Pengertian dan Beberapa Bukti Deret Geometri Tak Hingga

1. ETT 2017
Page | 1
Nama : Surasta Sari Dewi, S.Pd
Asal sekolah : SMA Negeri 1 Tualang
Email : surastasaridewi@gmail.com
Pengertian dan Beberapa Bukti Deret Geometri Tak Hingga
Kajian Teori
A. Pengertian Deret Geometri Tak Hingga
Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri.
Deret Geometri Tak Hingga adalah deret yang penjumlahannya sampai suku ke tak
hingga. Jumlah deretnya mengikuti deret geometri. Atau deret geometri menurun yang tidak
memiliki batasan suku. Deret geometri ini pun bisanya dipakai dalam kehidupan sehari-hari
seperti menghitung biasiswa, dan sebagainya.
Contoh deret geometri tak hingga 𝟒, 𝟑, 𝟐,. . . , . . ..

2. ETT 2017
Page | 2
B. Beberapa Bukti Deret Geometri Tak Hingga
Bukti 1:
Rumus Deret Geometri Tak Hingga di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus
deret geometri konvergen, yaitu:
𝑆 𝑛 =
𝑎(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
dengan n menuju tak terhingga.
Rumus deret geometri konvergen untuk n menuju tak terhingga ini dapat diperoleh
dengan konsep limit sebagai berikut.
𝑆∞ = lim
𝑥→∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑥→∞
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
1 − 𝑟
Karena rasio dari barisan geometri konvergen ini berbentuk
𝑎
𝑏
dengan nilai a lebih kecil
daripada nilai b maka pangkat dari rasionya akan menuju nol ketika n menuju tak terhingga,
sehingga akan diperoleh bentuk sebagai berikut.

3. ETT 2017
Page | 3
𝑆∞ =
𝑎(1−0)
1−𝑟
⇔ 𝑺∞ =
𝒂
𝟏−𝒓
Rumus terakhir ini adalah rumus umum deret geometri konvergen dengan suku pertama
a, rasio r dengan batas −1 < 𝑟 < 1, dan banyak suku tak terhingga.
Bukti 2:
Jika 𝑟 < −1 atau 𝑟 > 1, maka untuk 𝑛 → ∞, nilai 𝑟 𝑛
makin besar.
Untuk 𝑟 < −1, 𝑛 → ∞ dengan 𝑛 ganjil didapat 𝑟 𝑛
→ ∞.
Untuk 𝑟 < −1, 𝑛 → ∞ dengan 𝑛 genap didapat 𝑟 𝑛
→ ∞.
Untuk 𝑟 > 1, 𝑛 → ∞ dengan 𝑛 didapat 𝑟 𝑛
→ ∞.
Akibatnya, 𝑺∞ =
𝒂( 𝟏±∞)
𝟏−𝒓
= ±∞ .
Deret geometri dengan 𝑟 < −1 atau 𝑟 > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).
Daftar Pustaka
Opan. 2017. Pembuktian Rumus Deret Geometri. Artikel, (Online),
(https://alewoh.com/pembuktian-rumus-deret-geometri.php., diakses 11 Desember 2017).
(Tanpa Nama). 2017. Deret Geometri Tak Hingga. Artikel Konsep Matematika (KoMa) Belajar
Matematika Online Bersama, (Online), (http://www.konsep-matematika.com/2015/09/deret-
geometri-tak-hingga.html., diakses 11 Desember 2017)
H.F.S Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi: untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi
Ilmu Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. E-Book, (Online),
(https://id.scribd.com/document/22966243/sma12mat-MatematikaAplikasiProgIPA., diakses 11
Desember 2017)