1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
โครงงานคณิตศาสตร
(ตอนที่ 3)
การถอดรากที่สาม
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร
สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. SET50
2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
3. การถอดรากที่สาม
4. เสนตรงลอมเสนโคง
5. กระเบื้องที่ยืดหดได
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร
หมวด โครงงานคณิตศาสตร
ตอนที่ 3 (3/5)
หัวขอยอย -
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียนพัฒนาความชางสงสัยและหมั่นตั้งคําถาม แมแตกับสิ่งที่เห็นจนเจนตาแตไมเคยทราบ
เหตุผลมากอน รวมทั้งเห็นตัวอยางของการแสดงวาเปนจริงที่อาจนําไปสูการคนพบใหม ๆ ทั้งนี้ทั้งนั้น
เนื้อหาของโครงงานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้น มิใชสาระที่คาดหวังใหนักเรียนตองเรียนรูอยางจริงจัง

หากเปนเพียงพาหนะเพื่อชวยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งที่แสดงใหเห็นความสําคัญของการพิสูจนเทานั้น
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร
โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย
หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบ ของ
ปญหาทางคณิตศาสตร
สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร
สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม
ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต
ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจำแนกแยกแยะ
และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงาน
คณิตศาสตรคือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง
วัตถุประสงคของสื่อตอนนี้
สื่อฯตอนนีจะนำเสนอกระบวนการทําความเขาใจขั้นตอนการหารากที่สองของจํานวนทศนิยม จนกระทั่ง
้
สามารถนํามาใชในการคิดคนและอธิบายวิธีการถอดรากที่สามได ซึ่งในการทําเชนนี้ เราจําเปนตอง
เขาใจขั้นตอนการคํานวณอยางถองแท รวมทั้งสามารถแสดงหรือพิสูจนไดวาขั้นตอนดังกลาวนํามาซึ่ง
ผลลัพธที่ตองการ
เนื้อหาที่นําเสนอในสื่อฯตอนนี้ มิไดนํามาจากโครงงานคณิตศาสตรใด ๆ แตหากเปนตัวอยางที่แสดงให
เห็นความสําคัญของการเขาใจอยางถองแทและความสามารถในการพิสูจน ซึงบอยครั้งที่นําไปสูปญหา
่
และแนวความคิดใหม ๆ ที่อาจทําใหเกิดโครงงานคณิตศาสตรที่นาสนใจตอไป
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย
1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:43)
2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 03:22)
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:16)
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ชวงเปดตอน
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:43)
ผูบรรยาย(ทั้งสอง) ดังแสดงในรูปที่ 1 เริ่มจากตัวอยางการหาสูตรผลบวกของจํานวนนับ 1+2 = 2x3/2,
1+2+3 = 3x4/2, 1+2+3+4 = 4x5/2 ซึ่งนําไปสูขอสังเกตวา สําหรับจํานวนนับ n ใด ๆ นั้น 1+2+…+n =
nx(n+1)/2 อยางไรก็ตาม หากตองการยืนยันวาขอสรุปดังกลาวเปนจริงโดยทั่วไป นั่นคือ เปนจริงสําหรับ
ทุกจํานวนนับ n เราจําเปนตองทําการพิสูจน วิธีหนึ่งในการพิสูจนสมการนี้ทคอนขางใกลเคียงกับการให
ี่
เหตุผลโดยวิธีอุปนัย คือการพิสูจนโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical induction) ซึ่งสามารถศึกษา
เพิ่มเติมไดจากสื่อเรื่องการใหเหตุผลและตรรกศาสตร
หลังจากนั้นผูบรรยายจึงอธิบายถึงความแตกตางที่สําคัญขอหนึ่งระหวางวิทยาศาสตรและคณิตศาสตร ถึงแม
วา ทั้งสองศาสตรนั้นตองการความชางสังเกต ตั้งคําถาม และหาคําตอบ แตสิ่งที่ไมเหมือนกันอยางหนึงคือ
่
วิทยาศาสตรจะตั้งสมมติฐาน และหาวิธีทดสอบสมมติฐานวาจริงหรือไมผานการทดลองที่ออกแบบไวดีแลว
ในขณะทีคณิตศาสตรหาคําตอบของปญหาที่เกิดจากการสังเกตโดยการ “พิสูจน” นั่นเอง
่
การพิสูจนขอความ(ทางคณิตศาสตร)หนึ่ง ๆ คือการใชหลักตรรกศาสตรในการแสดงใหเห็นอยางชัดแจงวา
ขอความนั้นเปนจริงอยางไมมีขอโตแยงใด ๆ เลย
รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ชวงสารคดี
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 03:22)
ชวงสารคดีนี้ เริ่มดวยการเลาประวัตโดยสังเขปของเรขาคณิตตั้งแตยุคโบราณ จนถึงยุคของยูคลิดแหงอเล็ก-
ิ
ซานเดรียในอารยธรรมกรีกโบราณ ผูเขียนหนังสือ The Elements ที่วางรากฐานของเรขาคณิตแบบยูคลิด
และพิสูจนวา ทรงตันเพลโต (Platonic solid) มีเพียง 5 แบบเทานั้น ดังแสดงในรูปที่ 2(ง)
การกลาวถึงยูคลิดและผลงานของเขานั้น นอกจากตองการเลาประวัติของเรขาคณิตแลว ยังตองการแสดงให
เห็นวาทฤษฎีคณิตศาสตรที่ไดรับการพิสูจนวาเปนจริงแลวนั้น เปนสิ่งที่จีรังและจริงแทแนนอน โดยมิอาจมี
ผูใดมาเปลี่ยนแปลงได ไมวาเวลาจะผานไปนานเพียงใด ดังเชนทฤษฎีบทตาง ๆ ในหนังสือของยูคลิดที่ยัง
เปนจริงและควรคาแกการศึกษาจวบจนปจจุบัน
(ก) ตัวอยางการศึกษาเรขาคณิตในยุคโบราณ (ข) ยูคลิดแหงอเล็กซานเดรีย
(ค) หนาหนึ่งจากหนังสือ The Elements (ง) ทรงตันเพลโตทั้ง 5 แบบ
รูปที่ 2 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติยอของเรขาคณิตจนถึงยุคของยูคลิด
ทรงตันเพลโต (Platonic solid) หมายถึงทรงตันนูนหลายหนาปรกติ (regular convex polyhedron) นั่นคือ
หนาของทรงตันเปนรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มีจํานวนเหลี่ยมและขนาดเทากันทุกหนา และแตละจุดยอดเกิดจาก
การเขามุมของหนาจํานวนเทากัน เชน ทรงสี่หนาปรกติ (regular tetrahedron) ที่อยูทางขวาสุดของรูปที่ 2(ง)
เปนทรงหลายหนาที่ประกอบดวยหนารูปสามเหลี่ยมดานเทา 4 หนา มี 4 จุดยอด 6 ขอบ โดยที่แตจุดยอด
เกิดจากหนารูปสามเหลี่ยมดานเทา 3 หนา
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก) พีทาโกรัสแหงซามอส (ข) ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
(ค) ภาพแสดงคา c2 (ง) ภาพแสดงคา a2 + b2
รูปที่ 3 ภาพประกอบคําอธิบายทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทพิสูจน
ภาพ (ค) และ (ง) เปนภาพที่ชวยทําความเขาใจบทพิสูจนบทหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตอจากนั้น สื่อฯไดกลาวถึงนักคณิตศาสตรชาวกรีกโบราณ นายพีทาโกรัสแหงซามอส (รูปที่ 3(ก)) ผูที่เปน
นักคณิตศาสตรที่ไดรับการกลาวถึงมากที่สุดคนหนึ่งของโลก อันเนืองมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่บอกความ
่
สัมพันธ ระหวางความยาวดานทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ (รูปที่ 3(ข)) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปน
แนวคิดที่เปนรากฐานของทฤษฎีคณิตศาสตรมากมายจนถึงปจจุบัน เฉกเชนเดียวกับทฤษฎีบทคณิตศาสตรอื่น ๆ
อีกมากมาย ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็มีบทพิสูจนที่แตกตางกันหลากหลายวิธี บทพิสูจนเหลานี้ตางมีความสําคัญ
และคุณคาแกคณิตศาสตรที่ไมยิ่งหยอนไปกวาการพิสูจนทฤษฎีใหม ๆ เลย ในสื่อฯตอนนี้ ไดอธิบายบทพิสูจน
ดวยภาพ 2 บท เปนตัวอยาง นอกจากนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังเปนตัวอยางหนึ่งของการเชื่อมโยงแนวคิด
ทางเรขาคณิตกับพีชคณิตเขาดวยกัน ซึ่งตอมานายอัลควาริซมีเปนผูวางรากฐานการเชื่อมโยงแนวคิดทางเรขา-
คณิตและพีชคณิตไวอยางเปนระบบ ในหนังสือของเขา (รูปที่ 4)
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก) (ข)
รูปที่ 4 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติของอัลควาริซมี
อันดับตอไปเปนการนําเสนอความตองการถอดรากที่สามที่มีมาเนิ่นนานตั้งแตโบราณกาล เชน ปญหาการหา
ความยาวดานของลูกบาศกที่มีปริมาตร 2 ลูกบาศกหนวย
ตอจากนั้น จึงไดพรรณนาถึงความสําคัญในการพิสูจนยืนยันวากระบวนการคํานวณตาง ๆ ที่เรารูจักคุนเคยและ
ใชไดอยางคลองแคลว จะใหผลลัพธอยางที่ตองการเสมอ และอาจารยรังสิมากลาวถึงความสําคัญของการพิสูจน
ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร
หลังจากนั้นจึงไดกลาวถึงเครื่องมือหรือนวัตกรรมทางคณิตศาสตรจากยุคโบราณที่ชวยใหกระบวนการคํานวณหา
รากที่ n ดําเนินไปอยางงายดายขึ้นมาก เครื่องมือนั้นคือระบบเลขฐานซึ่งก็คือการเขียนแทนจํานวนทศนิยมใด ๆ
ดวยเลขโดดเพียงไมกี่ตัว โดยที่คาของเลขโดดแตละตัวขึ้นอยูกับตําแหนงของมัน เปนที่ทราบดีวาระบบเลขฐาน
เปนพื้นฐานที่สําคัญอยางยิงในวิทยาการคอมพิวเตอร นอกจากนั้นแลว ระบบเลขฐานยังเปนตัวผลักดันที่สําคัญ
่
ที่สุดตัวหนึ่งที่ทําใหคณิตศาสตรไดรับการพัฒนาตอยอดอยางกาวกระโดดมาจนทุกวันนี้ แตไมวาจะเปนคณิต-
ศาสตรแขนงใด สิ่งที่ขาดไมไดคือบทพิสูจนที่ถูกตองรัดกุม พรอมทั้งแนวคิดเบื้องหลังที่สอดคลองรองรับกัน
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รูปที่ 5 อาจารยรังสิมา สายรัตนทองคํา ครูชํานาญการสาขาวิชาคณิตศาสตร โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
อธิบายเกร็ดความรูเกี่ยวกับรากที่สอง
(ก) (ข)
รูปที่ 6 ภาพประกอบคําอธิบายเรื่องระบบเลขฐานและการประยุกต
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:16)
ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญจนถึง
สรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้
3.1. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 14:02)
พื้นฐานคณิตศาสตรที่ตองใชในสื่อฯตอนนี้มีเพียง 2 เรื่อง คือ
1. สูตรพีชคณิตเบื้องตน ไดแก สูตร (a+b)2 และ (a+b)3 ดังแสดงในรูปที่ 7(ก)
2. ระบบเลขฐาน โดยไดอธิบายผานตัวอยาง ดังแสดงในรูปที่ 7(ข)
(ก) (ข)
รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี้
3.2. การคูณเลขหลายหลัก (เริ่ม ณ 16:56)
ในมุมหนึ่ง การคูณเลขหลายหลักนี้เปนตัวอยางของการคํานวณเบื้องตนที่สามารถแสดงใหเห็นจริงไดวา
ใหผลลัพธที่ตองการ และในอีกมุมหนึ่ง การคูณนีเปนตัวอยางพื้นฐานที่สุดของการใชระบบเลขฐาน
้
ชวยทําใหการคํานวณงายขึ้นมาก ลองนึกภาพการคูณเลขโรมัน XV กับ VIII โดยไมแปลงเปน 15 กับ 8
กอน
รูปที่ 8 การคูณเลขหลายหลัก
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.3. สูตรลัดการหารลงตัว (เริ่ม ณ 18:46)
ดังไดทราบกันมาแลววามีวิธีลัดในการทดสอบวาจํานวนเต็มหนึ่ง ๆ หารดวย 3 ลงตัวหรือไม โดยการ
ทดสอบการหารดวย 3 ลงตัวของผลบวกของเลขโดดทุกตัวนั่นเอง ในที่นี้ สื่อฯจะแสดงผานตัวอยางวา
วิธีลัดดังกลาวเปนจริง โดยใชระบบเลขฐานชวยนั่นเอง นักเรียนควรจะสามารถอธิบายไดวา ทําไมวิธีนี้
จึงสามารถใชกับการหารดวย 9 ลงตัวไดดวย และอาจจะสามารถขยายวิธีลัดนี้ไปยังเลขฐานอื่น ๆ
รูปที่ 9 แสดงตัวอยางการใชสูตรลัดการหารดวย 3 ลงตัว พรอมบทพิสูจนอยางงาย
3.4. สูตรลัดการคูณ (เริ่ม ณ 22:18)
สูตรลัดการยกกําลังสองจํานวนเต็มที่ลงทายดวย 5 นี้ (รูปที่ 10(ก)) เปนอีกกระบวนการหนึ่งที่สามารถ
แสดงใหเห็นจริงวาใหผลลัพธที่ตองการได (รูปที่ 10(ข)) ในที่นี้ นอกจากจะใชระบบเลขฐานชวยในการ
แสดงดังกลาวแลว ยังอธิบายกระบวนการนี้โดยอาศัยรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทีมีพื้นที่เทากับผลคูณในพจน
่
ตางๆ (รูปที่ 10(ค))
(ก) (ข)
(ค)
รูปที่ 10 อธิบายสูตรลัดการคูณ บทพิสูจนโดยระบบเลขฐาน และการตีความดวยภาพ
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.5. ทําไมจึงถอดรากที่สอง? (เริ่ม ณ 28:06)
ยกตัวอยางปญหางาย ๆ ที่จําเปนตองใชการถอดรากที่สอง ซึ่งโดยทั่วไปนั้น มักเกิดจากการหาคําตอบ
ของสมการพหุนามกําลังสองนั่นเอง
(ก) (ข)
รูปที่ 11 ปญหาที่ตองใชการถอดรากที่สอง
3.6. การถอดรากที่สอง (เริ่ม ณ 29:58)
อธิบายวิธีการคํานวณหารากที่สองของจํานวนเต็มที่ลงตัว โดยการตั้งหารยาว สําหรับขั้นตอนโดย
ละเอียด สามารถศึกษาไดจาก 3.7
(ก) (ข)
รูปที่ 12 การคํานวณหารากที่สองของ 1369
3.7. การถอดรากที่สองที่ไมลงตัว (เริ่ม ณ 32:52)
อธิบายวิธีการคํานวณหารากที่สองของจํานวนเต็มทีไมลงตัว โดยการตั้งหารยาว ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้
่
1. แบงเลขโดดของจํานวนที่ตองการถอดรากออกเปนกลุมละ 2 ตัว โดยนับจากจุดทศนิยมไปทางซาย
และขวา (รูปที่ 13(ก))
2. เริ่มพิจารณาจากกลุมเลขโดดซายสุด ซึ่งมีคาที่เปนไปไดจาก 1 ถึง 99 โดยหาจํานวนเต็มที่มากที่สุด
ที่ยกกําลังสองแลวไมเกินคานั้น จํานวนเต็มนี้คือหลักซายสุดของรากที่สองนั่นเอง (รูปที่ 13(ข))
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. หักลบคาที่ไดจากการคํานวณนี้ออกจากกลุมเลขโดด เหลือเศษเทาไร ใหนำกลุมเลขโดดถัดไปลงมา
ตอทาย (รูปที่ 13(ค))
4. นําคารากที่สองที่ไดจากการคํานวณที่ผานมา คูณดวยสองแลวตั้งไว พิจารณาหาเลขโดดที่มีคา
มากที่สุดที่ทําให เมื่อนําไปตอทายเปนหลักหนวยของจํานวนที่ตั้งไว และคูณดวยเลขโดดนี้ แลวมีคา
ไมเกินจํานวนที่ไดมาจากขอ 3. (รูปที่ 13(ง))
5. ทําขอ 3 และ 4 ไปเรื่อย ๆ จนกวาจะเหลือเศษ 0 หรือหยุดเมื่อไดจํานวนตําแหนงทศนิยมของ
คารากที่สองตามที่ตองการ (รูปที่ 13(จ)-(ฉ))
(ก) (ข)
(ค) (ง)
(จ) (ฉ)
รูปที่ 13 การคํานวณหารากที่สองของ 5
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.8. เบื้องหลังของการถอดรากที่สอง (เริ่ม ณ 35:32)
แสดงใหเห็นแนวคิดเบื้องหลังวา เพราะเหตุใดวิธีการคํานวณโดยการตั้งหารยาวในขอ 3.6 และ 3.7
จึงใหคารากที่สองตามตองการได แนวคิดดังกลาวเริ่มจากการพิจารณากําลังสองของเลขสองหลัก
2 2 2
(10x+y) = 100x + 20xy + y เมื่อ x และ y เปนเลขโดด จะเห็นวา เราสามารถหาหลักสิบของราก
ที่สองของ (10x+y)2 (ซึ่งก็คือ x) ไดจากเลขโดดที่มากที่สุดซึ่งกําลังสองมีคาไมเกินหลักรอยและหลักพัน
ของ (10x+y)2 และสามารถหาหลักหนวย y โดยการหาเลขโดด y ที่ทําให (20x+y)y = (10x+y)2 - 100x2
นั่นเอง แตหากเปนการหารากที่สองที่ไมลงตัวนั้น เราจะหา y ที่ทําให (20x+y)y <= Z - 100x2 เมื่อ Z
คือจํานวนที่ตองการหารากที่สอง และใชเศษที่เหลือ (Z - 100x2 - (20x+y)y) เพื่อหาทศนิยมตําแหนง
ตาง ๆ ของรากที่สองตอไป
(ก) (ข)
(ค) (ง)
รูปที่ 14 แนวคิดเบื้องหลังการคํานวณรากที่สอง
3.9. ทําไมจึงถอดรากที่สาม ? (เริ่ม ณ 39:50)
ในชวงนี้ เราสมมติสถานการณที่จําเปนตองหารากที่สาม ตัวอยางนี้ตองการหารัศมีของลูกโบวลิ่งที่มี
น้ําหนักที่ตองการ โดยไมคํานึงถึงรายละเอียดเชนปริมาตรของรูนิ้วทั้ง 3 ที่หายไป
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
(ก) (ข)
รูปที่ 15 อีกตัวอยางหนึ่งของความตองการถอดรากที่สอง
3.10. การถอดรากที่สาม (เริ่ม ณ 41:24)
จากการใชสูตร (10x+y)2 = 100x2 + 20xy + y2 เปนแนวคิดในการอธิบายวิธีการหารากที่สองโดยการ
หารยาวนั้น เราจึงนําสูตร (10x+y)3 = 1000x3 + 300x2y + 30xy2 + y3 มาเปนเครื่องมือสําคัญในการ
หาวิธีการถอดรากที่สามโดยการหารยาว วิธีการหารากที่สามแตกตางจากวิธีการหารากที่สองดังนี้
1. แบงเลขโดดเปนกลุมละ 3 เลข
2. หลักแรก (หลักซายสุด) คือคา x ที่มากที่สุดที่กําลังสามมีคาไมเกินเลขกลุมแรก
3. ดึงลงมาทีละ 3 หลัก
4. สําหรับหลักตอ ๆ ไป ใหใชสูตร (300x2 + 30xy + y2) y เพื่อหาคา y
(ก) (ข)
รูปที่ 16
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.11. ปดตอน (เริ่ม ณ 46:04)
แกนแทหรือจุดประสงคหลักของสื่อฯตอนนี้คือ การสงเสริมใหนักเรียนหมั่นสงสัย หมั่นตั้งคําถาม
แมแตกับสิ่งที่รูแลวและบางครั้งเกิดเปนความเคยชิน และที่สําคัญไมแพกันคือความพยายามในการ
หาคําตอบ ซึ่งในคณิตศาสตร การแสดงวาขอความหนึ่ง ๆ เปนจริงโดยใชเหตุผลที่ถูกตองรัดกุม ก็คือ
การพิสูจนนั่นเอง
. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นคิด .
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กิตติกรรมประกาศ
ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ อาจารยรังสิมา สายรัตนทองคํา ครูชํานาญการสาขาวิชาคณิต-
ศาสตร โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ ที่กรุณาสละเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับรากที่สองและกลาวถึง ความ
สําคัญของการพิสูจน ขอขอบพระคุณ อาจารย ดร.รตินันท บุญเคลือบ และอาจารย ดร. จิณดิษฐ ละออปกษิณ
ที่ชวยทําใหเนื้อหาในชวงสารคดีมีความสมบูรณและสอดคลองกลมกลืนกันมากยิ่งขึ้น และขอขอบพระคุณ
คุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอแนวคิดจนกอใหเกิดสื่อใน รูปแบบนี้ขึ้น
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก)
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน
ความสัมพันธ
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชัน
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
24