Dokumen tersebut membahas bukti tidak langsung untuk teorema R B,φ G PQ G KL Mt SA Ms = (R C,φ) melalui beberapa langkah yaitu: 1. Menerapkan beberapa teorema tentang garis dan sudut 2. Melakukan transformasi geometri seperti cermin dan rotasi pada suatu bangun ruang untuk memperoleh bangun ruang yang sama 3. Membuktikan bahwa transformasi tersebut sesuai dengan teorema yang ingin dibukt

3. v
t
h u
s
KL
QP
x
z
yy1
z1 A
C
B
𝜑
1
2
𝜑
x1
g

4. v
t
h u
KL
QP
x
z
yy1
z1 A
C
B
𝜑
x1
z2
x2
y2g
s

5. v
t
h u
KL
QP
x
z
yy1
z1 A
C
B
𝜑
x1
z2
x2
y2
= y3
= z3
= x3
g
s

6. v
t
h u
KL
QP
x
z
yy1
z1
A
C
B
𝜑
x1
z2
x2
y2
= y3
= z3
= x3
y4
x4
z4
g
s

7. v
t
h u
KL
QP
x
z
yy1
z1
A
C
B
𝜑
x1
z2
x2
y2
= y3
= z3
y4
x4
z4
x5
y5
z5
g
= x3
s

8. v
t
h u
KL
QP
x
z
yy1
z1
A
C
B
𝜑
x1
z2
x2
y2
= y3
= z3
y4
x4
z4
x5
y5
z5
x6
y6
z6
g
= x3
(𝑹 𝜷𝝋)(𝑮 𝑷𝑸)(𝑮 𝑲𝑳. 𝑴𝒕)(𝑺 𝑨)(𝑴 𝒔)(∆𝒙𝒚𝒛)
s

9. v
t
h u
KL
QP
x
z
yy1
z1
A
C
B
𝜑
x1
z2
x2
y2
= y3
= z3
y4
x4
z4
x5
y5
z5
x6
y6
z6
g
= x3x
z
y
C
y6
z6
x6
1
2
𝜑
=y’
x’=
=z’
𝑹 𝜷𝝋 𝑮 𝑷𝑸 𝑮 𝑲𝑳. 𝑴 𝒕 𝑺 𝑨 𝑴 𝒔 ∆𝒙𝒚𝒛 = (𝑅 𝐶𝜑) ∆𝒙𝒚𝒛
s

11. Teorema-Teorema untuk bukti tidak langsung
1. Teorema 11.2: Jika u dan g dua garis yang tidak tegak lurus dan
yang berpotongan di B dan jika sudut antara garis u dan g adalah
1
2
𝜑, maka 𝑅 𝐵,𝜑 = 𝑀𝑔 𝑀 𝑢.
2. Teorema 10.3:
• Andaikan v dan u dua garis yang sejajar dan 𝑉𝑈 sebuah garis
berarah tegak lurus pada v dengan V 𝜖 𝑔 dan U 𝜖 𝑢. Apabila
𝑃𝑄 = 2𝑉𝑈 maka 𝐺 𝑃𝑄 = 𝑀 𝑢 𝑀𝑣.
• Andaikan h dan v dua garis yang sejajar dan 𝐻𝑉 sebuah garis
berarah tegak lurus pada h dengan H 𝜖 ℎ dan V 𝜖 𝑣. Apabila
𝐾𝐿 = 2𝐻𝑉 maka 𝐺 𝐾𝐿 = 𝑀𝑣 𝑀ℎ.
3. Teorema 7.1: Andaikan A sebuah titik dan s dan t dua garis tegak
lurus yang berpotongan di A. Maka 𝑆 𝐴 = 𝑀𝑡 𝑀𝑠

12. Berdasarkan teorema-teorema tersebut, maka kita dapatkan:
𝑅 𝐵,𝜑 𝐺 𝑃𝑄 𝐺 𝐾𝐿 𝑀𝑡 𝑆𝐴 𝑀𝑠 = 𝑀𝑔 𝑀 𝑢 𝑀 𝑢 𝑀𝑣 𝑀𝑣 𝑀ℎ 𝑀𝑡 𝑀𝑡 𝑀𝑠 𝑀𝑠
= 𝑀𝑔 𝑀 𝑢 𝑀 𝑢)(𝑀𝑣 𝑀𝑣 𝑀ℎ 𝑀𝑡 𝑀𝑡 𝑀𝑠 𝑀𝑠
= 𝑀𝑔 𝐼)(𝑀𝑣 𝑀𝑣 𝑀ℎ 𝑀𝑡 𝑀𝑡 𝑀𝑠 (𝑀𝑠)
= 𝑀𝑔 𝐼 𝐼 𝑀ℎ 𝑀𝑡 𝑀𝑡 𝑀𝑠 (𝑀𝑠)
= 𝑀𝑔 𝐼 𝐼 𝑀ℎ 𝐼 𝑀𝑠 𝑀𝑠
= 𝑀𝑔 𝐼 𝐼 𝑀ℎ 𝐼 𝐼
= 𝑀𝑔 𝑀ℎ
= (𝑅 𝐶,𝜑)
Jadi 𝑅 𝐵,𝜑 𝐺 𝑃𝑄 𝐺 𝐾𝐿 𝑀𝑡 𝑆𝐴 𝑀𝑠 = (𝑅 𝐶,𝜑)

13. Langkah-langkah menggambar:
1. Menentukan garis s, t dan sudut 𝝋. Dimana s dan t
tegak lurus di titik A.
2. Menentukan garis berarah KL yang sejajar dengan
garis t. 𝑲𝑳 ⊥ 𝒗, 𝒉. Jarak garis v dan h adalah
𝟏
𝟐
ukuran 𝑲𝑳.
3. Menentukan garis berarah PQ yang tegak lurus v.
4. Menentukan garis 𝒖 ∥ 𝒗, dengan jarak garis u dan v
adalah
𝟏
𝟐
ukuran 𝑷𝑸.
5. Menentukan garis g. Garis g dan u berpotongan di
titik B. Sudut yang terbentuk oleh garis g dan u
adalah
𝟏
𝟐
𝝋. Garis g dan garis h berpotongan di titik
C
6. Menentukan ∆𝒙𝒚𝒛.
7. Mencerminkan ∆𝒙𝒚𝒛 terhadap garis s, diperoleh
∆𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 𝒛 𝟏

14. 9. Mencerminkan ∆𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐 diperoleh ∆𝒙 𝟑 𝒚 𝟑 𝒛 𝟑 yang
sama dengan ∆𝒙𝒚𝒛
10. Menggeser ∆𝒙 𝟑 𝒚 𝟑 𝒛 𝟑 (∆𝒙𝒚𝒛) terhadap garis berarah
KL, diperoleh ∆𝒙 𝟒 𝒚 𝟒 𝒛 𝟒
11. Menggeser ∆𝒙 𝟒 𝒚 𝟒 𝒛 𝟒 terhadap garis berarah PQ,
diperoleh ∆𝒙 𝟓 𝒚 𝟓 𝒛 𝟓
12. Merotasikan ∆𝒙 𝟓 𝒚 𝟓 𝒛 𝟓 dengan pusat B dan sudut 𝝋,
diperoleh ∆𝒙 𝟔 𝒚 𝟔 𝒛 𝟔
13. Merotasikan ∆𝒙𝒚𝒛 dengan pusat C dan sudut 2 kali
sudut yang dibentuk oleh garis u dan g (𝟐 ×
𝟏
𝟐
𝝋 =
𝝋).
14. Diperoleh ∆𝒙𝒚𝒛 = ∆𝒙 𝟔 𝒚 𝟔 𝒛 𝟔