mengenai vektor

1. Nama : Islamiani Safitri Resume 1, 30 Januari 2012
NIM : 90211302
Mata Kuliah : Matematika Fisika
Topik : Analisis Vektor
VEKTOR
a. Pengertian Vektor
Vector adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Vector biasa dituliskan
dengan sebuah huruf capital yang ditebalkan atau diberi tanda panah diatasnya, 𝐴⃗.
Gambar sebuah vector adalah sebagai berikut:
𝐴⃗
b. Vektor Satuan
Vector satuan memiliki besar satu dan arah yang sama dengan arah vector 𝐴⃗.
Sehingga dapat dituliskan secara matematis : 𝐴 =
𝐴⃗
| 𝐴⃗|
̂
Komponen vector 𝐴⃗ dalam system koordinat kartesius (x, y,z) adalah: Ax, Ay, dan Az.
sedangkan vector satuan yang sejajar pada sumbu x, y, dan z adalah 𝑖̂, 𝑗̂, dan 𝑘̂.
Sehingga vector 𝐴⃗ dapat dinyatakan sebagai: 𝐴⃗ = 𝐴 𝑥 𝑖̂ + 𝐴 𝑦 𝑗̂ + 𝐴 𝑧 𝑘̂
Vector juga mempunyai besar dan arah. Panjang panah menyatakan besar vector 𝐴⃗
dan arah panah menunjukkan arah vector. Besar vector 𝐴⃗ adalah |𝐴⃗| dan dapat
dinyatakan dengan :
|𝐴⃗| = √ 𝐴 𝑥
2 + 𝐴 𝑦
2 + 𝐴 𝑧
2
c. Vektor Posisi
Vector posisi adalah vector yang ditarik dari titik O ke sebuah titik, ditulis dengan 𝑟⃗
dan dapat dinyatakan sebagai:
𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂
Dan besar vector posisi adalah:
| 𝑟⃗| = √ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑍2
d. Penjumlahan Vektor
1. Grafis
𝐴⃗
𝐵⃗⃗ sehingga 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗

2. 2. Analisis
𝐴⃗ = 𝐴 𝑥 𝑖̂ + 𝐴 𝑦 𝑗̂ + 𝐴 𝑧 𝑘̂
𝐵⃗⃗ = 𝐵 𝑥 𝑖̂ + 𝐵 𝑦 𝑗̂+ 𝐵 𝑧 𝑘̂
𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = ( 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥) 𝑖̂ + (𝐴 𝑦 + 𝐵 𝑦)𝑗̂+ ( 𝐴 𝑧 + 𝐵 𝑧) 𝑘̂
e. Perkalian Vektor
1. Perkalian Titik (dot)
Perkalian ini menghasilkan besaran scalar. Perkalian ini merupakan panjang
proyeksi suatu vector dengan arah tertentu.
𝐴⃗. 𝐵⃗⃗ = |𝐴⃗| |𝐵⃗⃗| cos 𝜃
Catatan: 𝑖̂. 𝑖̂ = 𝑗̂. 𝑗̂ = 𝑘̂. 𝑘̂ = 1
𝑖̂. 𝑗̂ = 𝑗̂. 𝑘̂ = 𝑘̂. 𝑖̂ = 0
2. Perkalian Silang (cross)
Perkalian ini menghasilkan besaran vector.
𝐴⃗ × 𝐵⃗⃗ = |𝐴⃗| |𝐵⃗⃗|sin 𝜃
Catatan:
𝑖̂ × 𝑖̂ = 𝑗̂ × 𝑗̂ = 𝑘̂ × 𝑘̂ = 0
𝑖̂ × 𝑗̂ = 𝑘̂ 𝑗̂ × 𝑖̂ = −𝑘̂
𝑗̂ × 𝑘̂ = 𝑖̂ 𝑘̂ × 𝑗̂ = −𝑖̂
𝑘̂ × 𝑖̂ = 𝑗̂ 𝑖̂ × 𝑘̂ = −𝑗̂
Perkalian silang juga dapat dinyatakan dalam bentuk determinan sebagai:
𝐴⃗ × 𝐵⃗⃗ = 𝑖̂|
𝐴 𝑦 𝐴 𝑧
𝐵 𝑦 𝐵 𝑧
| − 𝑗̂ |
𝐴 𝑥 𝐴 𝑧
𝐵 𝑥 𝐵 𝑧
| + 𝑘̂ |
𝐴 𝑥 𝐴 𝑦
𝐵 𝑥 𝐵 𝑦
|
𝐴⃗ × 𝐵⃗⃗ = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧
𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 𝑧
|
f. Garis dan Bidang
1. Persamaan Garis
Garis l yang melalui 𝑃( 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ke 𝑄( 𝑥, 𝑦, 𝑧) sejajar 𝐴̂, diperoleh:
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗ − 𝑟0⃗⃗⃗⃗
Atau 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑥 − 𝑥0) 𝑖̂ + ( 𝑦 − 𝑦0) 𝑗̂ + ( 𝑧 − 𝑧0) 𝑘̂
Misalkan:
𝐴⃗ = 𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐𝑘̂ ; dengan a, b, c adalah tetapan. Karena 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝐴⃗ , kita dapat
menyatakan: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝐴⃗

3. Atau 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑎 𝑖̂ + 𝑡𝑏 𝑗̂ + 𝑡𝑐 𝑘̂ ; dengan t adalah sebuah parameter.
Dari persamaan diatas maka diperoleh:
𝑟̂ − 𝑟0̂ = 𝑡 𝐴̂
Persamaan diatas disebut persamaan garis parametric. Sedangkan untuk persamaan
garis simetrik adalah:
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
=
𝑧−𝑧0
𝑐
2. Persamaan Bidang
Persamaan bidang dapat dibuat melalui sebuah titik 𝑃( 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) yang tegak lurus
terhadap sebuah vector 𝑁⃗⃗⃗.
Misalkan: 𝑁⃗⃗⃗ = 𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐𝑘̂
Tegak lurus pada bidang α, yang dibuat melalui titik 𝑃( 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) maka N disebut
vector normal dan 𝑁⃗⃗⃗ juga tegak lurus terhadap semua vector yang terdapat pada
bidang α tersebut.
Ambil titik Q(x,y,z) pada bidang α, diperoleh:
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗ − 𝑟0⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑥 − 𝑥0) 𝑖̂ + ( 𝑦 − 𝑦0) 𝑗̂ + ( 𝑧 − 𝑧0) 𝑘̂
Karena 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ terletak pada bidang α, maka 𝑁⃗⃗⃗ ⊥ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗, sehingga perkalian titik antara
kedua vector ini sama dengan nol.
𝑁⃗⃗⃗. 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
Atau :
(𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐𝑘̂). ( 𝑟⃗ − 𝑟0⃗⃗⃗⃗) = 0
(𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐𝑘̂). [( 𝑥 − 𝑥0) 𝑖̂+ ( 𝑦 − 𝑦0 ) 𝑗̂ + ( 𝑧 − 𝑧0) 𝑘̂] = 0
Hasil yang diperoleh adalah:
𝑎( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑏( 𝑦 − 𝑦0) + 𝑐( 𝑧 − 𝑧0) = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
Dengan 𝑑 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0