HIMATIKA JAYA

1. MAKALAH
OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
Memenuhi tugas mata kuliah Telaah Matematika SMP
Nama Kelompok :
1. Diah Aritriana (1501060040)
2. Ganang Gesit Pamungkas (1501060047)
Dosen pengampu :
Reni Untarti,M.Pd
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
2016
i

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat dan
karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah ini dalam mata kuliah
Telaah Matematika SMP dengan materi Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar.
Kami merasa dalam pembuatan makalah ini masih banyak memiliki
kekurangan baik dari segi penulisan, isi dan sebagainya. Maka kami sangat
mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan untuk pembuatan makalah yang
lebih baik di hari yang akan datang.
Semoga tulisan sederhana ini dapat diterima dan bermanfaat bagi
semua pembaca. Khususnya bagi mahasiswa-mahasisiwi Fakultas Keguruaan
dan Ilmu Pendidikan untuk meningkatkan pengetahuan dan pengembangan
keterampilan kependidikan demi terciptanya pendidik professional.
Atas selesainya tugas ini kami mengucapkan terimakasih bagi segala
pihak yang telah ikut membantu dalam menyelesaikan makalah ini.
Purwokerto, September 2016
Penyusun
Kelompok 3
ii

3. DAFTAR ISI
Halaman Judul.......................................................................................................
i
Kata Pengantar.......................................................................................................
ii
Daftar Isi................................................................................................................
iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
1
B. Rumusan Masalah
1
C. Tujuan 2
BAB II PEMBAHASAN
A. Definisi dan Unsur-Unsur Bentuk
Aljabar………………………………………….
3
B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
4
1. Penjumlahan Bentuk Aljabar
4
2. Pengurangan Bentuk Aljabar
5
3. Perkalian Bentuk Aljabar
5
iii

4. 4. Pembagian Bentuk Aljabar
9
5. Perpangkatan Bentuk Aljabar
9
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
12
B. Saran
12
Daftar Pustaka.......................................................................................................
13
iv

5. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”,
“hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan
sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama
sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah
cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk
mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf)
untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan
dan alat bantu memecahkan masalah. Aljabar memiliki beberapa operasi. Operasi
hitung bentuk aljabar yang paling dasar dipelajari pada kelas VII semester 1.
Operasi bentuk aljabar terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian dan perpangkatan bentuk aljabar. Sebelum dibahas tentang operasi
hitung maka dibahas terlebih dahulu definisi dan unsur-unsur bentuk aljabar.
Seorang guru matematika harus bisa menjelaskan tentang materi tersebut
kepada peserta didiknya. Guru sebaiknya menggunakan media pembelajaran yang
sesuai dengan materi tersebut untuk mempermudah pemahaman peserta didik
tentang materi operasi hitung bentuk aljabar. Maka dari itu, penulis membahas
tentang cara guru dalam mengajarkan materi operasi bentuk aljabar dalam
makalah berjudul “Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar”.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, penulis merumuskan masalah sebagai berikut :
1. Apa definisi dan unsur- unsur bentuk aljabar ?
2. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang penjumlahan bentuk
aljabar ?
3. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang pengurangan bentuk
aljabar ?
4. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang perkalian bentuk aljabar ?
1

6. 5. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang pembagian bentuk aljabar ?
6. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang perpangkatan bentuk
aljabar ?
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah, penulis merumuskan tujuan sebagai berikut :
1. Mengetahui definisi dan unsur- unsur bentuk aljabar .
2. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang penjumlahan bentuk
aljabar .
3. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang pengurangan bentuk
aljabar.
4. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang perkalian bentuk aljabar .
5. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang pembagian bentuk
aljabar .
6. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang perpangkatan bentuk
aljabar .
2

7. BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi dan Unsur-Unsur Aljabar
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat
huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.
Unsur-unsur yang perlu diketahui dalam aljabar :
1. Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk
aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
2. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang sama.
3. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang tidak sama.
4. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui
nilainya dengan jelas.
5. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan
tidak memuat variabel.
6. Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
Pada bahasan operasi perkalian bilangan bulat, telah dibahas arti perkalian dua
bilangan bulat sebagai berikut :
3 x 5 = 5 + 5 + 5 => jumlah limaan terdiri atas tiga suku
Dengan menggunakan arti perkalian di atas, dapat diuraikan tentang pengertian
bentuk aljabar sebagai berikut :
3 x a = a + a + a = 3a
Sedangkan untuk a x a ditulis sebagai a2
, a x a x a ditulis a3
, dan seterusnya.
Contoh bentuk aljabar yang lain seperti berikut ini:
1. 2a dan -7xy => disebut aljabar suku tunggal.
2. 3p + 4 => disebut aljabar suku dua atau binom.
3. 4x + 2y -5 => disebut aljabar suku tiga atau trinom.
3

8. Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9
1. Bentuk aljabar di atas memiliki 5 suku.
2. 5x dan 8x, 3y dan -6y disebut suku sejenis.
3. 5x dan 3y disebut suku tak sejenis.
4. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.
5. Adapun bilangan 9 disebut konstanta.
6. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada
suku 8x adalah 8, dan pada suku –6yadalah –6.
B. Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Pada operasi hitung bentuk aljabar penulis menggunakan media kertas asturo agar
peserta didik lebih mudah dalam memahami.
Misalkan media kertas yang digunakan sebagai berikut:
Lambang Warna kertas
X Merah
Y Kuning
Z Hijau
1. Penjumlahan Bentuk Aljabar
a. Suku dengan koefisien positif dilambangkan dengan kertas berwarna
(bukan putih), sedangkan suku dengan koefisien negatif dilambangkan
dengan kertas warna yang dibalik (putih).
b. Menjumlahkan suku sejenis artinya sama dengan menggabungkan
kertas yang berwarna sama. Misalkan 3x + 2x berarti 3 kertas warna
merah digabungkan dengan 2 kertas warna merah, hasilnya 5 kertas
warna merah..Artinya 3x + 2x = 5x.
c. Menjumlahkan suku sejenis tetapi berlainan koefisien berarti
mengurangkan. Misalkan z + (–2z) berarti 1 kertas warna hijau
digabungkan dengan 2 kertas warna hijau yang dibalik (warna putih),
hasilnya 1 kertas warna hijau yang dibalik (warna putih). Hal tersebut
diartikan z + (–2z) = – 1z = –z.
4

9. d. Menjumlahkan suku tidak sejenis artinya sama dengan menggabungkan
kertas-kertas yang tidak satu warna. Misalkan 3x + z + 2x + (–2z)
berarti 3 kertas warna merah digabungkan dengan 2 kertas warna
merah, sedangkan 1 kertas warna hijau digabungkan dengan 2 kertas
warna hijau yang dibalik (putih). Hasilnya 5 kertas warna merah dan 1
kertas warna hijau yang dibalik (putih). Ini berarti 3x + z + 2x + (–2z) =
5x + (–z) = 5x – 2z.
2. Pengurangan bentuk aljabar
a. Mengurangkan berarti menjumlahkan dengan kebalikannya. Misalkan
2x – 5x diubah menjadi 2x + (–5x). Artinya 2 kertas warna merah
digabungkan dengan 5 kertas warna merah yang dibalik (putih).
Hasilnya 3 kertas warna merah yang dibalik (putih), artinya 2x – 5x = –
3x. Sedangkan –3y + 4z – (–2y) diubah menjadi –3y + 4z +2y berarti 3
kertas warna kuning yang dibalik (putih) digabungkan dengan 2 kertas
warna kuning hasilnya 1 kertas warna kuning yang dibalik (putih),
sedangkan 4 kertas warna hijau tetap. Artinya –3y + 4z – (–2y) = –y +
4z.
b. Ketentuan lain sama dengan penjumlahan.
3. Perkalian Bentuk Aljabar
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku
sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a(b+c) = (ab)+(ac)
dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a (b – c) = (ab) –
(a c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada
perkalian bentuk aljabar.
a. Koefisien tidak dilambangkan dengan jumlah kertas sehingga dalam
perkalian, koefisien dikalikan dengan koefisien seperti operasi bilangan
bulat.
b. Variabel dilambangkan dengan kertas dalam posisi berjajar. Misalkan
xy dilambangkan dengan kertas warna merah dijajarkan dengan kertas
warna kuning.
5

10. c. Tanda pangkat dilambangkan dengan kertas yang ditempelkan
sebanyak pangkatnya. Misalkan x dikali x dilambangkan dengan kertas
warna merah dijajar dengan kertas warna merah, dan selanjutnya dapat
diwakili oleh satu kertas warna merah yang ditempel. y2
z dilambangkan
dengan satu kertas warna kuning yang ditempel dijajar dengan satu
kertas warna hijau.
d. Dalam mengerjakan perkalian, koefisien dikalikan dengan koefisien
sedangkan variabel dikalikan dengan variabel. Misalkan 3xz (–2z)
berarti koefisiennya: 3 (–2) = –6, sedangkan variabelnya: xz z
dilambangkan dengan satu kertas warna merah, satu kertas warna hijau,
dan satu kertas warna hijau. Karena kertas warna hijau ada dua lembar,
maka bentuk di atas menjadi satu kertas warna hijau dan satu kertas
warna hijau yang ditempel. Artinya 3xz (–2z) = [3 (–2)] [ xz z ]
= –6 xz2
.
Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar
Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan
suku dua dinyatakan sebagai berikut:
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb
Contoh soal:
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.
a. 4(p + q)
b. 5(ax + by)
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)
d. –8(2x – y + 3z)
Penyelesaian:
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)
6

11. = 3x – 6 + 42x + 6 = (3 + 42)x – 6 + 6 = 45x
d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z
Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk
menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan
sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif
perkalian terhadap pengurangan.
Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua
bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan
perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.
Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar
suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian
berikut.
(nx+b)(mx+d) = nx (mx+d)+b(mx+d)
= nmx2
+ndx+mbx+bd
=nmx2
+(nd+mb)x+bd
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku
sebagai berikut.
= ax.cx2
+ ax.dx + ax.e + b.cx2
+ b.dx + b.e
= acx3
+ adx2
+ aex + bcx2
+ bdx + be
= acx3
+ (ad + bc)x2
+ (ae + bd)x + be
Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar
suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian
berikut.
7

12. (ax + b) (cx2
+ dx + e) = ax(cx2
+ dx + e)+ b(cx2
+ dx + e)
= acx3
+ adx2
+ aex + bcx2
+ bdx + be = acx3
+ (ad + bc)x2
+ (ae + bd)x +
be
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau
selisih.
1. (2x + 3) (3x – 2)
2. (–4a + b) (4a + 2b)
3. (2x – 1) (x2 – 2x + 4)
4. (x + 2) (x – 2)
8

13. 4. Pembagian Bentuk Aljabar
a. Pembagian variabel dilambangkan dengan pengurangan kertas yang
mewakili variabel yang dibagi oleh kertas yang mewakili variabel
pembagi. Variabel yang dibagi diletakkan di bagian atas sedangkan
variabel pembagi diletakkan di bagian bawah. Misal x2
y3
z : x2
y
dilambangkan dengan 2 kertas warna merah, 3 kertas warna kuning,
dan 1 kertas warna hijau dikurangi dengan 2 kertas warna merah dan 1
kertas warna kuning. Hasilnya adalah sisa pengurangan tersebut yaitu 2
kertas warna kuning dan 1 kertas warna hijau. Jadi, x2
y3
z : x2
y = y2
z.
b. Ketentuan lain sama dengan perkalian.
5. Perpangkatan bentuk Aljabar
Rumus perpangkatan secara umum :
Rumus Perpangkatan Aljabar :
( a + b )n
= ( a + b ) x ( a + b ) x ( a + b ) , . . . x ( a + b )
Dengan (a+b) sebanyak n
Sebelum mengetahui bagaimana cara untuk menyelesaikan perpangkatan
bentuk aljabar, maka yang perlu diperhatikan yaitu :
a. abn
berbeda dengan (ab)n
9

14. Dalam bentuk abn
maka yang dipangkatkan n hanya b nya saja, namun
pada bentuk (ab)n
maka yang dipangkatkan n semuanya, yaitu (ab)
Contoh :
(2a)2
= (2a)(2a) = 4a2
Sedangkan
2a2
= 2 x a x a = 2a2
b. (-ab)n
berbeda dengan – (ab)n
Dalam bentuk (-ab)n
, maka yang dipangkatkan n adalah (-ab).
Sedangkan dalam bentuk – (ab)n
yang dipangkatkan n adalah ab.
Cara menyelesaikan perpangkatan aljabar
Apabila suatu bilangan aljabar berpangkat 2 maka masih mudah dalam
mengerjakannya namun bagaimana cara untuk mengerjakan atau
menyelesaikan perpangkatan aljabar yang pangkatnya lebih dari 2 ?.
Sebelum mengetahui bagaimana cara untuk menyelesaikan perpangkatan
aljabar yang lebih dari dua, kita harus mengetahui terlebih dahulu mengenai
segitiga pascal. Karena dalam penyelesaikan perpangkatan aljabar segitiga
pascal sangat membantu. Perpangkatan segitiga pascal berikut ini :
Cara penggunaan segitiga pascal dalam penyelesaian perpangkatan aljabar :
(a+b)0
= 1
(a+b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a+b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a+b)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
(a+b)5 = a5
+ 5a4
b +10a3
b2
+ 10a2
b3
+5ab4
+b5
Contoh soal
Tentukan hasil perpangkatan bilangan tersebut !
10

15. 1. (-2a)2
2. – (3b)3
Penyelesaian
1. (-2a)2
= (-2a) x (-2a) = 4a2
2. – (3b)3
= - {(3b) (3b) (3b)} = -27b3
Berapakah hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut ?
1. (x+2y)2
2. (x+2)3
3. (3a-2)4
Penyelesaian:
1. Rumus (a+b)2
= a2
+ 2ab + b2
(x+2y)2
dengan a = x dan b = 2y
(x+2y)2
= x2
+ 2(2xy) + 2xy2
= x2
+4xy +2xy2
2. Rumus (a+b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(x+2)3
dengan a = x dan b = 2
(x+2)3
= x3
+3x2
.2 +3x.22
+23
= x3
+6x2
+ 12x + 8
3. Rumus (a+b)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
(3a-2)4
dengan a = 3a dan b = -2
(3a-2)4
= (3a)4
+ 4(3a)3
. -2 + 6(3a)2
.(-2)2
+ 4(3a)
.(-2)3
+ (-2)4
= 81a4
+ 4. 27a3
.-2 + 6.9a2
.4 + 12a.-8 + 16
= 81a4
-216a3
+ 216a2 -96a + 16
11

16. BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas , penulis menyimpulkan sebagai berikut :
1. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya
memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.
Unsur-unsur aljabar terdiri dari suku, variable, konstanta dan koefisien.
2. Operasi hitung bentuk aljabar terdiri operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian , pembagian dan perpangkatan bentuk aljabar. Penggunaan
media kertas digunakan untuk mempermudah pemahaman siswa SMP
tentang operasi hitung bentuk aljabar. Khusus pada perpangkatan tidak
menggunakan media kertas tetapi dengan bantuan segitiga pascal.
B. Saran
Seorang guru sebaiknya menggunakan media pembelajaran yang sesuai dengan
materi yang akan diajarkan kepada peserta didik. Agar peserta didik dapat
memahami materi tersebut dengan baik.
12

17. DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, Cholik. 2013. Matematika SMP/MTs Jilid 1A Kelas VII. Jakarta :
Erlangga
http://syaryanto.blogspot.co.id/2012/07/operasi-hitung-pada-bentuk-aljabar.html
http://bljrmatematika.blogspot.co.id/2012/12/operasi-hitung-aljabar.html
https://miaratnasih.wordpress.com/2014/01/03/operasi-hitung-bentuk-aljabar-2/
13