1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
จานวนจริง
(เนื้อหาตอนที่ 1)
สมบัติของจานวนจริง
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามกาลังหนึ่ง
- สมการพหุนามกาลังสอง
- สมการพหุนามกาลังสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
- อสมการค่าสัมบูรณ์
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
คณะผู้จัดทาหวัง เป็นอย่ างยิ่ ง ว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรีย นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
จานวนจริง นอกจากนี้หากท่ านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่ อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง จานวนจริง (สมบัติของจานวนจริง)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/9)
หัวข้อย่อย 1. ระบบจานวนจริง
2. สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจเกี่ยวกับระบบจานวนจริง จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนเต็ม และ
จานวนนับ
2. มีความเข้าใจ และประยุกต์ใช้สมบัติที่สาคัญของจานวนจริง
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. จาแนกจานวนประเภทต่างๆได้ เช่น จานวนจริง จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวน
เต็ม
และจานวนนับ
2. รู้จักโครงสร้างของระบบจานวนจริงว่าเป็นอย่างไร
3. รู้จักและสามารถตรวจสอบสมบัติต่างๆที่สาคัญของจานวนจริง เช่น สมบัติปิด สมบัติการเปลี่ยน
หมู่
สมบัติการสลับที่ การมีเอกลักษณ์ การมีอินเวอร์ส และการกระจาย
4. รู้จักสมบัติพื้นฐานในการบวก การลบ การคูณ และการหารจานวนจริง
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ระบบจานวนจริง
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ระบบจานวนจริง
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้เรียนรู้อย่างคร่าวๆว่า ระบบจานวนจริงประกอบด้วยอะไรบ้าง
ถ้ามีเวลา ผู้สอนอาจยกตัวอย่างให้ผู้เรียน เห็นสมบัติที่สาคัญของจานวนเต็ม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
1. ถ้า a และ b เป็นจานวนนับ แล้ว a  b เป็นจานวนนับ
2. ถ้า a และ b เป็นจานวนนับ แล้ว a  b เป็นจานวนนับ
3. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็ม แล้ว a  b เป็นจานวนเต็ม
4. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็ม แล้ว a  b เป็นจานวนเต็ม
คาตอบ
1. ถูก 2. ผิด 3. ถูก 4. ถูก
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่ผู้เรียนได้รู้จักกับจานวนเต็มไปแล้ว ต่อไปเป็นการแนะนา จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ
เพื่อนามาสร้างระบบของจานวนจริงในที่สุด
ผู้สอนควรเน้นย้ากับนักเรียนว่า จานวนตรรกยะคือ จานวนที่เขียนในรูปของผลหารของ จานวนเต็ม ที่
ตัวหารไม่ใช่ศูนย์ได้ ดังนั้น การที่เขียน
2 2 3
2 และ 3
1 2
2 2 3
จึงไม่ใช่การเขียนที่อยู่ในรูปผลหารของจานวนเต็ม ทาให้การเขียน 2 และ 3 ไม่สามารถใช้
1 2
เป็นเหตุผลในการพิจารณาว่า 2 และ 3 เป็นจานวนตรรกยะหรือไม่
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากผู้เรียน รู้จกจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะแล้ว ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ั
เพื่อให้ผู้เรียนรู้จักจาแนกว่าจานวนใดเป็นจานวนนับ จานวนเต็ม จานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะ
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าจานวนที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นจานวนชนิดใด และทาเครื่องหมาย  หรือ  ใน
ตาราง เพื่อบ่งบอกว่าเป็นจานวนชนิดนั้นๆหรือไม่
จานวน 
9
7

2
3
3
0
3.12
2.01
0.2111...
16
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จานวน 


2
0.121212...
คาตอบ
จานวน 
9    
7
    
2
3    
3    
0    
3.12    
2.01    
0.2111...    
16    

    
2
0.121212...    
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกต้องหรือไม่
1. 0.009009009... เป็นจานวนตรรกยะ
2. จานวนที่เขียนได้ในรูปทศนิยมซ้าเป็นจานวนอตรรกยะ
3. 0.999... เป็นจานวนเต็ม
4. มีจานวนอตรรกยะที่บวกกับ 2 แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจานวนตรรกยะ
5. มีจานวนอตรรกยะที่บวกกับ 2 แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจานวนอตรรกยะ
คาตอบ
1. ถูก 2. ผิด 3. ถูก 4. ถูก 5. ถูก
ตัวอย่าง จงหาจานวนต่อไปนี้ (ถ้ามี)
1. จานวนจริงที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
2. จานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. จานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
4. จานวนเต็มลบที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
คาตอบ
1. ไม่มี 2. ไม่มี 3. 8 4.  1
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ระบบจานวนจริง
ข้อ 1-10 จงพิจารณาว่าจานวนที่กาหนด เป็นจานวนชนิดใด และทาเครื่องหมาย  หรือ  ในตาราง เพื่อบ่งบอกว่า
เป็นจานวนชนิดนั้นๆ หรือไม่
ข้อ จานวน
1  16
2 0.111...
3 0.999...
2
4
3
5 3 2
6 3
7  2
8  3
2
1
9 5
2
10  2
3
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ข้อ 11-20 จงพิจารณาว่าข้อความที่กาหนด ถูกหรือผิด
11. มีจานวนจริงที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 5
12. มีจานวนตรรกยะ a  0 และจานวนอตรรกยะ b ซึ่ง ab เป็นจานวนตรรกยะ
13. ถ้า a, b เป็นจานวนตรรกยะแล้ว a b เป็นจานวนตรรกยะเสมอ
14. มีจานวนอตรรกยะ a, b ซึ่ง a  b และ a  b เป็นจานวนตรรกยะ
15. ถ้า a, b เป็นจานวนอตรรกยะ และ b  1 แล้ว ab เป็นจานวนอตรรกยะเสมอ
a
16. 3.333... เป็นจานวนอตรรกยะ
17. มีจานวนจริง x ที่ทาให้ x  25  4
18. จานวนอตรรกยะ สามารถเขียนในรูปทศนิยมไม่ซ้าได้
19. 2.141144111444... เป็นจานวนอตรรกยะ
20. จานวนนับทุกจานวนเป็นจานวนตรรกยะ
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สมบัติพนฐานของระบบจานวนจริง
ื้
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
ในหัวข้อนี้ ผู้เรียนจะได้ทราบถึงสมบัติที่สาคัญของจานวนจริง
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าเซตของจานวนนับ มีสมบัติปิด สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการมีเอกลักษณ์ และ
สมบัติการมีอินเวอร์สาหรับการคูณหรือไม่
วิธีทา  ,  มีสมบัติปิดและสมบัติเปลี่ยนหมู่ เนื่องจาก สาหรับ a, b และ c ที่เป็นจานวนนับใดๆจะได้
ว่า ab เป็นจานวนนับ และ  ab  c  a bc 
เนื่องจาก สาหรับจานวนนับ n ใดๆนั้น n1  n  1n ดังนั้น เอกลักษณ์การคูณคือ 1 และเนื่องจาก
ไม่มีจานวนนับ n ที่ทาให้ 2n  1 ดังนั้น  ,  ไม่มีอินเวอร์การคูณ #
ตัวอย่าง จงหาเอกลักษณ์การคูณบนเซตของจานวนเต็ม และพิจารณาว่าจานวนเต็มใดที่มีอินเวอร์สการคูณ
วิธีทา เอกลักษณ์การคูณบน คือ 1 และมีเพียง 1 และ 1 เท่านั้นที่มีอินเวอร์สการคูณ โดยที่ อินเวอร์
สการคูณของ 1 คือ 1 และอินเวอร์สการคูณของ 1 คือ 1 #
ต่อไปจะเป็นกาพิจารณาสมบัติของจานวนจริง สาหรับการดาเนินการอื่นๆที่ไม่ใช่การบวก และการคูณ
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง สาหรับจานวนเต็ม a, b ใดๆ กาหนดให้ a  b  a  b 1
จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
1.  , มีสมบัติปิด
2.  , มีสมบัติการสลับที่
3.  , มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่
4.  , มีเอกลักษณ์
วิธีทา
1.  , มีสมบัติปิด เพราะสาหรับจานวนเต็ม a และ b ใดๆ a  b  a  b 1 เป็นจานวนเต็ม
เสมอ
2.  , มีสมบัติการสลับที่ เนื่องจาก a  b  a  b 1  b  a 1  b  a ทุก a, b 
3. เนื่องจาก a  b  c   a  b  c  1  a  b  c  1  1  a  b  c  2 และ
 a  b   c   a  b  1  c   a  b  1  c  1  a  b  c  2 ทาให้
a   b  c    a  b   c ดังนั้น  , มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่
4. เนื่องจาก a   1  a   1  1  a ดังนั้น เอกลักษณ์ของ  คือ 1 #
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง สาหรับจานวนจริง a, b ใดๆ กาหนดให้ ab  a  b  3
จงหา เอกลักษณ์ของ  บน และ อินเวอร์สของ 5 ภายใต้ 
วิธีทา เนื่องจาก a3  a  3  3  a และ 3a  3  a  3  a ดังนั้น เอกลักษณ์ของ  คือ 3
ให้ x เป็นอินเวอร์สการ  ของ 5 ดังนั้น
5x  3
5 x 3  3
x 1
ดังนั้น อินเวอร์สของ 5 สาหรับ  คือ 1 #
หลังจากผู้เรียนทราบถึงกฎการตัดออกสาหรับการบวก แล้วผู้สอนอาจนาเรื่องเข้าสู่กฎการตัดออก
สาหรับการการคูณ โดยตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด “ถ้า ac  bc แล้ว a  b ”
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่ให้ผู้เรียนอภิปรายร่วมกันแล้ว น่าจะได้ข้อสรุปว่าข้อความดังกล่าวว่า ไม่จริง เมื่อ c  0
แต่ในกรณีที่ c  0 ข้อความข้างต้นเป็นจริง ซึ่งจะนาเข้าสู่ทฤษฎีบทที่ 2
พิสูจน์ ทฤษฎีบทที่ 1 และ 2
ถ้า ac bc แล้ว a  b
พิสูจน์ จาก ac bc
นา c บวกทั้ง 2 ข้าง
 a  c   c  b  c   c
จะได้ ac
ถ้า ac  bc และ c0 แล้ว a  b
พิสูจน์ จาก ac  bc
1
นา คูณตลอด
c
1 1
 ac    bc 
c c
จะได้ ac #
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
1. ถ้า a  b และ c  d แล้ว a  c  b  d
2. ถ้า a  b  0 และ c  d  0 แล้ว ac  bd
วิธีทา
1. ผิด เช่น 1  2 และ 5  6 แต่ 1   5  2  6

2. ผิด เช่น 2  1  0 และ 3  2  0 แต่  2 3   1 2
 #
นอกจากสมบัติดังกล่าวข้างต้น ผู้สอนอาจให้สมบัติต่อไปนี้เพิ่มเติม
ทฤษฎีบท
1. ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
2. ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
1. จงบอกสมบัติของจานวนจริงที่ทาให้ข้อความต่อไปนี้จริง
1.1 5  6  6  5
1.2  2  3 a  2a  3a
1.3 5   6  2  5  6  2
1.4 a b  c   b  c  a
1.5 5  0  5
1.6 1a  1
2. ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
2.1 เซตของจานวนจริงมีสมบัติการสลับที่ของการลบ
2.2 เซตของจานวนนับมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ
2.3 ถ้า ac  bc แล้ว a  b
2.4 ถ้า a  c  b  c แล้ว a  b
3. สาหรับจานวนเต็ม a, b ใดๆ กาหนดให้ a  b  ab 1
จงพิจารณาว่า  , มีสมบัติต่อไปนี้หรือไม่
3.1 สมบัติปิด
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.2 สมบัติการสลับที่
3.3 มีเอกลักษณ์
4. สาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ กาหนดให้ a  b  a  b  5
4.1 จงหาเอกลักษณ์
4.2 จงหาอินเวอร์สของ a
5-10 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่
5. ถ้า a  b และ c  d แล้ว a  c  b  d
6. ถ้า a  b และ c  d แล้ว ac  bd
7. ถ้า a  b และ c  d แล้ว a  c  b  d
8. ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c
9. ถ้า a  b แล้ว ac  bc
10. ถ้า a  b แล้ว a 2  b 2
11-15 สาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ กาหนดให้ a  b  ab
2
11. จงแสดงว่า  ,  มีสมบัติปิด
12. จงแสดงว่า  ,  มีสมบัติการสลับที่
13. จงแสดงว่า  ,  มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
14. จงแสดงว่า  ,  มีสมบัติการมีเอกลักษณ์
15. จงหาอินเวอร์สของ 1 และ 2
16-20 จงหาเอกลักษณ์ และอินเวอร์สของ 3 ของการดาเนินการต่อไปนี้บนเซตของจานวนจริง
ข้อที่ การดาเนินการ เอกลักษณ์ อินเวอร์สของ 3
16 a b  a  b
17 a  b  ab
18 a  b  2ab
19 a b  a  b  3
ab
20 a b 
3
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
ในสื่อตอนนี้ ผู้เรียนจะได้ทราบถึงระบบจานวนจริง ว่าประกอบไปด้วยจานวนประเภทไหนบ้าง
นอกจากนี้ยังได้เรียนรู้ถึงสมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง ดังต่อไปนี้
.
.
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. ข้อใดต่อไปนี้ผิด
1. ถ้า 0  a  b และ 0  c  d แล้ว a  c  b  d
2. ถ้า a  c  0 และ b  d  0 แล้ว cd  ab
3. ถ้า a  b แล้ว a 2  b 2
4. ถ้า 0  a  c และ 0  b  d แล้ว ab  cd
2. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ถ้า a  c และ b  d แล้ว a 2b 2  c 2 d 2
2. ถ้า 0  a  c และ 0  b  d แล้ว 0  ab  1
cd
3. มีจานวนคี่ 3 จานวนที่รวมกันได้ 20
4. ถ้า a 2 เป็นจานวนคู่ แล้ว a เป็นจานวนคู่
3. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
a  a2
1. a
1 a
2. ถ้า a  b  a  b  2 แล้ว a  b  b  a
3. ถ้า 0  a  1 แล้ว 0  a 2  a
4. ถ้า 0  a  b แล้ว a 2  b 2
4. ข้อความใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. ถ้า a  b แล้ว a  b
2. ถ้า a เป็นจานวนตรรกยะ แล้ว a จะเขียนในรูปทศนิยมซ้าได้
3. ถ้า ac  bc แล้ว a  b
4. มีจานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 0
5. ข้อความใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1.   2.  
3.  4.   
6 เซตใดต่อไปนี้ ไม่มีสมบัติปิดการบวก
1. 1, 0,1 2. 5,10,15,...
3. ..., 3, 2, 1,0,1,... 4. { x  | 3 หาร x ลงตัว }
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. กาหนดให้ a  b  a  b  5 แล้วข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1.  , มีสมบัติปิดและสมบัติการสลับที่
2. เอกลักษณ์ของ  คือ 5
3. อินเวอร์สของ 5 สาหรับการดาเนินการ  คือ 15
4.  5 1  2  3  4  2
8. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. มีจานวนจริง a, b, c ที่ a  b และ ac  bc
2. มีจานวนจริง a, b, c ที่ a  b และ ac  bc
3. มีจานวนจริง a, b, c ที่ a  b และ ac  bc
4. มีจานวนนับ a, b, c ที่ a  b และ ac  bc
9. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. n  n 2 ทุกจานวนนับ n
ข. ถ้า a  b และ c เป็นจานวนอตรรกยะ แล้ว ac  bc
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
10. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า ab  0 แล้ว a  0 และ b  0
ข. ถ้า ab  0 แล้ว a  0 หรือ b  0
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก ข ผิด 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ระบบจานวน
1-10
ข้อ จานวน
1  16    
2 0.111...    
3 0.999...    
2
4    
3
5 3 2    
6 3    
7  2    
8  3
2
   
1
9 5    
2
10  2
3
   
11. ผิด 12. ผิด 13. ผิด 14. ถูก 15. ผิด
16. ผิด 17. ผิด 18. ถูก 19. ถูก 20. ถูก
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่อง สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
1. 1.1 สมบัติการสลับที่
1.2 สมบัติการกระจาย
1.3 สมบัติการเปลี่ยนหมู่
1.4 สมบัติการสลับที่
1.5 เอกลักษณ์การบวก
1.6 เอกลักษณ์การคูณ
2. 2.1 ผิด 2.2 ถูก 2.3 ผิด 2.4 ถูก
3. 3.1 มี 3.2 มี 3.3 ไม่มี
4. 4.1 5 4.2 10  a
5. ถูก 6. ผิด 7. ผิด 8. ถูก 9. ผิด 10. ผิด
15. 4, 2 2
16. 0, 3
1
17. 1,
3
1 1
18. ,
2 12
19. 3, 9
20. 3,3
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 2. 2 3. 1 4. 3 5. 2
6. 1 7. 4 8. 4 9. 2 10. 3
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
32