Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom. Matriks dapat berupa matriks nol, kolom, baris, persegi, atau identitas. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan matriks lain, serta pembentukan determinan dan invers matriks. Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

1. Matematika SMA : Matriks Page 1
MATRIKS
Oleh Ana Sugiyarti, S.Pd
Matriks : sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom
𝐴 =
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2
⋱ ⋮
… 𝑎 𝑚𝑛
]
= elemen baris ke-2 kolom ke-1𝑎21
Ordo : banyaknya baris dan kolom matriks.
berartimatriks A berordo m × n artinya matriks mempunyai m baris dan n kolom.𝐴 𝑚 × 𝑛
Jenis-jenis matriks :
1. Matriks Nol ⇒ seluruh elemennya nol
Contoh.
;[0 0] [0 0
0 0]
2. Matiks Kolom ⇒ terdiri dari satu kolom
Contoh.
;[1
2] [
1
2
3]
3. Matriks Baris ⇒ terdiri dari satu baris
Contoh.
;[1 1] [0 1 0]
4. Matriks Persegi ⇒ banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
Contoh.
. ;[1 2
3 4] [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖]
5. Matriks Identitas ⇒ matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya satu dan
elemen lainnya nol
Contoh.
. ;[0 0
0 0] [
0 0 0
0 0 0
0 0 0]
Transpose Matriks : menukar baris menjadi kolom dan sebaliknya
Contoh.
𝐴 = [1 2 3
5 7 6]
𝐴 𝑇
= 𝐴'
= [
1 5
2 7
3 6]
Kesamaan Matriks
Syarat : - ordo harus sama
- Elemen yang seletak harus sama
Contoh.
Baris
Kolom

2. Matematika SMA : Matriks Page 2
[1 𝑎
3 𝑐]= [1 2
𝑏 4]
Sehingga 𝑎 = 2; 𝑏 = 3; 𝑐 = 4
Operasi-Operasi Matriks
 Penjumlahan/Pengurangan
Syarat : ordo harus sama
Contoh
danA = [1 3
2 4] B = [1 ‒ 1
0 2 ]
A + B = [1 + 1 3 + ( ‒ 1)
2 + 0 4 + 2 ]= [2 2
2 6]
A ‒ B = [1 ‒ 1 3 ‒ ( ‒ 1)
2 ‒ 0 4 ‒ 2 ]= [0 4
2 2]
 Perkalian
 Matriks × Skalar
Contoh
2𝐴 = 2[1 3
2 4]= [2 6
4 8]
 Matriks × Matriks
Syarat : Am×p . Bp×n = Cm×n
[𝑎 𝑏
𝑐 𝑑][𝑝 𝑞 𝑟
𝑠 𝑡 𝑢]= [𝑎𝑝 + 𝑏𝑠 𝑎𝑞 + 𝑏𝑡 𝑎𝑟 + 𝑏𝑢
𝑐𝑝 + 𝑑𝑠 𝑐𝑞 + 𝑑𝑡 𝑐𝑟 + 𝑑𝑢]
Contoh
𝐴 × 𝐵 = [1 3
2 4][1 ‒ 1
0 2 ]= [1 ∙ 1 + 3 ∙ 0 1 ∙ ( ‒ 1) + 3 ∙ 2
2 ∙ 1 + 4 ∙ 0 2 ∙ ( ‒ 1) + 4 ∙ 2]= [1 5
2 6]
𝐵 × 𝐴 = [1 ‒ 1
0 2 ][1 3
2 4]= [1 ∙ 1 + ( ‒ 1) ∙ 2 1 ∙ 3 + ( ‒ 1) ∙ 4
0 ∙ 1 + 2 ∙ 2 0 ∙ 3 + 2 ∙ 4 ]= [‒ 1 ‒ 1
4 8 ]
Jadi, 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
Determinan
Syarat : matriks persegi
- Determinan matriks 2×2
𝐴 = [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑]
det (𝐴) = |𝐴| = |𝑎 𝑏
𝑐 𝑑|= 𝑎𝑑 ‒ 𝑏𝑐
- Determinan matriks 3×3
𝐵 = [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖]
det (𝐵) = |𝐵| = |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖|
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ ‒ (𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑓ℎ + 𝑏𝑑𝑖)
Contoh
 𝑃 = [1 1
3 5]
|𝑃| = |2 1
3 5|= 2 ∙ 5 ‒ 1 ∙ 3 = 10 ‒ 3 = 7
 𝑄 = [
‒ 1 2 ‒ 3
0 5 ‒ 4
1 4 0 ]
|𝑄| = |
‒ 1 2 ‒ 3
0 5 ‒ 4
1 4 0 |
‒ 1 2
0 5
1 4

3. Matematika SMA : Matriks Page 3
= [( ‒ 1) ∙ 5 ∙ 0 + 2 ∙ ( ‒ 4) ∙ 1 + ( ‒ 3) ∙ 0 ∙ 4] ‒ [( ‒ 3) ∙ 5 ∙ 1 + ( ‒ 1) ∙ ( ‒ 4) ∙ 4 + 2 ∙ 0 ∙ 0]
= 0 ‒ 8 + 0 ‒ ( ‒ 15 + 16 + 0)
=‒ 8 ‒ 1 =‒ 9
Matriks Singular ⇒ nilai determinannya nol
Matriks Nonsingular ⇒ nilai determinannya tidak sama dengan nol
Invers Matriks
𝐴 ‒ 1
=
1
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) 𝐴𝑑𝑗(𝐴)
- Invers matriks 2×2
𝐴 = [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑]
𝐴 ‒ 1
=
1
𝑎𝑑 ‒ 𝑏𝑐 [ 𝑑 ‒ 𝑏
‒ 𝑐 𝑎 ]
- Invers matriks 3×3
𝐵 = [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖]
Menentukan Adj (B) :
- Transpose matriks
[
𝑎 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
𝑐 𝑓 𝑖]
- Matriks adjoint
𝐴𝑑𝑗(𝐵) =
[‒
|𝑒 ℎ
𝑓 𝑖| ‒ |𝑏 ℎ
𝑐 𝑖| |𝑏 𝑒
𝑐 𝑓|
|𝑑 𝑔
𝑓 𝑖| |𝑎 𝑔
𝑐 𝑖| ‒ |𝑎 𝑑
𝑐 𝑓|
|𝑑 𝑔
𝑒 ℎ| ‒ |𝑎 𝑔
𝑏 ℎ| |𝑎 𝑑
𝑏 𝑒| ]
Contoh
 𝑃 = [1 1
3 5]
𝑃 ‒ 1
=
1
1 ∙ 5 ‒ 1 ∙ 3[ 5 ‒ 1
‒ 3 1 ]=
1
2[ 5 ‒ 1
‒ 3 1 ]=
[
5
2
‒ 1
2
‒ 3
2
1
2
]
 𝑄 = [
‒ 1 2 ‒ 3
0 5 ‒ 4
1 4 0 ]
- |𝑄| =‒ 9
- 𝑄 𝑇
= [
‒ 1 0 1
2 5 4
‒ 3 ‒ 4 0]
- 𝐴𝑑𝑗(𝑄) =
[‒
| 5 4
‒ 4 0| ‒ | 2 4
‒ 3 0| | 2 5
‒ 3 ‒ 4|
| 0 1
‒ 4 0| |‒ 1 1
‒ 3 0| ‒ |‒ 1 0
‒ 3 ‒ 4|
|0 1
5 4| ‒ |‒ 1 1
2 4| |‒ 1 0
2 5| ]= [
0 ‒ ( ‒ 16) ‒ (0 ‒ ( ‒ 12)) ‒ 8 ‒ ( ‒ 15)
‒ (0 ‒ ( ‒ 4) 0 ‒ ( ‒ 3) ‒ (4 ‒ 0)
0 ‒ 5 ‒ ( ‒ 4 ‒ ( ‒ 2)) ‒ 5 ‒ 0 ]
𝐴𝑑𝑗(𝑄) = [
16 ‒ 12 7
‒ 4 3 ‒ 4
‒ 5 2 ‒ 5]

4. Matematika SMA : Matriks Page 4
- 𝑄 ‒ 1
=
1
‒ 9[
16 ‒ 12 7
‒ 4 3 ‒ 4
‒ 5 2 ‒ 5]=
[
‒
16
9
4
3
‒
7
9
4
9
‒
1
3
4
9
5
9
‒
2
9
5
9
]
Sifat-sifat Determinan dan Invers
 det ( 𝐴 𝑇) = det (𝐴)
 det ( 𝐴 ‒ 1) =
1
det (𝐴)
 𝑑𝑒𝑡 (𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡 (𝐴).𝑑𝑒𝑡 (𝐵)
 A.I = I.A = A
 AA-1 = A-1A = I
 (A-1)-1 = A
 (AB)-1 = B-1A-1
 AX = B ⇒ X = A-1B
 XA = B ⇒ X = BA-1
Persamaan Matriks
𝐴𝑋 = 𝐵⇔𝑋 = 𝐴 ‒ 1
𝐵
𝑋𝐴 = 𝐵⇔𝑋 = 𝐵𝐴 ‒ 1
Contoh
Jika , maka𝑋[‒ 6 7
11 ‒ 9]= [4 3
5 ‒ 2] 𝑋 = …
𝑋[‒ 6 7
11 ‒ 9]= [4 3
5 ‒ 2]
⇔𝑋 = [4 3
5 ‒ 2][‒ 6 7
11 ‒ 9]
‒ 1
⇔𝑋 = [4 3
5 ‒ 2]
1
( ‒ 6 ∙‒ 9 ‒ 7 ∙ 11)[ ‒ 9 ‒ 7
‒ 11 ‒ 6]
⇔𝑋 =
1
(54 ‒ 77)[4 3
5 ‒ 2][ ‒ 9 ‒ 7
‒ 11 ‒ 6]
⇔𝑋 =
1
‒ 23[4 ∙‒ 9 + 3 ∙‒ 11 4 ∙‒ 7 + 3 ∙‒ 6
5 ∙‒ 9 ‒ 2 ∙‒ 11 5 ∙‒ 7 ‒ 2 ∙‒ 6]
⇔𝑋 =
1
‒ 23[‒ 36 +‒ 33 ‒ 28 +‒ 18
‒ 45 + 22 ‒ 35 + 12 ]
⇔𝑋 =
1
‒ 23[‒ 69 ‒ 46
‒ 23 ‒ 23]= [3 2
1 1]
Aplikasi Matriks dalam Sistem Persamaan Linear
 Mengubah bentuk SPL menjadi persamaan matriks

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2}⟹(𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22)(𝑥
𝑦)= (𝑏1
𝑏2)

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2
𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3
}⟹
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
)(
𝑥
𝑦
𝑧)=
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)
 Menyelesaikan SPL dengan Menggunakan Invers Matriks
 (𝑥
𝑦)= (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22)
‒ 1
(𝑏1
𝑏2)

5. Matematika SMA : Matriks Page 5
 (
𝑥
𝑦
𝑧)=
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
‒ 1
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)
Contoh
{‒ 𝑥 + 5𝑦 =‒ 13
2𝑥 ‒ 3𝑦 = 12
(𝑥
𝑦)= (‒ 1 5
2 ‒ 3)
‒ 1
(‒ 13
12 )=
1
3 ‒ 10(‒ 3 ‒ 5
‒ 2 ‒ 1)(‒ 13
12 )=
1
‒ 7(39 ‒ 60
26 ‒ 12)=
1
‒ 7(‒ 21
14 )= ( 3
‒ 2)
Jadi, nilai dan .𝑥 = 3 𝑦 =‒ 2
 Menyelesaikan SPL dengan Metode Cramer
 Untuk SPLDV
𝐷 = |𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22|, 𝐷
𝑥
= |𝑏1 𝑎12
𝑏2 𝑎22|, 𝐷 𝑦 = |𝑎11 𝑏1
𝑎21 𝑏2|
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
dan 𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
 Penyelesaian SPLTV dengan Metode Cramer
𝐷 =
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|, 𝐷
𝑥
=
|
𝑏1 𝑎12 𝑎13
𝑏2 𝑎22 𝑎23
𝑏3 𝑎32 𝑎33
|, 𝐷 𝑦 =
|
𝑎11 𝑎1 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|, 𝐷 𝑧 =
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷 𝑧
𝐷
Contoh
{‒ 𝑥 + 5𝑦 =‒ 13
2𝑥 ‒ 3𝑦 = 12
𝐷 = |‒ 1 5
2 ‒ 3|= 3 ‒ 10 =‒ 7
𝐷 𝑥 = |‒ 13 5
12 ‒ 3|= 39 ‒ 60 =‒ 21
𝐷 𝑦 = |‒ 1 ‒ 13
2 12 |=‒ 12 ‒ ( ‒ 26) = 14
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
=
‒ 21
7
=‒ 3 dan 𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
=
14
7
= 2
 Menyelesaikan SPL dengan Operasi Baris Elementer (OBE)
[𝑥
𝑦]= [𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22| 𝑏1
𝑏2]
Aturan Operasi Baris Elementer
Tiap operasi baris elementer pada matriks keseluruhan berikut menghasilkan suatu matriks
yang menampilkan sistem persamaan linear yang ekuivalen:
1. Menukar letak dua baris;
2. Mengganti suatu baris dengan baris semula dikali dengan bilangan tak nol;
3. Mengganti suatu baris dengan jumlah baris itu dan perkalian terhadap baris lainnya.
Metode Gauss
Contoh
{‒ 𝑥 + 5𝑦 =‒ 13
2𝑥 ‒ 3𝑦 = 12
[‒ 1 5
2 ‒ 3| ‒ 13
12 ]
- Elemen-elemen di bawah diagonal utama selalu dijadikan nol dengan melakukan OBE.
𝑅2 = 𝑅2 + 2𝑅1

6. Matematika SMA : Matriks Page 6
2 ‒ 3 12
‒ 2 10 ‒ 26
0 7 ‒ 14
→ 𝑅2
→2 𝑅1
→ 𝑅2
Sehingga menjadi [‒ 1 5
0 7| ‒ 13
‒ 14]
- Setelah semua elemen di bawah diagonal utama telah menjadi nol, buat elemen
diagonal utama menjadi angka 1 dengan melakukan OBE.
dan𝑅1 =‒ 𝑅1 𝑅2 =
1
7 𝑅2
1 ‒ 5 13
0 1 ‒ 2
→ ‒ 𝑅1
→
1
7 𝑅1
Sehingga menjadi atau jika diubah menjadi SPL[1 ‒ 5
0 1 | 13
‒ 2] { 𝑥 ‒ 5𝑦 = 13
𝑦 =‒ 2
Jadi, nilai dan .𝑦 =‒ 2 𝑥 = 3
Metode Gauss-Jordan
Metode Gauss-Jordan sama seperti dengan metode Gauss, hanya saja disini semua elemen
diatas maupun di bawah diagonal utama diubah menjadi nol.
Contoh
Menggunakan contoh soal sebelumnya diperoleh [1 ‒ 5
0 1 | 13
‒ 2]
Sekarang mengubah elemen diatas diagonal utama menjadi nol dengan melakukan OBE.
𝑅1 = 𝑅1 + 5𝑅1
1 ‒ 5 13
0 5 ‒ 10
1 0 3
→ 𝑅1
→5 𝑅2
→ 𝑅1
Sehingga menjadi [1 0
0 1| 3
‒ 2]
Jadi, nilai dan .𝑥 = 3 𝑦 =‒ 2
Aplikasi Matriks dalam Transformasi Geometri
Jika titik (x, y) ditransformasikan dengan matriks transformasi maka koordinat bayangan(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑)
diperoleh dengan
(𝒙'
𝒚')= ( 𝒂 𝒃
𝒄 𝒅)(𝒙
𝒚)
Bentuk Transformasi Matriks Transformasi
Translasi (𝑎
𝑏)
Refleksi terhadap sumbu X (1 0
0 ‒ 1)
Refleksi terhadap sumbu Y (‒ 1 0
0 1)
Refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 (0 1
1 0)
Refleksi terhadap garis 𝑦 =‒ 𝑥 ( 0 ‒ 1
‒ 1 0 )
Refleksi terhadap O(0, 0) (‒ 1 0
0 ‒ 1)
Refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 (cos 2𝛼 sin 2𝛼
sin 2𝛼 ‒ cos 2𝛼)

7. Matematika SMA : Matriks Page 7
Rotasi dengan pusat di O dan sudut α (cos 𝛼 ‒ sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼 )
Rotasi dengan pusat di P(𝑎, b) dan sudut α (𝑥'
𝑦')= (cos 𝛼 ‒ sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼 )(𝑥 ‒ 𝑎
𝑦 ‒ 𝑏)+ (𝑎
𝑏)
Dilatasi dengan pusat di O dan skala 𝑘 (𝑘 0
0 𝑘)
Dilatasi dengan pusat di P(𝑎, b) dan skala 𝑘 (𝑥'
𝑦')= (𝑘 0
0 𝑘)(𝑥 ‒ 𝑎
𝑦 ‒ 𝑏)+ (𝑎
𝑏)
Matriks Transformasi (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑)
Contoh
 Titik A(4, 3) ditranslasikan dengan .𝑇 = ( 3
‒ 2)
(𝑥'
𝑦')= ( 3
‒ 2)+ (4
3)= (7
1)
Jadi, bayangan titik A adalah (7, 1).
 Garis ditranslasikan dengan .𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑇 = ( 3
‒ 2)
(𝑥'
𝑦')= ( 3
‒ 2)+ (𝑥
𝑦)→(𝑥
𝑦)= (𝑥'
𝑦')‒ ( 3
‒ 2)= ( 𝑥'
‒ 3
𝑦'
+ 2)
Substitusi dan ke dalam persamaan garis𝑥 = 𝑥'
‒ 3 𝑦 = 𝑦'
+ 2
𝑥 + 2𝑦 = 1
⟺(𝑥'
‒ 3) + 2(𝑦'
+ 2) = 1
⟺ 𝑥'
‒ 3 + 2𝑦'
+ 4 = 1
⟺ 𝑥'
+ 2𝑦'
= 0
Jadi, bayangan dari garis adalah .𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑥 + 2𝑦 = 0
 Titik A(1, 5) direfleksikan terhadap sumbu X.
(𝑥'
𝑦')= (1 0
0 ‒ 1)(1
5)= ( 1
‒ 5)
Jadi, bayangan titik A adalah (1, –5).
 Garis dirotasikan dengan pusat di O dan sudut putar 90° berlawanan arah jarum3𝑥 + 2𝑦 = 1
jam.
(𝑥'
𝑦')= (cos 90° ‒ sin 90°
sin 90° cos 90° )(𝑥
𝑦)= (0 ‒ 1
1 0 )(𝑥
𝑦)= (‒ 𝑦
𝑥 )
Substitusi dan ke dalam persamaan garis𝑥 = 𝑦'
𝑦 = ‒ 𝑥'
3𝑥 + 2𝑦 = 1
⟺3𝑦' + 2( ‒ 𝑥'
) = 1
⟺ 3𝑦'
‒ 2𝑥'
= 1
Jadi, bayangan dari garis adalah .3𝑥 + 2𝑦 = 1 3𝑦 ‒ 2𝑥 = 1