Dokumen ini membahas pengertian dan bukti deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga adalah deret yang memiliki rasio tetap antar suku dan jumlah suku yang tak terhingga. Diberikan rumus untuk menghitung jumlah suku deret geometri tak hingga dan bukti-bukti matematika menggunakan segitiga dan hubungan antara deret dengan batasnya.

1. Nama : Nurdayeni, S.Pd
Asal sekolah : SMAN 1 Koto Kampar Hulu
Email : nurdayenihz@gmail.com
PENGERTIAN DAN BEBERAPA BUKTI DERET GEOMETRI TAK HINGGA
A. Pengertian
Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang dsusun sehingga
membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu.
Bentuknya disusun sebagai berikut:
𝑈1, 𝑈2, 𝑈3,….
Keterangan:
𝑈1= suku ke-1 (suku pertama)
𝑈2= suku ke-2 (suku kedua)
𝑈3= suku ke-3 (suku ketiga)
Barisan geometri merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang memiliki
perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai perbandingan yang sama
itu dinamakan rasio yang di notasikan dengan huruf 𝑟.
Cara menghitung rasio (𝑟) adalah:
𝑟 =
𝑢2
𝑢1
=
𝑢3
𝑢2
= ⋯ =
𝑢 𝑛
𝑢 𝑛−1
,
Adapun rumus suku ke-n nya adalah 𝑈 𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
, dengan
𝑎 = suku pertama (𝑢1)
𝑟 = rasio, dan
𝑈 𝑛 = suku ke-n
Dari rumus tersebut dapat disusun barisan geometri
𝑈 𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑈1 = 𝑎𝑟1−1
= 𝑎𝑟0
= 𝑎
𝑈2 = 𝑎𝑟2−1
= 𝑎𝑟1
= 𝑎𝑟
𝑈3 = 𝑎𝑟3−1
= 𝑎𝑟2
Dan seterusnya...
Sehingga barisan geometrinya : 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2
, … (Ananda, 2017)

2. Contoh barisan geometri
1. 16, 8,4, 2, 1, . .
2. 3, 9,27,81, …
3. Dsb
Deret geometri
Deret geometri merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan geometri. Notasi yang digunakan
adalah 𝑠 𝑛 (jumlah n suku pertama).
Misalkan
𝑠 𝑛 = 𝑢1(jumlah 1 suku pertama)
𝑠 𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2(jumlah 2 suku pertama)
𝑠 𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3(jumlah 3 suku pertama)
𝑑𝑠𝑡
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
𝑠 𝑛 =
𝑎( 𝑟 𝑛
−1)
𝑟−1
, untuk −1 < 𝑟 < 1
𝑠 𝑛 =
𝑎( 𝑟 𝑛
−1)
𝑟−1
, untuk 𝑟 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 > 1
Deret geometri tak hingga
Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang penjumlahannya sampai suku tak
hingga. Deret geometri sendiri merupakan deret yang mempunyai perbandingan suku-suku
berurutan tetap atau yang lebih dikenal sebagai rasio. Selain deret geometri adapula deret
aritmatika, bedanya dengan deret geometri apabila deret geometri mempunyai rasio deret
aritmatika mempunyai beda (b) yang merupakan selisih sukuyang berurutan dan akan bernilai
tetap pada suku-suku yang berurutan lainnya. (matematika, 2017)
B. Bukti
Kaitan antara kekonvergenan suatu deret dengan limit tak hingga dari suku-n deretnya diberikan
dalam teorema berikut.
Bukti 1
Teorema 8.11 Jika ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑖=1 konvergen maka lim
𝑎→∞
𝑎 𝑛 = 0
Bukti misalkan jumlah parsial deretnya adalah 𝑠 𝑛. Karena deretnya konvergen maka terdapat 𝑠 ∈
𝑅 sehingga lim
𝑎→∞
𝑠 𝑛 = 𝑠. Ini mengakibatkan
lim
𝑎→∞
𝑎 𝑛 = lim
𝑎→∞
( 𝑠 𝑛 − 𝑠 𝑛−1) = lim
𝑎→∞
𝑠 𝑛 − lim
𝑎→∞
𝑠 𝑛−1 = 𝑠 − 𝑠 = 0
Terbukti.

3. bukti 2
Seperti yang sudah dibahas pada Deret Geometri, deret geometri tak terhingga konvergen
memiliki sebuah rumus untuk menentukan hasil penjumlahan semua suku hingga mendekati nol.
𝑠∞ =
𝑎
1 − 𝑟
Dari mana datangnya rumus tersebut? Berikut ini pembuktiannya
Kita anggap garis-garis vertikal pada segitiga merah adalah suku-suku deret geometri konvergen
(dari kiri ke kanan), garis horizontal juga membentuk deret yang sama.
garis vertikal terpanjang adalah suku pertama = 𝑎
garis vertikal ke dua adalah suku ke dua = 𝑎𝑟
garis vertikal ke tiga adalah suku ke tiga = 𝑎𝑟²
:
:
begitu seterusnya dan begitu pula dengan garis yang horizontal.
Dengan memerhatikan deret yang terbentuk dari garis-garis horizontal,
kita dapatkan
alas segitiga merah = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟² + ...
karena garis vertikal terpanjang = 𝑎 dan garis vertikal ke dua = 𝑎𝑟,
maka tinggi segitiga hijau = 𝑎 − 𝑎𝑟
dan alasnya sama panjang dengan garis merah horizontal pertama = 𝑎
Kedua segitiga tersebut (merah dan hijau) sebangun, sehingga
alas merah
tinggi merah
=
alas hijau
tinggi hijau

4. a + ar + ar² + .. .
a
=
a
a − ar
jika kedua ruas dikali 𝑎, maka jadilah
a + ar + ar² + .. . =
a
1 − r
𝑠∞ =
𝑎
1−𝑟
(terbukti), (Mulifern, 2015)
Deret geometri
Bentuk umum deret geometri adalah ∑ 𝑎𝑟 𝑛−1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟1∞
𝑛−1 + 𝑎𝑟2
+ ⋯
Jumlah deret parsial ini adalah ∑ 𝑎𝑟 𝑘−1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟1𝑛
𝑘−1 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1
yang dapat
ditulis sebagai 𝑠 𝑛 =
𝑠(1−𝑟 𝑛 )
1−𝑟
, 𝑟 ≠ 1
Hasil ini dapat diperoleh dengan cara berikut, tulislah
𝑠 𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑟 ∙ 𝑠 𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯+ 𝑎𝑟 𝑛−1
+ 𝑎𝑟
(1 − 𝑟) 𝑠 𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 𝑛
(1 − 𝑟) 𝑠 𝑛 = 𝑎(1 + 𝑟 𝑛 )
∴ 𝑠 𝑛 =
(1+𝑟 𝑛 )
(1−𝑟)
, 𝑟 ≠ 1 (martono, 1999)

5. Daftar Pustaka
Ananda. (2017). Deret tak hingga. http://ananda.lecture.ub.ac.id/files/2017/02/DERET-TAK-HINGGA.pdf,
8.
martono, k. (1999). Kalkulus. Dalam D. K. Martono, & D. Subagja (Penyunt.), Kalkulus (hal.
https://books.google.co.id/books?id=hSymJx6xRsYC&pg=PA326&dq=bukti+deret+geometri+tak
+hingga&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwjevO2K5YDYAhUCoZQKHTU0DEMQ6AEILDAB#v=onepage&
q=bukti%20deret%20geometri%20tak%20hingga&f=false).Jakarta,jakarta,jakarta:Erlangga.
matematika, M. (2017). Deret geometri tak hingga dan contoh soal.
http://www.madematika.net/2017/10/deret-geometri-tak-hingga-dan-contoh.html,1.
Mulifern, A. (2015, Oktober 28). Pembuktian Rumus Deret Geometri Tak Hingga.
http://barisandanderetmatematika.blogspot.co.id/2015/10/pembuktian-rumus-deret-geometri-
tak.html,1.
Bagian paper ini dapat diunduh di Google Drive/Slide Share dengan alamat: ..................
.................. . .