1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
เซต
(เนื้อหาตอนที่ 3)
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
และแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง เซต
สื่อการสอน เรื่อง เซต มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง เซต
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความหมายของเซต
- ความหมายของเซต
- การเขียนเซต
- เซตจากัดและเซตอนันต์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
- แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- สับเซตและเซตกาลัง
- การเท่ากันของเซต
- การดาเนินการบนเซต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
- เอกลักษณ์การดาเนินการบนเซต
- การหาจานวนสมาชิกของเซตและการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
5. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
6. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต นอกจากนี้หาก
ท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อ
เรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรือง
่ เซต (เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/3)
หัวข้อย่อย 1. เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
2. การหาจานวนสมาชิกของเซต
3. การแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
2. สามารถหาจานวนสมาชิกของเซตโดยใช้สูตรและใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
นักเรียนสามารถ
1. อธิบายเอกลักษณ์พื้นฐานของการดาเนินการบนเซตได้
2. นาเอกลักษณ์พื้นฐานของการดาเนินการบนเซตไปพิสูจน์เอกลักษณ์อื่นๆ ได้
3. หาจานวนสมาชิกของเซตโดยใช้สูตร
4. หาจานวนสมาชิกของเซตโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
5. ประยุกต์ใช้สูตรและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับจานวนสมาชิกของ
เซตได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
ในช่วงแรกของสื่อการสอนนี้ ผู้เรียนจะได้เรียนรู้เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต จานวน 14 ข้อ ดังต่อไปนี้
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในกรณีที่มีเวลา และผู้เรียนเป็นนักเรียนที่มีความสามารถสูง ผู้สอนอาจฝึกการพิสูจน์เอกลักษณ์ต่างๆ ดัง
ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้
เอกลักษณ์ที่ 9  A  B   A  B
พิสูจน์ เนื่องจาก x   A  B  ก็ต่อเมื่อ x A B
ก็ต่อเมื่อ x  A และ x  B
ก็ต่อเมื่อ x  A และ x  B
ก็ต่อเมื่อ x  A  B
ดังนั้น  A  B   A  B #
ในทานองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่า  A  B   A  B
เอกลักษณ์ที่ 10 A  B  A  B
พิสูจน์ เนื่องจาก x A B ก็ต่อเมื่อ x  A และ x  B
ก็ต่อเมื่อ x  A และ x  B
ก็ต่อเมื่อ x  A  B
ดังนั้น A  B  A  B #
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกลักษณ์ที่ 14 A   B  C    A  B   A  C 
พิสูจน์
ให้ x  A   B  C  ดังนั้น x  A และ x  B  C
ถ้า x  B ดังนั้น x  A  B ทาให้ x   A  B    A  C 
ถ้า x  C ดังนั้น x  A  C ทาให้ x   A  B    A  C 
จากทั้ง 2 กรณี จะได้ว่า x   A  B    A  C 
ดังนั้น A   B  C    A  B    A  C 
ให้ x   A  B    A  C 
ถ้า x  A  B ดังนั้น x  A และ x  B ทาให้ x  B  C
ดังนั้น x  A   B  C 
ถ้า x  A  C ดังนั้น x  A และ x  C ทาให้ x  B  C
ดังนั้น x  A   B  C 
จากทั้ง 2 กรณี จะได้ว่า x  A   B  C 
ดังนั้น  A  B    A  C   A   B  C 
เนื่องจาก A   B  C    A  B    A  C  และ  A  B    A  C   A   B  C 
ดังนั้น A   B  C    A  B    A  C  #
นอกจากนี้ผู้สอนควรเน้นย้า ถ้าการตรวจสอบข้อความเกี่ยวกับการดาเนินของเซตว่ าจริงหรือเท็จโดยใช้
แผนภาพนั้น ต้องมีความระมัดระวังอย่างยิ่ง เช่น จากภาพต่อไปนี้
A B
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อาจทาให้ผู้เรียนเข้าใจได้ว่า A B  A ซึ่งโดยทั่วๆ ไป ไม่จริง ดังตัวอย่างของ A และ B ที่สัมพันธ์กน
ั
ตามแผนภาพต่อไปนี้
A B
แต่ในกรณีที่เราทราบความสัมพันธ์ของเซตอย่างแน่นอน เช่น A B ซึ่งทาให้เราเขียนแผนภาพได้เพียง
แบบเดียว ดังต่อไปนี้
A B
หรือในกรณีที่ A B  จะได้แผนภาพดังต่อไปนี้
A B
เราสามารถตรวจสอบข้อเท็จจริงจากแผนภาพได้เลย
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่ผู้เรียนได้รู้จักเอกลักษณ์ต่างๆ ของการดาเนินการบนเซตไปแล้ว ผู้เรียนจะได้ฝึกฝนการใช้
เอกลักษณ์ต่างๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ผู้สอนอาจเพิ่มเติมโจทย์ให้ผ้เู รียนฝึกฝนการใช้เอกลักษณ์ต่างๆ ที่ได้เรียนไปแล้ว ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า A  B  A  B
พิสูจน์ จากเอกลักษณ์ข้อ 10 จะได้ว่า A  B  A   B   A  B #
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
1. A   A  B   A  B
2.  A  B   A  B
3. ถ้า A  B  B แล้ว A  B
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีทา
1. A   A  B   A   A  B  (เอกลักษณ์ข้อ 10)
 A   A  B
 ( A  A)   A  B
    A  B 
 A  B
 A B
ดังนั้น ข้อ 1 ถูก
2. กาหนดให้ A  1, 2,3 , B  3, 4
จะได้ว่า  A  B   A  1, 2,3, 4  1, 2,3  4 ซึ่งไม่เท่ากับ B
ดังนั้น ข้อ 2 ผิด
3. กาหนดให้ A  1, 2,3 , B  2,3
ดังนั้น A  B  B แต่ A  B
ดังนั้น ข้อ 3 ผิด #
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
1.  A  B    A  B   
2.  A  B    A  B   B
3.  A  B    A  B   B
4. A  B  B  A
5.  A  B  C  A   B  C 
6.  A  B  C   A  C    B  C 
7. A   B  C    A  B   A  C 
8. A   B  C    A  B   A  C 
9.  A  B  C   A  C   B
   A
10.  A

11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การหาจานวนสมาชิกของเซต
และการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การหาจานวนสมาชิกของเซต
และการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาการหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด โดยใช้สูตรและใช้แผนภาพเวนน์ -ออย
เลอร์ พร้อมทั้งตัวอย่างการประยุกต์ใช้งาน
หลังจากที่ได้ให้สูตรข้างต้นแล้ว ผู้เรียนจะได้เห็นตัวอย่างการประยุกต์ใช้สูตร ดังต่อไปนี้
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจเพิ่มเติมโจทย์เพื่อฝึกฝนการใช้สูตรต่อไปนี้
n  A  B  C   n  A  n  B   n  C   n  A  B  
n AC  nB C  n A B C
ตัวอย่าง จากการสารวจผลสอบวิชา ฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยา ของนักเรียน 100 คน มีข้อมูลจานวนผู้สอบผ่านวิชา
ต่างๆดังนี้
ผู้สอบผ่านฟิสิกส์ 20 คน
ผู้สอบผ่านเคมี 30 คน
ผูสอบผ่านชีววิทยา
้ 35 คน
ผู้สอบผ่านฟิสิกส์และเคมี 10 คน
ผู้สอบผ่านฟิสิกส์และชีววิทยา 15 คน
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอบผ่านเคมีและชีววิทยา 20 คน
ผู้ที่สอบผ่านทั้ง 3 วิชา 8 คน
จงหาจานวนผู้ที่สอบตกทั้ง 3 วิชา
วิธีทา ให้ A คือเซตของผู้ที่สอบผ่านฟิสิกส์
ให้ B คือเซตของผู้ที่สอบผ่านเคมี
และให้ C คือเซตของผู้ที่สอบผ่านชีววิทยา
จากสิ่งที่โจทย์กาหนด จะได้ว่า n  A  20, n  B   30, n  C   35, n  A  B   10, n  A  C   15,
n  B  C   20 และ n  A  B  C   8
จากสูตร
n A B C
 n  A  n  B   n  C   n  A  B   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C 
 20  30  35  10  15  20  8
 48
ดังนั้นผู้ที่สอบตกทั้ง 3 วิชา มีจานวน 100  n  A  B  C   100  48  52 คน #
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างโจทย์ที่บูรณาการความรู้ต่างๆ ในเรื่องเซต เพิ่มเติมให้กับผู้เรียนดังนี้
ตัวอย่าง ให้  1, 2,...,10 , A  1,3,5,7,9 และ B  2,3, 4,5,6 แล้วสับเซตทั้งหมดของ
 A   A  B  
  มีจานวนเท่าใด
วิธีทา เพราะว่า
 A   A  B    A   A  B 
 
 A   A  B 
  A  A    A  B 
 A  B
  A  B 
 3,5
 1, 2, 4, 6, 7,8,9,10
ดังนั้น  A   A  B  มีจานวนสมาชิกเท่ากับ 8 สมาชิก ทาให้  A   A  B  มีสับเซตทั้งหมด
   
2 สับเซต
8
#
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาจานวนสมาชิกของเซต
และการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
1. จงหาจานวนสมาชิกของ A  B เมื่อ n  A  10, n  B   20 และ n  A  B   12
2. จงหาจานวนสมาชิกของ A  B เมื่อ n  A  10, n  B   20 และ n  A  B   25
3. จงหาจานวนสมาชิกของ A เมื่อ n  A  B   30, n  B   10 และ n  A  B   5
4. จากการสุ่มสอบถามผู้รับประทานอาหารจานวน 100 คน พบว่า มีจานวนที่ชอบทานข้าวผัด 30 คน ชอบทาน
ก๋วยเตี๋ยว 20 คน และชอบทั้ง 2 อย่าง 10 คน จงหาจานวน
4.1 คนที่ไม่ชอบทานข้าวผัดและไม่ชอบทานก๋วยเตี๋ยว
4.2 คนที่ชอบทานอาหารเพียงอย่างเดียวเท่านั้น
5. ในการสารวจนักเรียน 200 คน พบว่าชอบคณิตศาสตร์ 100 คน ชอบเคมี 150 คน และชอบทั้งสองวิชา 80 คน
จงหาจานวน
5.1 นักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียว
5.2 นักเรียนที่ชอบเคมีอย่างเดียว
5.3 นักเรียนที่ไม่ชอบทั้ง 2 วิชา
6. จากการสอบถามนักเรียน 100 คน พบว่ามีนักเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ 70 คน ชอบวิชาภาษาไทย 50 คน
นักเรียนที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์และไม่ชอบภาษาไทย 10 คน จงหาว่ามีนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียวกี่
คน
7. กาหนดให้
A   x  | 4  x  4
B   x  | 4  x  4

C  x 
| x 2  3x  4  0
จงหา
7.1 n  A  B 
7.2 n  A   B  C 
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. จากการสารวจนักเรียนที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ เคมี และฟิสิกส์ 180 คน พบว่าทุกคนชอบเรียนอย่างน้อย
1 วิชา และ
ชอบเรียนคณิตศาสตร์ 80 คน
ชอบเรียนเคมี 90 คน
ชอบเรียนฟิสิกส์ 120 คน
ชอบเรียนทั้งคณิตศาสตร์และเคมี 50 คน
ชอบเรียนทั้งเคมีและฟิสิกส์ 60 คน
ชอบเรียนทั้งคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ 40 คน
จานวนนักเรียนที่ชอบเรียนทั้ง 3 วิชา เท่ากับเท่าใด
9. ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง
A  1, 2,3, 4,5, 6
B  2, 4, 6,8,10,12,14
C  3, 6,9,12
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. n  A  B   C   2
  2. A  B มีสับเซตทั้งหมด 16 สับเซต
3. n  A   B  C    2
  4. B  C มีสับเซตทั้งหมด 32 สับเซต
10. ในการสารวจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนี่งจานวน 63 คน ซึ่งต้องลงทะเบียนเรียนอย่าง
น้อย 1 วิชา พบว่านักเรียนลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 30 คน วิชาภาษาอังกฤษ 25 คน วิชาภาษาไทย 40 คน
วิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ 20 คน วิชาภาษาอังกฤษและวิชาภาษาไทย 5 คน วิชาคณิตศาสตร์และวิชา
ภาษาไทย 10 คน จานวนนักเรียนที่ลงทะเบียนเรียนทั้ง 3 วิชา คือข้อใดต่อไปนี้
1. 3 คน 2. 5 คน 3. 6 คน 4. 7 คน
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. จากการสอบถามผู้ดื่มกาแฟ 20 คน พบว่า
ก จานวนผู้ใส่ครีมในกาแฟน้อยกว่าสองเท่าของผู้ที่ใส่นาตาลในกาแฟอยู่ 7 คน
ข จานวนผู้ที่ใส่ครีมและนาตาลในกาแฟ เท่ากับจานวนผู้ที่ไม่ใส่ครีมและไม่ใส่นาตาลในกาแฟ
จานวนผู้ใส่ครีมในกาแฟมีกี่คน
1. 7 2. 9 3. 11 4. 13
2. ข้อใดต่อไปนีไม่ถูกต้อง
1.  A  B    A  B   A 2.  A  B    A  B   B
3.  A  B    A  B   4.  A  B    A  B   A  B
3. A   B  C  มีค่าเท่ากับข้อใด
1.  A  B    A  C  2. A   B  C 
3. A   B  C  4. A   B  C 
4. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1.  A  B    B  C   B   A  C 
 
2. ถ้า A  B   แล้ว A  B
3. ถ้า A  B   แล้ว A  B  B
4. ถ้า A  B   แล้ว P  A  B   P  A  P  B 
5. ให้ A  x  | x  5  x  2 และ B   x  | x  2  5 ข้อใดต่อไปนีถูก
 9
1. A  B   3,7  2. A  B   3, 
 16 
 9
3. A  B  7,   4. B  A   3, 
 16 
6. ในการสารวจการประกอบอาชีพทานา ทาไร่ และทาสวน ของหมู่บ้านแห่งหนึ่งที่มี 100 ครอบครัว ปรากฏ
ว่ามี 40 ครอบครัว ไม่ได้ประกอบอาชีพทัง 3 อาชีพ และมี 30 ครอบครัว ที่ประกอบอาชีพอย่างน้อย 2
อย่าง จงหาจานวนครอบครัวที่ประกอบอาชีพเพียงอย่างเดียว
1. 30 2. 40 3. 60 4. 70
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. กาหนดให้ n  A  25 , n  B   20 , n  C   18 , n  A  B   6 , n  A  C   8 ,
n  B  C   10 , n  A  B  C   2 ตามลาดับ จงหา n  B   A  C  
1. 2 2. 4 3. 6 4. 8
8. ให้ A  1, 2,3, 4 และ B  A ถ้า A  B  2, 4 และ C  1, 2, 4,5
แล้ว B  C เท่ากับเซตในข้อใดต่อไปนี
1.  2. 1 3. 1, 2 4. 1, 2, 4
9. กาหนดให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง A  B  B  C ถ้า n  A  30 ,
n  C   25 , n  B  C   18 , n  A  C   15 และ n  A  B  C   50 แล้ว n  B  มีค่า
เท่ากับเท่าไร
1. 15 2. 17 3. 28 4. 35
10.  A  B  C  D   A  C    B  C   C  D  มีค่าเท่ากับข้อใด
1. A 2. B 3. C 4. D
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซต
1. ผิด 2. ถูก 3. ถูก 4. ถูก 5. ผิด
6. ถูก 7. ถูก 8. ผิด 9. ถูก 10. ถูก
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การหาจานวนสมาชิกของเซตและการแก้ปัญหาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
1. 18 2. 5 3. 25 4. 4.1 60 4.2 30
5. 5.1 20 5.2 70 5.3 30 6. 40
7. 7.1 7 7. 2 7 8. 40 9. ข้อ 4 10. ข้อ 1
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 4 3. 1 4. 1 5. 3
6. 30 7. 3 8. 2 9. 3 10. 3
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
28