1. บทที่ 4
ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร (14 ชั่วโมง)
4.1 กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร (10 ชั่วโมง)
4.2 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรกับตรีโกณมิติ (4 ชั่วโมง)
สาระที่นําเสนอในบทนี้สวนใหญสอดแทรกอยูในกิจกรรมที่ใหนักเรียนใชความรูคณิตศาสตรที่
เรียนมาแลว ในการแกปญหาทั้งที่คลายคลึงและแตกตางจากที่เรียนในหองเรียน โดยเจตนาใหนักเรียน
ประยุกตใชทั้งความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย นอกจากนี้ยังเนนใหนักเรียน
เห็นการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในการแสวงหาความรูเกี่ยวกับอัตราสวนตรีโกณมิติ
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาตอนตน ตามหนังสือเรียนและ
คูมือครูของ สสวท. ไดเนนการพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยสอดแทรกในเนื้อหาตาง ๆ
ตามความเหมาะสมของสาระและกิจกรรมมาอยางตอเนื่อง ในบทนี้มีเจตนาเสริมสาระเพื่อพัฒนาทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตรใหมากขึ้นโดยผานกิจกรรม ครูอาจเลือกกิจกรรมที่เสนอไวเพื่อใหนักเรียน
ไดทําตามความเหมาะสมของเวลาและศักยภาพ สําหรับนักเรียนที่มีเปาหมายจะเรียนตอในดานวิทยาศาสตร
ควรจัดใหทํากิจกรรมในหัวขอ 4.2 ดวย
กิจกรรมในหนังสือเปนเพียงตัวอยางของกิจกรรมที่ใชพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร
ยังมีกิจกรรมในชีวิตจริงอีกมากที่สามารถนํามาใชได ครูอาจหากิจกรรมอื่นที่เหมาะสมและตรงกับความ
สนใจของนักเรียนในหองมาเพิ่มเติม หรืออาจนํานักเรียนออกไปทํากิจกรรมคณิตศาสตรนอกหองเรียน
เชน สวนพฤกษศาสตร สหกรณในโรงเรียน ทั้งนี้ครูควรวางแผนการจัดกิจกรรมใหรัดกุมไวลวงหนา
แนวคิดเกี่ยวกับการหาคําตอบของกิจกรรมในคูมือครูนี้เปนเพียงตัวอยางที่นักเรียนอาจใชในการทํากิจกรรม
นักเรียนอาจมีแนวคิดอื่นที่แตกตางออกไป หรืออาจไดคําตอบอยูในรูปแบบที่แตกตางกัน ครูควรให
นักเรียนไดอภิปรายถึงความหลากหลายของวิธีการไดมาของคําตอบ
ในการพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรใหกับนักเรียน ครูควรคํานึงถึงประเด็น
ตาง ๆ ตอไปนี้
1. ครูควรตระหนักวา การพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเปนเรื่องที่ตองฝกให
นักเรียนคิดและลงมือปฏิบัติจนเกิดเปนความสามารถและความชํานาญตามวัยและระดับของนักเรียน
การพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรจึงเปนเรื่องของการฝกใหคิดและตัดสินใจมากกวาการสอนให
รูและเขาใจ

2. 44
2. กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ควรเปนกิจกรรมที่พัฒนาหลายทักษะไป
ดวยกัน ครูควรตองวิเคราะหและวางแผนกอนวาปญหาสถานการณหรือกิจกรรมนั้น ในแตละขั้นตอนจะ
ใหนักเรียนใชความรูอะไร ใชอยางไรและเปนการพัฒนาทักษะกระบวนการใดบาง
3. ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเปนความสามารถและความชํานาญที่ตองใชเวลาในการ
พัฒนาใหเกิดขึ้นกับนักเรียน จึงควรใหมีการพัฒนาอยางตอเนื่องโดยบูรณาการรวมกับการสอนเนื้อหา
และอาจยกตัวอยางเกร็ดความรูแสดงถึงการมีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรของนักคณิตศาสตรที่มี
ชื่อเสียง เชน อารคิมีดีส นิวตันและเกาส เพื่อชี้ใหนักเรียนเห็นลักษณะของบุคคลที่มีทักษะกระบวนการ
ทางคณิตศาสตร เชน เปนคนชางสังเกต มีความคิดสรางสรรคและมีความพยายาม
4. ในการทํากิจกรรม ครูควรฝกใหนักเรียนเริ่มตนคิดหาวิธีแกปญหาเอง เนื่องจากมีนักเรียน
จํานวนมากที่ไมทราบวาจะเริ่มตนคิดแกปญหาอยางไร จึงรอใหครูแนะและตั้งคําถามนํา ครูควรตระหนัก
วาการถามนํามากเกินไป จะทําใหนักเรียนคุนเคยกับการคิดเพื่อตอบคําถามครูทีละคําถามตอเนื่องกันจนได
คําตอบ โดยไมสามารถคิดเพื่อหาวิธีแกปญหาที่ครบขั้นตอนหรือกระบวนการไดดวยตนเอง
5. ครูอาจอภิปรายรวมกับนักเรียนเพื่อใหความรูเกี่ยวกับวิธีการตาง ๆ ที่จะชวยใหนักเรียนมี
ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร เชน
ในการแกปญหาอาจใชกลยุทธตาง ๆ ประกอบการคิดแกปญหา ไดแก การทําตาราง
การวาดภาพ การหาความสัมพันธและการคิดยอนกลับ เปนตน
ในการฝกใหเหตุผลทางคณิตศาสตร อาจเริ่มจากการตั้งคําถามกับตัวเองบอย ๆ โดยเปน
คําถามที่ตองการคําอธิบาย เชน เพราะอะไร ทําไม และอยางไร
ในการสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ นักเรียนควรฝกการฟง พูด
อาน และเขียนที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร เชน การฟงครูหรือฟงเพื่อนอธิบายคณิตศาสตร การอธิบายวิธีทํา
หรือแนวการใหเหตุผลทางคณิตศาสตรใหเพื่อนฟง การอานหนังสือหรือวารสารคณิตศาสตรใหเขาใจดวย
ตนเองและสามารถใชคณิตศาสตรเพื่อสื่อสิ่งที่ตองการบอกใหผูอื่นทราบและเขาใจได
ในการเชื่อมโยงความรูนั้น นักเรียนควรไดเห็นตัวอยางและไดฝกการเชื่อมโยงระหวางเนื้อหา
ในคณิตศาสตร การเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น ๆ และการเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับชีวิตประจําวัน
ในการคิดสรางสรรคนั้น อาจเปนการคิดเพิ่มเติมหรือคิดนอกกรอบ ซึ่งในทางคณิตศาสตร
อาจเริ่มจากการคิดหลากหลาย คิดวิธีการที่แตกตางกัน คิดหาวิธีลัดที่จะทําใหการแกปญหาคณิตศาสตรมี
ประสิทธิภาพและสะดวกขึ้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
ใชความรูคณิตศาสตร ความรูอื่นๆ และเทคโนโลยีเพื่อเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรใน
ดานการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร การนําเสนอ การเชื่อมโยง
และความคิดริเริ่มสรางสรรค

3. 45
แนวทางในการจัดการเรียนรู
ในบทนําไดกลาวถึงประวัติคราว ๆ และผลงานเดน ๆ ของอารคิมีดิส เพื่อชี้ใหเห็นลักษณะของผูที่
มีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรและการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในการแสวงหาเพื่อสราง
องคความรูที่เปนประโยชนกับคนรุนหลัง ทั้งนี้เพื่อเปนแรงบันดาลใจใหนักเรียนเห็นความสําคัญของทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตร
4.1 กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร (10 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาในสถานการณตาง ๆ
ที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
กิจกรรมชุดที่ 1
1. กิจกรรม “มีอยูเทาไร” มีเจตนาใหนักเรียนใชความรูเรื่องการหารและเทคนิคการแกปญหา
โดยใชตาราง ครูอาจใหนักเรียนคิดหาวิธีแกปญหาเองกอน อาจมีบางคนเริ่มตนจาก 6 แทง ซึ่งเปนไป
ไมได ครูควรใหนักเรียนอภิปรายวาเพราะเหตุใดจึงเปนไปไมได ผลการอภิปรายนักเรียนควรไดขอสรุปวา
ควรเริ่มตนที่ 9 แทง และคอย ๆ หาไปเรื่อย ๆ จนไดคําตอบ จากนั้นครูควรใหนักเรียนหาวิธีอื่นที่สะดวก
และรวดเร็วกวา แตไดคําตอบเชนเดียวกัน ซึ่งนักเรียนอาจใชขอมูลที่บอกวาหารดวย 5 แลวเหลือเศษ 4
เปนสําคัญ โดยเริ่มจาก 9 แทง และได 14 แทงเปนจํานวนตอไปซึ่งก็ยังไมใชจํานวนที่สอดคลองตาม
เงื่อนไข แตเมื่อเปน 19 แทง จะไดคําตอบ วิธีนี้ประหยัดเวลาไดมาก
สําหรับคําถามขอ 6 ครูอาจเตรียมอุปกรณ เชน ไมจิ้มฟน หรือใชการเขียนรอยขีดเปน
แบบจําลองแทนดินสอ เพื่อใหนักเรียนลองปฏิบัติเปนกลุมก็ได
2. กิจกรรม “มีอยูกี่จํานวน” มีเจตนาใหนักเรียนคิดหาวิธีแกปญหาที่หลากหลาย ซึ่งนอกจาก
จะใชแผนภาพตนไม เชน ในหนังสือเรียนแลว นักเรียนบางคนอาจใชวิธีคงเลขโดด 4 ในหลักพัน
เลขโดด 5 ในหลักรอย และเลขโดด 6 ในหลักสิบ จากนั้นใชเลขโดด 7, 8 และ 9 ในหลักหนวยทีละตัว
และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ โดยเปลี่ยนหลักรอย หลักสิบ และหลักหนวยใหเปนไปตามเงื่อนไข ก็จะได
คําตอบเชนเดียวกัน อยางไรก็ตามนักเรียนบางคนอาจคงเลขโดด 4 ในหลักพัน และคงเลขโดด 9 ในหลัก
หนวย และหาเลขโดดในหลักรอยและหลักสิบใหสอดคลองกับเงื่อนไข จากนั้นเปลี่ยนหลักหนวยเปน
7 และ 8 ทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ก็จะไดคําตอบเชนเดียวกัน

4. 46
กิจกรรมชุดที่ 2
1. กิจกรรม “พื้นที่เปนเทาไร” มีเจตนาใหนักเรียนใชเหตุผลในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัส ที่เกิดจากการลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมที่ใหญกวา
นักเรียนควรหาความสัมพันธระหวางพื้นที่กับจํานวนครั้งของการกระทําซ้ํากันได ครูอาจถามเพื่อขยาย
ความคิด เชน
ถาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปน 100 ตารางหนวย จะตองลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอ
จุดกึ่งกลางใหเปนรูปสี่เหลี่ยมกี่รูป จึงจะไดรูปสี่เหลี่ยมสุดทายมีพื้นที่ 6.25 ตารางหนวย และถาเปลี่ยน
เปนรูปหลายเหลี่ยมบางรูป เชน รูปสี่เหลี่ยมผืนผาความสัมพันธจะเปลี่ยนแปลงหรือไม
2. กิจกรรม “ไดเทาไร” มีเจตนาหาความสัมพันธระหวางจํานวนที่เกิดจากการแบงครึ่งสวน
ของเสนตรงไปเรื่อย ๆ กับจํานวนครั้งที่แบง ครูอาจขยายความคิดใหนักเรียนเห็นวาในทางปฏิบัติ เมื่อ
แบงชวงบนเสนจํานวนเปนจํานวนครั้งมาก ๆ เชน 100 ครั้ง อาจไมสามารถเขียนจุดแทนจํานวนที่ได
บนเสนจํานวน แมวาในทางทฤษฎีเราสามารถหาจํานวนที่แทนจุดนั้นไดเสมอ และอาจใชแบบรูปของ
ความสัมพันธมาชวยหาจํานวนที่แทนจุดนั้น การหาแบบรูปจึงมีประโยชนมากในกรณีเชนนี้
กิจกรรมชุดที่ 3
1. กิจกรรม “นับอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนหาความสัมพันธระหวางจํานวนรูปสี่เหลี่ยม
มุมฉากขนาดตาง ๆ ที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 เรียงตอกัน 7 รูป การใชตารางหาจํานวนรูป
สี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด 1 × 1, 1 × 2 ไปจนถึง 1 × 7 ตารางหนวย จะชวยใหนักเรียนเห็นแบบรูปที่
เกิดขึ้น จากแบบรูปที่ไดครูควรถามใหนักเรียนคิดตอวา เมื่อเพิ่มรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 × 1 มาเรียง
ตอกันมากขึ้น เชน 10 รูป, 20 รูป, 50 รูป และ 100 รูป จะไดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเปนเทาไรบาง ครู
ควรถามคําถามนี้ใหมากพอเพื่อใหนักเรียนหาจํานวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดในรูป 10(10 1)2 + ,
20(20 1)2 + , 50(50 1)2 + และ 100(100 1)2 + ตามลําดับกอนที่จะถามถึง n รูป
2. กิจกรรม “นับไดเทาไร” มีเจตนาใหนักเรียนใชกระบวนการคิดคลายคลึงกับกิจกรรม
“นับอยางไร” แตอาจมีความซับซอนมากกวา ในการหารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดตาง ๆ ครูควรฝกให
นักเรียนหาอยางเปนระบบ เชน หาจากซายไปขวา และหาจากบนลงลาง เพราะจะทําใหรูปที่เกิดขึ้นไม
ซ้ํากัน และนักเรียนเองก็จะไมสับสน สําหรับการหาจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดตาง ๆ ที่ซอนอยูในรูป
สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด n × n นั้น ครูอาจใหใชคําตอบในรูป 12
+ 22
+ 32
+ ... + n2

5. 47
กิจกรรมชุดที่ 4
1. กิจกรรม “กี่ตัวกันแน” และ “คิดตามจี๊ด” มีเจตนาใหนักเรียนคิดหาวิธีการที่หลากหลายใน
การแกปญหา นอกจากวิธีวาดรูปและวิธีตรวจสอบโดยใชตารางแลว นักเรียนอาจใชการแกระบบสมการ
โดยกําหนดให x แทนจํานวนมาลายและ y แทนจํานวนนกกระจอกเทศแลว จะไดระบบสมการเชิงเสน
x + y = 47 และ 4x + 2y = 118 ซึ่งเมื่อแกระบบสมการจะไดคําตอบเชนเดียวกับสองวิธีขางตน
นอกจากวิธีดังกลาวแลวนักเรียนอาจใชวิธีอื่น เชน การลองผิดลองถูกอยางเปนเหตุเปนผล โดยเมื่อทราบ
ขอมูลวามีสัตวทั้งสองชนิด 47 ตัว แตมีขารวม 118 ขา อาจสมมติใหมีสัตวอยางละเกือบครึ่งหนึ่ง
(จํานวนสัตวเทากันไมได เพราะจํานวนสัตวที่กําหนดใหเปนจํานวนคี่) สมมติใหมีนกกระจอกเทศ 23 ตัว
และมาลาย 24 ตัว จะไดขารวม (23 × 2) + (24 × 4) หรือ 142 ขา ซึ่งมากกวา 118 ขาตามที่โจทย
กําหนด จึงตองลดจํานวนขาลง แตไมสามารถลดจํานวนสัตวที่มีสองขาได เพราะจะทําใหจํานวนขา
ทั้งหมดมากขึ้นไปอีก ดังนั้นจึงตองลดจํานวนสัตวที่มีสี่ขา ในขณะเดียวกันก็ตองเพิ่มจํานวนสัตวที่มีสองขา
เพื่อใหมีสัตวทั้งสองชนิดรวมกัน 47 ตัว จึงอาจเปน (30 × 2) + (17 × 4) หรือ 128 ขา ซึ่งจํานวนขายัง
มากเกินไป การทําซ้ํากระบวนการเชนนี้ นักเรียนจะไดคําตอบเชนเดียวกัน
2. กิจกรรม “คิดไดหลายวิธี” มีเจตนาใหนักเรียนฝกการเชื่อมโยงโดยใชแนวคิดและ
ประสบการณจากการทํากิจกรรมที่ผานมาแลว มาแกปญหาที่ซับซอนขึ้น ครูควรใหนักเรียนแตละคนคิด
และเลือกวิธีแกปญหาของตนเอง นักเรียนบางคนอาจมีวิธีคิดที่แตกตางออกไป ครูควรใหนักเรียนแตละ
คนไดมีโอกาสอธิบายวิธีการใหเพื่อนฟง
กิจกรรมชุดที่ 5
กิจกรรมชุดนี้เนนใหนักเรียนเขาใจการใชความรูทางคณิตศาสตรและเทคโนโลยี เพื่อเสริมทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตรในการหาคาประมาณของจํานวนอตรรกยะบางจํานวน โดยใชการหาคาเฉลี่ย
ของจํานวนสองจํานวนที่มีคาใกลเคียงกัน การเริ่มตนจาก 2 ที่เปนจํานวนอตรรกยะที่นักเรียนคุนเคยจะ
ทําใหนักเรียนเห็นกระบวนการที่ชัดเจนขึ้น ครูควรอธิบายวาหลักการดังกลาวสามารถทําลัดขั้นตอน โดย
การหาจํานวนสองจํานวนที่คูณกันแลวได 2 หรือใกลเคียงมากที่สุด โดยที่จํานวนสองจํานวนนั้นมีผลตาง
กันนอยที่สุด เมื่อครูแสดงตัวอยางการหาคาประมาณของ 2 โดยใชวิธีดังกลาวแลว ครูควรใหนักเรียน
ลองหาคาประมาณของจํานวนอตรรกยะที่กําหนดดวยตนเอง
กิจกรรมชุดที่ 6
1. กิจกรรมชุดนี้เนนใหนักเรียนใชเทคโนโลยีและเขาใจการใชกระบวนการทางคณิตศาสตรที่
เรียกวา The Method of Exhaustion แกปญหาการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติบางรูป ซึ่งไมมีสูตร
ที่ใชในการคํานวณโดยตรง

6. 48
2. กิจกรรม “พื้นที่ใตกราฟ” มีเจตนาใหนักเรียนฝกใช The Method of Exhaustion หา
พื้นที่ใตพาราโบลาที่กําหนดใหโดยใชการหาพื้นที่รวมของแทงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก นักเรียนอาจมีปญหาใน
การหาความสูงของแทงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ในกรณีนี้ครูควรใชคําถามตอเนื่องเพื่อใหนักเรียนคํานวณได
และสามารถหาพื้นที่ใตกราฟโดยประมาณได ครูควรแนะใหนักเรียนแบงสวนบนแกน X ใหมากพอดวย
3. กิจกรรม “ใจเย็น ๆ คอย ๆ คิด” มีเจตนาใหนักเรียนใชความรูและทักษะทางคณิตศาสตรใน
การแกปญหาและตัดสินใจ วิธีคิดที่นักเรียนใชอาจแตกตางกันตามพื้นฐานความรูและประสบการณทาง
คณิตศาสตรของแตละคน ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาปญหาบางอยางในชีวิตจริงไมมีคําตอบที่ถูกหรือผิด
แตตองการทางออกหรือการแกปญหาที่มีประสิทธิภาพหรือใหประโยชนมากที่สุด เชน การซื้อของใหได
ของมีคุณภาพในราคาที่ถูกที่สุด ประหยัดที่สุด หรือคุมคาที่สุด หรือการจัดคนทํางานใหตรงกับ
ความสามารถและความถนัดมากที่สุด เปนตน การแกปญหาในกิจกรรมนี้จึงเนนการคิดที่หลากหลาย เชน
การคิดวิเคราะห สังเคราะห คิดอยางเปนเหตุเปนผล เพื่อใหนักเรียนไดประสบการณในการแกปญหาที่
สามารถใชไดกับชีวิตจริง
4.2 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรกับตรีโกณมิติ (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกคาของอัตราสวนตรีโกณมิติ ไซน โคไซนและแทนเจนตของมุมที่มีขนาด 30o
, 45o
และ 60o
ได
2. นําความรูเกี่ยวกับอัตราสวนตรีโกณมิติไปแกปญหาที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
กิจกรรมในหัวขอนี้แสดงถึงการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรสรางสรรคความรูเกี่ยวกับ
ตรีโกณมิติ ซึ่งเปนสาขาหนึ่งของคณิตศาสตรที่เกี่ยวของเปนอยางมากกับชีวิตมนุษย
1. กิจกรรม “อัตราสวนเปนอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับ
อัตราสวนตรีโกณมิติที่สําคัญโดยสังเกตความสัมพันธจากแบบรูป และเมื่อตรวจสอบขอความคาดการณ
แลว นักเรียนควรสรุปไดวาขอความคาดการณนั้นเปนจริงโดยมีการใหเหตุผลที่สามารถพิสูจนยืนยันได
2. กิจกรรม “ลองทําดู” มีเจตนาฝกใหนักเรียนเชื่อมโยงความรูเรื่องอัตราสวนและทฤษฏีบท
พีทาโกรัสไปสูความรูเรื่องอัตราสวนตรีโกณมิติ ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นประโยชนของการใชอัตราสวน
ตรีโกณมิติในการหาความยาวของดานและขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และควรฝกทักษะการ
ใชอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมที่ใชบอย เชน 30o
45o
และ 60o
3. กิจกรรม “บอกไดไหม” เปนกิจกรรมเพื่อฝกหาคาของอัตราสวนตรีโกณมิติจากตารางและ
หาขนาดของมุมเมื่อกําหนดคาอัตราสวนตรีโกณมิติให ครูอาจใหนักเรียนตอบปากเปลาในชั้นเรียน

7. 49
4. กิจกรรม “ลองหาดู” เปนกิจกรรมเพื่อฝกทักษะหาความยาวของดานและขนาดของมุมของ
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามที่กําหนด เพื่อเปนพื้นฐานในการทํากิจกรรม “ลองคิดดู” ซึ่งมีเจตนาให
นักเรียนฝกใชความรูเรื่องอัตราสวนตรีโกณมิติแกปญหาที่มักพบในชีวิตจริง เชน การหาความสูงของ
ตนไม ความสูงของกําแพงและความกวางของแมน้ํา ครูควรใหนักเรียนแตละคนคิดหาวิธีแกปญหาของ
ตนเอง อาจเปนรายบุคคลหรือกลุมเพื่อนักเรียนจะไดฝกฝนการสื่อสารกับผูอื่นดวย
5. กิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรียนฝกแกปญหาเกี่ยวกับพื้นที่โดยเชื่อมโยงความรูตรีโกณมิติ
กับเรขาคณิต ครูอาจใหนักเรียนชวยกันทําและนําเสนอหนาชั้นเรียน
6. กิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติมสําหรับ
นักเรียนและเชื่อมโยงความรูตรีโกณมิติกับวิทยาศาสตร ครูอาจใหนักเรียนหาผลงานของกาลิเลโอเพิ่มเติม
และครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นคุณลักษณะของกาลิเลโอ นักวิทยาศาสตรเรืองนามของโลกไดใชทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตรมาชวยในการคนควางานสําคัญตาง ๆ ทางวิทยาศาสตรที่เปนประโยชนกับ
ชาวโลก
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
กิจกรรมชุดที่ 1
คําตอบกิจกรรม “มีอยูเทาไร”
คําตอบปญหาหนา 154
3. ตัวอยางแนวคิดที่แตกตางจากในหนังสือเรียน
จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่หนึ่ง อาจเปน 4, 7, 10, 13, 16, 19 , ...
จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สอง อาจเปน 7, 11, 15, 19 , 23, ...
จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สาม อาจเปน 9, 14, 19 , 24, ...
จะไดจํานวนดินสอ 19 แทง สอดคลองกับเงื่อนไขทั้งหมดของปญหา

8. 50
4.
1)
เศษที่ไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร
จํานวนดินสอ (แทง)
ตัวหาร 3 ตัวหาร 4 ตัวหาร 5
9 0 1 4
10 1 2 0
11 2 3 1
12 0 0 2
13 1 1 3
14 2 2 4
15 0 3 0
16 1 0 1
17 2 1 2
18 0 2 3
19 1 3 4
2) บวรมีดินสออยางนอย 19 แทง
3) ตรวจสอบไดโดยนําคําตอบที่ไดแทนในความสัมพันธจากโจทยซึ่งจะพบวา 19 เปนจํานวนที่
นอยที่สุดที่หารดวย 3, 4 และ 5 เหลือเศษ 1, 3 และ 4 ตามลําดับ
5.
1) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่หนึ่งคนละ 3 แทงแลวเหลือเศษ 1 แทง จะไดวาจํานวน
ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดทั้งจํานวนคูและจํานวนคี่ ดังนี้
ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดินสอเปนจํานวนคี่
ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดินสอเปนจํานวนคู
2) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สองคนละ 4 แทง แลวเหลือเศษ 3 แทง จะไดวาบวรมี
ดินสอเปนจํานวนคี่เทานั้น ไมวาจํานวนเด็กกลุมนี้จะเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ก็ตาม
3) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สามคนละ 5 แทง แลวเหลือเศษ 4 แทง จะไดวาจํานวน
ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดทั้งจํานวนคูและจํานวนคี่ ดังนี้
ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดินสอเปนจํานวนคู
ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดินสอเปนจํานวนคี่

9. 51
4) ใช
5)
เศษที่ไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร
จํานวนดินสอ (แทง)
ตัวหาร 3 ตัวหาร 4 ตัวหาร 5
9 0 1 4
11 2 3 1
13 1 1 3
15 0 3 0
17 2 1 2
19 1 3 4
6) บวรมีดินสออยางนอย 19 แทง
คําตอบกิจกรรม “มีอยูกี่จํานวน”
1. เลขโดดในหลักพันมีไดหนึ่งตัว คือ 4 เทานั้น เนื่องจากเลขโดดตัวอื่น ๆ ทําใหจํานวนนับที่เกิดขึ้น
ไมอยูระหวาง 4,000 กับ 5,000
2. เลขโดดในหลักรอยอาจเปน 5, 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่มากกวา 4 ซึ่งสอดคลองตาม
เงื่อนไขในโจทย
3. ถาเลขโดดในหลักรอยเปน 5 เลขโดดในหลักสิบ อาจเปน 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่
มากกวา 5 ซึ่งสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย
4. ถาเลขโดดในหลักสิบเปน 6 เลขโดดในหลักหนวย อาจเปน 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่
มากกวา 6 ซึ่งสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย

10. 52
D CR
S Q
A P B
5.
6. 10 จํานวน คือ 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 และ 4789
กิจกรรมชุดที่ 2
คําตอบกิจกรรม “พื้นที่เปนเทาไร”
1.
4)
(1) PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะสามารถพิสูจนไดวามีมุมทั้งสี่เปนมุมฉาก
และมีดานทั้งสี่ยาวเทากัน
หลักพัน หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย
4
5
6
7
7
8
8
9
8
6
7
8
9
8
7
8
9
9
9
9

11. 53
แนวการพิสูจน
เนื่องจาก ∆ APS ≅ ∆ BPQ (ด.ม.ด.)
ดังนั้น PS = PQ (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
และ APS
∧
= BPQ
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
เนื่องจาก ∆ APS และ ∆ BPQ แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและ
รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)
ดังนั้น APS
∧
= BPQ
∧
= 45o
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด
เทากัน)
จะได SPQ
∧
= 180 – (2 × 45) = 90o
(ขนาดของมุมตรง)
ในทํานองเดียวกันจะสามารถพิสูจนไดวา PS = SR = RQ = QP
และ SPQ
∧
= PQR
∧
= QRS
∧
= RSP
∧
= 90o
นั่นคือ PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
(2) พื้นที่ของ PQRS = 1
2 × พื้นที่ของ ABCD
เนื่องจาก ถาให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวดานละ 2x หนวย
พิจารณาจากรูปขางลางนี้
พื้นที่ของ PQRS = ( )
2
2 x = 2x2
ตารางหนวย
พื้นที่ของ ABCD = (2x)2
= 4x2
ตารางหนวย
ดังนั้น พื้นที่ของ PQRS = 1
2 × พื้นที่ของ ABCD
(3) 2 ตารางหนวย
x x
x
x
QS
D C
A P B
R
2 x
2 x

12. 54
2.
1) จะตองหาพื้นที่ของรูปเรียงลําดับกันดังนี้
จากพื้นที่ของรูป 6 คูณดวย 2 จะไดพื้นที่ของรูป 5
จากพื้นที่ของรูป 5 คูณดวย 2 จะไดพื้นที่ของรูป 4
และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนไดพื้นที่ของรูป 1 ดังแผนภาพ
2) 160 ตารางหนวย
แนวคิด พื้นที่ของ ABCD = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 160 ตารางหนวย
3) 64 ตารางหนวย
แนวคิด หาจากความสัมพันธดังตอไปนี้
กําหนด ∆ DEF เกิดจากลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอ
จุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของ ∆ ABC จะพิสูจนไดวา
พื้นที่ของ ∆ ABC เทากับ 4 เทาของพื้นที่ของ
∆ DEF ดังนี้
เนื่องจาก ∆ ADF ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.)
จะได DF = DE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
ในทํานองเดียวกัน ∆ CEF ≅ ∆ BDE
จะได EF = DE
ดังนั้น DF = DE = EF (สมบัติของการเทากัน)
เนื่องจาก AB = BC = AC (กําหนดให)
จะได AD = AF (ตางมีความยาวเปนครึ่งหนึ่งของความยาวของ
ดานที่ยาวเทากัน)
C
F E
A D B
6
คูณดวย 2
5
คูณดวย 2
4
คูณดวย 2
3
คูณดวย 2
2
คูณดวย 2
1

13. 55
ดังนั้น ADF
∧
= AFD
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
เนื่องจาก DAF
∧
= 60o
(มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมดานเทา มีขนาด
เทากับ 60 องศา)
ดังนั้น ∆ ADF เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา
จะได DF = AD = AF
ดังนั้น ∆ ADF ≅ ∆ DEF (ด.ด.ด.)
จะได ∆ ADF, ∆ BDE, ∆ CEF และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการทุกคู
นั่นคือ พื้นที่ของ ∆ ABC = 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF
จากเหตุผลดังกลาวขางตน จึงสามารถหาพื้นที่ของ ∆ ABC ได
จะไดพื้นที่ของ ∆ ABC = 4 × 4 × 4 × 1 = 64 ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “ไดเทาไร”
หนอยจะเปนผูเขียนจุดในครั้งที่ 100 และจํานวนที่เขียนคือ 100
1
2
แนวคิด
พิจารณาจากแบบรูปดังนี้
ครั้งที่ 1 นิดเขียนจุดที่แทน 1
2
ครั้งที่ 2 หนอยเขียนจุดที่แทน 1
4 หรือ 2
1
2
ครั้งที่ 3 นิดเขียนจุดที่แทน 1
8 หรือ 3
1
2
ครั้งที่ 4 หนอยเขียนจุดที่แทน 1
16 หรือ 4
1
2
จะเห็นวานิดเขียนจุดในครั้งที่เปนจํานวนคี่ และหนอยเขียนจุดในครั้งที่เปนจํานวนคู
ดังนั้น หนอยจึงเขียนจุดในครั้งที่ 100
จากแบบรูปจะสังเกตไดวาตัวสวนของเศษสวนที่เขียนจะมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเดียวกัน
กับจํานวนครั้งที่เขียนจุด
ดังนั้น จํานวนที่หนอยเขียนจึงเปน 100
1
2
.
.
.

14. 56
กิจกรรมชุดที่ 3
คําตอบกิจกรรม “นับอยางไร”
3. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ควรแจงนับตอไปคือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาด 1 × 3 ตารางหนวย
ดังแผนภาพ
4. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ตองพิจารณาอีก คือ รูปที่มีขนาด 1 × 4, 1 × 5, 1 × 6 และ 1 × 7 ตารางหนวย
ขนาด (ตารางหนวย) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
1 × 1 7
1 × 2 6
1 × 3 5
1 × 4 4
1 × 5 3
1 × 6 2
1 × 7 1
รวม 28
5. ใชความรูเกี่ยวกับลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และแจงนับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละขนาด
7. 55 รูป
8. 5050 รูป
9. 1 + 2 + 3 + … + n หรือ n(n 1)
2
+
รูป

15. 57
คําตอบกิจกรรม “นับไดเทาไร”
1. 16 รูป
2. แผนภาพแสดงการแจงนับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2 × 2 ทั้งหมดที่ซอนอยูในรูปที่กําหนดให
3. ผลบันทึกจากการแจงนับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดตาง ๆ
ขนาด (ตารางหนวย) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
1 × 1 16
2 × 2 9
3 × 3 4
4 × 4 1
รวม 30
4. 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 385 รูป
5. 12
+ 22
+ 32
+ ... + n2
รูป

16. 58
กิจกรรมชุดที่ 4
คําตอบกิจกรรม “กี่ตัวกันแน”
เขียนคําตอบตามวิธีคิดของแจวไดดังนี้
แจวนับมาลายได 12 ตัว และนับนกกระจอกเทศได 35 ตัว
คําตอบกิจกรรม “คิดตามจี๊ด”
1. ตัวอยางคําตอบ
ถามาลายมี 30 ตัว จะไดจํานวนขาทั้งหมดของมาลายเปน 120 ขา ซึ่งมากกวาจํานวน
ที่โจทยกําหนด ทั้ง ๆ ที่ยังไมไดรวมขาของนกกระจอกเทศอีก 17 ตัว จึงเริ่มเดาใหมีมาลายลดลงเปน
20 ตัว เพื่อใหจํานวนขาที่เกินอยูลดลง
2. ได
ตัวอยางคําตอบ
อาจเดาครั้งแรกใหมีนกกระจอกเทศ 46 ตัว จะไดขาเพียง 92 ขา เมื่อรวมขาของมาลายอีก
1 ตัว จะไดขาทั้งหมด 96 ขาเทานั้น ซึ่งนอยเกินไป จึงควรเพิ่มจํานวนมาลายและลดจํานวน
นกกระจอกเทศ
มาลาย
นกกระจอกเทศ

17. 59
3.
เดาครั้ง
ที่
มาลาย
(ตัว)
นกกระจอกเทศ
(ตัว)
ขามาลาย ขานกกระจอกเทศ
รวมขา
ทั้งหมด
ผลสรุป
1 20 27 20× 4 = 80 27× 2 = 54 134 ×
2 15 32 15 × 4 = 60 32 × 2 = 64 124 ×
3 13 34 13 × 4 = 52 34 × 2 = 68 120 ×
4 12 35 12× 4 = 48 35 × 2 = 70 118 /
จากผลในตารางจะไดคําตอบของจี๊ดตรงกับคําตอบของแจว
จี๊ดและแจวอาจใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร หรือสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หาคําตอบ
ตามตัวอยางแนวคิด ดังนี้
1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร
ใหจํานวนมาลายมี x ตัว
จํานวนนกกระจอกเทศมี y ตัว
จะไดระบบสมการเชิงเสนเปน
x + y = 47 --------------- 1
4x + 2y = 118 --------------- 2
เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได
จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว
2) ใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
ใหจํานวนมาลายมี x ตัว
จะไดจํานวนนกกระจอกเทศ 47 – x ตัว
และจะไดสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เปน
4x + 2(47 – x) = 118
เมื่อแกสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได
จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว

18. 60
คําตอบกิจกรรม “คิดไดหลายวิธี”
1. มีเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ เหรียญสิบบาท 9 เหรียญ หรือ
มีเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ เหรียญสิบบาท 5 เหรียญ
ตัวอยางแนวคิด
1. ใชการคาดเดาและตรวจสอบคําตอบโดยใชตารางวิเคราะห ดังนี้
เหรียญสิบบาท เหรียญหาบาท เหรียญบาท
จํานวน
เหรียญ
จํานวน
เงิน
จํานวน
เหรียญ
จํานวน
เงิน
จํานวน
เหรียญ
จํานวน
เงิน
รวมเงินทั้งหมด
1
10
10
9
10
100
100
90
2
4
6
8
10
20
30
40
21
10
8
7
21
10
8
7
10 + 10 + 21 = 41 นอยไป
100 + 20 + 10 = 130 นอยไป
100 + 30 + 8 = 138 มากไป
90 + 40 + 7 = 137 พอดี
8
7
6
5
80
70
60
50
10
13
15
17
50
65
75
85
6
4
3
2
6
4
3
2
80 + 50 + 6 = 136 นอยไป
70 + 65 + 4 = 139 มากไป
60 + 75 + 3 = 138 มากไป
50 + 85 + 2 = 137 พอดี
2. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ
ให x แทนจํานวนเหรียญบาท
y แทนจํานวนเหรียญหาบาท
z แทนจํานวนเหรียญสิบบาท
จะไดระบบสมการ
x + y + z = 24 -------------- 1
x + 5y + 10z = 137 -------------- 2
จากสมการ 2 พิจารณาไดวา
จาก 5y ไมวา y จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง
เปน 5 หรือ 0 เทานั้น
และจาก 10z ไมวา z จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง
เปน 0 เสมอ

19. 61
ดังนั้น ผลบวก x + 5y + 10z จะเทากับ 137 ได ก็ตอเมื่อ เหรียญบาทจะตองเปน
2 เหรียญ หรือ 7 เหรียญเทานั้น
1) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 2 เหรียญ
เมื่อแทน x ดวย 2 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน
2 + y + z = 24 --------- 3
2 + 5y + 10z = 137 --------- 4
จาก 3 ; y + z = 22 --------- 5
จาก 4 ; 5y + 10z = 135 --------- 6
จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 17 และ z = 5
จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 2 เหรียญ
เหรียญหาบาท 17 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 5 เหรียญ
2) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 7 เหรียญ
เมื่อแทน x ดวย 7 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน
7 + y + z = 24 --------- 3
7 + 5y + 10z = 137 --------- 4
จาก 3 ; y + z = 17 --------- 5
จาก 4 ; 5y + 10z = 130 --------- 6
จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 8 และ z = 9
จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 7 เหรียญ
เหรียญหาบาท 8 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 9 เหรียญ
2. เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท
ทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท
ตัวอยางแนวคิด
1. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ
ให เผือกฉาบราคาถุงละ x บาท
ทุเรียนทอดราคาถุงละ y บาท

20. 62
จะไดระบบสมการ
5x + 10y = 875 ------------- 1
10x + 5y = 625 ------------- 2
เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบจะได
เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท
2. ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยพิจารณาจํานวนถุงและจํานวนเงินที่จารุวรรณซื้อมา
ดังนี้
เผือกฉาบ ทุเรียนทอด
จํานวน
ถุง
ราคา
ถุงละ
รวม
เงิน
จํานวน
ถุง
ราคา
ถุงละ
รวม
เงิน
รวมเงินทั้งหมด
5
5
5
5
30
30
30
25
150
150
150
125
10
10
10
10
60
70
75
75
600
700
750
750
150 + 600 = 750 นอยไป
150 + 700 = 850 นอยไป
150 + 750 = 900 มากไป
125 + 750 = 875 พอดี
ตรวจสอบคําตอบกับจํานวนถุงและจํานวนเงินที่นวลจันทรซื้อมา
จะได (10 × 25) + (5 × 75) = 250 + 375 = 625 บาท ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย
ดังนั้น ราคาเผือกฉาบถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท
กิจกรรมชุดที่ 5
คําตอบกิจกรรม “ลัดขั้นตอน”
1. 3 ≈ 1.732
2. 20 ≈ 4.472
3. 115 ≈ 10.72

21. 63
กิจกรรมชุดที่ 6
คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ใตกราฟ”
7.
จํานวนสวนแบงระยะ
2 หนวยบนแกน X
พื้นที่ของแทงสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด
(ตารางหนวย)
4 1.75
8 2.1875
16 2.422
8. ประมาณ 2.422 ตารางหนวย ( เมื่อแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กัน)
9. ประมาณ 10.156 ตารางหนวย (เมื่อแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กัน)
แนวคิด เนื่องจากพาราโบลาที่กําหนดใหเปนรูปสมมาตรและมีแกน Y เปนแกนสมมาตร
จึงคํานวณหาพื้นที่สวนที่แรเงาเพียงครึ่งรูปทางขวาของแกนสมมาตรกอน
โดยแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน
เทา ๆ กัน จะไดจุดแบงบนระยะ 0 ถึง 2
15 จุด และไดคูอันดับ (x, y) ที่สอดคลองกับสมการ
y = -x2
+ 4 ดังนี้
x 1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
8
8
y = 4 – x2 255
64
252
64
247
64
240
64
231
64
220
64
207
64
192
64
9
8
10
8
11
8
12
8
13
8
14
8
15
8
175
64
156
64
135
64
112
64
87
64
60
64
31
64
เนื่องจากแทงสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละแทงมีความกวางเปน 1
8 หนวย
y = -x2
+ 4
4
2-2 X
Y
0

22. 64
จะไดพื้นที่สวนที่แรเงาทั้งหมดเทากับ 2 × 1
8

 × 1
64 (255 + 252 + 247 + 240 + 231 + 220 +
207 + 192 + 175 + 156 + 135 + 112 + 87 + 60 + 31)
= 1
256 × 2,600
≈ 10.156 ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “ใจเย็น ๆ คอย ๆ คิด”
1. ปุยขนาด 5 กิโลกรัม 3 ถุง และปุยขนาด 3 กิโลกรัม 1 ถุง
แนวคิด ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยใชตารางวิเคราะหดังนี้
ขนาด 5 กิโลกรัม ขนาด 3 กิโลกรัม รวม
จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน
1 × 5 = 5
3 × 5 = 15
2 × 5 = 10
20
60
40
4 × 3 = 12
1 × 3 = 3
3 × 3 = 9
60
15
45
17
18
19
80
75
85
จากตาราง จะเห็นวาถาซื้อปุย 17 กิโลกรัม จะตองจายเงิน 80 บาท ซึ่งเปนเงินที่มากกวา
ซื้อปุย 18 กิโลกรัม โดยจายเงินนอยที่สุดเพียง 75 บาท
(ไดของมากกวา แตจายเงินนอยกวา)
2. 6, 9, 12, 15, 17, 20, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 35, 38, 39, 42, 45, 46, 53 และ 60
แนวคิด โดยใชการแจงนับคะแนน ดังนี้
2 + 2 + 2 = 6
2 + 2 + 5 = 9
2 + 2 + 13 = 17
2 + 2 + 20 = 24
2 + 5 + 5 = 12
2 + 5 + 13 = 20
2 + 5 + 20 = 27
2 + 13 + 13 = 28
2 + 13 + 20 = 35
2 + 20 + 20 = 42

23. 65
5 + 5 + 5 = 15
5 + 5 + 13 = 23
5 + 5 + 20 = 30
5 + 13 + 13 = 31
5 + 13 + 20 = 38
5 + 20 + 20 = 45
13 + 13 + 13 = 39
13 + 13 + 20 = 46
13 + 20 + 20 = 53
20 + 20 + 20 = 60
3. 9 แบบ
แนวคิด แยกพิจารณาเปนกรณีดังนี้
1. แลกธนบัตรเปนเหรียญแบบเดียวกัน
2. แลกธนบัตรเปนเหรียญสองชนิดที่ตางกัน
3. แลกธนบัตรเปนเหรียญสามชนิดที่แตกตางกัน
ผลพิจารณาไดดังตาราง
จํานวนเหรียญสิบบาท จํานวนเหรียญหาบาท จํานวนเหรียญบาท
2 0 0
1 2 0
1 1 5
1 0 10
0 4 0
0 3 5
0 2 10
0 1 15
0 0 20

24. 66
4. ความยาวของริบบิ้นที่ตัดเปนสามสวนที่เปนไปได คือ
6, 3, 1 ฟุต
6, 2, 2 ฟุต
5, 4, 1 ฟุต
5, 3, 2 ฟุต
4, 4, 2 ฟุต
4, 3, 3 ฟุต
5.
1) เปนไปได
แนวคิด ผูที่วางแผนตองการชนะจะตองใหฝายตรงขามเปนผูเลนคนแรกที่หยิบกอน
โดยผูเลนคนแรกจะหยิบตุกตา 1 ตัวหรือ 2 ตัว ก็ได แตผูวางแผนจะตองหยิบ
ตุกตาใหครบเปนตัวที่สามของแตละรอบที่หยิบ
ตัวอยางการหยิบ
ตุกตาตัวที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ผูวางแผน
ผูเลน
ในกรณีที่ผูวางแผนตองหยิบเปนคนแรก ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวที่ 3
หรือตัวที่ 6 ซึ่งจะทําใหหยิบไดตัวที่ 9 จึงจะชนะ
2)
แนวคิด ผูวางแผนจะตองเลนเปนคนแรกโดยหยิบตุกตาเพียง 1 ตัวในครั้งแรก และ
ตองพยายามใหเหลือตุกตาเปนจํานวนที่ 3 หารลงตัว เชน หลังจากผูวางแผน
หยิบตุกตาตัวแรกแลว เมื่อฝายตรงขามหยิบตุกตา 1 ตัว ผูวางแผนตองหยิบ
2 ตัว เพื่อใหไดผลรวมของตุกตาเปน 3 ตัว และเหลือตุกตาอีก 6 ตัว
แพ

25. 67
ตัวอยางการหยิบ
ตุกตาตัวที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ผูวางแผน
ผูเลน
ในกรณีที่ผูวางแผนตองหยิบเปนคนที่สอง ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวที่ 4
หรือตัวที่ 7 ซึ่งจะทําใหหยิบไดตัวที่ 10 จึงจะ ชนะ
6. -31 กับ -21 หรือ 21 กับ 31
7. 7 ขอ
แนวคิด ใหจํานวนขอที่ทําถูกมี x ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ 5x
จํานวนขอที่ทําผิดมี y ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ -2y
จากโจทยจะไดระบบสมการ
x + y = 10 ---------------- 1
5x - 2y = 29 ---------------- 2
8. หมายเลข 27 ไดรับหมวก
หมายเลข 41 ไดรับเสื้อยืด
หมายเลข 62 ไดรับกระเปา
9. ปอเลนระนาด จิมเลนขิม แจคเลนจะเข ปองเลนซอ
การพิจารณาอาจใชขอมูลประกอบกับตารางวิเคราะหหาคําตอบดังนี้
ขิม ซอ จะเข ระนาด
ปอ
จิม
แจค
ปอง
ชื่อ
เครื่องดนตรี
ที่เลน
ชนะ

26. 68
คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”
∧
A
BC
AB
AC
AB
BC
AC
30o 1
2
3
2
3
3
45o
2
2
2
2
1
60o
3
2
1
2 3
C
B
A
A C
B
2
1
30o
3
C
B
1
1
A
45o
2
C
B
2
1A
60o
3

27. 69
คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม”
1.
1) 0.309
2) 0.866
3) 1.664
4) 0.995
5) 0.906
6) 3.078
2.
1) 35o
2) 75o
3) 60o
4) 45o
5) 37o
6) 58o
คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”
1. 2.5 หนวย
2. BC ยาว 3.125 หนวย และ AC ยาว 5.076 หนวย
3. X
∧
= 20o
, Z
∧
= 70o
และ XY = 9.4 หนวย
คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”
1. AB ยาว 13.848 เซนติเมตร และ CE ยาว 10.152 เซนติเมตร
2. 18.64 เมตร
3. บันไดทํามุมกับพื้นดินประมาณ 52 องศา
กําแพงสูงประมาณ 5.12 เมตร
4. ประมาณ 101.43 เมตร

28. 70
คําตอบกิจกรรม “คิด”
ประมาณ 6.763 ตารางหนวย
แนวคิด เนื่องจาก DAF
∧
= FAE
∧
= EAB
∧
= 90
3 = 30o
จะไดวา ∆ ABE ≅ ∆ ADF (ม.ด.ม.)
ดังนั้น พื้นที่ของรูป AFCE = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD – 2 (พื้นที่ของ ∆ ABE)
เนื่องจาก BE = AB ( tan EAB
∧
)
= 4 tan 30o
= 4 ×
3
3 = 4 3
3 หนวย
ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ ABE = 1
2 × 4 ×
4 3
3
= 8 33 ตารางหนวย
และ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD = 4 × 4 = 16 ตารางหนวย
ดังนั้น พื้นที่ของรูป AFCE = 16 – 2
8
32
 
 
 
= 16 – 16 33 ตารางหนวย
≈ 16 –
16
1.7323 ×
 
 
 
≈ 6.763 ตารางหนวย
นั่นคือ สวนที่แรเงามีพื้นที่ประมาณ 6.763 ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)”
ประมาณ 5 องศา