PENGERTIAN DAN BEBERAPA BUKTI DERET GEOMETRI TAK HINGGA

1. Nama : Rissa Thesesha Malanggi Ringkin
Asal sekolah : SMA Negeri 1 Bulik
Email : rissa.calculus@gmail.com
PENGERTIAN DAN BEBERAPA BUKTI DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Kajian Teori
Deret geometri tak hingga adalah salah satu bentuk istimewa dari deret geometri.
Keistimewaannya terletak pada banyak unsur-unsurnya yaitu banyaknya tak terhingga. Karenanya
didefinisikan bahwa deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang banyak unsur-
unsur atau suku- sukunya tak hingga (H. Karso:2017). Deret geometri tak hingga merupakan
penjumlahan tak berhingga dari elemen elemen suatu barisan geometri (Dewi Murni:2017).
Sebagai akibatnya tentu saja rumus umum jumlah n suku barisan geometri tak hingga berbeda
dengan rumus umum jumlah n suku deret geometri. Adapun bentuk umum deret geometri tak
hingga dapat ditulis dalam bentuk berikut (akibat dari bentuk baku deret geometri)
a + ar + ar2
+ ar3
+ …
Hal utama yang berkaitan deret tak hingga adalah menentukan apakah suatu deret konvergen atau
divergen (Dewi Murni:2017). Sekarang kita akan menentukan rumus umum jumlah n suku
geometri tak hingga tersebut. Sebelumnya kita perhatikan kembali rumus umum jumlah n suku
deret geometri
𝑆 𝑛 =
𝑎(1 − 𝑟 𝑛)
1 − 𝑟
Jika n  ~, maka
𝑆~ = lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎(1 − 𝑟 𝑛)
1 − 𝑟
= lim
𝑛→∞
𝑎
1−𝑟
− lim
𝑛→∞
𝑟 𝑛
1−𝑟
a. Untuk | r | < 1 atau -1< r<1, maka lim
𝑛→∞
𝑟 𝑛
1−𝑟
= 0
Jadi
𝑆~ = lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎
1−𝑟
− 0 =
𝑎
1−𝑟
(konvergen)

2. b. Untuk | r | > 1, maka lim
𝑛→∞
𝑟 𝑛
1−𝑟
= ~
Jadi
𝑆~ = lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎
1−𝑟
− ~ =~ (divergen)
Jadi, rumus umum jumlah n suku deret geometri tak hingga adalah
𝑆 𝑛 =
𝑎
1−𝑟
untuk | r | < 1 atau -1 < r < 1
(H. Karso:2017).
Pembuktian jumlah n suku deret geometri tak hingga
Bukti:
Perhatikan Gambar Berikut!
Kita anggap garis-garis vertikal pada segitiga merah adalah suku-suku deret geometri konvergen
(dari kiri ke kanan), garis horizontal juga membentuk deret yang sama.
garis vertikal terpanjang adalah suku pertama = a
garis vertikal ke dua adalah suku ke dua = ar
garis vertikal ke tiga adalah suku ke tiga = ar²
begitu seterusnya dan begitu pula dengan garis yang horizontal.
Dengan memerhatikan deret yang terbentuk dari garis-garis horizontal,
kita dapatkan

3. alas segitiga merah = a + ar + ar² + ...
karena garis vertikal terpanjang = a dan garis vertikal ke dua = ar,
maka tinggi segitiga hijau = a - ar
dan alasnya sama panjang dengan garis merah horizontal pertama = a
Kedua segitiga tersebut (merah dan hijau) sebangun, sehingga
𝑎𝑙𝑎𝑠 ∆ 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ
𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 ∆ 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ
=
𝑎𝑙𝑎𝑠 ∆ ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢
𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 ∆ ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯
𝑎
=
𝑎
𝑎 − 𝑎𝑟
jika kedua ruas dikali a, maka
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ =
𝑎
1 − 𝑟
𝑆~ =
𝑎
1 − 𝑟
(𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖)
(Pak Teguh:2020)
Daftar Pustaka
Syahrul Azmi.2011. Penggunaan Alat Peraga Keping Pecahan Dalam Pembelajaran Deret
Geometri Tak Hingga. Beta: Jurnal Tadris Matematika.
https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/view/89/42 (Diakses 07 Juli 2020)
H. Karso.2017. BARISAN DAN DERET (Pembelajaran Matematika SMA).
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021-
KARSO/ALJABAR_SMA_2.pdf (Diakses 07 Juli 2020)
Dewi Murni. 2017.Perbandingan Dan Karakteristik Beberapa tes Konvergensi Pada Deret Tak
Hingga. Eksakta . http://eksakta.ppj.unp.ac.id/index.php/eksakta/article/view/71(Diakses 07 Juli
2020)
Pak Teguh.2020. Pembuktian Rumus Deret Geometri Tak Hingga.
https://www.pakteguh.com/2020/07/pembuktian-rumus-deret-geometri-tak-hingga.html

4. Bagian paper ini dapat diunduh di Google Drive/Slide Share dengan alamat:
https://drive.google.com/file/d/1aBH6qGwRPppstASBTlz_7YgCYyaG-
WMw/view?usp=sharing
https://www.slideshare.net/RissaThesesha/12rissa-thesesha-malanggi-ringkin-internet-
236687085