ค่าของ 2a = 6 , a = 3 6. สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง คือ 7. จุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 3x คือ (1 , -2 ) และ (- 1 , 2 ) 8. จุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 27x คือ (3 , - 54 ) และ (- 3 , 54 ) เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.4 1. กาหนดให้ S แทนระยะทาง (เมตร) t แทนเวลา ( วินาที) v แทนความเร็ว ( เมตร/วินาที ) วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t2 - 2t + 3 จงหา 1) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลา ตั้งแต่ t = 2 ถึง t = 5 วินาที ตอบ 5 เมตร/วินาที 2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลาขณะเวลา t = 3 วินาที ( ความเร็ว) ตอบ 4 เมตร/วินาที 2. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้น 96 ฟุต/วินาที มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = 96 t – 8 t2 จงหา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4 ตอบ 48 ฟุต/วินาที 2) ความเร็วขณะเวลา t = 5 วินาที ตอบ 16 ฟุต/วินาที 3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด ตอบ t = 6 วินาที , S = 288 ฟุต/วินาที 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 256 ฟุต ตอบ t = 4 , 8 วินาที 5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที ตอบ -16 ฟุต/วินาที2 3. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t3 – 6t2 + 9t + 4 จงหา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4 ตอบ 1 เมตร/วินาที 2) ความเร็วขณะเวลา t = 6 วินาที ตอบ 45 เมตร/วินาที 3) ระยะทางเมื่อความเร็วของวัตถุเท่ากับ 0 ตอบ t = 4 , 8 วินาที 4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 128 เมตร ตอบ t = 4 , 8 วินาที 5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที
  8. 8. 8 ตอบ 6 เมตร/วินาที2 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.5 1. จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) y = x2 – 4x – 2 ตอบ จุดต่าสุดคือ (2 , - 6) 2) y = 2x2 – 8x + 3 ตอบ จุดต่าสุดคือ (2 , - 5) 3) y = 4x – x2 ตอบ จุดสูงสุดคือ (2 , 4) 4) y = - 3x2 – 18x – 20 ตอบ จุดสูงสุดคือ (- 3 , 7) 5) y = x2 – 6x + 5 ตอบ จุดต่าสุดคือ (3 , 4) 6) y = 6 – 2x – x2 จุดสูงสุดคือ 7) y = x3 – 27x ตอบ ค่าต่าสุดคือ ค่าสูงสุดคือ 8) y = 12x – x3 ตอบ ค่าต่าสุดคือ ค่าสูงสุดคือ 9) y = x3 – 3x2 – 9x + 1 ตอบ จุดต่าสุดคือ (3 , - 26) จุดสูงสุดคือ (- 1 , 6) 10) y = 2x3 – 9x2 + 12 x – 3 ตอบ จุดต่าสุดคือ (2 , 1) จุดสูงสุดคือ (1 , 2) 11) y = ( x- 2 )3 ตอบ กรณีที่ 3 ถ้า f / ( c ) = 0 ไม่มีค่าต่าสุดและค่าสูงสุด 12) y = x ( 12 – 2x )2 ตอบ จุดต่าสุดคือ (6 , 0) จุดสูงสุดคือ (2 , 128) 13) y = x3 – 3x ตอบ จุดต่าสุดคือ (1 , - 2) จุดสูงสุดคือ (- 1 , 2) 14) y = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 ตอบ จุดต่าสุดคือ (1 ,-14) จุดสูงสุดคือ ( - 2 , 13) 15) y = x3 + x2 – 8x - 1 ตอบ จุดต่าสุดคือ (-2 , 11) จุดสูงสุดคือ ( 3 4 , 27 203 )
  9. 9. 9 เฉลยแบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1 ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา สมการเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้ง สมการของเส้นสัมผัสโค้ง สมการของเส้นที่ตั้งฉาก 1. y = x2 + x 2. y = x2 - x 3. y = x2 + 2x 4. y = x2 - 2x 5. y = x2 + 3x 6. y = x2 - 3x 7. y = x2 + 5x 8. y = x2 - 5x 9. y = x2 + 6x 10. y = x2 - 6x 5 3 6 2 7 1 9 -1 10 -2 y = 5x – 11 y = 3x – 7 y = 6x – 13 y = 2x – 5 y = 7x – 15 y = x – 3 y = 9x – 19 y = - x + 1 y = 10x – 21 y = -2x + 3 x + 5y + 3 = 0 x + 3y + 1 = 0 x + y + 4 = 0 x + 2y = 0 x + 7y + 5 = 0 x + y - 1 = 0 x + 9y + 7 = 0 x - y - 3 = 0 x + 10y + 8 = 0 x - 2y - 4 = 0 11. y = 2x2 + x 12. y = 2x2 – x 13. y = 2x2 + 3x 14. y = 2x2 – 3x 15. y = 2x2 + 5x 16. y = 2x2 - 5x 17. y = 3x2 + x 18. y = 3x2 - x 19. y = 3x2 + 2x 20. y = 3x2 - 2x 9 7 11 5 13 3 13 11 14 10 y = 9x – 19 y = 7x – 15 y = 11x – 23 y = 5x – 11 y = 13x – 27 y = 3x – 7 y = 13x – 27 y = 11x – 23 y = 14x – 29 y = 10x –21 x + 9y + 7 = 0 x + 7y + 5 = 0 x + 11y + 9 = 0 x + 5y + 3 = 0 x + 13y + 11 = 0 x + 3y + 1 = 0 x +13y +11 = 0 x + 11y + 9 = 0 x + 14y + 12 = 0 x + 10y + 8 = 0 21. y = 3x2 + 4x 22. y = 3x2 - 4x 23. y = 3x2 + 5x 16 8 17 y = 16x – 33 y = 8x – 17 y = 17x – 35 x + 16y + 14 = 0 x + 8y + 6 = 0 x + 17y + 15 = 0
  10. 10. 10 24. y = 3x2 - 5x 25. y = 4x2 + x 26. y = 4x2 - x 27. y = 4x2 + 2x 28. y = 4x2 - 2x 29. y = 4x2 + 3x 30. y = 4x2 - 3x 7 17 15 18 14 19 13 y = 7x – 15 y = 17x – 35 y = 15x – 31 y = 18x – 37 y = 14x – 29 y = 19x – 39 y = 13x – 27 x + 7y + 5 = 0 x + 17y + 15 = 0 x + 15y + 13 = 0 x + 18y + 16 = 0 x - 14y + 12 = 0 x + 19y + 17 = 0 x + 13y + 11 = 0 เฉลยแบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1 ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา สมการเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้ง สมการของเส้นสัมผัสโค้ง สมการของเส้นที่ตั้งฉาก 31. y = x2 - 4x + 3 32. y = x2 + 6x + 5 33. y = x2 - 6x + 5 34. y = x2 + 6x + 8 35. y = x2 - 6x + 8 36. y = x2 + 10 x + 9 37. y = x2 - 10x + 9 38. y = x2 + 2x - 15 39. y = x2 - 2x - 15 40. y = x2 + 4x - 24 41. y = 6x2 + x 42. y = 6x2 - x 43. y = 6x2 +2x 44. y = 6x2 - 2x 45. y = x - x2 46. y = x - 2x2 47. y = x2 + 5x - 2 48. y = x2 - 5x + 2 49. y = (2x - 1)2 50. y = (1 - 3x)2 21 11 21 19 22 18 23 17 24 16 25 23 26 22 - 3 - 7 9 - 1 12 18 y = 21x – 43 y = 11x – 23 y = 21x – 43 y = 19 x – 39 y = 22x – 45 y = 18x – 37 y = 23x – 47 y = 17x – 35 y = 24x – 49 y =16x – 33 y = 25x – 51 y = 23x – 47 y = 26x – 53 y = 22x – 45 y = - 3x + 5 y = - 7x + 13 y = 9x - 19 y = - x + 1 y = 12x - 25 y = 18x - 37 x + 21y + 19 = 0 x + 117y + 9 = 0 x + 21y + 19 = 0 x + 19y + 17 = 0 x + 22y + 20 = 0 x + 18y +16 = 0 x + 23y + 21 = 0 x + 17y + 15 = 0 x + 24y + 22 = 0 x +16y + 14 = 0 x + 25y + 23 = 0 x + 23y + 21 = 0 x + 26y + 24 = 0 x + 22y + 20 = 0 x - 3y - 5 = 0 x - 7y - 9 = 0 x + 9y + 7 = 0 y = x - 3 x + 12y + 10 = 0 x + 18y + 16 = 0
  11. 11. 11 เฉลย แบบฝึกทักษะที่ 2.2 คาสั่ง ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. y = x2 + 2x จุดต่าสุดคือ ( - 1 , 1 ) 2. y = x2 - 2x จุดต่าสุดคือ ( 1 , - 1 ) 3. y = x2 + 4x จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 4 ) 4. y = x2 - 4x จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 4 ) 5. y = x2 + 6x จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 9 ) 6. y = x2 - 6x จุดต่าสุดคือ ( 3 , - 9 ) 7. y = x2 + 8x จุดต่าสุดคือ ( - 4 , - 16 ) 8. y = x2 - 8x จุดต่าสุดคือ ( 4 , - 16 ) 9. y = x2 + 10x จุดต่าสุดคือ ( - 5 , - 25 ) 10. y = x2 - 10x จุดต่าสุดคือ ( 5 , - 25 ) 11. y = 2x - x2 จุดสูงสุดคือ ( 1 , 1 ) 12. y = 4x - x2 จุดสูงสุดคือ ( 2 , 4 ) 13. y = 6x - x2 จุดสูงสุดคือ ( 3 , 9 ) 14. y = 8x - x2 จุดสูงสุดคือ ( 4 , 16 ) 15. y = 10x - x2 จุดสูงสุดคือ ( 5 , 25 ) 16. y = x2 + 2x + 1 จุดต่าสุดคือ ( - 1 , 0 ) 17. y = x2 - 2x + 1 จุดต่าสุดคือ ( 1 , 0 ) 18. y = x2 + 4x + 4 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , 0 ) 19. y = x2 - 4x + 4 จุดต่าสุดคือ ( 2 , 0 ) 20. y = x2 + 6x + 9 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , 0 ) 21. y = x2 - 6x + 9 จุดต่าสุดคือ ( 3 , 0 ) 26. y = x2 + 8x + 12 จุดต่าสุดคือ ( - 4 , - 4 ) 27. y = x2 - 8x + 12 จุดต่าสุดคือ ( 4 , - 4 ) 28. y = x2 + 4x – 12 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 16 ) 29. y = x2 - 4x – 12 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 16 ) 30. y = x2 + 4x + 3 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 1 ) 31. y = x2 - 4x + 3 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 1 ) 32. y = x2 + 6x + 5 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 4 ) 33. y = x2 - 6x + 5 จุดต่าสุดคือ ( 3 , - 4 ) 34. y = x2 + 6x + 8 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 1 ) 35. y = x2 - 6x + 8 จุดต่าสุดคือ ( 3 , -1 ) 36. y = x2 + 10 x + 9 จุดต่าสุดคือ ( - 5 , - 16 ) 37. y = x2 - 10x + 9 จุดต่าสุดคือ ( 5 , - 16) 38. y = x2 + 2x – 15 จุดต่าสุดคือ ( - 1 , - 16 ) 39. y = x2 - 2x – 15 จุดต่าสุดคือ ( 1 , - 16 ) 40. y = x2 + 4x - 24 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 28 ) 41. y = x2 - 4x - 24 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 28 ) 42. y = x2 + 6x - 16 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 25 ) 43. y = x2 - 6x - 16 จุดต่าสุดคือ ( 3 , - 25 ) 44. y = x2 + 10x - 24 จุดต่าสุดคือ ( - 5, - 49 ) 45. y = x2 - 10 x - 24 จุดต่าสุดคือ ( 5 , - 49 ) 46. y = 2x2 - 8 x - 3 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 5 )
  12. 12. 12 22. y = x2 + 8x + 16 จุดต่าสุดคือ ( - 4 , 0 ) 23. y = x2 + 8x + 16 จุดต่าสุดคือ ( 4 , 0 ) 24. y = x2 + 10x + 25 จุดต่าสุดคือ ( - 5 , 0 ) 25. y = x2 - 10x + 25 จุดต่าสุดคือ ( 5 , 0 ) 47. y = - 3x2 - 12 x - 5 จุดสูงสุดคือ ( - 2 ,7 ) 48. y = 12x - x2 จุดสูงสุดคือ ( 6 , - 36 ) 49. y = x2 + 8x + 7 จุดต่าสุดคือ ( - 4 , - 9 ) 50. y = x2 - 8x + 7 จุดต่าสุดคือ ( 4 , - 9 ) เฉลยแบบฝึกหัดที่ 2.5 จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 7) f(x) = x3 -27x วิธีทา จาก f(x) = x3 -27x f / (x) = 3x² - 27 0 = 3(x² - 9) 0 = (x+3)(x-3) ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ - 3 และ 3 ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 f´´ (x) = 6x f´´ (-3) = -18 < 0 f´´ (3) = 18 > 0 ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = -3 และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f (-3) = (-3)² - 27(-3) = -27+81 = 54 F มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 3 และค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ f (3) = (3)² -27(-3) = 27-81 = -54 8) f (x) = 12x - x³ วิธีทา จาก f (x) = 12x - x³ f´ (x) = 12 – 3x² 0 = 12 – 3x² x2 = 4 x =  2 ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ - 2 และ 2 ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่2 f´´ (x) = -6x f´´ (2) = -12 < 0 f´´ (-2) = 12 > 0 ดังนั้น f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = -2 และต่าสุดสัมพัทธ์คือ f(-2) =12 (-2)-(-2)³ = -16 และ f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f (2) = 12 (2) – (2)³ = 16
  13. 13. 13 80 70 60 50 40 30 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140 160 f x  = x3-27x 30 25 20 15 10 5 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 f x  = 12x-x3 9) f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 1 วิธีทา จาก f (x) = x3 -3x2 -9x + 1 f / (x) = 3x² - 6x – 9 = 3 (x² - 2x – 3) = 3(x – 3) ( x + 1) ถ้า f´(x) = 0 = 3( x – 3) ( x + 1) จะได้ x = 3 หรือ x = -1 ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ 3 และ -1 ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 f´´ (x) = 6x -6 = 6 (x – 1) f´´ (3) = 12 > 0 f´´ (-1) = -12 < 0 10. f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x - 3 วิธีทา จาก f (x) = 2x3 -9x2 + 12x -3 f / (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 = 6 ( x2 – 3x + 2 ) = 6 ( x -2 ) ( x – 1) = 6 ( x – 2 ) ( x - 1 ) ถ้า f / ( x ) = 0 = 6 ( x -2 ) ( x – 1 ) จะได้ x = 2 หรือ x = 1 ดังนั้นค่าวิกฤตของ ฟังก์ชัน คือ 2 และ 1 ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 f // ( x ) = 12x - 18 = 6 ( 2x - 3 ) f // ( 2 ) = 6 > 0
  14. 14. 14 ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = -1 และ ค่าสูงสุดสัมพันธ์ คือ f (-1) = (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) + 1 = -1 -3 +9 +1 = 6 f มีค่าต่าสุดสัมพันธ์ที่ x = 3 และค่าต่าสุดสัมพันธ์ คือ f (3) = (3)3 – 3 (3)2 -9 (3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = - 26 ดังรูปข้างล่าง f // ( 1 ) = - 6 < 0 ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 และ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ f ( 1 ) = 2 ( 1 )2 - 9 (1 )2 + 12( 1 ) - 3 = 2 – 9 + 12 – 3 = 2 f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และ ค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ f(2) = 2(2)3 – 9(2)2 – 12(2) - 3 = 16 – 36 + 24 – 3 = 1 25 20 15 10 5 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 f x  = x3-3x2-9x +1
  15. 15. 15 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = 2x3-9x2 +12x -3 11. f(x) = (x - 2)3 วิธีทา จาก f(x) = (x - 2)3 f / (x) = 3(x - 2)2 = 3(x - 2)(x - 2) ถ้า f’(x) = 0 จะได้ x = 2 ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 f // x) = 6x – 12 f // (2) = 6(2) – 12 = 0 กรณีที่ 3 ถ้า f // (c) = 0 ไม่สามารถสรุปได้ เนื่องจาก f // (2) = 0 จะไม่สามารถสรุปได้ว่า f(2) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์
  16. 16. 16 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = x-2 3 แบบฝึกหัด 3.1 อินทิกรัลไม่จากัดเขต ชุดที่ 1 จงหา 1. 4 5x dx = x5 + c 2. 5 4x dx = 6 3 2 x + c 3. 4 x dx  = 3 3 1 x  + c 4. 4 3 dx x = 5 5 3 x + c ชุดที่ 2 การคูณและการหาร จงหา 9. 3 2 ( 4 )x x x dx = 4 5 5 x x  + c 10. dxxxx  )46( 32 = x6 + x4 + c 11. 5 3 3 2 ( ) x dx x   = x3 + 2 1 x + c
  17. 17. 17 5. x xdx = xx2 5 2 + c 6. 3 4 xdx = 33 xx + c 7. 1 dx x = 2 x + c 8. 1 2 dx x = x + c 12. 4 3 1 ( ) 2 dx x x  = 3 1 x  - x + c 13. 3 5 2 3 ( )dx x x  = 33 x + xx 2 ชุดที่ 3 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 14. 2xdx 15. 3 4 9xdx 16. 4 (3 1)x dx 17. 5 (3 4 )x dx 18. 2 1x dx 19. 2 5xdx ชุดที่ 4 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 20. dx)x()xx( 36 62   = 72 6 14 1 )xx(  + c 21. 3 5 2 ( 3 ) ( 1)x x x dx  = 63 3 18 1 )xx(  + c 22. 3 5 2 ( 6 ) ( 2)x x x dx  = 63 6 18 1 )xx(  + c 23. 2 4 ( 4 ) ( 2)x x x dx  = 5 4 10 1 )xx(  + c 24. 2 3 1x x dx = 11 9 2 33  x)x( + c 25. 2 3 x dx x   = 32 x + c ชุดที่ 5 ระคน 26. 4 15(3 1)x dx 27. 3 2x dx x   28. 5 (3 4 )x dx 29. 3 6xdx 30. 3 1x dx 31. 3 4 ( 9 ) ( 3)x x x dx  32. 2 3 1 x dx x   แบบฝึกหัด 3.2 โจทย์อินทิกรัลไม่จากัดเขต ก. สมการเส้นโค้ง 1. จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อกาหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x,y) ใดๆ และจุดที่เส้น โค้งผ่านดังนี้ 1) 2 5 dy x dx   ที่จุด (3 ,- 2) 3) 2 2 3 dy x x dx    ที่จุด (3 , 1)
  18. 18. 18 ตอบ y = x2 - 5x + 4 2) 2 3 2 dy x x dx   ที่จุด (- 4 , 3) ตอบ y = x3 – x2 + 83 ตอบ 4) 3 4 3 1 dy x x dx    ที่จุด (2 , 1) ตอบ 2. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2 12x จงหาสมการเส้นโค้งเมื่อ เส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 2) และ (3, -1) 3. ให้ ( ) 12f x x  จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และเส้นสัมผัสที่จุด P ขนานกับ เส้นตรง 4x - 2y = 0 ข. สมการการเคลื่อนที่ 4. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงจากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ มีค่าเท่ากับ 12t - 4 และเมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง S = 2 เมตร จงหา 1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t = 2 2) ระยะทาง เมื่อ t = 2 5. โยนวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 112 – 32t ฟุต/วินาที กาหนด จงหา 1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ 2) วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเมื่อเวลาใด 3) ระยะทางที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่วัตถุอยู่สูง 96 ฟุต 6. ยอดตึกซึ่งสูงจากพื้นดิน 400 ฟุต ก้อนหินก้อนหนึ่งถูกหย่อนลงมาจงหา 1) เมื่อใดที่ก้อนหินจะตกถึงพื้นดิน 2) ความเร็วขณะที่ก้อนหินตกกระทบพื้นดิน ค. กาไร-ขาดทุน
  19. 19. 19 7. การผลิตสินค้าเพื่อไปจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเมื่อเทียบกับ จานวนสินค้าที่ผลิตไปจาหน่ายเท่ากับ 46 – 4x เมื่อ x คาจานวนชิ้นของสินค้า ถ้าในการผลิตสินค้าไป จาหน่าย 5 ชิ้น บริษัทได้กาไร 1,100 บาท จงหากาไรที่บริษัทจะได้รับในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 10 ชิ้น 8. ในการลงทุนผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อจานวนสินค้า เท่ากับ 4x – 30 บาท เมื่อ x คือจานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตได้ถ้าในขณะที่ยังไม่ได้ทาการผลิตต้องมีต้นทุน คงที่เท่ากับ 40000 บาท (ต้นทุนดังกล่าวเป็นค่าเครื่องมือ เครื่องจักรต่างๆ) จงหาต้นทุนในการผลิตสินค้า จานวน 10 ชิ้น 9. (Ent’33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 6800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไร เทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทคือ 78 - 0.08x เมื่อ x คือจานวนสินค้าที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้ จะมีโอกาสได้กาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร 10. ตัวแทนจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรต่อจานวนสินค้าเท่ากับ 120 + 4x เมื่อ x คือ จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในการจาหน่ายสินค้าตัวแทนจะได้กาไร 100 บาท เมื่อจาหน่ายสินค้า 2 ชิ้น จงหากาไรที่ตัวแทนจาหน่ายจะได้รับ ถ้าจาหน่ายสินค้า 10 ชิ้น แบบฝึกหัด 3.3 เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต
  20. 20. 20 1. อินทิกรัลจากัดเซตของฟังก์ชัน ชุดที่ 1 จงหา 1.  4 2 )2( x = 12 2.   3 3 )42( x dx = 24 3.   2 2 2 )23( xx dx = 16 4.   3 1 2 )2( xx dx = 3 2 5.   4 1 2 )6( xx dx = 24 6.   2 1 2 )12( xx dx = 3 ชุดที่ 2 สมบัติของอินทิกรัล จงหา 7.  5 2 )4( dx = 8.   2 2 )32( x dx = 10 9.   1 3 2 )2( xx dx = 10.   0 3 )42( x dx +   3 0 )42( x dx = - 24 11.   3 3 )42( x dx 12.   1 3 2 )423( xx dx = 36 2.พื้นที่ใต้โค้ง ชุดที่ 3 เส้นตรง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง 13. y = x จาก x = -4 ถึง x = -2 14. y = x + 5 จาก x = -5 ถึง x = 0 15. y = x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 3 16. y = -x + 3 จาก x = -3 ถึง x = 0 17. y = 1 – 2x จาก x = -6 ถึง x = -2 18. y = |x| จาก x = -4 ถึง x = 4 ชุดที่ 4 พาราโบลา จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 19. y = x2 - 4 จาก x = -2 ถึง x = 2 20. y = 4x - x2 จาก x = 1 ถึง x = 4 21. y = x2 - 4x + 3 จาก x = -1 ถึง x = 2 22. y = 3 + 2x - x2 จาก x = -1 ถึง x = 2 23. y = 4 - x2 กับแกน x 24. y = x2 - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4 ชุดที่ 5 สมการเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 25. y = x3 จาก x = -3 ถึง x = 2 26. y = (x + 2)3 จาก x = -2 ถึง x = 2 27. y = (x – 2)3 จาก x = -4 ถึง x = -2 28. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2 และเส้นตรง y = x + 3 29. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = -x จาก x = -2 ถึง x = 2 30. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = x จาก x = -2 ถึง x = 1 31. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2 และเส้นตรง y = x + 2 จาก x = -2 ถึง x = 2 32. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 3x3 – x2 – 10x และเส้นตรง y = -x2 + 2x จาก x = -2 ถึง x = 2 เฉลยใบงานที่ 5.1
  21. 21. 21 การแยกตัวประกอบของพหุนาม ตอนที่ 1 การดึงตัวร่วม 1. 4 ( x + 4 ) 2. xy ( x – y ) 3. 2x3 ( xy2 + 2 ) 4. 3x ( x – 2 ) 5. 3 ( x3 + x2 + 25 ) แบบที่ 4 ax2  bx + c 21. ( 3 x - 4 ) ( 2x + 3 ) 22. ( 3x + 4 ) ( 2x – 3 ) 23. ( 6 x + 5 ) ( 2x – 3 ) 24. ( 4x + 5 ) ( 2 x – 3 ) 25. - ( 4x - 5 ) ( 3x + 2 ) = ( - 4x + 5 ) ( 3x + 2 ) = ( 4x - 5 ) ( - 3x - 2 ) แบบที่ 1 x2  bx + c 6. ( x + 6) ( x + 4) 7. ( x + 8) ( x + 3) 8. ( x - 6) ( x - 2) 9. ( x – 4 ) ( x – 3 ) 10. ( x – 5 ) ( x – 5 ) แบบที่ 5 26. ( x + 3 )2 27. ( x - 3 )2 28. ( 3x + 8 )2 29. ( 3x - 8 )2 30. ( 2x - 5 )2 แบบที่ 2 x2  bx - c 11. ( x – 6 ) ( x + 2 ) 12. ( x – 6 ) ( x + 2 ) 13. ( x + 8 ) ( x – 3 ) 14. ( x - 8 ) ( x + 3 ) 15. ( x + 5 ) ( x – 4 ) แบบที่ 6 31. ( x + 1 ) ( x – 1 ) 32. ( x + 2 ) ( x – 2 ) 33. ( 3x + 5 ) ( 3x – 5 ) 34. ( 2x + 3 ) ( 2x – 3 ) 35. ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x – 3 ) แบบที่ 3 ax2  bx + c 16. ( 3x + 1 ) ( 4x + 9 ) 17. ( 6x + 1 ) ( 2x + 9 ) 18. ( 5x - 4 ) ( 2x – 3 ) 19. (3 x - 8 ) ( 3x – 8 ) 20. ( 4 x - 5 ) ( 2x – 3 ) แบบที่ 8 36. ( x + 1 ) ( x2 – x + 1 ) 37. ( x - 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) 38. ( x - 4 ) ( x2 + 4 x + 16 ) 39. ( 2x + 1 ) ( 4x2 - 2 x + 1 ) 40. ( 3x - 2 ) ( 9x2 + 6 x + 4 )
  22. 22. 22 แบบทดสอบ ก่อนเรียนและหลังเรียน เรื่องค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 1. ข้อใดเป็นกราฟพาราโบลา ก. y = 2x + 1 ข. y = x ค. y = 6x – x2 ง. y = x2 2. ฟังก์ชันในข้อใดไม่มีค่าต่าสุด ก. y = x2 + 4 ข. y = x2 - 2x + 1 ค. y = x2 ง. y = x3 3. ฟังก์ชันในข้อใดได้ค่าสูงสุด ก. y = x2 - 2x + 1 ข. x2 + 2x + 1 ค. y = 1 - 2x + x2 ง. 1 - 2x - x2 7. ฟังก์ชัน y = 2x2 + 8x + 3 มีค่าต่าสุด ( ค่า y )คือข้อใด ก. 5 ข. – 5 ค. 27 ง. - 27 8. ฟังก์ชัน y = - 3x2 - 6x - 1 มีค่าสูงสุด ( ค่า y )คือข้อใด ก. 2 ข. - 2 ค. 10 ง. – 10 9. ในการเกิดปฏิกิริยาครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิจาก
  23. 23. 23 4. ฟังก์ชัน y = x2 - 4x + 1 มีจุดต่าสุดคือข้อใด ก. ( 2 , 3 ) ข. ( 2 , - 3 ) ค. ( - 2 , 9 ) ง. ( - 2 , 1 ) 5. ฟังก์ชัน y = 6 + 2x – x2 มีจุดสูงสุดคือข้อใด ก. ( 1 , 7 ) ข. ( 1 , - 5 ) ค. ( - 1 , 3 ) ง. ( - 1 , 7 ) 6. ฟังก์ชัน y = 3 - 2x – x2 มีจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดของฟังก์ชันคือข้อใด ก. จุดต่าสุดคือ ( 1 , 0 ) ข. จุดสูงสุดคือ( 1 , 0 ) ค. จุดต่าสุดคือ (- 1 , 4 ) ง. จุดสูงสุดคือ( - 1 , 4 ) สมการ  = 10 + 2t – 0.2 t2 เมื่อ  เป็นอุณหภูมิมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ t มีหน่วยเป็นวินาที อุณหภูมิสูงสุดเท่ากับกี่องศา ก. 15 ข. 20 ค. 25 ง. 30 10. โยนลูกหินขึ้นไปในอากาศตามแนวดิ่ง ให้ t มีหน่วยเป็นวินาที S มีหน่วยเป็นฟุต ถ้าสมการการเคลื่อนที่เป็น S = 96t - 16t2 ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดกี่ฟุต ก. 72 ข. 144 ค. 288 ง. 432 เฉลยแบบทดสอบ ก่อนเรียนและหลังเรียน เรื่องค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด 1 ค 2 ง 3 ง 4 ข 5 ก 6 ง 7 ข 8 ก 9 ก 10 ข เฉลยใบงานที่ 2.4 1. ถ้า y = 2x2 + 5x – 3 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา 1) ความชัน = 3 2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = 3x + 9 3) สมการของเส้นตั้งฉาก x + 3y – 11 = 0 2. a = 3 3. x + 4y – 17 = 0 4. ( 1 , - 2 ) และ ( - 1 , 2 ) 5. ( 3 , - 54 ) และ ( - 3 , 54 ) 6. ( 3 , - 4 ) 7. 1) 5 เมตร / วินาที
  24. 24. 24 2) 4 เมตร / วินาที 8. ระยะทาง – 72 หน่วย ( ระยะทางมีเครื่องหมายเป็น ลบ แสดงว่าวัตถุกาลังเคลื่อนที่ลง ) 9. 1) 1 เมตร / วินาที 2) 8 เมตร และ 4 เมตร 3) 45 เมตร / วินาที 4) 6 เมตร / วินาที2 10 1) 0 ฟุต / วินาที 2) 144 ฟุต 3) – 96 ฟุต/วินาที 4) – 32 ฟุต/วินาที2 เฉลยใบงานที่ 2.5 1. จงหาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน 1) ( - 2 , - 7 ) 2) ( 2 3 , 4 1 ) 3) ( - 1 , - 1 ) 4) ( 3 , - 4 ) 5) ( 2 , - 6 ) 6) ( 2 , - 5 ) 7) ( 2, 4 ) 8) ( - 3 , 7 ) 2. x = 3 50 เมตร พื้นที่มากที่สุด เท่ากับ 1250 ตารางเมตร 3. จานวนนั้น คือ 0.5
  25. 25. 25 4. จานวนทั้งสองคือ 5 และ 5 5. จานวนหนึ่งคือ - 3 6. สูง ( x ) = 2 เมตร ปริมาตรมากที่สุด 320 ลูกบาศก์เซนติเมตร 7. t = 10 วินาที  = 30 องศาเซลเซียส 8. f = 12 กิโลกรัมต่อไร่ 9. ตั้งราคาไว้15 บาท ขายได้เงินมากที่สุด 22,500 บาท 10. กว้าง 45 หน่วย ยาว 60 หน่วย พื้นที่มากที่สุด 2,700 ตารางหน่วย 11. ต้องผลิตสินค้าสัปดาห์ละ 975 ชิ้น 12. 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 13. w = 3 a , d = 3 2 a 14. f = 10 p = 500
  26. 26. 26

×