Dokumen ini membahas analisa kompleks dengan fokus pada bilangan kompleks, termasuk definisi, operasi dasar seperti penjumlahan dan pengurangan, serta aplikasi geometri pada bidang kompleks. Juga dijelaskan konsep modulus, argumen, dan sifat-sifat bilangan kompleks, serta pembuktian berbagai teorema terkait. Aktifitas penjumlahan dan pengurangan vektor bilangan kompleks ditunjukkan melalui contoh gambar dan perhitungan analitik.

1. ANALISA
KOMPLEKS
KELOMPOK 1 :
DIKI WAHYUDI (201913500290)
SADDAM HUSAIN K (201913500331)
M NUR FADLI (201913500324)

3. • Bilangan kompleks dapat didefinisikan melalui pasangan
terurut (x,y) dari bilangan real yang diinterprestasikan
melalui bidang kompleks, dengan koordinat empat persegi
panjang x dan y. Bilangan x dapat digambarkan melalui
titik (x,0) pada sumbu real. Dari sini terlihat bahwa
himpunan bilangan real termuat dalam himpunan bilangan
kompleks. Bilangan kompleks yang berbentuk (0,y)
berhubungan dengan titik pada sumbu y dan disebut
bilangan imajiner murni. Sumbu y disebut juga sumbu
imajiner.
• Bidang kompleks (terkadang disebut bidang Argan atau
bidang Gauss) adalah sebuah bidang yang dibentuk oleh
bilangan kompleks melalui sistem koordinat Kartesius.
Sumbu –x pada bidang tersebut merepresentasikan garis
real yang disebut bagian real, sementara sumbu –y
merepresentasikan garis imajiner yang disebut bagian
imajiner. Bidang kompleks dilambangkan C.

4. ● Definisi penjumlahan dua bilangan
kompleks 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1dan 𝑧2 =
𝑥2 + 𝑦2, bilangan 𝑧1 + 𝑧2
berhubungan dengan titik
𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 .
● Pengurangan 𝑧1– 𝑧2 menyatakan jumlah
dari vektor 𝑧1dan – 𝑧2, 𝑧1 − 𝑧2 dapat
diinterprestasikan melalui arah segmen
garis dari titik 𝑥2, 𝑦2 ketitik 𝑥1, 𝑦1 .

5. Diketahui bilangan kompleks 𝑧1 = 1 +
3𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑧2 = 3 − 2𝑖
gambarkan bilangan kompleks 𝑧1,𝑧2, 𝑧1 +
𝑧2, 𝑑𝑎𝑛 𝑧1 − 𝑧2 dengan cara seperti
penjumlahan dan pengurangan pada
vector.
Penyelesaian :
● 𝑧1 + 𝑧2 = 1 + 3𝑖 + 3 − 2𝑖 = 4 + 𝑖
● 𝑧1 − 𝑧2 = 1 + 3𝑖 − 3 − 2𝑖 = −2 + 5𝑖

6. 𝟑 + 𝟒𝒊 + 𝟓 + 𝟐𝒊 = 3 + 5 + 𝑖 4 + 2 = 𝟖 + 𝟔𝒊
𝟑 + 𝟒𝒊 + 𝟓 + 𝟐𝒊 = 3 + 5 𝟐 + 4 + 2 𝟐 = 𝟏𝟎
hasil ini akan sama dengan 𝟖 + 𝟔𝒊 = 𝟖𝟐 + 𝟔𝟐 = 𝟏𝟎
Jadi, Bilangan kompleks 𝑧 yang berhubungan
dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat 𝑧0
dan berjari-jari R memenuhi persamaan 𝑧 − 𝑧0 =
𝑅.

7. Gambarkan 𝑧 − 1 + 2𝑖 = 3 dan
𝑧 + 1 < 2 pada bilangan z.
Jawab :
● 𝑧 − 1 + 2𝑖 = 3 dapat ditulis
𝑧 − (1 + 2𝑖) = 3 merupakan
lingkaran berpusat di 𝑧1 = 1 − 2𝑖 =
(1, −2) berjari-jari 3. (gambar a)
● 𝑧 + 1 < 2 atau 𝑧 − (−𝑖) < 2
menytakan daerah lingkaran yang
berpusat di 𝑧1 = −i = (0, −1)
berjari-jari 2. (gambar b)

8. ● Konjungkat atau sekawan kompleks atau sekawan dari Sekawan kompleks
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah didefinisikan dengan 𝑥 – 𝑖𝑦 dan dinyatakan dengan 𝑧 ,
yaitu; 𝑧 = 𝑥 – 𝑖𝑦.
● Bilangan 𝑧 adalah dinyatakan dengan titik (𝑥, −𝑦) yang merupakan
pencerminan terhadap sumbu real 𝑥 dari titik (𝑥, 𝑦) yang dinyatakan
dengan z.

9. 1. 𝑧 = 𝑧 dan 𝑧 = 𝑧 untuk setiap z
Pembuktian : Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥2 + (−𝑦)2= 𝑥2 + 𝑦2
Jadi terbukti bahwa 𝑧 = 𝑧
2. Jika 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1𝑑𝑎𝑛 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, maka
a. 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2
𝑥1 + 𝑖𝑦1 + 𝑥2 + 𝑖𝑦2 = 𝑥1 − 𝑖𝑦1 + 𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑖𝑦1 + 𝑥2 − 𝑖𝑦2 Jadi terbukti bahwa 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2
b. 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2
𝑥1 + 𝑖𝑦1 − 𝑥2 − 𝑖𝑦2 = 𝑥1 − 𝑖𝑦1 − 𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑖𝑦1 − 𝑥2 − 𝑖𝑦2 = 𝑥1 − 𝑖𝑦1 − 𝑥2 + 𝑖𝑦2
Jadi terbukti bahwa 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2

10. c. 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2
(𝑥1 + 𝑖𝑦1) ∙ (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 + 𝑥2𝑖𝑦1 + 𝑖2𝑦1𝑦2
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 + 𝑥1𝑖𝑦2 + 𝑖2𝑦1𝑦2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑦1𝑦2
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑖𝑦1 ∙ 𝑥2 − 𝑖𝑦2
= 𝑥1𝑥2 − 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑖2
𝑦1𝑦2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑦1𝑦2
Jadi, terbukti bahwa 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2
d.
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
; 𝑧2 ≠ 0
𝑥1 + 𝑖𝑦1
𝑥2 + 𝑖𝑦2
×
𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑥2 − 𝑖𝑦2
=
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 + 𝑖2
𝑦1𝑦2
𝑥2
2
− 𝑥1𝑖𝑦2 + 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑖2𝑦2
2 =
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 + 𝑖2
𝑦1𝑦2
𝑥2
2
− 𝑖2𝑦2
2
=
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 + 𝑖2
𝑦1𝑦2
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑧1
𝑧2
=
𝑥1 − 𝑖𝑦1
𝑥2 − 𝑖𝑦2
×
𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑥2 + 𝑖𝑦2
=
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑖2
𝑦1𝑦2
𝑥2
2
+ 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑖2𝑦2
2 =
𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑥1𝑖𝑦2 − 𝑥2𝑖𝑦1 − 𝑖2
𝑦1𝑦2
𝑥2
2
+ 𝑦2
2

11. 3. Penjumlahan 𝑧 + 𝑧 dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 dan sekawannya
𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 adalah bilangan real 2𝑥 dan pengurangannya 𝑧 − 𝑧 adalah
bilangan imajiner murni 2𝑖𝑦.
Jadi 2 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑧 + 𝑧 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅𝑒 𝑧 =
𝑧+𝑧
2
dan 2𝑖 . 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑧 − 𝑧 atau Im 𝑧 =
𝑧−𝑧
2𝑖
Pembuktian :
 𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧
Dimisalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑥 − 𝑖𝑦 = 2𝑥
Dikarenakan x = 𝑅𝑒 𝑧 maka 2x = 2𝑅𝑒 𝑧
Jadi terbukti bahwa 𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧
 𝑧 − 𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧
Dimisalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥 + 𝑖𝑦 − 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 − 𝑥 + 𝑖𝑦 = 2𝑖𝑦 = 2𝐼𝑚(𝑧)
Dikarenakan x = 𝑅𝑒 𝑧 maka 2x = 2𝑅𝑒 𝑧
Jadi terbukti bahwa 𝑧 − 𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧

12. Definisi:
“Jika 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis 𝑧 dan didefinisikan
sebagai 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 “
Definisi ini menunjukan bahwa 𝑧 merupakan bilangan real positif atau nol. Secara geometri,
bilangan z adalah jarak antara titik (x,y) dan titik asal 0=(0,0), atau Panjang dari vektor yang
dinyatakan dengan z. Akibat dari definisi tersebut, jika 𝑧1 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑧2 = 𝑥2, 𝑦2 , 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
,
Menyatakan jarak antara 𝑧1𝑑𝑎𝑛 𝑧2.
Selanjutnya apabila 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1𝑖 dan r bilangan real positif, maka 𝑧 − 𝑧1 = 𝑟 menyatakan
lingkaran berpusat di titik 𝑧1 = (𝑥1, 𝑦1) berjari-jari r. sedangkan 𝑧 − 𝑧1 < r menyatakan
daerah di dalam lingkaran yang berpusat di 𝑧1 = (𝑥1, 𝑦1) berjari-jari r.
Penting sekali diingat bahwa tidak ada urutan antara dua bilangan kompleks 𝑧1 dan 𝑧2.
Tetapi untuk modulusnya dikenal urutan karena modulus suatu bilangan kompleks merupakan
bilangan real.

13. 1. 𝑧 = 𝑧
Pembuktian : Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 dan 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥2 + (−𝑦2) = 𝑥2 + 𝑦2
Jadi terbukti bahwa 𝑧 = 𝑧
2. 𝑧 2
= (𝑅𝑒 𝑧 )2
+(𝐼𝑚 𝑧 )2
= 𝑥 + 𝑖𝑦 2
= 𝑥2 + 𝑦2
2
= 𝑥2
+ 𝑦2
Dikarenakan 𝑥 = 𝑅𝑒 𝑥 dan 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑥) maka
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅𝑒(𝑧) 2
+ 𝐼𝑚(𝑧) 2
Jadi terbukti bahwa 𝑧 2
= (𝑅𝑒 𝑧 )2
+(𝐼𝑚 𝑧 )2
3. 𝑧 2
= 𝑧 ∙ 𝑧 Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑧 2
= 𝑥 + 𝑖𝑦 2
= 𝑥2 + 𝑦2
2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥2
− 𝑥𝑖𝑦 + 𝑥𝑖𝑦 − 𝑖2
𝑦2
= 𝑥2
− −1 2
𝑦2
= 𝑥2
+ 𝑦2
Jadi terbukti 𝑧 2
= 𝑧 ∙ 𝑧

14. 1. 𝑍1. 𝑍2 = 𝑍1 . 𝑍2
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1) ∙ (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + (𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1)
= 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2
2 + (𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1)2
= 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑦1
2
+ 𝑦2
2
− 2𝑥1𝑥2𝑦1𝑦2 + 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑦1
2
+ 𝑦2
2
+ 2𝑥1𝑥2𝑦1𝑦2
= (𝑥1
2
+ 𝑦1
2
)(𝑥2
2
+ 𝑦2
2
) = (𝑥1
2
+ 𝑦1
2
) × (𝑥2
2
+ 𝑦2
2
) = 𝑧1 ∙ 𝑧2
Jadi Terbukti bahwa 𝑍1. 𝑍2 = 𝑍1 . 𝑍2
1.
𝑍1
𝑍2
=
𝑍1
𝑍2
Jika 𝑍2 ≠ 0
2. 𝑍1 + 𝑍2 ≤ 𝑍1 + 𝑍2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3+, … , +000 𝑍𝑛 ≤ 𝑍1 + , 𝑍2 +
𝑍3 +, … , + 𝑍𝑛
3. 𝑍1 − 𝑍2 = 𝑍2 − 𝑍1
4. 𝑍1 − 𝑍2 ≤ 𝑍1 − 𝑍2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍1 − 𝑍2 ≤ 𝑍1 − 𝑍2

15. Bilangan Kompleks dapat dinyatakan
dalam peubah polar yaitu 𝑟 dan 𝜃
Notasi r yaitu Modulu
𝑟 = 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Notasi 𝜃 yaitu Argumen dari Z
𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = tan−1
𝑦
𝑥
Argumen Z yaitu sudut yang terbentuk
oleh 𝑧 𝑥, 𝑦 dengan sumbu real positif.

16. Perlu diperhatikan :
𝑎𝑟𝑔 𝑧 =>> Himpunan
𝐴𝑟𝑔 𝑧 =>> Bilangan
Pada bilangan kompleks 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) terdapat dua bilangan kompleks
yaitu
𝑧1 = 𝑟(cos 𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1)
𝑧2 = 𝑟(cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2)
Dikatakan sama 𝑧1 = 𝑧2 , jika 𝑟1 = 𝑟2 dan 𝜃1 = 𝜃2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍

17. Bilangan Kompleks terdefinisi jika nilai argumen pada interval (−𝜋, 𝜋
Argumen Utama Z (Principal Argument) >>> A𝑟𝑔 𝑧
Jika 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) dengan 𝑟 > 0
dan 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 atau −𝜋 < 𝜃 < 𝜋
Maka 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = A𝑟𝑔 𝑧 + 2𝑛𝜋 ; 𝑛 𝜖 𝑍

18. Dengan menggunakan rumus Euler :
𝑒−𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
Bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟𝑒𝑖𝜃
Penulisan 𝑧 = 𝑟𝑒−𝑖𝜃 merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z
Selanjutnya kompleks sekawan dari z adalah
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 − 𝑖 sin 𝜃)
= 𝑟(cos −𝜃 − 𝑖 sin −𝜃 )
= 𝑟𝑒−𝑖𝜃

20. Tentukan argument z, jika 𝑧 = −1 − 𝑖
𝜃 terletak di kuadran III, sehingga jika diambil putaran positif Arg z =
5𝜋
4
.
Akan tetapi jawaban ini salahm karena adanya Batasan nilai utama
Argmen 𝜃 yaitu −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋. Oleh karena itu, kita harus mengambil
putaran negative (putaran kanan), sehingga Arg −1 + 𝑖 = −
3𝜋
4
, dan
arg −1 + 𝑖 = −
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋

21. Sifat dari modulus dan sekawan memungkinkan untuk menurunkan sifat aljabar dari ketaksamaan
segitiga, dengan menentukan suatu batas atas untuk modulus dari penjumlahan dua bilangan
kompleks 𝑧1 dan 𝑧2 :
𝑍1 + 𝑍2 ≤ 𝑍1 + 𝑍2
Ketaksamaan ini sangat penting dalam geometri, yang menyatakan bahwa panjang suatu sisi pada
suatu segitiga adalah lebih kecil atau sama dengan jumlah panjang dua sisi yang lainnya. Sebagai
catatan adalah suatu kesamaan apabila titik 𝑧1, 𝑧2dan 0 adalah kolinier.

22. 0 ≤ 𝑥1. 𝑦2 − 𝑥2. 𝑦1
2
0 ≤ 𝑥1
2
. 𝑦2
2
+ 𝑥2
2
. 𝑦1
2
− 2 𝑥1. 𝑥2. 𝑦1. 𝑦2
2 𝑥1. 𝑥2. 𝑦1. 𝑦2 ≤ 𝑥1
2
. 𝑦2
2
+ 𝑥2
2
. 𝑦1
2
𝑥1
2
. 𝑦2
2
+ 𝑥2
2
. 𝑦1
2
+ 2 𝑥1. 𝑥2. 𝑦1. 𝑦2 ≤ 𝑥1
2
. 𝑦2
2
+ 𝑥2
2
. 𝑦1
2
+ 𝑥1
2
. 𝑦2
2
+ 𝑥2
2
. 𝑦1
2
𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2
2
≤ 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
. 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
2. 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 ≤ 2 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
. 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥1
2
+ 2 𝑥1. 𝑥2 + 𝑥2
2
+ 𝑦1
2
+ 2𝑦1. 𝑦2 + 𝑦2
2
≤ 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
+ 2 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
. 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥1 + 𝑥2
2
+ 𝑦1 + 𝑦2
2
≤ 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
. 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
2
𝑥1 + 𝑥2
2 + 𝑦1 + 𝑦2
2 ≤ 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
. 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑍1 + 𝑍2 ≤ 𝑍1 + 𝑍2
∴ 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑍1 + 𝑍2 ≤ 𝑍1 + 𝑍2
𝑍1 + 𝑍2 ≤ 𝑍1 + 𝑍2

23. 1. Gambarkan bilangan kompleks 𝑧1,𝑧2, 𝑧1 + 𝑧2 dengan cara seperti
penjumlahan pada vector jika diketahui 𝑧1 = 3 + 2𝑖 dan 𝑧2 = 1 − 3i
2. Gambarkan bilangan kompleks 𝑧1,𝑧2, 𝑧1 − 𝑧2 dengan cara seperti
pengurangan pada vector jika diketahui 𝑧1 = 9 + 6𝑖 dan 𝑧2 = 4 − 7i
3. Diketahui bilangan kompleks 𝑧1 = 2 + 6𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑧2 = 3 − 4𝑖. gambarkan
bilangan kompleks 𝑧1,𝑧2, 𝑧1 + 𝑧2, 𝑑𝑎𝑛 𝑧1 − 𝑧2 dengan cara seperti
penjumlahan dan pengurangan pada vector!
4. Selesaikan bilangan kompleks berikut dengan cara analitik dan grafik
: −3 + 5𝑖 + 4 + 2𝑖 + 5 − 3𝑖 + −4 − 6𝑖 =
5. Buktikan: Z1. Z2 = Z1 . Z2
6. tentukan dengan menggunakan modulus (nilai mutlak)
3 + 1𝑖) + (4 + 3𝑖 =
7. Nyatakanlah 𝑧 = 3 + 𝑖 dalam bentuk polar dan bentuk eksponen!