Deret Geometri Tak Hingga

1. Nama : Rofi Dwi Kartini, S.Pd
Asal sekolah : SMK Negeri 1 Sumberasih
Email : rofidwikartini@gmail.com
DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Kajian Teori
Pengertian
Deret geometri tak ter hingga ialah deret geomteri menurun yang tidak memiliki batasan suku.
Deret geometro ini pun bisanya dipakai dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung
biasiswa, dan sebagainya.
Contoh deret geometri tak hingga 4,3,2,...,....
Pembuktian Rumus Deret Geometri Tak Hingga
Seperti yang sudah dibahas pada Deret Geometri, deret geometri tak terhingga konvergen
memiliki sebuah rumus untuk menentukan hasil penjumlahan semua suku hingga mendekati nol.
Dari mana datangnya rumus tersebut? Berikut ini pembuktiannya
Kita anggap garis-garis vertikal pada segitiga merah adalah suku-suku deret geometri konvergen
(dari kiri ke kanan), garis horizontal juga membentuk deret yang sama.

2. garis vertikal terpanjang adalah suku pertama = a
garis vertikal ke dua adalah suku ke dua = ar
garis vertikal ke tiga adalah suku ke tiga = ar²
:
:
begitu seterusnya dan begitu pula dengan garis yang horizontal.
Dengan memerhatikan deret yang terbentuk dari garis-garis horizontal,
kita dapatkan
alas segitiga merah = a + ar + ar² + ...
karena garis vertikal terpanjang = a dan garis vertikal ke dua = ar,
maka tinggi segitiga hijau = a - ar
dan alasnya sama panjang dengan garis merah horizontal pertama = a
Kedua segitiga tersebut (merah dan hijau) sebangun, sehingga
alas merah = alas hijau
tinggi merah tinggi hijau
a + ar + ar² + ... = a
a a - ar
jika kedua ruas dikali a, maka jadilah
a + ar + ar² + ... = a
1 - r
S∞ = a (terbukti)
1 - r
Macam - macam Deret tak hingga

3. Deret tak hingga terbagi menjadi 2 jenis, ada tak hingga divergen dan tak hingga konvergen.
keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting.
1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin
membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,
1, 3, 9, 27, 81, …………… Kalau ditanya berapa sih jumlah seluruhnya? Jumlah
seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.
2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Berbeda dengan divergen, derek geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di
mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di
bawah ini,
Semakin lama nilainya semakin mengecil dan
ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen
dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.
Lalu bagaimana untuk menghitung jumlah seluruh dari tak hingga konvergen?
Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret
geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r >
1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.
S tak hingga nya adalah 8. Ingat ya, pada deret geometri tak hingga, kita dapat mencari jumlah dari
keseluruhannya. Hal ini dikarenakan nilainya yang semakin mengecil, mendekati 0. Seperti ini
ya,
Deret Geometri Tak Hingga
Perhatikan deret geometri berikut !
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 4 8 16 32 64 128 256 512
         
Jika deret tersebut diteruskan maka tidak terhitung banyak seluruh deret geometri tersebut. Deret
geometri tersebut disebut deret geometri tak hingga.

4. Dengan rumus deret geometri kita juga dapat menentukan jumlah deret geometri tak hingga
tersebut, yaitu :
Sn =
n
1
1 - )
2
1
1
1 -
2
  
  
  
 
 
 
=
n
1
1 -
2
1
2
 
 
 
Untuk n   , maka
1 0
lim 2
1
2
n
n
S


 
Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya, maka deret
tersebut disebut deret yang konvergen.
Contoh deret konvergen :
 
 
 
1 1 1
1 ...
3 9 27
1
100 50 25 12 ...
2
1000 100 10 1 0,1 ...
i
ii
iii
   
   
    
Rasio pada masing-masing deret tersebut adaalh      
1 1
, 0,1
3 2
i ii dan iii .
Perhatikan pula deret geometri tak hingga berikut ini.
 
 
 
1 4 16 64 ...
2 6 18 54 ...
3 6 12 24 ...
i
ii
iii
   
   
   
Rasio pada masing-masing deret tersebut adalah 4, -3 dan 2. Jika deret tersebut
diteruskan, maka nilainya akan semakin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian
disebut deret geometri divergen.
Daftar Pustaka
http://barisandanderetmatematika.blogspot.com/2015/10/pembuktian-rumus-deret-geometri-
tak.html
http://andalanpelajar.com/pluginfile.php/235/mod_label/intro/Teori%20Deret%20Geometri%20
Tak%20HIngga.pdf

5. https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2015/11/deret-geometri-tak-terhingga-atau.html
Bagian paper ini dapat diunduh Slide Share dengan alamat: .................. .................. . .