Teorema nilai rata-rata cauchy dan aplikasinya dalam bidang matematika dan dalam bidang lain sebagai tugas presentasi mata kuliah Analisis Riil 2 semester 5

1. Teorema Cauchy
Seyma Cicek 1111000017095
DinaAri Kusumawati 1113017000031
Hanna RamadhanaWiduri 1113017000040
Andina Aulia Rachma 1113017000054

2. Pembuktian
Teorema Cauchy
Aplikasi Teorema
Cauchydalam
Matematika
Aplikasi Teorema
Cauchydalam
BidangLain

3. Misalkan 𝒇 𝒅𝒂𝒏 𝒈 kontinu pada 𝒂, 𝒃 dan
differensiabel pada 𝒂, 𝒃 ,
asumsikan 𝒈′(𝒙) ≠ 𝟎 ∀ 𝒙 di 𝒂, 𝒃
Maka terdapat c pada 𝒂, 𝒃 sehingga
𝒇 𝒃 −𝒇(𝒂)
𝒈 𝒃 −𝒈(𝒂)
=
𝒇′(𝒄)
𝒈′(𝒄) B
U
K
T
I

4. Ambil titik 𝑎, 𝑓 𝑎 ; 𝑏, 𝑓 𝑏 ; 𝑎, 𝑔 𝑎 ; 𝑏, 𝑔 𝑏
Dengan menggunakan persamaan garis lurus:
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
.......... (1)
.......... (2)
* Dari (1) dan (2) diperoleh :
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
=
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎)
=
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂)
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
=
𝒈(𝒙) − 𝒈(𝒂)
𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂)

5. 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂)
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
=
𝒈(𝒙) − 𝒈(𝒂)
𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂)
𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒂 ∙ 𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂 = 𝒈 𝒙 − 𝒈 𝒂 ∙ [ 𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)]
𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒂 =
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂)
∙ 𝒈 𝒙 − 𝒈(𝒂)
dianggap
fungsi baru
misal 𝜑(𝑥)
𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒂 −
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
∙ 𝒈 𝒙 − 𝒈 𝒂 = 𝜑(𝑥)

6. 𝝋(𝒂) = 𝒇 𝒂 − 𝒇 𝒂 −
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
∙ ( 𝒈 𝒂 − 𝒈 𝒂 )
= 0
Lanjutan ...
𝝋(𝒃) = 𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 −
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
∙ ( 𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂 )
= 0
Karena 𝜑 𝑎 = 𝜑 𝑏 = 𝜑 𝑥 = 0
maka menurut teorema Rolles
∃ 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 Sedemikian hingga 𝜑′ 𝑐 = 0

7. 𝝋 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒂 −
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
∙ 𝒈 𝒙 −
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
∙ 𝒈 𝒂
𝝋′
(𝒙) = 𝒇′
𝒙 − 𝟎 − 𝟎 ∙ 𝒈 𝒙 +
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
∙ 𝒈′(𝒙) − 𝟎
𝝋′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′ 𝒙 ∙
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
𝟎 = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′ 𝒙 ∙
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
𝒇′
𝒙 = 𝒈′
𝒙 ∙
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
𝒇′(𝒙)
𝒈′(𝒙)
=
𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂
𝒈 𝒃 − 𝒈 𝒂
Terbukti

8. *Misalkan -∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ ∞ dan misalkan f,g
differensibel pada (a,b) sehingga g’(x) ≠ 0 ∀ x
∈ (a,b) dan misalkan lim
𝑥 →𝑎+
𝑓(𝑥) = 0 =
lim
𝑥 →𝑎+
𝑔(𝑥).
Tunjukkan lim
𝑥 →𝑎+
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= L ∈ R, maka lim
𝑥 →𝑎+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= L

9. Misal -∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ ∞
f dan g diff pada (a,b), maka
• f differensial pada (a,b)
• g differensial pada (a,b)
Berdasarkan syarat kekontinuan yang
ke-3, maka
lim
𝑥 →𝑎+
𝑓(𝑥) = f(a) dan lim
𝑥 →𝑎+
𝑔(𝑥) =
g(a)

10. Berdasarkan TNR. Cauchy didapat:
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
=
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
𝑔 𝑏 −𝑔(𝑎)
, karena f(a) = g(a) = 0, maka
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
=
𝑓 𝑏 − 0
𝑔 𝑏 − 0
=
𝑓(𝑏)
𝑔(𝑏)
, karena x ∈ (a,b), maka
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Oleh karena itu, lim
𝑥 →𝑎+
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= lim
𝑥 →𝑎+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
karena lim
𝑥 →𝑎+
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= L maka lim
𝑥 →𝑎+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= L
(Terbukti)

11. Aplikasi Teorema Nilai Rata-Rata dalam
Matematika
• Maksimum dan minimum
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x³ + 3x²
+1 pada [-1,2]
Penyelesaian:
Turunan f adalah f’(x) = -6x² + 6x = 6x(1 – x)
Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada.
Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1 dan 2.
Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:
f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3
Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mancapai nilai maksimum 6
(di -1) dan minimum -3 (di 2).

12. Aplikasi Teorema Cauchy
dalamBidang Lain
•Fisika
Posisi partikel ditunjukkan oleh
persamaan r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ - 4t)j. Tentukan
kecepatan (v) dan percepatan (a)
Penyelesaian:
Kecepatan r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ - 4t)j
v(t) = (6t – 2)i + (12t² - 4)j
Percepatan v(t) = (6t – 2)i + (12t² - 4)j
a(t) = 6i + (24t)j

13. • Ekonomi
Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x –
0,0003x² dengan julah persatuan x = 1000. Tentukan biaya rata-rata
dan biaya marjinal!
Penyelesaian:
Biaya rata-rata = C(x)/x
= 3200 + 3,25x – 0,0003x² / x
= 3200 + 3,25(1000) – 0,0003(1000)² / 1000
= 6,15
Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp. 6150
Biaya Marjinal = dc/dx
=3,25 – 0,0006x
=3,25 – 0,0006(1000)
=2,65
Maka, biaya marjinalnya 2,65 x 1000 = Rp. 2650 pada x = 1000

14. Thank You
For
Your Attention