Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Deret Geometri Tak Hingga Lebih lengkap: https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/deret-geometri-tak-hingga.html

1. Oleh: Emanueli Mendrofa, S.Pd

2. Deret geometri 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3+ . . . +𝑈 𝑛 disebut deret
geometri tak berhingga jika n mendekati tak berhingga.
Dengan kata lain, deret geometri disebut deret geometri
tak berhingga jika banyaknya suku deret geometri tersebut
bertambah terus mendekati tak berhingga.

3. Perhatikan deret geometri berikut:
5 +
5
2
+
5
4
+ . . . +5
1
2
𝑛−1
Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah:
𝑆 𝑛 =
5 1 −
1
2
𝑛
1 −
1
2
𝑆 𝑛 = 10 − 10
1
2
𝑛

4. Jika nilai n diambil makin besar, maka nilai
1
2
𝑛
makin kecil dan akan
mendekati 0 sehingga dapat dikatakan
Hal ini juga berlaku bagi deret geometri dalam bentuk umum:
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ 𝑎𝑟3
+ . . . .
, apabila −1 < 𝑟 < 1, 𝑟 ≠ 0
Jadi, jika akan dihitung jumlah deret tak hingga 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3+ . . . .
sama artinya dengan mencari
lim
𝑛→∞
1
2
𝑛
= 0
lim
𝑛→∞
𝑟 𝑛
= 0
lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛

5. Jumlah deret geometri tak hingga ditentukan dengan:
1. Jika -1 < r < 1 dan r  0 maka:
Deret geometri tak berhingga seperti ini dikatakan konvergen.
Contoh:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+ . . .
Nilai rasio r =
𝑈2
𝑈1
=
8
16
=
1
2
Nilai rasio deret terletak antara -1 dan 1
lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 =
𝑎
1 − 𝑟

6. Contoh:
Hitunglah 5 +
5
2
+
5
4
+ . . .
Jawab:
a = 5, r =
1
2
Jadi, 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . = 10
lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 =
𝑎
1 − 𝑟
=
5
1 −
1
2
= 10

7. 2. Jika r < -1 atau r > 1 maka 𝑆 𝑛 = ±∞.
Deret geometri tak berhingga seperti ini dikatakan divergen.
Contoh:
1
3
+ 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . . .
Nilai rasio r =
𝑈2
𝑈1
=
1
1
3
= 3
Nilai rasio deret r = 3 > 1

8. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul kembali dengan
ketinggian
3
5
dari tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus
menerus.Tentukanlah:
a. Panjang lintasan bola hingga lima kali menyentuh tanah.
b. Panjang lintasan bola seluruhnya.

9. a. Panjang lintasan bola hingga lima kali menyentuh tanah.
𝑆 𝑛 =
𝑎(1 − 𝑟 𝑛)
1 − 𝑟
𝑆5 =
2,5 1 −
3
5
5
1 −
3
5
=
2,5 1 −
243
3.125
2
5
= 2,5
2.882
3.125
×
5
2
=
7.205
3.125
×
5
2
= 5,76
b. Panjang lintasan bola seluruhnya.
𝑆 𝑛 =
𝐵 + 𝐴
𝐵 − 𝐴
× 𝐻0 =
5 + 3
5 − 3
× 2,5 =
8
4
× 2,5 = 5

10. Misalkan diketahui deret geometri tak berhingga 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +
𝑎𝑟4+ . . . . maka jumlah suku-suku ganjil adalah 𝑎 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟4+ . . . . yang
merupakan suatu deret geometri tak berhingga dengan 𝑈1 = a dan rasio 𝑟2
,
sehingga diperoleh rumus:
𝑆 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 =
𝑎
1 − 𝑟2

11. Sedangkan jumlah suku-suku genapnya adalah 𝑎 + 𝑎𝑟3
+ 𝑎𝑟5
+ . . . . yang
merupakan suatu deret geometri tak berhingga dengan 𝑈1 = a dan rasio 𝑟2
,
sehingga diperoleh rumus:
𝑆 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 =
𝑎𝑟
1 − 𝑟2

12. Tugas
Jumlah suatu deret geometri tak
hingga adalah 6. Jumlah suku-suku
yang nomornya ganjil adalah 4.
tentukan rumus suku ke-n deret
tersebut.