Dokumen ini membahas tentang deret geometri tak hingga, termasuk definisi, rumus, dan pembuktian. Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi konvergen dan divergen tergantung nilai rasio. Pembuktian deret geometri tak hingga didasarkan pada rumus deret geometri berhingga.

1. Nama : Nunik Indayani
Asal sekolah : SMA Unggulan Badridduja
Email : nunikindayani88@gmail.com
PENGERTIAN DAN BUKTI DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Kajian Teori
A. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan dan deret ukur atau barisan dan deret geometri dalam bidang matematika adalah
jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan
sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Barisan geometri dapat dinyatakan dengan
rumus sebagai berikut:
𝑎𝑟0
= 𝑎, 𝑎𝑟1
= 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2
, 𝑎𝑟3
, …
Dengan r adalah bilangan rasio pengali (𝑟 ≠ 0) dan a adalah faktor skala.
Dalam hal ini, suku ke-n:
𝑎 𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
Jumlah semua suku:
∑ 𝑎𝑟 𝑘
𝑛−1
𝑘=0
=
𝑎( 𝑟 𝑛
− 1)
𝑟 − 1
, untuk 𝑟 > 1
Dan
∑ 𝑎𝑟 𝑘
𝑛−1
𝑘=0
=
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
1 − 𝑟
, untuk 𝑟 < 1
B. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang
banyaknya tidak terbatas (tak hingga). Deret geometri tak hingga biasanya dinotasikan
sebagai 𝑆∞. Secara matematis, deret geometri tak hingga dirumuskan sebagai berikut.
𝑆∞ = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯

2. Jenis-jenis Deret Geometri Tak hingga
Secara umum, deret geometri dibagi menjadi dua jenis, yaitu deret geometri tak hingga yang
konvergen dan divergen.
1) Deret geometri tak hingga konvergen
Konvergen artinya memusat atau tidak menyebar. Deret geometri tak hingga yang
konvergen berarti deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat deret
geometri tak hingga jenis ini adalah rasio berada di antara -1 dan 1, yaitu −1 < 𝑟 < 1
atau |𝑟| < 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.
𝑆∞ =
𝑎
1 − 𝑟
2) Deret geometri tak hingga divergen
Divergen artinya menyebar. Deret geometri tak hingga yang divergen berarti deret
geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga
yang divergen adalah 𝑟 < −1 atau 𝑟 > 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan
sebagai berikut.
𝑆∞ =
𝑎
1 − 𝑟
C. BUKTI DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Pembuktian deret geometri tak hingga sebenarnya dibuktikan dengan menggunakan rumus
deret geometri berhingga. Berikut ini merupakan pembuktian dari rumus deret geometri tak
hingga beserta contohnya.
𝑆 𝑛 =
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
1 − 𝑟
𝑆 𝑛 = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
𝑎𝑟 𝑛
1 − 𝑟
)
a) Untuk n mendekati tak hingga dan 𝑟 > 1, maka:
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
𝑎𝑟∞
1 − 𝑟
)
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
∞
1 − 𝑟
)
Karena 1 − 𝑟 menghasilka negatif, maka:

3. 𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (−∞)
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) + (∞)
𝑆∞ = ∞
b) Untuk n mendekati tak hingga dan 𝑟 < −1, maka:
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
𝑎𝑟∞
1 − 𝑟
)
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
∞
1 − 𝑟
)
Karena 1 − 𝑟 menghasilka positif, maka:
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (−∞)
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) + (∞)
𝑆∞ = −∞
c) Untuk n mendekati tak hingga dan −1 < 𝑟 < 1, maka:
Artinya r merupakan sebuah pecahan. Sekarang akan dilihat jika suatu pecahan
pangkatnya semakin besar.
Misalkan 𝑟 =
1
2
, maka:
𝑟, 𝑟2
, 𝑟3
, 𝑟4
, 𝑟5
, … =
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
, … = (0,5),(0,25),(0,125),(0,0625),(0,03125),…
Misalkan 𝑟 =
2
3
, maka:
𝑟, 𝑟2
, 𝑟3
, 𝑟4
, 𝑟5
, … =
2
3
,
4
9
,
8
27
,
16
81
,
32
243
, … = (0,67),(0,44),(0,296),(0,198),(0,132),…
Uraian tersebut menjelaskan bahwa suatu pecahan semakin besar pangkatnya akan semakin
mendekati 0 (nol), sehingga:
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
𝑎𝑟∞
1 − 𝑟
)
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (
0
1 − 𝑟
)
𝑆∞ = (
𝑎
1 − 𝑟
) − (0)

4. 𝑆∞ =
𝑎
1 − 𝑟
Dari uraian pembuktian diatas dapat disimpulkan bahwa rumus untuk mencari deret
geometri tak hingga adalah sebagai berikut:
𝑆∞ = ∞, untuk 𝑟 > 1
𝑆∞ = −∞, untuk 𝑟 < −1
𝑆∞ =
𝑎
1 − 𝑟
, untuk − 1 < 𝑟 < 1
Daftar Pustaka
Id.wikipedia.org. Barisan dan Deret. Diakses pada 08 April 2020, dari
https://id.wikipedia.org/wiki/Barisan_dan_deret_geometri
Quipeer.com.(2019, 19 Desember). Eret Geometri Tak Hingga-Matematika 11. Diakses pada 08
April 2020, dari https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/deret-
geometri-tak-hingga-matematika-kelas-11/
Edumatik.net.(2020, 04 Januari). Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal. Diakses pada 08
April 2020, dari https://edumatik.net/deret-geometri-tak-hingga-dan-contoh-soal/
Bagian paper ini dapat diunduh di Google Drive dengan alamat:
https://drive.google.com/file/d/18jDVs6y8HpeHulV0b6YfohHCFrq3qQfl/view?usp=sharing